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Sociedade de Engenharia de Áudio Artigo de Convenção Apresentado na XI Convenção Nacional de Maio de 2007, São Paulo, SP

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___________________________________

Sociedade de Engenharia de Áudio

Artigo de Convenção

Apresentado na XI Convenção Nacional

21 - 23 de Maio de 2007, São Paulo, SP

Este artigo foi reproduzido do original entregue pelo autor, sem edições, correções e considerações feitas pelo comitê técnico deste evento. Outros artigos podem ser adquiridos através da Audio Engineering Society, 60 East 42nd Street, New York, New York 10165-2520, USA,

www.aes.org. Informações sobre a seção brasileira podem ser obtidas em www.aesbrasil.org. Todos os direitos reservados. Não é permitida a

reprodução total ou parcial deste artigo sem autorização expressa da AES Brasil.

___________________________________

Caixa Refletora de Graves

Excitada por Fonte de Corrente

Homero Sette Silva REVISÃO Rosalfonso Bortoni

homero@selenium.com.br 25 – 05 – 07 rb@thatcorp.com

Eletrônica Selenium S. A. THAT Corporation www.selenium.com.br www.thatcorp.com

RESUMO

Alto-falantes e caixas acústicas são tradicionalmente alimentados por amplificadores que se aproximam de uma fonte de tensão ideal. A situação dual, ou seja, o uso de amplificadores que simulam uma fonte ideal de corrente traz fatos novos no desempenho das caixas acústicas e no comportamento dos alto-falantes.

Os amplificadores de corrente variam a tensão na saída de modo a manter a corrente inalterada mesmo com diferentes impedâncias de carga. Assim, a corrente circulando na bobina do falante torna-se independente das componentes da bobina, que são não lineares (variam com a freqüência).

Alem da eliminação dessa fonte de distorção (presente mesmo com pequenos sinais) surgem outros benefícios, como uma resposta estendida nas baixas e altas freqüências.

No entanto alguns problemas precisam ser contornados para que a resposta de freqüência resultante seja adequada à maioria das aplicações.

O presente trabalho explica os motivos que determinam as diferenças que ocorrem nas respostas de caixas acústicas alimentadas por fontes de tensão e por fontes de corrente, alem das modificações que podem ser efetuadas nos alto-falantes para que os resultados obtidos sejam adequados.

(2)

Caixa Refletora de Graves

Excitada por Fonte de Corrente

Introdução

Alto-falantes e caixas acústicas são tradicionalmente alimentados por amplificadores que se aproximam de uma fonte de tensão ideal, onde a amplitude na saída é mantida aproximadamente constante, mesmo com a impedância de carga variando dentro de amplos limites.

A situação dual, ou seja, o uso de amplificadores que simulam uma fonte ideal de corrente traz fatos novos no desempenho das caixas acústicas e no comportamento dos alto-falantes.

Os amplificadores de corrente variam a tensão na saída de modo a manter a corrente inalterada mesmo com diferentes impedâncias de carga. Assim, a corrente circulando na bobina do falante torna-se independente das componentes da bobina, que são não lineares (variam com a freqüência).

Alem da eliminação dessa fonte de distorção (presente mesmo com pequenos sinais) surgem outros benefícios, como uma resposta estendida nas baixas e altas freqüências.

No entanto alguns problemas precisam ser contornados para que a resposta de freqüência resultante seja adequada à maioria das aplicações.

O presente trabalho explica os motivos que determinam as diferenças que ocorrem nas respostas de caixas acústicas alimentadas por fontes de tensão e por fontes de corrente, alem das modificações que podem ser efetuadas nos alto-falantes para que os resultados obtidos sejam adequados.

Fundamentos

A Fig. 1a mostra a representação simplificada de um amplificador como fonte de tensão, com força eletro motriz Eg e resistência interna Rg, alimentando uma carga R . L

A tensão de saída é dada por O L

L Eg E R Rg R = ⋅ + (1.1) . .

Fig. 1a – Fonte de Tensão Fig. 1b – Fonte de Corrente Equivalente Fig. 1c – Fonte Ideal de Corrente

No caso de uma fonte ideal de tensão, Rg é nula e a tensão de saída E será sempre igual a Eg, para qualquer O

valor de corrente no circuito, ou seja, independente de R . L

Na prática, os amplificadores de tensão apresentam Rg << RL o que implica em EO  Eg, ou seja, a tensão

na saída será um pouco menor que aquela obtida sem carga, ou seja, Eg.

Se Rg >>RLa corrente Ig será aproximadamente igual a Eg/Rg , ou seja, pouco dependente do valor de R . Nesta situação, a tensão de saída será, aproximadamente, dada por L EO Eg RL

Rg⋅

 .

Em função do que foi acima exposto podemos entender uma fonte de corrente constante como sendo aproximadamente igual a uma fonte de tensão, dotada de resistência interna muito elevada.

(3)

Quando essa resistência interna tender para infinito, o comportamento do circuito será o de uma fonte ideal de corrente.

Devemos ressaltar que corrente constante não é sinônimo de corrente continua, sendo constante no sentido de que o valor médio eficaz (RMS) não varia, pois é independente da carga.

Aplicando o teorema de Norton podemos transformar o circuito fonte de tensão da Fig. 1a no equivalente, usando fonte de corrente, mostrado na Fig. 1b, a partir do qual chegamos facilmente ao circuito da Fig. 1c, que representa uma fonte de corrente ideal Ig, alimentando uma carga R . A passagem de 1b L para 1c implicou em Rg = ∞ , que é a premissa básica para uma fonte ideal de corrente.

Calculando a expressão da tensão de saída, no circuito da Fig. 1b, vemos que os resultados das equações (1.1) e (1.2) são exatamente iguais o que demonstra serem duas formas diferentes, porem equivalentes, de retratar a mesma situação: uma com fonte de tensão e a outra com fonte de corrente.

O L L L L L 1 Eg 1 Eg Eg E Ig R 1 1 Rg 1 1 Rg Rg R 1 Rg R Rg R R = ⋅ = ⋅ = = ⋅ + + + + (1.2)

Implementar uma fonte de corrente associando uma resistência de valor elevado, em série com uma fonte de tensão, embora seja algo simples, tem o grave inconveniente da elevada potência dissipada nesse resistor.

Na prática o que se faz é modificar o elo de realimentação de um amplificador de tensão, de modo que ele mantenha a corrente na saída constante mesmo para diferentes valores de impedância de carga, conforme a Fig. 2.

Se R aumenta, a realimentação eleva a L tensão E de modo que o cociente O E / R fique O L inalterado, acontecendo o inverso caso a carga diminua de valor. A corrente é diretamente proporcional ao sinal de entrada Ein e inversamente proporcional ao valor de Rp, o que torna esse circuito um conversor tensão-corrente onde amplas variações na carga não influenciam o valor da corrente Ig, como mostra a equação (1.3) . Para que este comportamento seja conseguido basta que Rp seja muito menor que R.

Alem disso, tudo se passa como se a resistência interna da fonte fosse igual a R. Escolhendo R =1 MΩ consegue-se uma resistência interna do circuito igual a R, que é muito maior que as impedâncias de carga oferecidas por falantes e caixas acústicas, garantindo, um comportamento quase ideal da fonte de corrente.

(1.3) Ig Ein ; EO Ig RL Ein RL

Rp Rp

= = ⋅ = ⋅

Fonte de Corrente e as Componentes Não Lineares da Bobina

As componentes resistiva e indutiva, da bobina de um alto-falante, variam com a freqüência, conforme as equações (1.4) e (1.5) o que caracteriza uma não linearidade, que acontece mesmo para pequenos sinais aplicados.

(1.4) Le = Kxm⋅ω(Exm−1) ∴ XLe = Kxm⋅ωExm

(1.5) Erm

E

Re = R + Re d onde Re d = Krm⋅ω

Na Fig. 3 temos o análogo elétrico de uma caixa refletora de graves alimentada por um amplificador tipo fonte de tensão e na Fig. 4 o correspondente com fonte de corrente.

(4)

Fig. 3 – Circuito equivalente, simplificado, de uma caixa refletora de graves, alimentada por fonte de tensão.

Fig. 4 – Circuito equivalente, simplificado, de uma caixa refletora de graves, alimentada por fonte de corrente.

(5)

Na Fig. 5 vemos o circuito equivalente da Fig. 3, com o lado elétrico refletido para o mecânico, onde podemos ver que as componentes da bobina foram refletidas como impedâncias e afetaram, também, o gerador de força.

Isso fará com que as não linearidades da bobina influenciem (prejudicialmente) o resultado acústico do sistema.

No caso de um amplificador fonte de corrente (Fig. 4) as componentes da bobina não aparecem refletidas no lado mecânico e o gerador de força só depende de BL e da corrente Ig, fornecida pela fonte de corrente, conforme a Fig. 6.

Esta é uma grande vantagem da excitação com amplificador tipo fonte de corrente: as não linearidades da bobina (componentes resistiva e indutiva) são virtualmente eliminadas da resposta por não serem refletidas para o lado mecânico e daí não influenciarem no acústico.

Qts e Fonte de Tensão

A resposta acústica dos sistemas de radiação direta é função do fator de qualidade total do sistema, Qt, muitas vezes aproximadamente igual ao fator de qualidade total do falante, denominado Qts, que é o inverso do fator de amortecimento do falante, resultado da combinação dos fatores de qualidade elétrico e mecânico, conforme as equações (1.6), (1.7) e (1.8), onde:

(1.6) Qts 1 Qes para Qms Qes

1 1 Qms Qes = >> +  (1.7) Qms 2 Fs Mms Rms π⋅ ⋅ = ;

( )

2 E 2 Fs Mms Qes BL R π⋅ ⋅ = (1.8)

Qts, Qes e Qms são, respectivamente, os fatores de qualidade total, elétrico e mecânico do falante; Fs = freqüência de ressonância mecânica do falante ; Mms = massa móvel do falante ;

L

β = fator de força ; R = Resistência da bobina em corrente continua. E

Para entendermos a reflexão do lado elétrico para o mecânico vamos aplicar o teorema de Thevenin no lado mecânico do falante, conforme vemos nas Figs. 7a e 7b.

Este procedimento permite representar um circuito, entre dois de seus pontos, por um gerador equivalente, em série com uma impedância equivalente denominados, respectivamente, gerador de Thevenin e impedância de Thevenin. O teorema de Norton, por nós já utilizado, é o dual do teorema de Thevenin.

Fig. 6 – Circuito equivalente da Fig. 4, refletido para o lado mecânico (fonte de corrente).

Fig. 7a Fig. 7b

(6)

Fig. 8a Fig. 8b Determinação da velocidade de curto circuito, Vsc, com fonte de tensão.

A força do gerador no lado mecânico, a circuito aberto, Foc, análoga à tensão de Thevenin, será dada pela equação (1.9), onde I é a corrente circulando pela bobina.

No lado elétrico temos a fonte de tensão controlada pela velocidade. Como o lado mecânico está a circuito aberto, a velocidade será nula, o que implica em uma força contra eletro motriz igual a zero, na fonte controlada de tensão, o que é equivalente ao curto circuito, mostrado na Fig. 7b.

Para determinar Vsc, ou seja, a velocidade no lado mecânico, colocamos um curto nos terminais do gerador de força o que leva a Fsc = 0, condição que implica em um circuito aberto na bobina (I = 0) o que faz com que a tensão nos terminais da bobina seja igual a Eg, o que está mostrado nas Figs. 8a e 8b.

(1.9) Foc = β ⋅ ; L VL I β ⋅ = β ⋅L Voc = β ⋅ = (1.10) L 0 0 (1.11) Fsc = β ⋅ =L I 0 ∴ I = 0 ⇒ β ⋅L Vsc = Eg

De acordo com o teorema de Thevenin, a impedância interna do gerador Foc, que denominaremos Zme (impedância mecânica refletida da parte elétrica) será dada pelo cociente entre Foc e Vsc.

(1.12)

( )

2 L Foc L L Zme Eg Vsc Rg Re s Le Eg Rg Re s Le β β β = = ⋅ ⋅ = + + ⋅ + + ⋅

Manipulando algebricamente a expressão de Zme podemos constatar, na equação (1.13) que o circuito elétrico, em série com a bobina, transformou-se em um circuito mecânico paralelo, cuja impedância equivalente é dada pelo inverso da soma dos inversos de cada uma das impedâncias.

Além disso, a indutância elétrica transformou-se em uma compliância mecânica igual a Le /

( )

βL 2. (1.13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 L 1 1 Zme Rg Re Le 1 1 Le Rg Re s Le s s L L L L L L Rg Re β = = = + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ β β β β β β

Outro fato relevante, resultante da análise acima, e que merece ser ressaltado, é o seguinte: um curto circuito, aplicado no lado mecânico, reflete-se como um circuito aberto, no lado elétrico; um circuito aberto, no lado mecânico, é sentido como um curto, no lado elétrico. O recíproco também ocorre do lado elétrico para o mecânico. Esse comportamento é caracterizado pelo girador, componente que pode ser usado no lugar das fontes controladas, para fazer o acoplamento entre os lados elétrico e mecânico do falante.

(7)

Qts e Fonte de Corrente

No caso de um alto-falante, alimentado por amplificador tipo fonte de corrente, os componentes elétricos da bobina não se refletem para o lado mecânico. Assim sendo, a componente

( )

BL 2/ Re é nula, o que implica em um valor infinito para o fator de qualidade elétrico Qes, o que torna Qts = Qms.

Este é um fato de suma importância, responsável por muitas das grandes diferenças que serão encontradas nas respostas dos sistemas alimentados com fontes de corrente.

No caso de amplificadores de tensão, o amortecimento total é quase totalmente dado pela componente resistiva da bobina, sendo a influencia de Qms normalmente desprezível. Os falantes geralmente empregados no uso profissional têm Qts baixo, em torno de 0,4.

Com amplificadores de corrente o amortecimento do sistema é exclusivamente dado pelo lado mecânico, ou seja, por Qms, que normalmente é um valor muito elevado (geralmente maior que 10), se comparado com Qes.

Os baixos valores de amortecimento, provocados por um fator de qualidade do sistema igual a Qms, produzirão elevados picos na resposta que, normalmente, precisarão ser corrigidos.

Adiante mostraremos uma das possibilidades para fazer-se isso.

No entanto, devemos ressaltar que o fator de qualidade Qts, do falante, não foi alterado pela fonte de corrente, tendo esta modificado o fator de qualidade do sistema, que ao invés de aproximadamente igual a Qts, tornou-se igual a Qms, geralmente muito maior que Qts.

Fig. 9a Fig. 9b

Determinação do gerador de força à circuito aberto, Foc, com fonte de corrente.

Fig. 10a Fig. 10b

Determinação do gerador de força à circuito aberto, Foc, com fonte de corrente.

Com fonte de corrente, um circuito aberto no lado mecânico também provocará um curto circuito no lado elétrico, onde a corrente será igual a Ig, o que produzirá um gerador de força, no lado mecânico, dado por (1.15).

Com um curto no lado mecânico a velocidade Vsc tenderá para infinito. O curto circuito no lado mecânico provocará um circuito aberto no lado elétrico, onde a tensão nos terminais da fonte ideal de corrente tenderá para infinito, no sentido de manter a corrente Ig circulando pela resistência infinita do circuito aberto, conforme mostra a equação (1.16), sendo o cociente Foc/Vsc igual a zero, conforme (1.17) . (1.14) L Vβ ⋅ = β ⋅L Voc = β ⋅ = ; FocL 0 0 = β ⋅ (1.15) L Ig

(8)

(1.16) Fsc = β ⋅L Ig = 0 ∴ I → 0 ⇒ β ⋅L Vsc = ∞ ∴ Vsc = ∞ (1.17) Zme Foc L Ig 0 Vsc β ⋅ = = = ∞

Análise do Sistema Refletor de Graves

Segue-se abaixo a análise detalhada da caixa refletora de graves (bass reflex). Alguns conceitos enunciados anteriormente serão utilizados e até mesmo revistos, no sentido de proporcionar um perfeito entendimento do assunto abordado.

O Lado Acústico

Desprezando a impedância de radiação do ar, no lado acústico temos a presença do circuito equivalente da caixa refletora de graves, mostrada na Fig. 11.

(1.18) AL 1 Zab 1 1 s Cab R s Map = + + ⋅ ⋅ (1.19) 2 AL AL AL 1 Zab

s Map R s Map Cab R s Map R = ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1.20) 2 b 1 Map Cab⋅ = ω onde ω = π⋅b 2 Fb (1.21) AL 2 2 AL AL AL s Map R s Map Zab Map

s Map R s Map Cab R s Map Cab s 1

R ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + (1.22) 2 2 b b 2 2 b b AL b b AL s Map s Map Zab Map Map s s s s 1 1 R R ⋅ ⋅ = = ω ⋅ ω ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ω ω ω ω (1.23) b AL L Map 1 R Q ω ⋅ = (1.24) 2 2 b b L s Map Zab s s 1 1 Q ⋅ = + ⋅ + ω ω

Onde QL é o fator de qualidade que representa as perdas por vazamentos.

(1.25) 2 2 b Cas Vas Map onde Sd Cms Cab Vb α = α = = ω ⋅ ⋅ (1.26) b 2 2 2 2 2 b b 2 2 b b L b b L s s Zab s s 1 s s 1 Sd Cms Sd Cms 1 1 Q Q ω α α = ⋅ = ⋅ ω ⋅ ⋅ + + ω ⋅ ⋅ + + ω ω ω ω Fig. 11 – Representação Acústica simplificada da caixa refletora de graves.

(9)

O Lado Mecânico (1.27) 2 1 s Rms Cms s Mms Cms 1 Zms Rms s Mms s Cms s Cms ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + ⋅ + = ⋅ ⋅ (1.28) 2 S 1 Mms Cms⋅ = ω onde ω = π⋅S 2 Fs (1.29) 2 S 2 2 S S s s Rms Cms 1 s Mms Cms s Rms Cms 1 Zms s Cms s Cms + ⋅ω ⋅ ⋅ + ω ω ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = = ⋅ ⋅ (1.30) S Rms Cms 1 Qms ω ⋅ ⋅ = (1.31) 2 2 S S s s 1 1 Qms Zms s Cms + ⋅ + ω ω = ⋅

O Lado Elétrico do Falante

(1.32) Ze = RE + Re d + ⋅s Le

(1.33) Ze = RE + Krm⋅ωErm + ⋅s Kxm⋅ω(Exm 1−)

No Lado Mecânico do Falante

No lado mecânico do falante alem dos componentes mecânicos Rms, Mms e Cms, que ali são nativos, podemos ter os componentes elétricos e acústicos, para ali refletidos.

Refletindo o Lado Acústico para o Mecânico

(1.34) Zmb = Sd2⋅Zab (1.35) b 2 b 2 b b L s Zmb s s 1 Cms 1 Q ω α = ⋅ ω ⋅ + + ω ω

Refletindo o Lado Elétrico para o Mecânico

Impedâncias Mecânicas (1.36) ( ) 2 L Zme Rg Ze β =

+ (Com fonte de tensão) (1.37) Zme = 0 (Com fonte de corrente)

Fig. 12 – O lado mecânico do falante.

Fig. 13 – O lado elétrico do falante.

Fig. 14 – A caixa refletora de graves, no lado mecânico.

Fig. 15 – O lado elétrico refletido para o lado mecânico.

(10)

Gerador de Força

(1.38) Fg Eg L Fge

Rg Ze

β

= ⋅ =

+ (Com fonte de tensão) (1.39) Fg = βLI = Fgi (Com fonte de corrente)

Topologia do Circuito

Conforme o desenvolvimento abaixo, o circuito elétrico série, transforma-se em um circuito paralelo, no lado mecânico. Alem disso, o indutor Le assume a forma da capacitância Le /

( )

βL 2.

(1.40) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 L 1 1 Zme Rg Re Le 1 1 Le Rg Re s Le s s L L L L L L Rg Re β = = = + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ β β β β β β

No Lado Elétrico do Falante

No lado elétrico do falante alem dos componentes elétricos Eg, Rg, RE, Red e Le, que ali são nativos, podemos ter os componentes mecânicos e acústicos, para ali refletidos.

Refletindo o Lado Mecânico para o Elétrico

(1.41)

( )

( )

2 2 E M E M L L Z Z Z Z β β = ⋅ ∴ = (1.42)

( )

2 L Zeb Zmb β = (1.43)

( )

2 2 2 S S s Zes L Cms s s 1 1 Qms = β ⋅ ⋅ + ⋅ + ω ω (1.44)

( )

2 S S 2 2 S S s Zes L Cms s s 1 1 Qms ω = ω ⋅ β ⋅ ⋅ + ⋅ + ω ω Topologia do Circuito

O circuito RLC série, existente no lado mecânico, reflete-se como um circuito RLC paralelo, no lado elétrico. A massa Mms transforma-se na capacitância Cmes e a compliância Cms converte-se na indutância Lces, conforme mostra o desenvolvimento abaixo.

(1.45)

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 L 1 Zes 1 Rms Mms 1 Rms s Mms s s Cms L L s L Cms β = = + ⋅ + + ⋅ + ⋅ β β ⋅ β

Fig. 16 – O lado mecânico refletido para o elétrico.

(11)

(1.46)

( )

2

( )

2

( )

2 1 1 Zes 1 Mms 1 1 1 s s Cmes Re s s Lces L L s L Cms Rms = = + ⋅ + + ⋅ + ⋅ β β ⋅ β ⋅ Onde:

( )

( )

( )

2 2 2 L Mms

Res ; Cmes ; Lces L Cms

Rms L

β

= = = β ⋅

β

Refletindo o Lado Acústico para o Elétrico

(1.47)

( )

2 2 L Zeb Sd Zab β = ⋅ (1.48)

( )

2 b 2 b 2 b b L L Zeb s s s 1 Cms 1 Q β = ω α ω ⋅ + + ω ω (1.49)

( )

2 2 2 b b b L b s s 1 1 L Cms Q Zeb s + ⋅ + β ⋅ω ⋅ ω ω = ⋅ α ω Topologia do circuito

O circuito RLC paralelo, existente no lado acústico, reflete-se como um circuito RLC série, no lado elétrico. A massa Map transforma-se na capacitância Cmep e a compliância Cab converte-se na indutância Lceb, conforme mostra o desenvolvimento abaixo.

(1.50)

( )

2

( )

2

( )

2

( )

2

( )

2

2 2 2 2 2

AL AL

L L 1 1 L L L

Zeb s Cab s Cab

Sd Zab Sd R s Map Sd R s Sd Map Sd

β β ⎛ ⎞ β β β = = ⋅ + + ⋅ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1.51)

( )

( )

( )

2 2 EL 2 2 2 AL 2 L 1 L 1

Zeb s Cab R s Lceb

s Sd Map Sd R Sd s Cmep L β β = + + ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ β Onde:

( )

( )

( )

2 2 2 EL 2 2 2 AL L Sd Map L

R ; Cmep ; Lceb Cab

Sd R L Sd

β ⋅ β

= = = ⋅

β

Impedância Vista Pela Bobina

(1.52) Zvc = Ze + Zes + Zeb

Fig. 17 – O lado acústico, refletido para o elétrico.

(12)

Fig. 18a Fig. 18b

Circuito equivalente simplificado da caixa refletora de graves, visto pelo lado elétrico do falante, com fonte de tensão.

No Lado Acústico do Falante

No lado acústico do falante alem dos seus componentes nativos, como a impedância de radiação do ar (aqui desconsiderada), e a impedância da caixa, temos os componentes elétricos e mecânicos, para ali refletidos.

Refletindo o Lado Elétrico para o Acústico

Impedâncias Acústicas

(1.53) Zae Zme2

Sd

= (Com fonte de tensão) (1.54) Zae = 0 (Com fonte de corrente) Gerador de Pressão (1.55)

(

L

)

Pg Eg Pge Sd Rg Ze β = ⋅ =

⋅ + (Com fonte de tensão)

(1.56) Pg Ig L Pgi

Sd β

= ⋅ = (Com fonte de corrente)

Refletindo o Lado Mecânico para o Acústico

(1.57) Zas Zms2 Sd =

Impedâncias Refletidas para o Lado Acústico

(13)

Fig. 19a – Circuito equivalente acústico, da caixa refletora de graves, excitada por fonte de tensão.

Fig. 19b – Circuito equivalente acústico, da caixa refletora de graves, excitada por fonte de corrente.

Análise do Circuito Equivalente Acústico

FALANTE PÓRTICO PERDAS CAIXA UD UL UP UB

Fig. 20 – Componentes acústicas no interior da caixa

UP UD UL DUTO PERDAS UO FALANTE

Fig. 21 – Componentes acústicas no exterior da caixa

Velocidades Volumétricas

(1.59) D

Pg U

Zae Zas Zab

= + + (1.60) UD = UB + UP + UL (1.61)

(

)

O D P L B P L P L U = −U + U + U = − U + U + U + U + U (1.62) UO = −UB (resultante, na saída)

Onde U , U , U e U são, respectivamente, as velocidades D B P L

Fig. 22 – Circuito da caixa refletora de graves, visto pelo lado acústico, para o cálculo de Ud.

(14)

Fonte de Tensão

Gerador de Tensão Gerador de Força Gerador de Pressão Acústica Eg L Fg Eg Rg Ze β = ⋅ +

(

)

L Pg Eg Sd Rg Ze β = ⋅ ⋅ + Fatores de Qualidade

( )

2 E Mms / Cms Qes R L = ⋅ β Mms / Cms Qms Rms = Qts 1 1 1 Qes Qms = + Impedâncias

Lado Elétrico Do Elétrico para o Mecânico Do Elétrico para o Acústico

E Ze = R + Re d + ⋅s Le Erm E Re d = R + Krm⋅ω (Exm 1) Le = ⋅s Kxm⋅ω −

( )

2 E L Zme R Re d s Le β = + + ⋅

( )

2 2 E L Sd Zae R Re d s Le β = + + ⋅

Lado Mecânico Do Mecânico para o Elétrico Do Mecânico para o Acústico

2 2 S S s s 1 1 Qms Zms s Cms + ⋅ + ω ω = ⋅

( )

2 2 2 S S L Cms s Zes s s 1 1 Qms β ⋅ ⋅ = + ⋅ + ω ω 2 2 S S 2 s s 1 1 Qms Zas s Sd Cms + ⋅ + ω ω = ⋅

Lado Acústico Do Acústico para o Mecânico Do Acústico para o Elétrico

2 b b 2 2 b b L s Sd Cms Zab s s 1 1 Q α ω ⋅ ⋅ ω = + ⋅ + ω ω 2 2 b b 2 2 b b L Sd s Sd Cms Zmb s s 1 1 Q α ⋅ ω ⋅ ⋅ ω = + ⋅ + ω ω

( )

2 2 2 b b L 2 2 b b s s 1 1 Q Zeb L Sd s Sd Cms + ⋅ + ω ω = β ⋅ α ⋅ ω ⋅ ⋅ ω

volumétricas no driver (falante), na caixa (box), no duto (pórtico) e nas perdas por vazamentos (leakage). (1.63) ( ) S D 2 2 S S b 2 2 2 b 2 b b L Pg U s s 1 s 1 Qms Zae s s 1 s Sd Cms Sd Cms 1 Q = + ⋅ + α ω ω ω + + ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ + + ω ω (1.64) ( ) S 2 S 2 S S s s 1 G 1 Qms = + ⋅ + ω ω ; (1.65) ( )S 2 L 2 b b L s s 1 G 1 Q = + ⋅ + ω ω (1.66) ( ) ( ) ( ) S S S 2 D 2 2 b 2 S L Pg s Sd Cms U s / s Sd Cms Zae G G ⋅ ⋅ ⋅ = ω ⋅ ⋅ ⋅ + + α ⋅ (1.67) ( ) S B D U = U ⋅Zab s Cab⋅ ⋅ (1.68) 2 D Cms S Cab = ⋅ α (1.69) B( )S Zab s Cab U Pg

Zae Zas Zab

⋅ ⋅ = ⋅ + + (1.70) ( )S 2 D B Cms S s Zab U Pg

Zae Zas Zab

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

(15)

Fonte de Corrente

Gerador de Corrente Gerador de Força Gerador de Pressão Acústica

Ig Fg = Ig⋅ βL L Pg Ig Sd β = ⋅ Fatores de Qualidade Qes = ∞ Qms Mms / Cms Rms = Qts = Qms Impedâncias

Lado Elétrico Do Elétrico para o Mecânico Do Elétrico para o Acústico

E Ze = R + Re d + ⋅s Le Erm E Re d = R + Krm⋅ω (Exm 1) Le = ⋅s Kxm⋅ω − Zme = 0 Zae = 0

Lado Mecânico Do Mecânico para o Elétrico Do Mecânico para o Acústico

2 2 S S s s 1 1 Qms Zms s Cms + ⋅ + ω ω = ⋅

( )

2 2 2 S S L Cms s Zes s s 1 1 Qms β ⋅ ⋅ = + ⋅ + ω ω 2 2 S S 2 s s 1 1 Qms Zas s Sd Cms + ⋅ + ω ω = ⋅

Lado Acústico Do Acústico para o Mecânico Do Acústico para o Elétrico

2 b b 2 2 b b L s Sd Cms Zab s s 1 1 Q α ω ⋅ ⋅ ω = + ⋅ + ω ω 2 2 b b 2 2 b b L Sd s Sd Cms Zmb s s 1 1 Q α ⋅ ω ⋅ ⋅ ω = + ⋅ + ω ω

( )

2 2 2 b b L 2 2 b b s s 1 1 Q Zeb L Sd s Sd Cms + ⋅ + ω ω = β ⋅ α ⋅ ω ⋅ ⋅ ω (1.71) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S b 2 2 b L B 2 2 b 2 S L s / Pg s Sd Cms s Cab Sd Cms G U s / s Sd Cms Zae G G ω α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ = ω ⋅ ⋅ ⋅ + + α ⋅ (1.72) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S 2 b 2 D 2 b L B 2 2 b S L s / Cms S Pg s Sd Cms s Sd Cms G U s / s Zme Cms G G ω α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ α = ω ⋅ ⋅ + + α ⋅ (1.73) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S 3 3 b 2 b L B 2 2 b S L s / Pg Sd Cms G U s / s Zme Cms G G ω ⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ = ω ⋅ ⋅ + + α ⋅ Como UO = − UB , temos: (1.74) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S 3 3 b 2 b L O 2 2 b S L s / Pg Sd Cms G U s / s Zme Cms G G ω ⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ = − ω ⋅ ⋅ + + α ⋅

(16)

(1.75) ( )S ( )S D D P D L L U U Zab s Map U U s Map s Map G G ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ (1.76) ( )S D L D AL AL L U Zab s Map U U R R G ⋅ = ⋅ = ⋅ Como b AL L Map 1 R Q ω ⋅ = então AL b L Map 1 R = ω ⋅Q (1.77) ( )S ( )S b L D L D D AL b L L L s / Q s U Zab 1 U U U R Q G G ω ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ω ⋅ Pressões Acústicas (1.78) P P Zab P s U Ud 2 2 Map ρ ρ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ π π (1.79) PL s UL 2 ρ = ⋅ ⋅ π (1.80) ( ) ( ) S S O O P s U 2 ρ = ⋅ ⋅ π (1.81) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S 3 3 b 2 b L O 2 2 b S L s / Pg Sd Cms s 2 G P s / s Zme Cms G G ω ρ ⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ π = − ω ⋅ ⋅ + + α ⋅ (1.82) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S 4 4 b 2 2 b L O 2 2 b S L s / Pg Sd Cms 2 G P s / s Zme Cms G G ω ρ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ π = − ω ⋅ ⋅ + + α ⋅ (1.83) ( ) S 4 2 2 b 4 b O 2 2 2 2 2 2 S S b b L b s Pg Sd Cms 2 P s s 1 s s 1 s s Zme Cms 1 1 Qms Q ρ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ π ω = − ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ ⎜ + + + + + + α ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ω ω ⎜ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.84) ( ) ( ) S 4 2 2 b 4 b O 2 2 2 2 2 2 2 2 b b L S S b b L b s Pg Sd Cms 2 P s s 1 s s 1 s s 1 s s Zme Cms 1 1 1 Q Qms Q ρ − ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ π ω = ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⋅ ⋅ ⋅⎜ + ⋅ + + ⎜ + ⋅ + ⎜ + ⋅ + + α ⋅ ω ω ω ω ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.85) ( ) ( ) S 4 4 b 2 2 O b S s / P Pg Sd Cms 2 D ω ρ = − ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ π

(17)

(1.86) ( ) ( ) 2 2 2 2 S 2 2 2 2 b b L S S b b L b s s 1 s s 1 s s 1 s D s Zme Cms 1 1 1 Q Qms Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⎜ + ⋅ + ⎜ + ⋅ + + α ⋅ ω ω ω ω ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.87) ( )

(

)

3 2 2 2 2 b S 3 2 2 2 2 b b L b S S b b L b s s 1 s s s 1 s s 1 s D Zme Cms 1 1 Q Qms Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = ω ⋅ ⋅ ⋅⎜ + ⋅ + +⎜ + ⋅ + ⎜ + ⋅ + + α ⋅ ω ω ω ω ω ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Excitação com Fonte de Tensão

(1.88)

( )

( )

2 2 E E S L L 1 Zme R Re d s Le R Cms Qes β β = = + + ⋅  ω ⋅ ⋅ (1.89) b b b S S Cms Zme Cms Cms Qes Qes ω ⋅ ω ⋅ω ⋅ = = ω ⋅ ⋅ ω ⋅ (1.90) ( ) 3 2 2 2 2 b S 3 2 2 2 2 S b b L b S S b b L b s s 1 s s s 1 s s 1 s De 1 1 Qes Q Qms Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω = ⋅⎜ + ⋅ + +⎜ + ⋅ + ⎜ + ⋅ + + α ⋅ ω ⋅ ⎝ω ω ω ⎠ ⎝ω ω ⎠ ⎝ω ω ⎠ ω (1.91) ( ) 3 2 2 4 3 2 S 2 2 2 2 2 2 b S b S L S b b S b S L S 3 2 2 2 2 b S b S L S b b L s 1 s 1 s 1 s s s 1 s De ...

Qes Qes Q Qes Q

s 1 s 1 s 1 s s 1 ... 1 Qms Q Qms Qms Q = ⋅ + ⋅ + ⋅ + α ⋅ + + ⋅ + + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⋅ ω ω ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⋅ ω ω ω (1.92) ( ) 4 3 S 2 2 2 2 2 b S b S b S L b S 2 2 2 2 b S L b S b b S L S S b L s 1 1 1 1 1 1 De s ... Qes Q Qms 1 1 1 1 1 1 1 ... s ... Qes Q Q Qms 1 1 1 1 1 1 ... s 1 Qes Qms Q ⎛ ⎞⎟ = + ⋅⎜ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ω ⋅ ω ⎝ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⎠ ⎛ ⎞⎟ + ⋅⎜ ⋅ + α ⋅ + + + ⋅ + ⎜ω ⋅ ω ⋅ ω ω ω ω ⋅ ω ⋅ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟ + ⋅⎜ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⎜ω ω ω ⎝ ⎠ Como 1 1 1 Qts = Qes + Qms, vem: (1.93) ( ) 4 3 S 2 2 2 2 b S b S b S L 2 2 2 b S L b S S b L s 1 1 1 1 De s ... Qts Q 1 1 1 1 ... s ... Qts Q 1 1 1 1 ... s 1 Qts Q ⎛ ⎞⎟ = + ⋅⎜ ⋅ + ⋅ + ω ⋅ ω ⎝ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⎠ ⎛ + α ⎞⎟ + ⋅⎜ ⋅ + + + ⎜ω ⋅ ω ⋅ ω ω ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟ + ⋅⎜ ⋅ + ⋅ + ⎜ω ω ⎝ ⎠

(18)

Como, no caso de excitação por fonte de tensão,

(

L

)

Pge Eg Sd Rg Ze β = ⋅ ⋅ + , vem: (1.94) ( )

(

)

( ) S 4 4 b 2 2 Oe b S s / L P Eg Sd Cms 2 De Sd Rg Ze ω β ρ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ π ⋅ + (1.95) ( ) ( ) S 4 4 b 2 Oe b S s / L P Eg Sd Cms 2 Rg Ze De ω ρ β = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ π + (1.96) (dB SPL) Oe Oe 6 P P 20 Log 20 10− ⎛ ⎞⎟ = ⋅ ⎜ ⋅ ⎝ ⎠

Excitação com Fonte de Corrente

(1.97) ( )

(

)

3 2 2 2 2 b S 3 2 2 2 2 b b L b S S b b L b s s 1 s s s 1 s s 1 s D Zme Cms 1 1 Q Qms Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = ω ⋅ ⋅ ⋅⎜ + ⋅ + +⎜ + ⋅ + ⎜ + ⋅ + + α ⋅ ω ω ω ω ω ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.98) Zme = ; (1.99) 0 Pgi Ig L Sd β = ⋅ (1.100) ( ) 2 2 2 S 2 2 2 S S b b L b s s 1 s s 1 s Di 1 1 Qms Q ⎛ ⎞ ⎛ = ⎜ + ⋅ + ⋅⎜ + ⋅ + + α ⋅ ω ω ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.101) ( ) 2 4 3 2 S 2 2 2 2 2 b b S b S L S 3 2 2 2 2 b S b S L S b b L s s s 1 s Di ... Q s 1 s 1 s 1 s s 1 ... 1 Qms Q Qms Qms Q = α ⋅ + + ⋅ + + ω ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⋅ ω ω ω (1.102) ( ) 4 3 3 2 2 S 2 2 2 2 2 2 b S b S L b S b S 2 2 2 b S L b S b L s s 1 s 1 s s Di ... Q Qms s 1 s s 1 s 1 ... 1 Q Qms Qms Q = + ⋅ + ⋅ + α ⋅ + + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ω ⋅ ω ⋅ ω ω ω (1.103) ( ) 4 3 S 2 2 2 2 b S b S L b S 2 2 2 b S b S L S b L s 1 1 1 1 Di s ... Q Qms 1 1 1 1 s 1 s 1 ... s 1 Q Qms Qms Q ⎛ ⎞⎟ = + ⋅⎜ ⋅ + ⋅ + ω ⋅ ω ⎝ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⎠ ⎛ + α ⎞⎟ + ⎜ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⎜ ω ω ω ⋅ ω ⋅ ω ω ⎝ ⎠ (1.104) ( ) ( ) S 4 4 b 2 2 Oi b S s / P Pgi Sd Cms 2 Di ω ρ = − ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ π

(19)

(1.105) ( ) ( ) S 4 4 b 2 2 Oi b S s / L P Ig Sd Cms Sd 2 Di ω β ρ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ π (1.106) ( ) ( ) S 4 4 b 2 Oi b S s / P Ig L Sd Cms 2 Di ω ρ = − ⋅ ⋅ β ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ π (1.107) (dB SPL) Oi Oi 6 P P 20 Log 20 10− ⎛ ⎞⎟ = ⋅ ⎜ ⋅ ⎝ ⎠

Respostas Simuladas com Fontes de Tensão e de Corrente

O comportamento de uma caixa refletora de graves, com 50 litros de volume, sintonizada em 40 Hz, foi simulado com excitações por tensão e por corrente. Nos dois casos os sinais de entrada produziam 0,5 Watt em 8 Ohms, ou seja, aplicavam uma tensão de 2 Volts ou uma corrente igual a 0,25 Amperes.

Na Fig. 24 vemos um comparativo entre as velocidades volumétricas, UOe e U , respectivamente Oi nas saídas de um sistema refletor de graves, alimentado com fonte de tensão e com fonte de corrente onde podemos verificar que U foi muito maior que Oi U , tendo sido necessário dividir Oe U por 10, de modo a Oi poder ser representada adequadamente no mesmo gráfico. Alem disso, U apresentou picos acentuados em Oi duas diferentes freqüências. A causa desses fatos deve-se à reflexão dos componentes da bobina para os lados elétricos e mecânicos, ou seja, Zme = Zae = 0.

O deslocamento do cone, com excitação por corrente, foi maior que aquele com fonte de tensão, apresentando picos acentuados nas mesmas freqüências em que isso ocorreu com a velocidade volumétrica, conforme mostra a Fig. 25.

Fato semelhante aconteceu com a pressão acústica, na saída do sistema, alimentado por fonte de corrente, como vemos na Fig. 26.

Para contornar o problema dos picos na resposta inicialmente tentou-se o uso de material absorvente, colocado de forma convencional no interior da caixa, o que não deu o resultado desejado, pois houve uma atenuação quase uniforme do sinal de saída, permanecendo os picos bastante proeminentes.

Quando apenas a parte traseira do falante foi envolvida com material absorvente, conforme a Fig. 23, resultados muito superiores foram encontrados e podem ser vistos nas Figs 27 a 29 . Os picos, embora ainda presentes, foram significativamente reduzidos.

(20)

101 102 103 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 | UO | Freqüência em Hz | UOe | | UOi /10 |

Fig. 24 – Velocidades volumétricas, com excitação por tensão e por corrente, esta ultima dividida por 10.

101 102 103 0 2 4 6 8 10 12 XBR4 em mm Freqüência em Hz Xe Xi

Fig. 25 – Deslocamento do cone, com excitação por tensão e por corrente.

101 102 103 40 50 60 70 80 90 100 110 120 POe e POi em dB Freqüência em Hz | POe | | POi |

(21)

101 102 103 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 | UO | Freqüência em Hz | UOe | | UOi /10 |

Fig. 27 – O mesmo que na Fig. 24, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente.

101 102 103 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 XBR4 em mm Freqüência em Hz Xe Xi

Fig. 28 – O mesmo que na Fig. 25, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente.

101 102 103 40 50 60 70 80 90 100 110 POe e POi em dB Freqüência em Hz | POe | | POi |

(22)

20 40 60 80 100 120 140 −100 −50 0 50 100 150 Modulo e Fase de Zvc BR4 Freqüência em Hz Módulo Fase

Fig. 30 – Impedância e fase na bobina do falante, instalado em uma caixa refletora de graves com Vb = 50 L e Fb = 40 Hz.

20 40 60 80 100 120 140 −40 −20 0 20 40 60 Modulo e Fase de Zvc BR4 Freqüência em Hz Módulo Fase

Fig. 31 – O mesmo que na Fig. 30, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente.

O reforço nas respostas de baixas e altas freqüências foi muito significativo, conforme podemos ver nas Figs. 26 e 29, sendo que nesta ultima os picos apresentaram-se de forma menos pronunciada.

Nas Figs. 30 e 31 vemos que as freqüências onde ocorreram os picos na velocidade volumétrica, no deslocamento do cone e na pressão acústica na saída da caixa refletora de graves, excitada por fonte de corrente, são as mesmas dos picos que normalmente existem na curva de impedância, desse tipo de sistema, respectivamente denominados FL e FH.

O envolvimento do falante em material absorvente diminui a amplitude dos picos da impedância vista pela bobina.

Na freqüência de sintonia do sistema, Fb, a impedância é mínima e nas três freqüências citadas a fase é nula. Este mínimo é dado pelo circuito equivalente da caixa refletora de graves que, no lado elétrico, corresponde a um circuito ressonante série, na freqüência Fb, como mostra a Fig. 18a .

A freqüência FL é o resultado de uma ressonância decorrente das componentes Mms e Cms, refletidas do lado mecânico para o elétrico. A influência dos demais componentes, refletidos para o lado elétrico, é que a torna diferente de Fs.

Já a ressonância em FH deve-se, principalmente, a Cmes e Lceb, respectivamente a massa Mms, refletida para o lado elétrico, e à compliância da caixa, refletida para o lado elétrico. Os demais componentes do circuito também dão a sua parcela de contribuição.

As Figs. 32 a 41 mostram outras componentes acústicas, simuladas na caixa de 50 litros, sintonizada em 40 Hz, excitada com fontes de tensão e de corrente.

(23)

101 102 103 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 | UD | Freqüência em Hz | UDe | | UDi /10 |

Fig. 32 – Velocidades volumétricas do falante, na caixa refletora de graves, excitada por tensão e corrente.

101 102 103 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 −3 | UD | Freqüência em Hz | UDe | | UDi /10 |

Fig. 33 – O mesmo que na Fig. 32, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente.

101 102 103 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 | UO | e suas Componentes Freqüência em Hz | UDe | | UPe | | ULe | | UOe |

(24)

101 102 103 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 | UO | e suas Componentes Freqüência em Hz | UDe | | UPe | | ULe | | UOe |

Fig. 35 – Componentes da velocidade volumétrica UO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido.

101 102 103 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 | UO | e suas Componentes Freqüência em Hz | UDi | | UPi | | ULi | | UOi |

Fig. 36 – Componentes de UO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante não amortecido.

101 102 103 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 | UO | e suas Componentes Freqüência em Hz | UDi | | UPi | | ULi | | UOi |

(25)

101 102 103 20 30 40 50 60 70 80 90 100

POe em dB e suas Componentes

Freqüência em Hz

| PDe | | PPe | | PLe | | POe |

Fig. 38 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido.

101 102 103 20 30 40 50 60 70 80 90 100

POe em dB e suas Componentes

Freqüência em Hz

| PDe | | PPe | | PLe | | POe |

Fig. 39 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido.

101 102 103 20 40 60 80 100 120

POi em dB e suas Componentes

Freqüência em Hz

| PDi | | PPi | | PLi | | POi |

(26)

101 102 103 30 40 50 60 70 80 90 100 110

POi em dB e suas Componentes

Freqüência em Hz

| PDi | | PPi | | PLi | | POi |

Fig. 41 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante amortecido.

101 102 103 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 Velocidades Volumetricas em m 3 / s Freqüência em Hz UPe UDe UPe − UDe

Fig. 42 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido.

101 102 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 Velocidades Volumetricas em m 3 / s Freqüência em Hz UPi UDi UPi − UDi

(27)

101 102 103 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Velocidades Volumetricas em m 3 / s Freqüência em Hz UPe UDe UPe − UDe

Fig. 44 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido.

101 102 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 Velocidades Volumetricas em m 3 / s Freqüência em Hz UPi UDi UPi − UDi

Fig. 45 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por corrente, falante amortecido.

101 102 103 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Velocidades Volumetricas em m 3 / s Freqüência em Hz UPe UDe UPe − UDe

Fig. 46 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido,

(28)

101 102 103 20 40 60 80 100 120

POe em dB e suas Componentes

Freqüência em Hz

| PDe | | PPe | | PLe | | POe |

Fig. 47– Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido,

sem a reflexão das componentes elétricas para os lados mecânicos e acústicos.

Fig. 48 – SPL na caixa protótipo, com o duto tampado, sem amortecimento no falante e com e sem absorvente na caixa.

Fig. 49 – Como na Fig. 48, mas com o interior da caixa totalmente preenchido com material absorvente.

Analisando as Figs. 42 a 45, que mostram as componentes UP− UD, que representam a componente U , na ausência de perdas por O vazamento, vemos que, no caso de fonte de corrente, essas componentes apresentam picos acentuados, que se repetem na pressão acústica de saída, P , e O diminuem de amplitude quando o falante é revestido com material absorvente.

As Figs. 46 e 47 comprovam que os picos encontrados na excitação por corrente são provocados pela não reflexão das componentes elétricas para os lados mecânico e acústico.

Na Fig. 48 vemos o nível de pressão acústica, medido na caixa protótipo, com o duto fechado, ou seja, funcionando como caixa selada (closed box), excitada por fonte de corrente, com as paredes internas revestidas de lã de rocha.

Fig. 50 – SPL na caixa protótipo, com o duto tampado, sem material absorv. na caixa e com e sem amort. no falante.

(29)

Fig. 51 – Impedância na caixa protótipo, com o duto tampado, com e sem material absorvente na caixa.

Fig. 52 – Impedância na caixa protótipo, com o duto livre,

com e sem material absorvente no falante.

Fig. 53 – SPL na caixa protótipo, com o duto aberto, sem amortecimento no falante e com e sem absorvente na caixa.

Fig. 54 – SPL na caixa protótipo, com o duto aberto, sem material absorvente na caixa e com e sem amort. no falante.

Fig. 55 – SPL na caixa protótipo, com o duto destampado, sem material absorvente na caixa, e sem e com amort. no

falante e com amortecimento no falante e no duto.

Fig. 56 – SPL e IMP na caixa protótipo, sem absorvente na caixa e com amortecimento no falante, com e sem

(30)

A atenuação na resposta foi insignificante, sem eliminar o pico existente no extremo inferior da faixa, que sofreu uma ligeira redução em sua freqüência, talvez devida ao pequeno aumento virtual no volume, produzido pelo material absorvente (no qual o som propaga-se com menor velocidade e a caixa parece ser maior do que realmente é). A resposta com excitação por tensão, obtida sem material absorvente na caixa, foi usada como referência.

Aumentando a quantidade de material absorvente no interior da caixa selada, de modo que ela fique quase totalmente preenchida com lã de rocha, podemos ver, na Fig. 49, que o pico indesejável da resposta, ali presente, sem material absorvente, em torno de 60 Hz, foi significativamente atenuado. Alem disso o referido pico passou a ocorrer em 50 Hz, com a atenuação, provavelmente devido ao aumento virtual do volume da caixa, devido ao preenchimento, conforme dito anteriormente.

Este tipo de preenchimento, quase total, não foi usado na caixa refletora de graves devido a possíveis problemas de interação com o duto.

Amortecendo o Falante

Outra solução encontrada consistiu no envolvimento da parte traseira do falante com material absorvente, o que provocou uma acentuada elevação em Rms, ou seja, na resistência mecânica da suspensão, sem que os demais parâmetros (exceto Qms) sofressem alteração significativa, conforme podemos comprovar na Tabela 1. Ali temos os parâmetros do alto-falante SELENIUM, modelo 15SW2P, usado nas experiências, em seu estado normal e com o amortecimento causado pelo envolvimento de toda a parte traseira, por 12 voltas de tecido não impregnado, usado na confecção de aranhas.

Assim, com o aumento da resistência Rms, devido às perdas introduzidas pelo amortecimento, o valor de Qms caiu de 17,15 para 1,75.

Como o fator de qualidade do sistema, com fonte de corrente, é dado por Qms, o abaixamento do valor do mesmo, provoca a redução dos picos de baixas freqüências na resposta do sistema.

De fato, removendo o material absorvente, colocado no interior da caixa, e envolvendo a parte traseira do falante em tecido, o pico nas baixas freqüências foi grandemente atenuado, sem que o nível nas demais freqüências sofresse qualquer alteração perceptível, como vemos na Fig. 50, onde a resposta com excitação por tensão foi obtida com o falante normal, sem amortecimento.

As Figs. 51 e 52 mostram a influência do material absorvente, aplicado no falante, nas curvas de impedância, respectivamente para as condições caixa selada e refletora de graves (bass reflex).

Repetindo o procedimento anterior, com o duto aberto, ou seja, na situação de caixa bass reflex, vemos na Fig. 53 que o resultado da aplicação de material absorvente, revestindo as paredes da caixa, provocou um resultado pouco pronunciado, tal como no caso da caixa selada (Fig. 48).

Já a aplicação de amortecimento ao redor do falante,

Fig. 54, contrariamente ao que ocorreu na caixa selada, não solucionou o problema da redução do pico na resposta em torno dos 70 Hz. Este fato obrigou que se pesquisasse outra solução, que veio na colocação de material absorvente no duto, através da aplicação de algumas camadas, do mesmo tecido usado no revestimento do falante, só que na frente do duto. A eficácia desse procedimento pode ser constatada na Fig. 55 onde se conseguiu uma atenuação no pico da região de graves semelhante à obtida na caixa fechada. Para isso, alem do tecido usado no revestimento no falante, este mesmo tecido foi aplicado na frente do duto.

A Fig. 56 mostra a correspondência entre os picos nas curvas de impedância e de resposta.

Tabela 1 - Falante Usado nos Testes 15SW2P

Parâmetros Normal Amortecido Unidade RE 5,72 5,66 Ohm Krm 0,0065 0,0069 Erm 0,83 0,83 Kxm 0,0305 0,0294 - Exm 0,77 0,78 - Fs 34,4 34,9 Hz Qms 17,15 1,75 - Qes 0,33 0,33 - Qts 0,33 0,28 - Mms 174,925 181,563 g Mmd 161,78 168,42 g Rms 2,204 22,714 Kg/s Cms 0,12 0,11 mm/N Vas 114,863 107,268 L BL 25,48 26,00 Tm O η 1,349 1,318 %

(31)

Para entender o resultado acima foram combinadas as equações (1.61), (1.75) e (1.77) que levaram a (1.108), que se transforma em (1.109), quando as perdas por vazamentos forem desprezadas

(

QL= ∞

)

, indicando que as velocidades volumétricas na saída e no driver são diretamente proporcionais entre si.

Como ( )S D P L U U G = e ( )S b L L D L s / Q U U G ω ⋅ = ⋅ , vem: (1.108) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S L b L b L D O P D L D D D L L L s 1 G s / Q Q U U U U U U U U G G G − + ω ⋅ ω ⋅ = − + = − + ⋅ = ⋅ (1.109) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S S S L L O D P L P L L L 1 G 1 G U U U G U 1 G G G − − ⎡ ⎤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    para QL= ∞ ( )S ( )S 2 2 L 2 L L 2 b b L b s s 1 s G 1 ; para Q G 1 Q = + ⋅ + = ∞ ⇒ = + ω ω ω (1.110) ( )S 2 2 2 O P L P 2 P 2 P 2 b b b s s U U ⋅⎡1 − G ⎤ U ⋅⎛1 − − 1⎞ − U ⋅ U ⋅ω ω ω ω ⎝ ⎠    

Então, a equação (1.109) transforma-se em (1.110), onde podemos verificar que, para QL= ∞ , ou seja, com baixas perdas por vazamento, a velocidade volumétrica total, U , que irá determinar a pressão O acústica fornecida pela caixa, é diretamente proporcional à velocidade volumétrica no duto, U . P (Poderíamos, também, afirmar que nas condições acima especificadas, a velocidade volumétrica total é proporcional à derivada segunda da velocidade volumétrica no duto).

Assim, a aplicação de qualquer dispositivo que altere a vazão no duto interferirá diretamente na resposta da caixa. Isto pode explicar os resultados obtidos nas Figs. 55 e 56.

Na caixa selada, UO = UD, de modo que a velocidade volumétrica na saída atravessa o material absorvente, que envolve a parte traseira do falante, atenuando o pico na resposta.

Acreditamos ter explicado a razão do amortecimento do falante ter sido eficaz na caixa selada e inócuo na refletora de graves onde foi necessária a aplicação de amortecimento no duto.

Conclusão:

A utilização de amplificadores fonte de corrente traz os benefícios de reforçar a resposta de freqüência nos dois extremos do espectro e de eliminar a distorção produzida pelas componentes não lineares da bobina.

No entanto, a presença de picos elevados na resposta, e no deslocamento do cone, situados nas freqüências em que a impedância da bobina passa por valores máximos, exige que providências sejam tomadas no sentido de reduzi-los. Foram demonstradas técnicas baseadas no amortecimento do falante e do duto, que se mostraram eficientes.

Isso não descarta a utilização, isolada ou combinada, de processamento eletrônico, o que poderá ser assunto de futura investigação.

A alteração na freqüência de sintonia original do gabinete, no sentido de tentar obter alguma melhora na resposta de freqüência, é algo que também deve ser feito.

(32)

Agradecimentos:

Os Autores agradecem :

À Eletrônica Selenium S. A. pelos recursos colocados à disposição dos Autores, que a eximem de quaisquer responsabilidades quanto às informações aqui veiculadas, de inteira responsabilidade dos Autores.

Aos jovens estagiários de engenharia, da Eletrônica Selenium S.A., Marcio Lumertz Rocha, Guilherme

Campos Neukamp, Renan Arthur de Carvalho Lopes e Rodrigo Bello Righi que montaram e desmontaram o

sistema diversas vezes, respirando alguma lã de rocha (não será descontada do salário) e obtiveram inúmeras curvas utilizando o equipamento Klippel Distortion Analyzer 2 e pensaram (tanto quanto possível a um estagiário) e discutiram a respeito do sistema, até surpreendendo positivamente os Autores (não muitas vezes, é claro).

Bibliografia

1 - An Empirical Model for Loudspeaker Motor Impedance J. R. Wright

Journal of the Audio Engineering Society Vol. 38 N° 10, Outubro de 1990 2 - Loudspeakers in Vented Boxes, Partes I e II

Neville Thiele

Journal of the Audio Engineering Society Vol. 19 N° 5 e 6, de Jun/Jul 1971 3 - Direct Radiator Electrodynamic Loudspeaker Systems

Richard H. Small

Tese para o grau de Doutor em Filosofia, apresentada na Universidade de Sidney, Austrália, em maio de 1972 4 - Direct Radiator Loudspeaker System Analysis Richard H. Small

Journal of the Audio Engineering Society Vol. 20 N° 5, Junho de 1972 5 - Vented-Boxes Loudspeaker System Partes I, II, III e IV

Richard H. Small

Journal of the Audio Engineering Society Vol. 21 N° 5, 6, 7 e 8, de Jun, Jul/Ago, Set e Out 1973 6 - Loudspeakers’ Electric Models for Study of the Efforts in Audio Power Amplifiers

Rosalfonso Bortoni e Homero Sette Silva

(33)

Apêndice 1 – Análise do Circuito Equivalente Acústico da Caixa, Com e Sem Perdas Sem Perdas : (1.111) Zab 1 s Map2 1 1 s Map Cab s Cab s Map ⋅ = = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ Como 2 b 1 Map Cab⋅ = ω , vem: (1.112) b b 2 2 2 2 b b s s Map Zab Map s s 1 1 ω ⋅ = = ω ⋅ ⋅ + + ω ω Como b 2 b d Map S Cms α ω ⋅ = ω ⋅ ⋅ , temos: (1.113) b 2 2 b d 2 b s Zab s S Cms 1 ω α = ⋅ ω ⋅ ⋅ + ω ; (1.114) ( ) b j 2 2 b d 2 b j Zab S Cms 1 ω ω ⋅ ω α = ⋅ ω ω ⋅ ⋅ ω Como Zab tende para infinito quando ω = ω , vemos que esta é a freqüência de ressonância da caixa, Fb, b que torna infinita a impedância do circuito ressonante acústico, paralelo e sem perdas.

Perdas no Duto

(1.115)

(

)

1 Rap s Map

Zab

1 s Cab Rap s Map 1

s Cab Rap s Map + ⋅ = = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ (1.116) b b 2 2 b 2 b b s Rap Map Rap s Map Zab s s

s Rap Cab s Map Cab 1

Rap Cab 1 + ⋅ω ⋅ ω + ⋅ = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ω ⋅ + + ω ω (1.117) b b 2 b 2 b b Map s 1 Rap Zab Rap s s Rap Cab 1 ω ⋅ + ⋅ ω = ⋅ + ⋅ω ⋅ ⋅ + ω ω Como b b p p Map Map Q Rap Rap Q ω ⋅ ω ⋅ = ∴ = e (1.118) b p b b p Map Cab 1 1 Q Rap Cab

Rap Cab Rap Cab Q

ω ⋅ ⋅

= = ∴ ⋅ =

⋅ ω ⋅ ⋅ ω ⋅ , vem:

Sem perdas.

(34)

(1.119) p p b b b 2 2 p 2 2 b b p b b p s s 1 Q 1 Q Map Zab Rap s s 1 Q s s 1 1 1 Q Q + ⋅ + ⋅ ω ω ⋅ ω = ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ω ω ω ω (1.120) b 2 p b 2 b b p 1 s Q Zab Map s s 1 1 Q + ω = ω ⋅ ⋅ + ⋅ + ω ω (1.121) ( )j b p2 b 2 b b p 1 j Q Zab Map 1 1 j Q ω ω + ω = ω ⋅ ⋅ ω ω − + ⋅ ω ω

Para determinar a freqüência em que Zab entra em ressonância, basta verificar a condição em que as fases do numerador e do denominador, de seu polinômio, são iguais o que é dado pela igualdade dos respectivos cocientes entre as partes imaginária e real, conforme abaixo:

(1.122) O O 2 b p b p O O b p 2 2 2 2 2 O b O b b p b O 2 2 b b 1 1 Q Q 1 Q Q 1 ω ω ⋅ ⋅ ω ω ω = = = ω ω ω ω − ω ω ω ω − ω ω ω (1.123) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b p 2 2 p 2 2 p b p O b p b b p O p b O b O 1 Q Q Q Q Q Q Q ω ω = ⋅ ∴ = ∴ ⋅ω − ⋅ω = ω ∴ ⋅ω − ω = ⋅ω ω − ω ω − ω (1.124) 2 2 2 2 p b b p 2 2 2 O 2 b 2 b 2 p p p Q Q 1 1 1 Q Q Q ⎛ ⎞ ⋅ω − ω − ω = = ω ⋅ = ω ⋅⎜ − ⎟ ⎝ ⎠

A equação acima indica que, com perdas no duto, a freqüência de ressonância da caixa não será exatamente igual a Fb. Além disso, para que exista uma freqüência de fase nula (ressonância), é necessário Q > 1. p Podemos também constatar que as perdas no duto produzem uma freqüência de ressonância menor que Fb.

Perdas no Duto e na Caixa :

(1.125) Z1 = Rap + ⋅s Map

(1.126) Z2 Rab 1 s Rab Cab 1

s Cab s Cab ⋅ ⋅ + = + = ⋅ ⋅ (1.127) 1 2 1 1 Zab 1 1 1 s Cab

Z Z Rap s Map s Rab Cab 1

= =

+ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ +

(35)

(1.128)

(

)

(

) (

)

(

)

Rap s Map s Rab Cab 1 Rap s Map

Zab

s Cab Rap s Map s Rab Cab 1 s Cab Rap s Map 1 s Rab Cab 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + (1.129) 2 2

s Rab Rap Cab Rap s Rab Map Cab s Map Zab

s Rab Cab 1 s Cab Rap s Map Cab

⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (1.130)

(

)

(

)

2 2

s Rab Map Cab s Rab Rap Cab Map Rap Zab

s Map Cab s Rab Cab Rap Cab 1

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + (1.131)

(

)

(

)

2 b b 2 b b 2 b b 2 b b s s

Rab Rab Rap Cab Map Rap Zab

s s

Rab Cab Rap Cab 1 ⋅ + ⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ + ω ⋅ + ω ω = + ⋅ ω ⋅ ⋅ + ω ⋅ ⋅ + ω ω (1.132)

(

)

2 b b 2 b b 2 b b 2 b b s Rab s Map Rab Cab 1 Rap Rap Zab Rap s s

Rab Cab Rap Cab 1

⎛ ⎞ ⋅ + ⋅ ω ⋅ ⋅ + ω ⋅ + ω ω ⎝ = ⋅ + ⋅ ω ⋅ ⋅ + ω ⋅ ⋅ + ω ω Como b p Map Q Rap ω ⋅ = , b b 1 Q Rab Cab = ω ⋅ ⋅ o que leva a p b Q Rab Rap = Q , vem: (1.133) 2 p p 2 b b b b 2 b 2 b b b Q s s 1 Q 1 Q Q Zab Rap s s 1 Rap Cab 1 Q ⎛ ⎞ ⋅ + ⋅ + + ω ω ⎝ = ⋅ ⎛ ⎞ + ⋅ + ω ⋅ ⋅ + ω ω ⎝ Como b b p b

Map Map Cab 1

Q

Rap Rap Cab Rap Cab

ω ⋅ ω ⋅ ⋅ = = = ⋅ ω ⋅ ⋅ então b p 1 Rap Cab Q ω ⋅ ⋅ = . Logo, (1.134) 2 p p 2 b b b b 2 2 b b b p Q s s 1 Q 1 Q Q Zab Rap s s 1 1 1 Q Q ⎛ ⎞ ⋅ + ⋅ + + ω ω ⎝ = ⋅ ⎛ ⎞ + ⋅⎜ + ⎟ + ω ω ⎝ Como b p Map Q Rap ω ⋅ = , então, b p Map Rap Q ω ⋅ = o que leva a: (1.135) 2 2 b b b b p p b 2 2 b b b p s 1 s 1 1 1 1 Q Q Q Q Zab Map s s 1 1 1 Q Q ⎛ ⎞ ⋅ + ⋅⎜ + ⋅ ⎟ + ω ω ⎝ = ω ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ + ⋅⎜ + ⎟+ ω ω ⎝

(36)

(1.136) ( ) 2 2 b b b b p p b j 2 2 b b b p 1 1 1 1 j 1 Q Q Q Q Zab Map 1 1 j 1 Q Q ω ⎛ ⎞ ω ω −ω ⋅ + ⋅ ⋅⎜ + ⋅ ⎟+ ω ⎝ ⎠ = ω ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ω ω − + ⋅ ⋅⎜ + ⎟ + ω ω ⎝ (1.137) ( ) 2 2 p b b b b p b j 2 2 b b b p 1 1 1 1 j 1 Q Q Q Q Zab Map 1 1 1 j Q Q ω ⎛ ⎞ ω ω − ⋅ + ⋅ ⋅⎜ + ⋅ ⎟ ω ω ⎝ = ω ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ω ω − + ⋅ ⋅⎜ + ⎟ ω ω ⎝

Verificando a condição em que as fases do numerador e do denominador, do polinômio da impedância são iguais, para determinar a freqüência em que Zab entra em ressonância, temos:

(1.138) O O b b p b b p b p b p 2 2 2 2 O O O O 2 2 2 2 p b b b p b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q Q Q Q Q Q Q Q 1 1 1 1 1 1 Q Q Q Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω + ω + + ⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω ω = ∴ = ω ω ω ω − ⋅ − − ⋅ − ω ω ω ω (1.139) 2 2 O O 2 2 b p b p b b b p 1 1 1 1 1 1 1 1 Q Q Q Q Q Q ⎛ ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎛ ⎞ + ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.140) 2 2 2 O O O 2 2 2 b b p b b p p b p b b b p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω ω ω − + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅⎜ + ⎟ − ⋅ ⎜ + ⎟ ω ω ω (1.141) 2 2 O O 2 2 b b p b p p b p b b b p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω ω − ⋅⎜ + ⋅ ⎟ + ⋅ = ⋅⎜ + ⎟ − ⋅ ⎜ + ⎟ ω ω (1.142) 2 2 O O 2 2 b b b p b b p p b p b p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω ω ⋅ ⎜ + ⎟ − ⋅⎜ + ⋅ ⎟ = ⋅⎜ + ⎟ − − ⋅ ω ω (1.143) 2 O 2 2 b b b p b p b p p b p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ω ⋅⎢ ⎜ + ⎟ ⎜⎟ ⎜− + ⋅ ⎟⎥ = ⋅ + − − ⋅ ω ⎢ ⎠ ⎝ (1.144) 2 O 2 2 2 b b b p b p p 1 1 1 1 1 1 1 1 Q Q Q Q Q Q ⎛ ⎞ ω + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω ⎝ ⎠ (1.145) 2 2 2 2 2 2 p 2 2 p O O b b O b 2 2 2 2 2 2 2 2 b b p b b p p b 1 Q 1 Q 1 Q Q 1 1 1 1 Q Q Q Q Q 1 Q − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω = ω = ∴ ω = ω ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω ω − (1.146) 2 2 2 2 2 2 b b p b p 2 2 2 b O b 2 2 2 b 2 2 2 2 2 2 p b p p b p p b p Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎛ ⎞ − ⋅ ⋅ ω = ω ⋅ = ω ⋅⎜ − ⎟ − ⋅ − ⋅ − ⋅

(37)

(1.147) 2O 2b 2 2b 2b 2 p 2 2 p 2 p 2 2 p 2 2 b b b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q 1 1 1 1 Q Q 1 Q Q Q Q Q Q ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ω = ω ⋅ = ω ⋅ = ω ⋅ ⋅⎜ − ⎟ ⎛ ⎞ − − − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (1.148) 2 2 2 p p p 2 2 2 O b b O 2 2 2 b b b 1 1 1 1 1 1 Q Q Q 1 1 1 1 1 1 Q Q Q − − − ω = ω ⋅ = ω ⋅ ∴ ω = ω ⋅ − − b

A equação acima indica que se as perdas no duto igualarem as perdas na caixa, a freqüência de ressonância da caixa será exatamente igual a Fb.

Fora a condição acima, para existir uma freqüência de fase nula (ressonância), é necessário que os fatores de qualidade, que representam as perdas no duto e na caixa, sejam ambos maiores que 1 ou ambos menores que 1.

Podemos também constatar que se as perdas no duto forem maiores que aquelas na caixa

(

Qp< Qb

)

, a

freqüência de ressonância será menor que Fb, ocorrendo o contrario se

(

Qp> Qb

)

.

Perdas no Duto, na Caixa e por Vazamento :

(1.149) 2 2 b b b p 2 AL b 2 b b b b p p 1 Zab s s 1 1 1 Q Q 1 R s 1 s 1 1 Map 1 Q Q Q Q = ⎛ ⎞ + ⋅⎜ + ⎟ + ω ω ⎝ + ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ω ⋅ ⋅⎢ ⋅ + ⋅⎜ + ⎟ + ⎥ ω ω ⋅ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ (1.150) 2 b 2 b b b b p p 2 2 b 2 2 AL b b b b p p b b b p s 1 s 1 1 Map 1 Q Q Q Q Zab Map s 1 s 1 1 s s 1 1 1 1 R Q Q Q Q Q Q ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ω ⋅ ⋅⎢ ⋅ + ⋅⎜ + ⎟+ ⎥ ω ω ⋅ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ω ⋅ + + + + + + + ⎢ ⎜ ⎥ ⎜ ω ω ⋅ ω ω ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ b AL L Map 1 R Q ω ⋅ = ; b 2 b d Map S Cms α ω ⋅ = ω ⋅ ⋅ (1.151) 2 2 b b b b p p b 2 2 2 2 L b b b b p p b b b p s 1 s 1 1 1 Q Q Q Q Zab Map 1 s 1 s 1 1 s s 1 1 1 1 Q Q Q Q Q Q Q ⎛ ⎞ ⋅ + ⋅⎜ + ⎟ + ω ω = ω ⋅ ⋅ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ⋅⎢ ⋅ + ⋅⎜ + ⎟ + ⎥ + + ⋅⎜ + ⎟+ ω ω ⋅ ω ω ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Referências

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