EXEMPLOS DE AUT ´
OMATOS
EXEMPLO 1 (exerc´ıcio 4 (b) da lista de exerc´ıcios 13):
Aut´omato finito determin´ıstico que, de entre as palavras que se escrevem com as letras do alfabeto {a, b, c}, aceita apenas as que tˆem pelo menos dois a’s.
• Representa¸c˜ao diagram´atica:
q0 a q1 qq22
a a, b, c b, c
b, c
• Representa¸c˜ao alg´ebrica:
• conjunto dos estados: Q = { q0, q1, q2}
• alfabeto: Σ = {a, b, c}
• fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δ : Q × Σ → Q representada atrav´es da tabela
δ a b c
q0 q1 q0 q0
q1 q2 q1 q1
q2 q2 q2 q2
(tem-se, por exemplo, que δ(q0, a) = q1, δ(q1, b) = q1, δ(q2, a) = q2, etc.)
• estado inicial: q0
EXEMPLO 2 (exerc´ıcio 4 (f ) da lista de exerc´ıcios 13):
Aut´omato finito determin´ıstico que, de entre as palavras que se escrevem com os s´ımbolos do alfabeto {a, b, c} apenas aceita as palavras que n˜ao tˆem s´ımbolos consecutivos iguais.
• Representa¸c˜ao diagram´atica:
p s q r t p s t r a, b, c b c b b a c a a b c a c
• Representa¸c˜ao alg´ebrica:
• conjunto dos estados: Q = { p, q, r, s, t} • alfabeto: Σ = {a, b, c}
• fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δ : Q × Σ → Q representada atrav´es da tabela
δ a b c p s t r q q q q r s t q s q t r t s q r
(tem-se, por exemplo, que δ(p, a) = s, δ(s, b) = t, etc.) • estado inicial: p
EXEMPLO 3 (exerc´ıcio 4 (g) da lista de exerc´ıcios 13):
Aut´omato finito determin´ıstico que, de entre as palavras que se escrevem com as letras do alfabeto {a, b, c}, aceita apenas as que terminam em bc.
• Representa¸c˜ao diagram´atica:
p q rr a, c a b b c b a, c
• Representa¸c˜ao alg´ebrica:
• conjunto dos estados: Q = { p, q, r} • alfabeto: Σ = {a, b, c}
• fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δ : Q × Σ → Q representada atrav´es da tabela
δ a b c
p p q p
q p q r
r p q p
(tem-se, por exemplo, que δ(p, a) = p, δ(q, c) = r, δ(r, b) = q, etc.) • estado inicial: p
EXEMPLO 4 (exerc´ıcio 4 (h) da lista de exerc´ıcios 13):
Aut´omato finito determin´ıstico que, de entre as palavras que se escrevem com as letras do alfabeto {a, b, c}, aceita apenas as que n˜ao terminam em bc.
• Representa¸c˜ao diagram´atica:
p qq r p a, c a b b c b a, c
• Representa¸c˜ao alg´ebrica:
• conjunto dos estados: Q = { p, q, r} • alfabeto: Σ = {a, b, c}
• fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δ : Q × Σ → Q representada atrav´es da tabela
δ a b c
p p q p
q p q r
r p q p
(tem-se, por exemplo, que δ(p, a) = p, δ(q, c) = r, δ(r, b) = q, etc.) • estado inicial: p
EXEMPLO 5 (exerc´ıcio 6 (c) da lista de exerc´ıcios 13):
Aut´omato finito determin´ıstico que, de entre as palavras que se escrevem com os d´ıgitos do alfa-beto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} apenas aceita as que s˜ao a representa¸c˜ao decimal de naturais positivos m´ultiplos de 3 (palavras com 0’s desnecess´arios `a esquerda n˜ao devem ser aceites).1
• Representa¸c˜ao diagram´atica:
p r0 q r1 r2 r0 2, 5, 8 3, 6, 9 0 1, 4, 7 1, 4, 7 2, 5, 8 2, 5, 8 1, 4, 7 2, 5, 8 1, 4, 7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,3,6,9 0,3,6,9 0,3,6,9
• Representa¸c˜ao alg´ebrica:
• conjunto dos estados: Q = { p, q, r0, r1, r2}
• alfabeto: Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δ : Q × Σ → Q representada atrav´es da tabela
δ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p q r1 r2 r0 r1 r2 r0 r1 r2 r0 q q q q q q q q q q q r0 r0 r1 r2 r0 r1 r2 r0 r1 r2 r0 r1 r1 r2 r0 r1 r2 r0 r1 r2 r0 r1 r2 r2 r0 r1 r2 r0 r1 r2 r0 r1 r2
(tem-se, por exemplo, que δ(p, 1) = r1, δ(r1,2) = r0, δ(r0,3) = r0, etc.)
• estado inicial: p
• conjunto dos estados finais (ou de aceita¸c˜ao): F = { r0}
1Recorde-se que um n´umero natural ´e m´ultiplo de 3 se e s´o se a soma dos d´ıgitos que o constituem ´e m´ultiplo de 3.
EXEMPLO 6 (exerc´ıcio 9 (b) da lista de exerc´ıcios 13):
Aut´omato finito n˜ao determin´ıstico que, de entre as palavras que se escrevem com os d´ıgitos do alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} apenas aceita as que s˜ao a representa¸c˜ao decimal de naturais que s˜ao m´ultiplos de 5 (palavras com 0’s desnecess´arios `a esquerda n˜ao devem ser aceites).2
• Representa¸c˜ao diagram´atica:
p q r q 0, 5 0, 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 • Representa¸c˜ao alg´ebrica:
• conjunto dos estados: Q = { p, q, r} • alfabeto: Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δ : Q × Σ → ℘(Q) representada atrav´es da tabela
δ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p {q} {r} {r} {r} {r} {q, r} {r} {r} {r} {r}
r {q, r} {r} {r} {r} {r} {q, r} {r} {r} {r} {r}
q { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }
(tem-se, por exemplo, que δ(p, 5) = {q, r}, δ(p, 1) = {r}, etc.) • estado inicial: p
• conjunto dos estados finais (ou de aceita¸c˜ao): F = { q }
O exerc´ıcio 2 do grupo 5 do teste modelo ´e semelhante a este mas apenas se pretendem aceitar n´umeros inteiros positivos. Naturalmente que a resposta ´e semelhante a esta aqui apresentada, apenas com a omiss˜ao a transi¸c˜ao de p para q associada a 0.
EXEMPLO 7 (exerc´ıcio 10 (f ) da lista de exerc´ıcios 13):
Aut´omato finito n˜ao determin´ıstico que, de entre as palavras que se escrevem com os s´ımbolos do alfabeto {x, y, z} apenas aceita as palavras nas quais o ´ultimo s´ımbolo ocorre pelo menos duas vezes em toda a palavra.
• Representa¸c˜ao diagram´atica:
p s q r t q x, y, z y, z y z x x y z x, y x, z
• Representa¸c˜ao alg´ebrica:
• conjunto dos estados: Q = { p, q, r, s, t} • alfabeto: Σ = {x, y, z}
• fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δ : Q × Σ → ℘(Q) representada atrav´es da tabela
δ x y z p {p, s} {p, t} {p, r} q { } { } { } r {r} {r} {q} s {q} {s} {s} t {t} {q} {t}
(tem-se, por exemplo, que δ(p, x) = {p, s}, δ(q, x) = { }, etc.) • estado inicial: p
EXEMPLO 8:
Seja N o aut´omato finito n˜ao determin´ıstico com estado inicial t, estado final v, e com tabela de transi¸c˜oes
δ 0 1 2
t {u, v} {t} {t}
u {t} {u, v} {u}
v { } {v} { }
Use o algorimo estudado para obter um aut´omato finito determin´ıstico equivalente a N .
Aut´omato finito determin´ıstico D equivalente ao aut´omato N constru´ıdo de acordo com o algoritmo estudado:
• Representa¸c˜ao alg´ebrica de D: • Σ = {0, 1, 2}
• estado inicial de D: {t}
• fun¸c˜ao de transi¸c˜ao δD : QD× Σ → QD:
δD 0 1 2
{t} {u, v} {t} {t}
{u, v} {t} {u, v} {u}
{u} {t} {u, v} {u}
concluindo-se que o conjunto dos estados de D ´e QD = {{t}, {u}, {u, v}}. • FD = {{u, v}}