ALGORITMOSEVOLUTIVOSINSPIRADOSEMCOMPUTAÇÃOQUÂNTICAAPLICADOSÀ OTIMIZAÇÃODEDESPACHOECONÔMICODEENERGIAELÉTRICA
JÚLIO XAVIER VIANNA NETO1, DIEGO LUIS DE ANDRADE BERNERT2 E LEANDRO DOS SANTOS COELHO2
1 Graduação em Engenharia Mecatrônica (Controle e Automação) 2 Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas, PPGEPS
Pontifícia Universidade Católica do Paraná, Rua Imaculada Conceição 1155, 80215-901 Curitiba, PR, Brasil E-mails: julio.neto@onda.com.br, dbernert@gmail.com, leandro.coelho@pupr.br
Abstract This paper aims to evaluate the performance of three evolutionary algorithm approaches in solving optimization problems in the electric power field. These approaches are called Quantum-inspired Evolutionary Algorithms. They were validated as an optimization method for applications in the field of electric power systems. This was made through the analysis, design and implementation of the algorithm in computational environment, aiming to optimize the power economic dispatch problem. Inspired on the concept of quantum computing, the Quantum-inspired Evolutionary Algorithm was developed with an evolutionary algorithm approach, but also using qubits (quantum bits) as a representation of the individual, a quantum gate as variation operator and an observation process. Three approaches of Quantum-inspired Evolutionary Algorithm were implemented, each assessed for a benchmark problem, and the performance results were presented and analyzed.
Keywords Quantum computing, evolutionary algorithm, economic dispatch of electric energy, optimization, qubit.
Resumo Este artigo tem como objetivo avaliar o desempenho de três abordagens de algoritmo evolutivo para a resolução de problemas de otimização no setor de energia elétrica. As abordagens em questão são denominadas Algoritmos Evolutivos com Inspiração Quântica. Estas foram validados como métodos de otimização visando à aplicação no setor de sistemas elétricos de potência. Isto se efetivou através da análise, projeto e implementação do algoritmo em ambiente computacional, visando à otimização do despacho econômico de energia elétrica. Inspirado no conceito de computação quântica, o Algoritmo Evolutivo com Inspiração Quântica foi desenvolvido com uma abordagem de algoritmo evolutivo, mas usando também qubits (bits quânticos) como representação do indivíduo, uma porta quântica como operador de variação e um processo de observação. Foram validadas três abordagens de Algoritmo Evolutivo com Inspiração Quântica, sendo que cada um deles foi avaliado para um estudo de caso, e os resultados de desempenho foram apresentados e analisados.
Palavras-chave Computação quântica, algoritmo evolutivo, despacho econômico de energia elétrica, otimização, qubit.
1 Introdução
Os algoritmos evolutivos (AEs) são amplamente utilizados na resolução de problemas complexos em diversas áreas como projeto de controladores, planejamento de tarefas, mineração de dados, entre outros. Em cada caso em que se deseje aplicar esta técnica é necessário avaliar qual algoritmo especificamente será satisfatório para solucionar o problema eficiente e eficazmente, ou seja, que encontre uma solução de qualidade com baixo custo computacional. O custo computacional está diretamente relacionado ao número de vezes que as potenciais soluções são avaliadas pelo cálculo de uma função de aptidão (fitness).
Neste contexto, têm sido propostas inúmeras abordagens de algoritmos evolutivos que buscam uma rápida convergência à solução ótima ou mesmo quase ótima em problemas complexos de otimização. O Algoritmo Evolutivo com Inspiração Quântica (AEIQ, Quantum-inspired Evolutionary Algorithm) aplicado neste projeto é inspirado no conceito de múltiplos universos da física quântica, e permite realizar o processo de otimização com um menor número de avaliações de soluções.
Inspirado no conceito de computação quântica, o AEIQ é desenvolvido usando qubits (bits quânticos)
como representação do indivíduo, uma porta quântica como operador de variação e um processo de observação. AEIQ foi recentemente proposto em Han e Kim (2002), como um novo algoritmo evolutivo.
A computação quântica é uma área baseada nas características da mecânica quântica como incerteza, superposição, interferência e emaranhamento para processar informação através de métodos inovadores diferentes das técnicas convencionais. Na computação clássica, a unidade básica de informação é o bit, elemento que tem apenas duas possibilidades de estado, 0 ou 1. Na computação quântica, o elemento básico é o bit quântico, chamado de qubit. Diferentemente do bit, o qubit não tem um estado definido, ele representa uma superposição de estados. Ou seja, em vez de ser 0 ou 1 como o bit, o qubit pode ser os dois ao mesmo tempo (paralelismo quântico), sendo representado pela raiz quadrada positiva da probabilidade de se encontrar em cada estado. Assim como um elétron, por exemplo, que não tem uma localização definida, mas, sim, uma nuvem orbital onde há maior probabilidade de ser encontrado.
O problema de despacho econômico (PDE) tem como objetivo principal o cálculo dos níveis de geração, geralmente em MW, de cada unidade geradora, de modo a suprir inteiramente a demanda da maneira mais econômica possível e respeitando determinadas restrições físicas e operacionais
preestabelecidas (Carpentier, 1962; Happ, 1977; Jeyakumar et al., 2006). Recentemente, tem sido apresentados na literatura métodos computacionais de otimização utilizando abordagens bio-inspiradas, tais como algoritmos evolutivos e paradigmas da inteligência coletiva, para solucionar o problema de despacho econômico de energia elétrica, a citar, por exemplo, Jeyakumar et al. (2006), Swarup e Kumar (2006), Selvakumar e Thanushkodi (2008) e Roy e Ghoshal (2008). Neste contexto, diferentes abordagens de AIEQ foram avaliadas, neste projeto, para o despacho econômico de energia elétrica para um estudo de caso com 10 geradores, múltiplos combustíveis e a presença do efeito de ponto de válvula, este descrito em Chiang (2005) e Panigrahi et al. (2007).
O restante do artigo está organizado da seguinte forma. Uma breve descrição dos algoritmos evolutivos com inspiração quântica avaliados é apresentada na seção 2. Nas seções 3 e 4 são apresentados, respectivamente, a formulação do problema de despacho econômico e os resultados de simulação para um estudo de caso. Na seção 5 é apresentada a conclusão.
2 Fundamentos dos algoritmos evolutivos com inspiração quântica
Os algoritmos quânticos são ferramentas computacionais utilizadas para processar informação, construídas usando portas lógicas quânticas. A importância de tais algoritmos é evidenciada pelo fato de que muitos problemas interessantes são impossíveis de resolver em computadores clássicos, e em computadores quânticos, porém, possuem solução viável. A promessa dos computadores quânticos é possibilitar novos algoritmos que tornam tratáveis problemas que requerem recursos exorbitantes para solucioná-los em um computador clássico.
Devido à dificuldade da implementação de computadores quânticos e do desenvolvimento de novos algoritmos quânticos, surge uma nova abordagem denominada computação com inspiração quântica. Esta abordagem propõe a criação de algoritmos inspirados em certos princípios da mecânica quântica (como ondas estacionárias, interferência e coerência), assim como os algoritmos quânticos, porém desenvolvidos para serem executados em computadores clássicos. Ao invés de investir em novas técnicas para poder usufruir da computação quântica, a computação com inspiração quântica desenvolve algoritmos clássicos que utilizam os efeitos quânticos para melhorar seu desempenho na resolução de problemas.
Por outro lado, em outro contexto, os algoritmos evolutivos (AEs) operam em uma população de potenciais soluções, aplicando o princípio da seleção natural para produzir soluções cada vez melhores. A cada geração de um algoritmo evolutivo, indivíduos
são selecionados de acordo com seu nível de adaptação em relação ao problema e estes são reproduzidos para criar um novo conjunto de aproximações. Este processo leva à evolução das populações de indivíduos, pois estes indivíduos podem ser mais bem adaptados ao seu ambiente do que os indivíduos que os geraram, assim como na adaptação natural. Os indivíduos são representados por strings compostas por caracteres de um alfabeto, por exemplo, binário, inteiro e real.
AEs são caracterizados pela representação do indivíduo, pela função objetivo, que representa o nível de adaptação do indivíduo, e pela dinâmica populacional, como tamanho da população, operador de variação, seleção de indivíduos, reprodução e herança, método da competição de sobrevivência, etc. O projeto de um algoritmo evolutivo deve utilizar estes componentes de forma apropriada, buscando um algoritmo eficiente que explore o espaço de busca com um número pequeno de indivíduos e a solução global com um curto tempo de execução.
Unindo-se a metodologia de AEs com a inspiração quântica, surge AEIQ. Na computação evolutiva, a representação do indivíduo pode ser binária, numérica ou simbólica, por exemplo. Entretanto, AEIQ em sua primeira proposição utiliza um novo recurso para esta representação, chamado de Q-bit, que é baseado no conceito do qubit da computação quântica. Um indivíduo em AEIQ é formado por uma seqüência de Q-bits, e representa probabilisticamente uma possível solução ao problema. A vantagem de um indivíduo de Q-bits é que ele pode representar uma superposição linear dos estados, ou soluções binárias, no espaço de busca. Ou seja, um indivíduo de Q-bits pode gerar probabilisticamente todos os indivíduos binários que representam as possíveis soluções ao problema, através da observação da string de Q-bits. Portanto, a representação por Q-bit tem uma característica de diversidade populacional melhor que outras representações.
Um Q-gate, ou porta quântica, é definido como operador de variação do AEIQ, que modifica os indivíduos, levando-os a representar melhores soluções ou até eventualmente um único estado. Inicialmente os indivíduos de AEIQ representam a superposição linear de todos os estados possíveis com a mesma probabilidade, o que gera soluções binárias bastante diversificadas. Com sucessivas aplicações da porta quântica, cada Q-bit do indivíduo se aproxima de 0 ou 1, e o indivíduo tende a convergir para um estado único. Desta maneira, a diversidade das soluções desaparece gradualmente. Por este mecanismo inerente, AEIQ pode tratar o equilíbrio entre exploração e abuso. E isto pode dar uma estimativa de que o algoritmo em questão terá um bom desempenho. AEIQ foi estudado principalmente em Han e Kim (2002) e Han (2003). A figura 1 mostra a estrutura geral de AEIQ, caracterizando todas as suas operações.
Figura 1. Estrutura geral do AEIQ. 2.1 AEIQ – Representação Binária
Neste trabalho, a implementação do AEIQ com representação binária foi realizada de acordo com sua definição em Han e Kim (2002) e Han (2003). Um indivíduo neste algoritmo é representado por uma seqüência de m Q-bits, tal que:
m m β α β α β α K K 2 2 1 1 (1) considerando 1 2 2 = + i i β α (2) i = 1, 2,..., m. (3) onde 2 i
α é a probabilidade do Q-bit i ser encontrado no estado “0” e 2
i
β é probabilidade dele ser encontrado no estado “1”.
AEIQ é um algoritmo estocástico que apresenta similaridades com outros algoritmos evolutivos. AEIQ, porém, mantém uma população de indivíduos
de Q-bits,
{
t}
n t t q q q t Q()= 1, 2,..., na geração t, onde n é o tamanho da população, e t j q é um indivíduo de m Q-bits, sendo que m é o tamanho da string do indivíduo.É importante mencionar que a população clássica P(t) é representada por indivíduos de strings binárias. Neste trabalho foi utilizada a porta quântica de rotação para atualizar a população quântica.
2.2 AEIQ – Representação Real
A representação binária não é necessariamente a mais adequada para os problemas de otimização numérica, por apresentar algumas particularidades que restringem a capacidade de otimização do algoritmo. Por isso o Algoritmo Evolutivo com Inspiração Quântica e Representação Real (AEIQ-R), proposto em Cruz (2007), usa uma representação baseada em números reais, e desta forma apresenta algumas vantagens em relação ao AEIQ com representação binária.
Deseja-se que este algoritmo permita representar uma superposição de estados contínuos e por isso a
abordagem usando funções de onda é usada. Desta forma um indivíduo da população quântica é formado de genes representados por funções de densidade de probabilidade. Através do processo de observação são gerados os indivíduos clássicos, cujos genes são números reais dentro do intervalo válido do domínio. Para se executar esta observação, usam-se as funções densidade de probabilidade e um gerador uniforme de números aleatórios. Neste trabalho é usada uma operação de recombinação similar a que é usada no algoritmo de evolução diferencial, descrito em Storn e Price (1995). A evolução do algoritmo se dá através da atualização da população quântica. Detalhes sobre a representação do indivíduo, o processo de observação, a estratégia de substituição e a atualização da população quântica são detalhadas em Cruz (2007).
2.3 AEIQ – Parâmetros Reais
O Algoritmo Evolutivo com Inspiração Quântica e Parâmetros Reais (AEIQPR) foi recentemente proposto em Sailesh et al. (2008), e apresenta uma técnica robusta para otimizar funções não-lineares de parâmetros reais e com a presença de restrições. A representação do indivíduo quântico é feita através de Q-bits e são utilizadas portas quânticas de rotação para atualizar as strings de Q-bits, assim como no AEIQ. Diferentemente dos algoritmos estudados anteriormente, AEIQPR não usa o conceito de observação dos Q-bits para gerar as soluções candidatas, mas utiliza operadores quânticos especiais de evolução. A evolução altera o estado do Q-bit para um novo estado de sobreposição. Esta alteração na magnitude das probabilidades 2
i
α e
2 i
β é transformada em parâmetros reais no domínio do problema através de dois operadores, Operador de Vizinhança 1 (OV1) e Operador de Vizinhança 2 (OV2). Os indivíduos que representam as soluções candidatas são formados pelos parâmetros reais dados por OV1 e OV2. Migração entre famílias de soluções é também utilizada em AEIQPR, o que ajuda na convergência e na qualidade das soluções.
3 Fundamentos de despacho econômico de energia elétrica
A função básica dos sistemas elétricos de potência é suprir os consumidores com energia elétrica da forma mais econômica e confiável possível. Sistemas economicamente adaptados permitem o equilíbrio entre a oferta e demanda de eletricidade, procurando o custo mínimo e mantendo a qualidade de suprimento. O planejamento e operação eficientes e otimamente econômicos em sistemas de geração elétrica de potência têm sempre ocupado um papel importante na indústria elétrica de potência.
Os sistemas elétricos de potência são interconectados de forma a melhorar as condições operacionais, possibilitando assim o aprimoramento da estabilidade e compartilhamento de reserva de energia, além de mais adequada operação sobre situações de emergência. Destaca-se o intuito de atender o consumidor com um serviço confiável e de qualidade, o qual deve ter o menor custo possível.
Para tal, a procura pelo menor custo na produção é obtida minimizando-se a diferença entre a oferta e a demanda. Isto é realizado verificando-se o escalonamento das saídas das unidades de geração conveniadas para encontrar a demanda de carga consumidora a um custo mínimo de operação, satisfazendo a todas as unidades e as restrições de igualdade e desigualdade impostas pelo problema de otimização a ser resolvido.
O estudo de caso abordado neste artigo é descrito em Chiang (2005). A formulação do problema considera 10 unidades geradoras, restrições de capacidade de geração, perdas de transmissão, efeito de ponto de válvula e múltiplos combustíveis. Foi usada uma demanda Pd de 2700 MW.
O PDE pode ser resolvido por um procedimento de otimização com o objetivo de minimizar a função objetivo FO, tal que
( )
∑ = = Ng i i i P F FO 1 min (4)onde Fi(Pi) é a função de custo do combustível da i-ésima unidade, Pi é a potência gerada pela i-ésima unidade, e Ng é o número de unidades geradoras. O sistema é sujeito à restrição de igualdade do balanço de potência, dada por
l d Ng i i P P P= + ∑ =1 (5)
onde Pd é a demanda de potência do sistema e Pl é a perda na transmissão, que neste caso é nula. Também é sujeito à restrição de capacidade de geração:
max min i i i P P P ≤ ≤ , i=1,...,Ng (6) onde min i
P e Pimax são as potências mínima e máxima
de saída da ésima unidade. A função custo da i-ésima unidade é representada pela equação (7), onde
k i
a , b , ik c , ik e e ik f são os coeficientes de custo ik
do i-ésimo gerador usando o combustível do tipo k. Os dados das unidades do sistema necessários à implementação deste problema são apresentados na tabela 1.
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
≤ ≤ − + + + ≤ ≤ − + + + ≤ ≤ − + + + = −1 max min 2 2 1 2 min 2 2 2 2 2 2 2 1 min 1 min 1 1 1 2 1 1 1 , l combustíve o para , , 2 l combustíve o para , , 1 l combustíve o para , Pi P P k P P f sen e P c P b a P P P P P f sen e P c P b a P P P P P f sen e P c P b a P F i k i k i k i k i k i i k i i k i k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i M M (7) 4 Resultados de simulaçãoPara validação dos algoritmos propostos, em relação ao estudo de caso, foram efetuadas 30 simulações com cada algoritmo de otimização. Foi utilizado número máximo de gerações igual a 1200 e populações de 10 indivíduos, nos três algoritmos validados. No estudo de caso abordado são desconsideradas as perdas de transmissão P , l portanto, Pl =0.
A tabela 2 mostra estatísticas de simulação obtidas com os resultados das 30 simulações de cada método proposto, para efeito de análise de robustez e desempenho. Nota-se por esta tabela que o AEIQ obteve o melhor desempenho.
Tabela 2. Estatísticas de simulação para o estudo de caso em termos de TC($) (que significa o mesmo que função objetivo, FO,
neste artigo).
Índices AEIQ AEIQ-R AEIQPR Custo mínimo 624,5745 629,1295 625,9223 Custo máximo 630,6725 647,6615 639,1311 Custo médio 625,1292 641,6620 633,0580 Desvio padrão 1,1665 4,3051 3,8054
A tabela 3 mostra uma comparação das melhores soluções de AEIQ, AEIQ-R e AEIQPR, juntamente com resultados descritos em Chiang (2005). O resultado obtido pelo AEIQ é ligeiramente inferior aos obtidos por Chiang (2005). Deve-se enfatizar que as abordagens AEIQ, AEIQ-R e AEIQPR satisfizeram à restrição imposta pela equação (5). Para o tratamento de restrições foi abordado um procedimento similar ao proposto em Noman e Iba (2008).
No entanto, deve-se mencionar que as soluções apresentadas em Chiang (2005) foram encontradas em 100 simulações, enquanto que as soluções obtidas neste trabalho foram encontradas em 30. Além disso, as soluções obtidas por Chiang (2005) e pelo AEIQ são superiores as apresentadas em outros trabalhos da literatura, tais como Park et al. (1993) com FO = 626,12 $ e Lee et al. (1998) com FO = 626,24 $.
5 Conclusão
A partir dos resultados obtidos pode-se perceber que a inspiração quântica realmente tem um bom potencial na área de otimização. O resultado mais satisfatório deste projeto foi obtido com a aplicação
de diferentes abordagens de AEIQ para o estudo de caso, que foi comparável à melhor solução encontrada na literatura. Em futura pesquisa, os autores desejam comparar diferentes métodos de AEIQ com diferentes ajustes dos parâmetros de projeto em problemas de despacho econômico de energia elétrica de maior porte.
Agradecimentos
Os autores agradecem o apoio financeiro do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – CNPq (processo: 309646/2006-5/PQ) e ao programa de iniciação científica PIBIC/PUCPR pela bolsa de iniciação científica concedida ao aluno Júlio Xavier Vianna Neto.
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Tabela 1. Dados do sistema com 10 geradores e múltiplos combustíveis. Geração Coeficientes Un. Mín. P1 P2 Máx. *Comb. F1 F2 F3 ai bi ci ei fi 100 196 250 1 0,2697x10² -0,3975 0,2176x10-² 0,2697 x10-¹ -3,9750 1 1 2 2 0,2113x10² -0,3059 0,1861x10-² 0,2113 x10-¹ 3,0590 1 0,1184x10³ -1,2690 0,4194x10-² 0,1184 -0,1269x10² 50 114 157 230 2 1,8650 -0,3988 x10-¹ 0,1138x10-² 0,1865x10-² -0,3988 2 2 3 1 3 0,1365x10² -0,1980 0,1620x10-² 0,1365 x10-¹ -1,9800 1 0,3979x10² -0,3116 0,1457x10-² 0,3979 x10-¹ -3,1160 200 332 388 500 2 -0,5914x10² 0,4864 0,1176 x10-4 -0,5914x10-¹ 4,8640 3 1 3 2 3 -2,8750 0,3389 x10-¹ 0,8035x10-³ -0,2876x10-² 0,3398 1 1,9830 -0,3114 x10-¹ 0,1049x10-² 0,1983x10-² -0,3114 99 138 200 265 2 0,5285x10² -0,6348 0,2758x10-² 0,5285 x10-¹ -6,3480 4 1 2 3 3 0,2668x10³ -2,3380 0,5935x10 -² 0,2668 -0,2338x10² 1 0,1392x10² -0,8733 x10-¹ 0,1066x10-² 0,1392 x10-¹ -0,8733 190 338 407 490 2 0,9976x10² -0,5206 0,1597x10-² 0,9976 x10-¹ -5,2060 5 1 2 3 3 -0,5399x10² 0,4462 0,1498x10 -³ 0,5399 x10-¹ 4,4620 1 0,5285x10² -0,6348 0,2758x10-² 0,5285 x10-¹ -0,6348x10 85 138 200 265 2 1,9830 -0,3114 x10-¹ 0,1049x10-² 0,1983x10-² -0,3114 6 2 1 3 3 0,2668x10³ -2,3380 0,5935x10 -² 0,2668 -0,2338x10² 1 0,1893x10² -0,1325 0,1107x10-² 0,1893 x10-¹ -1,3250 200 331 391 500 2 0,4377x10² -0,2267 0,1165x10-² 0,4377 x10-¹ -2,2670 7 1 2 3 3 -0,4335x10² 0,3559 0,2454x10 -³ -0,4335 x10-¹ 3,5590 1 1,9830 -0,3114 x10-¹ 0,1049x10-² 0,1983x10-² -0,3114 99 138 200 265 2 0,5285x10² -0,6348 0,2758x10-² 0,5285 x10-¹ -6,3480 8 1 2 3 3 0,2668x10³ -2,3380 0,5935x10-² 0,2668 -0,2338x10² 1 0,8853x10² -0,5675 0,1554x10-² 0,8853 x10-¹ -5,6750 130 213 370 440 2 0,1530x10² -0,4514 x10-¹ 0,7033x10-² 0,1423 x10-¹ -0,1817 9 3 1 3 3 0,1423x10² -0,1817 x10-¹ 0,6121x10-³ 0,1423 x10-¹ -0,1817 1 0,1397x10² -0,9938 x10-¹ 0,1102x10-² 0,1397 x10-¹ -0,9938 200 362 407 490 2 -0,6113x10² 0,5084 0,0416x10-³ -0,6113 x10-¹ 5,0840 10 1 3 2 3 0,4671x10² -0,2024 0,1137x10-² 0,4671 x10-¹ -2,0240
Notação: *Un.: unidade geradora; Comb.: tipo de combustível.
Tabela 3. Comparação de resultados com a literatura. Unidade # CGA_MU (Chiang, 2005) + IGA_MU (Chiang, 2005)
AEIQ AEIQ-R AEIPR
*Comb. Gerador *Comb. Gerador *Comb. Gerador *Comb. Gerador *Comb. Gerador 1 2 222,0108 2 219,1261 2 219,5331 2 236,3729 2 207,2798 2 1 211,6352 1 211,1645 1 211,9080 1 206,1663 1 207,0397 3 1 283,9455 1 280,6572 1 274,9966 1 301,0434 1 285,2034 4 3 237,8052 3 238,4770 3 239,7916 3 246,9910 3 238,1407 5 1 280,4480 1 276,4179 1 279,0593 1 298,0338 1 293,2640 6 3 236,0330 3 240,4672 3 239,8656 3 229,6018 3 233,4927 7 1 292,0499 1 287,7399 1 289,0593 1 253,2214 1 289,1489 8 3 241,9708 3 240,7614 3 239,7840 3 233,1629 3 239,4834 9 3 424,2011 3 429,3370 3 430,3313 3 434,7896 3 412,3293 10 1 269,9005 1 275,8518 1 275,6713 1 260,6169 1 294,6181 TP (MW) FO /TC($) 2700,0 624,7193 2700,0 624,5178 2700,0 624,5745 2700,0 629,1296 2700,0 625,9223 Notação: *Comb.: tipo de combustível.
#CGA_MU: conventional genetic algorithm with multiplier updating.
