AULA INAUGURAL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1. PROF. Dr. Eng. JOSÉ DONIZETTI DE LIMA UTFPR - CÂMPUS PATO BRANCO

(1)

UTFPR - CÂMPUS PATO BRANCO

donizetti utfpr.edu.br

PROF. Dr. Eng. JOS

É

DONIZETTI DE LIMA

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PR

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL 1

AULA INAUGURAL

Prof. Dr. Eng. José Donizetti de Lima

(2)

05/03/2012 CDI-1 - Prof. Dr. Eng. José DONIZETTI de Lima - UTFPR/ PB

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FORMAÇÃO ACADÊMICA/PROFISSIONAL

• Licenciatura em Matemática e habilitação em Física pela UNESP-SP.

• Mestrado em Métodos Numéricos em Engenharia pela UFPR- PR: A análise econômico-financeira de empresas sob a ótica da estatística multivariada.

• Doutorado em Engenharia de Produção pela UFRGS-RS:

Proposição de um sistema de planejamento da produção olerícola nas unidades de produção familiar.

• Professor do CEFET-PR, desde 1997. Hoje UTFPR. Atuando nos cursos de engenharia.

• Professor de Engenharia Econômica do curso de Especialização em Métodos de Melhoria da Produtividade – área de concentração: Engenharia de Produção, UTFPR – Campus Pato Branco.

• Ex-Professor do Centro Universitário Católico de Palmas – UNICS (2002-2005).

• Ex-Professor da FADEP (2004-2005).

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3

PENSAMENTOS

• “O professor é aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina.” CORA CORALINA - POETISA BRASILEIRA

• “Tudo deve tornar-se o mais simples possível, porém, não simplificado.” ALBERT EINSTEIN

• “Não há investimento que forneça maior lucro do que o conhecimento.” AUTOR DESCONHECIDO

• “Um investimento em conhecimento sempre paga o melhor juro” BENJAMIN FRANKLIN

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4

OBJETIVOS

OBJETIVO DA DISCIPLINA/COMPETÊNCIAS DA DISCIPLINA

• Desenvolver a capacidade de utilizar ferramentas matemáticas na interpretação e solução de problemas de engenharia.

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5

OBJETIVOS

Ao final do semestre o aluno deverá estar apto a:

- Trabalhar com funções, limites, derivada e integral de uma

variável mostrando conhecer os conceitos e técnicas empregadas na resolução de problemas relacionados à engenharia.

- Escrever de forma clara e objetiva seu raciocínio na solução de problemas inerentes ao conteúdo trabalhado.

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6

EMENTA

• Sistematização dos conjuntos numéricos; • Sistema cartesiano ortogonal;

• Relações e funções reais de uma variável real;

• Limites e continuidade de funções reais de uma variável real; • Estudo das derivadas de funções reais de uma variável real; • Estudo da variação de funções por meio dos sinais das

derivadas;

• Teoremas fundamentais do cálculo diferencial; • Estudo dos diferenciais e suas aplicações;

• Estudo das integrais indefinidas; • Estudo das integrais definidas;

• Aplicações das integrais definidas; • Integrais impróprias.

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7

PROCEDIMENTOS DE ENSINO

AULAS TEÓRICAS

• O conteúdo será desenvolvido por meio de aulas expositivas dialogadas, garantindo ao acadêmico o amplo acesso à

intervenção e ao contraditório.

• Resolução de exercícios;

• Atividade de laboratório com utilização de software matemático;

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8

PROCEDIMENTOS DE ENSINO

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

• As Atividades Práticas Supervisionadas (APS) serão compostas de listas de exercícios referente a cada avaliação.

• Em cada uma das avaliações constará no mínimo um exercício da lista de exercícios.

• As APS serão na forma de resolução de exercícios propostos, seja de forma escrita ou usando softwares matemático

(GeoGebra ou Maple®_{, por exemplo) ou planilhas de cálculo (}

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9

RECURSOS DIDÁTICOS

• Quadro de giz ou pincel; • Slides ou transparências; • Livros e Apostilas;

• Computador; • Multimídia;

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10

PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

• O processo avaliativo, como meio de reflexão sobre o

crescimento e desenvolvimento acadêmico em geral, será

desenvolvido por meio de avaliação escrita, normalmente em forma de prova dissertativa.

PERDEU AVALIAÇÃO???

• Nos casos em que o acadêmico não comparecer a alguma das avaliações, será ofertada a avaliação de segunda chamada, mediante requerimento deferido pela secretaria, dentro do prazo estabelecido pelo regulamento da UTFPR, em data a ser definida.

• Portanto, a avaliação de segunda chamada será ofertada mediante requerimento protocolado no Departamento de

Registros Acadêmicos e deferido pelo coordenador do curso. Prazo: 05 dias corridos após avaliação.

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11

PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

• As avaliações serão compostas por 3 (três) provas individuais e sem consulta, no valor de 90% da nota e distribuídas ao longo do semestre. As APS representam 10% da nota de cada

avaliação.

• As APS serão realizadas por meio de listas de exercícios e a avaliação das mesmas será contemplada na avaliação escrita, uma vez que em cada uma das avaliações será cobrado ao menos um dos exercícios das listas.

• Cada uma dessas avaliações será composta de uma prova escrita com peso 02 (1a _{prova) e peso 04 (2}a _{e 3}a _provas).

• A média final do semestre será a média ponderada dessas avaliações.

• O aluno que atingir média igual ou superior a 6,0 e frequência igual ou superior a 75% será considerado aprovado.

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12

PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

10

4 M

2 M

x

MÉDIA

1 ×

+

2 ×

+

3 ×

=

=>

%

10 APS

%

90 P

M

3 Média

%

10 APS

%

90 P

M

2 Média

%

10 APS

%

90 P

M

1 Média

3 3 3 2 2 2 1 1 1

×

+

×

=

=>

×

+

×

=

=>

×

+

×

=

=>

10 4 %) 10 APS % 90 P ( 4 %) 10 APS % 90 P ( 2 %) 10 APS % 90 P ( x ₌ 1× + 1× × + 2 × + 2× × + 3× + 3× ×

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13

PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

• 20/04/12: 1a _{Avaliação - Funções e Limites.}

• 17/05/12: 2a _{Avaliação – Derivadas e suas aplicações.}

• 28/06/12: 3a _{Avaliação – Integrais e suas aplicações.}

• 06/07/12: Reavaliação.

• As datas previstas para avaliação podem sofrer alterações, tudo visando o aprendizado do acadêmico.

• As provas estão marcadas para os horários normais de aula.

(14)

14

Divulgação das notas

e

Vista de Avaliações

Nos horários de atendimento aos

acadêmicos.

SISTEMÁTICA DE AVALIAÇÃO

(15)

15

Atendimento aos Alunos

Horário: disponível na página do

professor.

Local de atendimento: COMAT

(16)

16

PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

• O acadêmico com frequência inferior a 75% será

considerado reprovado na disciplina.

• O acadêmico com média inferior a 6,0 terá direito a fazer

uma quarta avaliação escrita, reavaliação, a qual envolverá

o conteúdo de todas as avaliações.

• Cabe ao acadêmico optar pela 4

a

_avaliação.

• Caso a nota da reavaliação seja superior a média do

semestre, será calculado uma nova média.

• Após a reavaliação, será considerado aprovado o aluno

que tiver média aritmética igual ou superior a 6,0.

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17

REFERÊNCIAS

• ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Vol. 1. Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

• THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 10 ed. São Paulo: Person, 2002.

• STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 6 ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.

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18

REFERÊNCIAS

• ÁVILA, G. Cálculo. 5 ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 1995.

• GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. vol.1 e 2. 5 ed.

LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 2002.

• HOFFMANN, L. D. Cálculo: Um curso moderno e suas

aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1990.

• LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol.1. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994.

• SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 2 ed. São Paulo: Makron Books do Brasil,1994.

(19)

19

REFERÊNCIAS

• BIANCHINI, Waldecir; SANTOS, Angela Rocha dos.

Aprendendo cálculo com Maple – cálculo de uma variável.

Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2002.

• FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, B.G. Cálculo A:

Funções, Limite, Derivação, Integração. São Paulo:

Prentice Hall, 2007

.

• FINNEY, R.L.; WEIR, M.D; GIORDANO, F.R. Cálculo de B.

Thomas Jr. Trad. Paulo Boschcov. 10. ed. v. 1. São Paulo:

Pearson Addison Wesley, 2002.

• RIVERA, J.E.M. Cálculo Diferencial e Integral I. Petrópolis: Laboratório Nacional de Computação Científica, 2007.

• AYRES JÚNIOR, Frank. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Ed. Mc Graw-Hill, 1981.

(20)

20

REFERÊNCIAS

• LARSON, H. E. Cálculo com Aplicações. Trad. Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 1995.

• RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo Diferencial e

Integral. Vol. I, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de

Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982.

• SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, v. 1, 1987.

• MUNEN, F. Cálculo. Vol. I, Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1982.

(21)

21

REFERÊNCIAS

• Matemática para escolas técnicas industriais e centros de educação tecnológica, Curitiba: Centro Federal de Educação

tecnológica do Paraná, 1987. Funções, Trigonometria, Limites

e Derivadas.

• BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval, Curso de

Matemática, 2ª ed. São Paulo, Moderna, 1999.

• IEZZI, G. et al Trigonometria. Coleção Fundamentos de Matemática Vol. 3 Ed. Atual, 1993.

• IEZZI, G. et al. Funções. Coleção Fundamentos de Matemática Vol. 8 Ed. Atual, 1993.

• PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único. São Paulo: Moderna, 2004.

(22)

(23)

(24)

24

SITES & LINKS

• • http://www.cp.utfpr.edu.br/armando/adm/arquivos/superior/http://www.cp.utfpr.edu.br/armando/adm/arquivos/superior/ • • http://www.prandiano.com.br/http://www.prandiano.com.br/ • • http://www.dmat.ufba.br/mat042/http://www.dmat.ufba.br/mat042/ • • http://paginapessoal.utfpr.edu.br/donizettihttp://paginapessoal.utfpr.edu.br/donizetti • www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistuswww.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus

Apresenta-se abaixo

links

para

download

de material didático, a saber:

•

kit

de sobrevivência em cálculo (UEM) http://www.uem.edu.br/kit

(25)

25

TÚNEL DO TEMPO DO CÁLCULO

Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu

Obs.: Neste site encontramos um resumo da obra dos mais

importantes autores do cálculo.

(26)

26

ISAAC

(27)

27

GOTTFRIED WILHELM

(28)

28

PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA?

• “Para que este sonho se torne realidade”, diz o arquiteto olhando a planta na sua prancheta de trabalho.

• “Para interpretar os dados do computador de bordo e determinar a posição do avião”, observa o piloto.

• “Necessito dela para estabelecer uma relação entre o mundo físico e a sua representação gráfica quando faço um mapa”, responde o cartógrafo.

• “Preciso investigar mediante procedimentos matemáticos a situação da empresa e do mercado antes de sugerir alguns investimentos”, exclama o administrador da empresas.

• “Para interpretar estatisticamente os resultados de testes sobre o comportamento humano, como aprendizado, memória, motivação”, relata o psicólogo.

• “Para planejar a comida do paciente cujo médico prescreveu uma dieta com proteínas e hidrato de carbono na razão 7:4”, conclui o nutricionista do hospital. • “Para observar e acompanhar o registro das atividades do coração do meu

paciente”, pensa o médico olhando um eletrocardiograma.

• “Com o auxilio de análises matemáticas posso sugerir modificações que levem

harmonia às populações das grandes cidades, como o estudo dos fluxos de trânsito para prevenir acidentes”, afirma o urbanista.

• “Para planejar as vastas e complexas redes de comunicações modernas”, se orgulha o engenheiro.

• “Para organizar o orçamento doméstico, acompanhar, interpretar e participar ética e conscientemente da política do dia-a-dia”, responde o cidadão comum.

(29)

29

Prof. José Paulo Q. Carneiro

Vamos agora fazer alguns comentários:

Algumas pessoas no processo de aprendizagem da Matemática (alunos,

professores, pais, etc.) expressam às vezes a crença de que, com o advento da calculadora, nunca mais haverá ocasião de usar o algoritmo tradicional da divisão. Alguns até usam isso como um argumento para proibir o uso da

calculadora em certas fases iniciais da aprendizagem: “é necessário primeiro que o aluno aprenda o algoritmo tradicional, e só depois lhe será permitido usar a calculadora; senão, ele não terá motivação para aprender tal algoritmo”. Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que nós, professores, temos que

exercer nossa criatividade para criar problemas desafiadores, que coloquem em xeque até mesmo a calculadora, deixando claras as suas limitações, em vez de proibir o seu uso, o que é uma atitude antipática, repressora, e

totalmente contrária ao que um aluno espera de um professor de Matemática. De fato, para um leigo, ou um iniciante em Matemática, nada mais

“matemático” do que uma calculadora, e ele espera que um professor vá iniciá-lo ou ajudá-iniciá-lo com essa ferramenta, e não proibi-iniciá-lo de usá-la.

(30)

30

HP

(31)

31

FATORES DE CONVERSÃO

(32)

32

FATORES DE CONVERSÃO

(33)

33

SOBRE MINHAS APOSTILAS

As apostilas e slides, foram elaborados, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indispensáveis para um bom curso de Cálculo

Diferencial e Integral 1 (CDI-1) destinados aos cursos de engenharia.

Este texto destina-se aos alunos matriculados na disciplina de CDI-1, ou a quem possa interessar, devendo servir como um guia para as aulas, que são realizadas durante o semestre letivo.

O texto que se segue constitui uma simples compilação de apontamentos, alguns deles retirados a partir das referências bibliográficas indicadas no final do mesmo. Pretende-se fornecer, em forma de texto orientador, o

desenvolvimento dos sumários referentes às aulas correspondentes aos

conteúdos essenciais da disciplina de CDI e não substituir a leitura daquelas referências bibliográficas.

Assim, estas notas de aula seguem de muito perto a bibliografia referenciada e que correspondem aos livros textos desta disciplina, sugere-se a sua

aquisição. Obs. Referencias especificas, são apresentadas antes dos textos. Estas notas abordam Funções, Limites, Derivadas e Integrais de uma variável. Sempre que possível são evidenciadas potenciais aplicações, bem como

formas de resolução de exercícios e/ou problemas nos softwares (MS-Excel e/ou Maple e/ou MatLab).

(34)

34

SOBRE MINHAS APOSTILAS

Propositalmente, os resultados fornecidos pelo Maple são apresentados, para que o aluno motive-se a executar e estudar os programas aqui apresentados. Porém, recomenda-se que o aluno observe atentamente cada resultado, interpretando-o corretamente.

Desta forma, ao elaborar as apostilas e os slides houve uma preocupação paralela em comentar os softwares mais modernos associados ao CDI-1. Por fim, sugere-se ao leitor (professores e alunos) que quiser se aprofundar em algum tema aqui

tratado a consulta das referências bibliográficas, citadas durante o texto ou no final da apostila.

O texto é rico em exemplos e aplicações práticas, resolvidas de forma detalhada. Para complementar a aprendizagem do aluno, são propostas listas de exercícios, com respostas. Existe uma grande quantidade de exercícios para contemplar os diversos níveis de ensino.

A aprendizagem é o fruto exclusivo do trabalho ativo do aluno, cabendo ao instrutor as tarefas de propor problemas desafiantes, orientar o estudante na sua resolução, e fornecer os elementos teóricos essenciais para possibilitar a atividade deste.

Defende-se a resolução de problemas como motor fundamental da aprendizagem. Devemos procurar familiarizar o aluno com o pensamento matemático e a

manipular modelos por métodos matemáticos, claro que estes modelos devem ser os mais reais possíveis.

(35)

35

SOBRE MINHAS APOSTILAS

Neste contexto, as seções denominadas “Lista de Exercícios Propostos para a Revisão dos Conceitos” são compostas por alguns exercícios clássicos,

aproveitados e adaptados de livros de CDI-1. Alguns exercícios (ou problemas)

apesar de não serem da área de engenharia, são importantes para mostrar ao leitor a abrangência de atuação do CDI-1.

Outra característica relevante destas apostilas (ou slides) está associada à linguagem objetiva e apropriada para os iniciantes no estudo sobre cálculo diferencial e integral.

A nosso ver o grande mérito dessa apostila é juntar essa grande quantidade de informações no mesmo documento e difundi-la para o público interessado.

Esperamos em breve disponibilizar seu acesso em nossos portais eletrônicos. A idéia de insistir na resolução das listas é que elas foram concebidas para

complementar as aulas expositivas. Muitas vezes as dúvidas surgem quando vocês começam a resolver os exercícios. Então, vamos a ela.

Por fim, agradecemos a todos os que colaboraram para esta realização e estamos abertos a sugestões e críticas que nos ajudem a melhorar e ampliar o escopo

destas apostilas ou slides.

A maioria dos programas (aplicações em softwares) é discutido nas aulas, e desse modo espera-se que esse material facilite a assimilação do conteúdo das aulas.

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36

SOBRE MINHAS APOSTILAS

A resolução dos exercícios propostos é fundamental para entendimento dos assuntos aqui abordados.

Adverte-se o leitor de que nestas notas de aulas se fará um estudo muito elementar de alguns tópicos e aos interessados em maiores detalhes

(demonstrações), sugere-se as referências que aparecem ao longo do texto ou no final da apostila.

Meus interesses de pesquisa estão centrados nas áreas de otimização numérica, programação linear e não-linear, estatística multivariada, nas

quais publiquei artigos e apresentei trabalhos em congressos. Interesso-me por questões de ensino básico e terciário e defendo a resolução de

(37)

37

SOBRE MINHAS APOSTILAS

No CD-Rom encontra-se além de materiais relativos ao CDI-1, uma introdução a outros tópicos da matemática para a engenharia (tópicos elementares de matemática para engenheiros).

Além disso, no CD-Rom são disponibilizados entretenimento, reflexão, humor, artes, cultura e crônicas.

Por favor, se alguma resposta não estiver correta, avise-me e ficarei muito grato a você.

Aos colegas e estudantes que usarem a nossa apostila, solicitamos criticas e sugestões.

Agradecemos aos alunos e professores que apresentaram valiosas sugestões.

Críticas e sugestões, bem como correção de eventuais erros no material, serão bem recebidas.

donizetti@utfpr.edu.br

Notas do autor

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LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS

PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

AGORA É COM VOCÊS!

• É apresentado, no fim de cada capítulo, um conjunto de

exercícios com respostas, que possibilitam ao acadêmico (leitor) verificar e aprofundar os conhecimentos adquiridos.

• A ideia de insistir na resolução das listas é que elas foram

concebidas para complementar as aulas expositivas-dialogadas. • Muitas vezes as dúvidas surgem quando vocês começam a

(39)

39

PROBLEMA DOS NOVE PONTOS

É COM VOCÊS!

• O objetivo do desafio é traçar não mais de quatro semi-retas

sem erguer a caneta (ou lápis) do papel, e sem retraçar qualquer

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40

PROBLEMA DOS NOVE PONTOS

• O objetivo do exercício é traçar não mais de quatro semi-retas

(41)

41

PROBLEMA DOS NOVE PONTOS

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42

PROBLEMA DOS NOVE PONTOS

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43

PROBLEMA DOS NOVE PONTOS

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44

DESAFIO

É COM VOCÊS!

• Duas pessoas viajando, sendo que a primeira pessoa leva consigo 3 pães enquanto a segunda pessoa leva 5 pães.

• Essas pessoas encontraram um andante, e decidem comer juntas os pães que levam.

• Todos comeram a mesma quantidade, ao final o andante como recompensa distribuiu 8 moedas de ouro.

• Quanto cada um deve ganhar de forma que a divisão seja

proporcional a contribuição de cada um para acabar com a fome do andante?

(45)

45

QUESTIONAMENTOS

É COM VOCÊS!

1. O que significa a palavra matemática? Resposta: Saber

Pensar (origem grega)

2. O que significa a palavra cálculo? Resposta: Pedrinhas

(calculus em latim)

3. O que significa a palavra teorema? Resposta: (teo = Deus

e rema = Verdade, portanto, verdade divina)

4. Como provar geometricamente o teorema de Pitágoras?

Vejas as seguintes ilustrações.

(46)

46

QUESTIONAMENTOS

(47)

47

O NÚMERO DE OURO:

~

1 ,

61803

...

2

5

1 =

+

=

ϕ

(48)

48

1. LINGUAGEM MATEMÁTICA

(49)

49

1. LINGUAGEM MATEMÁTICA

(50)

50

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

(51)

51

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

(52)

52

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

(53)

53

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

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54

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

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55

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

(56)

56

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

(57)

57

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

(58)

58

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

(59)

59

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

(60)

60

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

• Diagrama de Venn

)

(

)

(

)

(

)

(

A

B

n

A

n

B

n

A

B

n

∪

=

+

−

∩

• B}

x

e

A

/ x

{

∈

=

∩

• A

B

x

B}

ou x

A

/ x

{

∈

=

∪

• A

B

x

B}

x

e

A

/ x

{

∈

∉

=

−

• A

B

x

(61)

61

ATENÇÃO COM A SIMPLIFICAÇÃO

(62)

62

LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS

PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

AGORA É COM VOCÊS!

Resolva os exercícios das páginas 24 a 27 da

apostila – material de apoio

• É apresentado, no fim de cada capítulo, um conjunto de

exercícios com respostas, que possibilitam ao estudante (leitor) verificar e aprofundar os conhecimentos adquiridos.

• A idéia de insistir na resolução das listas é que elas foram concebidas para complementar as aulas expositivas-dialogadas. • Muitas vezes as dúvidas surgem quando vocês começam a resolver os exercícios. Então, vamos a ela.

(63)

63

(64)

64

(65)

65

4. INEQUAÇÃO MODULAR

A resolução de inequações modulares está baseada nas seguintes propriedades, válidas para todo número a real e positivo:

(66)

66 = (x + y)2 x2 + 2 x y y + 2 = (x + y)3 x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3 = (x + y)4 x4 + 4 x3 y + 6 x2 y2 + 4 x y3 + y4 = (x + y)5 x5 + 5 x4 y + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x y4 + y5 = (x + y)6 x6 + 6 x5 y + 15 x4 y2 + 20 x3 y3 + 15 x2 y4 + 6 x y5 + y6

...

n n n n n n y n n y x n n y x n y x n x n y x _      + ⋅       − + + ⋅       + ⋅       +       = + −1 −2 2 −1 1 ... 2 1 0 ) (

(67)

67

(

)

(

−1 −2

...

−2 −1

)

+

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

−

n n n n n n

a

x

a

x

a

x

a

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(

n n

)

(

n n n n n n n n

)

a

x

a

x

a

x

a

x

−

=

−

⋅

−1

+

−2

⋅

+

...

+

⋅

−2

+

−1 ) ( ... ) ( ) ( ... ₂ 2 ₁ ₀ ₁ ₂ 1 1 n n n n n n x a x a x a x a a x r x r x r a ⋅ + ₋ ⋅ − + + ⋅ + ⋅ + ≡ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

Teorema da Decomposição Polinomial: sendo a_n≠ 0, temos:

FATORAÇÃO ESPECIAL

(68)

68

Para n = 1, 2, 3, ..., fatorial de n é denotado e definido por:

1

2

3 ...

)

2 (

)

1 (

!

=

n

⋅

n

−

⋅

n

−

⋅

n

Zero fatorial é definido por:

0 =

!

1

Alternativamente, podemos definir fatorial de n recursivamente por:

)!

1 (

!

e

1 !

0 =

n

=

n

⋅

n

−

Exemplos: 720 120 6 ! 5 6 ! 6 ; 120 24 5 ! 4 5 1 2 3 4 5 ! 5 ; 24 1 2 3 4 ! 4 = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ =

6

1

2

3 !

3 ;

2

1

2 !

2 ;

1 !

1 =

=

⋅

=

⋅

=

FATORIAL

(69)

69 Às folhas tantas do livro matemático,

um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e via-a do ápice á base:

uma figura ímpar;

olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides. fez da sua uma vida

paralela à dela,

até que se encontraram no infinito.

“Quem és tu?” −−−− Indagou ele em ânsia radical.

“ Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” E de falarem descobriram que eram

(o que em aritmética corresponde a almas irmãs) primos entre si.

E assim se amaram

ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação

traçando,

ao sabor do momento e da paixão,

retas, curvas, círculos e linhas senoidais nos jardins da quarta dimensão.

Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas

e os exegetas do universo finito.

Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.

E enfim resolveram se casar, construir um lar,

mais que um lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos

o polígono e a bissetriz.

E fizeram planos e equações e diagramas para o futuro, sonhando com uma felicidade

integral e diferencial.

E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos.

E foram felizes até aquele dia

em que tudo vira afinal monotonia.

Foi então que surgiu o máximo divisor comum,

freqüentador de círculos concêntricos viciosos. Ofereceu-lhe, a ela,

uma grandeza absoluta,

e reduziu-a a um denominador comum. Ele, quociente, percebeu

que com ela não formava mais um todo, uma unidade. Era um triângulo, tanto chamado amoroso.

desse problema ela era uma fração a mais ordinária.

Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade e tudo o que era espúrio passou a ser

moralidade,

como aliás em qualquer sociedade.

POESIA MATEMÁTICA

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Sendo Matemático, Engenheiro ou não, não se pode deixar de apreciar a beleza dos NÚMEROS. Pitágoras que o diga!

12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 +10 = 1111111111 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888

Interessante, não é? E, finalmente, olhe essa simetria: 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321

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JOGO - MUDANÇA DE BASE

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AVALIAÇÃO DOS SLIDES