Equação de 2º Grau Problemas

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Equação de 2º Grau

Problemas

1- (ANGLO) O quadrado do triplo de um número positivo excede de 12 o triplo do quadrado desse

número . Esse número

a) é menor que 1 b) é ímpar c) está compreendido entre 7 e 10 d) é maior que 17 e) é irracional

2-(ANGLO) A soma de um número inteiro positivo com o quadrado de seu sucessor é igual a 41. Qual

é o produto deste número pelo seu antecessor?

a) 6 b) 12 c) 20 d) 30 e) 4

3-(VUNESP-99) Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade de x horas por

semana e ganhava R$ 60,00 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por semana. trabalha, porém 4 horas a mais por semana e recebe R$ 4,00 a menos por hora trabalhada. O valor de x é :

a)6 b)8 c)10 d)12 e) 14

4-(PUC-02) Um funcionário de certa empresa recebeu 120 documentos para arquivar. Durante a

execução da tarefa, fez uma pausa para um café e, nesse instante, percebeu que já havia arquivado 1 1

−

n do total de documentos (n∈N – {0, 1}). Observou também que, se tivesse arquivado 9 documentos a menos, a quantidade arquivada corresponderia a

2 1

+

n do total. A partir do instante da pausa para o café, o número de documentos que ele ainda deverá arquivar é

a ) 92 b) 94 c) 96 d) 98 e) 100 5-(FUVEST) Se b x x+1 = , calcule 2 1₂ x x + b) Resolva a equação x² -5x + 8− +5 1₂ =0 x x

6-(CESGRANRIO) O maior número que se deve subtrair de cada fator do produto 5x8, para que esse

produto diminua de 36 unidades , é :

a)3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

7-(UFF)Na divisão dos lucros com seus 20 acionistas, uma empresa distribuiu R$600,00 entre os

preferenciais e R$600,00 entre os ordinários. Sabe-se que cada acionista preferencial recebeu R$80,00 a menos do que cada acionista ordinário. Determine quantos acionistas preferenciais esta empresa possui.

8-(ANGLO) A equação do segundo grau 2x² + 4x + m - 1 = 0 , m∈R, admite raízes reais se, e somente se :

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a) m≤3 b) m≤-3 c) m ≥3 d) m≥-3 e) m≥1

9-(ANGLO) A equação do segundo grau x² - 8x + m + 1 = 0 , m∈R, admite raízes reais se , e somente se

a) m≤-15 b) m≥-15 c)m≤15 d)m≥15 e) m<15

10-(ANGLO) considere a equação do segundo grau x² + mx + m - 1 = 0 , onde m é um número real. Se

para um determinado valor de m essa equação admite raízes iguais, então essas raízes são iguais a : a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 2

11-(UFPE-96)Se x é um número real positivo tal que ao adicionarmos 1 ao seu inverso obtemos como

resultado o número x, qual é o valor de x?

a) (1 - 5)/2 b) (1 + 5)/2 c)1 d) (1 + 3)/2 e) ( 1 - 3)/2

12-(UEL) A soma de um número racional não inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo é 33/4.

Esse número está compreendido entre

a) 5 e 6 b) 1 e 5 c) 1/2 e 1 d) 3/10 e1/2 e) 0 e 3/10

13-(VUNESP-96-EXA) Para todo número real a , o número -a chama-se oposto de a e para todo

número real a, a≠0, o número 1/a chama-se inverso de a. Assim sendo, determine todos os números reais x, x≠1, tais que o inverso do oposto de (1-x) seja x+3.

14-(UNICAMP) Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos cujo produto de 2 deles seja igual

ao produto dos outros dois ? Justifique

15-(ANGLO) Eu pensei em um número positivo, adicionei um, multipliquei minha resposta por ela

mesma, tirei duas vezes o número que eu pensei e o resultado foi 26. Qual número eu pensei ?

16-(UFMG-02) O quadrado da diferença entre o número natural x e 3 é acrescido da soma de 11 e x. O

resultado é, então, dividido pelo dobro de x, obtendo-se quociente 8 e resto 20. A soma dos algarismos de x é

a) 3 b) 4 c) 5 d) 2

17-(UFPE-00)Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o

professor de Matemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a participar da divisão, cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a percentagem de alunos da turma que contribuíram para a compra do presente?

a) 85% b) 65% c) 60% d) 80% e) 75%

18-(UFLAVRAS-00)Uma empreiteira destinou originalmente alguns operários para a construção de

uma obra de 72m². Como 4 deles foram demitidos antes do início da obra, os demais tiveram que trabalhar 9m² a mais cada um para compensar.

a) Qual o número de operários originalmente designados para a obra? b) Qual a porcentagem de operários demitidos?

19-(FEI-99) Uma das raízes da equação x²-x-a=0 é também raiz da equação x²+x-(a+20)=0. Qual é o

valor de a?

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20-(PUCCAMP-01) Em agosto de 2000, Zuza gastou R$ 192,00 na compra de algumas peças de certo

artigo. No mês seguinte, o preço unitário desse artigo aumentou R$ 8,00 e, com a mesma quantia que gastou em agosto, ele pode comprar duas peças a menos. Em setembro, o preço de cada peça de tal artigo era

a) R$ 24,00 b) R$ 25,00 c) R$ 28,00 d) R$ 30,00 e) R$ 32,00

21-(UNICAMP-02) Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia.

Devido a problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.

a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia?

22-(VUNESP-02) Em uma loja, todos os CDs de uma determinada seção estavam com o mesmo preço,

y. Um jovem escolheu, nesta seção, uma quantidade x de CDs, totalizando R$ 60,00. a) Determine y em função de x.

b) Ao pagar sua compra no caixa, o jovem ganhou, de bonificação, 2 CDs a mais, da mesma seção e, com isso, cada CD ficou R$ 5,00 mais barato. Com quantos CDs o jovem saiu da loja e a que preço saiu realmente cada CD (incluindo os CDs que ganhou)?

23-(UFV-99) As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo são dadas pelas

raízes da equação x²-9x+20=0. A área desse triângulo é:

a) 10 b) 6 c) 12 d) 15 e) 20 GABARITO 1) E 2)C 3)A 4)C 5) a)b²-2 b)S= + −         13 5 2 3 5 2 , , 6)E 7)15 8)A 9)C 10)D 11)B

12)E 13) x = -1 +

5

ou x = -1 -

5

14) não existem. DICA Testar todas as 3 possibilidades 15)5 16)A 17)D 18) a) 8 operários b) 50 % 19)D 20)E 21) a)24 b) 2.500 kg 22) a) y = 60/x. b) 6 CDs e R$ 10,00. 23)B

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Soma ou Produto

1- (FUVEST) Se m e n são raízes de x² - 6x + 10 = 0 , então 1 / m + 1/n vale :

a) 6 b) 2 c) 1 d) 3/5 e) 1/6

2-( FUVEST) Se m e n são raízes da equação 7x² + 9x + 21 =0, então (m+7)(n+7) vale :

a) 49 b) 43 c) 37 d) 30 e) 30/7

3-(FUVEST) Seja 7 a diferença entre as raízes de equação 4x² - 20x + c = 0. O valor da constante c é :

a) -24 b) -20 c) -16 d) 4 e) 5

4-(MACKENZIE) Sejam a e b raízes da equação x²- 3kx + k² = 0 tais que a² + b² = 1,75. O valor de

k² é : a) (1,75)² b) 17,5 c) 175 d) 0,5 e) 0,25

5- (FUVEST) Sejam x₁ e x₂ as raízes da equação 10x² + 33x - 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5x x1 2+2(x1+x2) é :

a)-33 b)-10 c)-7 d)10 e)33

6-(VUNESP) Dada a equação x² + x - 2= 0 , calcule a soma dos inversos de suas raízes.

7-(ANGLO) Considere a equação x - mx + m - 5 = 0 . Para que a soma das raízes seja positiva e o

produto das raízes seja negativo, devemos ter :

a) m > 5 b)0<m<5 c)-5<m<0 d)m<-5 e)5<m<10

8- (ANGLO) Sendo x₁ e x₂ as raízes da equação do grau x - mx + m - 1 = 0 e 1 1 3 2

1 2

x + x = , então m é igual a :

a)1 b) 6 c) -6 d) -3 e) 3

9-(ANGLO) Sejam b e c números reais , tais que a equação x + bx + c = 0 admita duas raízes

positivas.

Nessas condições, tem-se que :

a)b>0 e c>0 b) b>0 e c<0 c) b<0 e c>0 d)b<0 e c<0 e) b =4c

10-(CESGRANRIO) Determine o parâmetro m na equação x²+mx+m²-m-12=0, de modo que ela tenha

uma raiz nula e outra positiva.

11-(UNITAU) Qual é o valor da soma dos inversos dos quadrados das duas raízes da equação

x²+x+1=0?

12-(FEI) Se as raízes da equação x²+ bx + 27 = 0 são múltiplos positivos de 3, então o coeficiente b

vale:

a) 12 b) -12 c) 9 d) -9 e) 6

13-(FUVEST) A equação x² - x + c = 0 para um conveniente valor de c admite raízes iguais a

a) -1 e 1 b) zero e dois c) -1 e zero d) 1 e -3 e) -1 e 2

14-(MACK-00-G2,3) Assinale a alternativa na qual os valores de θ fazem com que a equação x²+2x+2.cosθ= 0 , em x, não possuem raízes reais.

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a)π/3 < θ < π/2 b)2π/3<θ<π c) π<θ<4π/3 d) 4π/3<θ<5π/3 e)5π/3< θ<2π

15-(ANGLO) Sendo tg 18° e tg 72° as raízes da equação x²+bx+c=0, podemos concluir que : a) b = 0 b) b = 1 c)c = 0 d) c = 1 e) b + c = 1

16-(MACK-98-J-1) Relativamente à equações da forma x²+bx+c=0,em x, cujas raízes são b e c, a soma

dos possíveis valores de c é :

a)2 b) -2 c) 1 d) -1 e) 3

17-(UFPR)Uma das raízes da equação x² + bx + c = 0 onde b e c são números inteiros é1− 5. Qual o valor do coeficiente c?

a) 0 b) -4 c) -5 d) 1/4 e) 1/5

18-(ITA-96) Seja α um número real tal que α>2(1+ 2) e considere a equaçãox2−αx+α+1=0. Sabendo que as raízes reais dessa equação são as cotangentes de dois dos ângulos internos de um triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale:

a) 30° b) 45° c) 60° d) 135° e) 120°

19-(UNICAMP-00) A soma de dois números positivos é igual ao triplo da diferença entre esses mesmos

dois números. Essa diferença, por sua vez, é igual ao dobro do quociente do maior pelo menor. a) Encontre esse dois números.

b) Escreva uma equação do tipo x² + bx + c = 0 , cujas raízes são aqueles dois números a)2 b) -2 c) 1 d) -1 e) 3

20-(PUCRIO-00) A diferença entre as raízes do polinômio x²+ax+(a-1) é 1. Quanto vale a? 21-(UFMG-01) Os números m e n são as raízes da equação x²-2rx+r²-1=0. O valor de m²+n² é:

a) 2r + 1 b) 2 + r c) r² + 1 d) 2 (r² + 1)

22-(GV-02) A soma das raízes da equação (x²-2 2x+ 3 ).(x²-x 2- 3 )=0 vale: a) 0 b) 2 3 c) 3 2 d) 5 6 e) 6 5

23-(UEL-95) Sabe-se que os números reais α e β são raízes da equação x²-kx+6=0, na qual k∈R. A equação do 2° grau que admite as raízes α+1 e β+1 é

a) x² + (k+2)x + (k+7) = 0 b) x² - (k+2)x + (k+7) = 0 c) x² + (k+2)x - (k+7) = 0 d) x² - (k+1)x + 7 = 0 e) x² + (k+1)x + 7 = 0

24-(FEI) Na equação do 2° grau 4x²+px+1=0 a soma dos inversos das raízes é -5.

O valor de p é:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) -1

GABARITO

1)D 2)B 3)A 4)E 5)B 6) 2/2 7)B 8)E 9)C 10)m = -3 11) -1 12)B 13) E14)E 15)D 16)B 17)B

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Equações Biquadradas

1-(FACESP) O conjunto solução , no campo real, da equação z4 −13z2 +36=0 é : a) S = {-3,-2,0,2,3} b) S={-3,-2,2,3} c) S= {-2,-3} d) S={0,2,3} e) S= {2,3}

2--(CESGRANRIO)O produto das raízes positivas d e x4 - 11x² + 18 = 0 vale: a)2 3 b)3 2 c) 4 3 d)4 2 e)2 3

3-(ANGLO) O produto das raízes da equação

(

x2 −3x+2

) (

3 + x2 −3x+2

)

=0, é :

a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 8

4-(LAVRAS) A equação x4 −6x2 + =c 0 admite quatro raízes reais distintas para : a) -1< c < 9 b) -9 < c < 9 c) -3 < c < 3 d) 0 < c < 3 e) 0 < c < 9

GABARITO 1)B 2)B 3)A 4)E

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Inequações

1-(ANGLO) Quantos números inteiros satisfazem à seguinte condição: o quadrado de um número é

menor que o seu quádruplo?

a)1 b) 3 c) 5 d) nenhum e) infinitos

2-(ANGLO) Considere a inequação x - 7x + 6 < 0. Quantos números inteiros pertencem ao conjunto

solução dessa inequação ?

a)3 b) 4 c) 5 c) 6 e) infinitos

3-(VUNESP) O conjunto solução da inequação ( x - 2 )² < 2x - 1, considerando como universo o

conjunto R , está definido por :

a) 1 < x < 5 b) 3 < x < 5 c) 2 < x < 4 d) 1 < x < 4 e) 2 < x < 5

4-(FUNDAÇÃO) A equação x + ( m - 1 )x - m =0 admite raízes reais e distintas. Podemos afirmar

que:

a) m ≠ -1 b) m < -1 ou m > 0 c) m > 0 d) m = -1 e) m = 0

5-(VUNESP) A função quadrática f, definida por f(x)=(m-1)x +2mx+3m, assume valores estritamente

positivos se, e somente se :

a)m<0 ou m>3/2 b)0<m<3/2 c)m>3/2 d)m<1 e)m<0

6-(FGV-SP) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 100(10-x)(x-2), onde x é a quantidade vendida.

Podemos afirmar que o lucro é :

a) positivo para qualquer que seja x b) positivo para x maior que 10

c)positivo para x entre 2 e 10 d)máximo para x igual a 10 e)máximo para x = 3

7-(UFPI) A inequação mx - 4x - 2 ≤ 0 é verdadeira para todo x real se : a)m≤-2 b)m≥-2 c)m≤2 d)m≥2 e)-2≤m≤2

8-(VUNESP) Os valores de x ∈ R que satisfaz o sistema :

    < − < − 0 3x x 0 4 x 2 2

são tais que :

a)1<x<3 b)-3<x<-2 c)0<x<2 d)2<x<3 e)-2<x<0

9-(VUNESP) Quantos números inteiros satisfazem o sistema de inequações

    ≤ + − − > + 0 8 6x x 2 3x 1 2x 2 ? a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

10-(PUC-SP) Os valores de m∈R, para os quais o trinômio do segundo grau f(x)=(m-1)x +mx+1 tem dois zeros distintos, são :

a) m≠2 b)m≠1 e m≠2 c)1≤m≤2 d)m≤1 e)m≥2

11-(MACK-01)Se 2x² – ax + 2a>0, qualquer que seja x∈R, o maior valor inteiro que a pode assumir é: a) 15 b) 20 c) 16 d) 22 e) 18

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12-(FUVEST) Seja f uma função definida em R por f(x) = x - 3x. O conjunto de todos os números x

para os quais f(x-1) ≤ 0 está contido no intervalo :

a)[0 , 2 ] b)[2 , 4] c) [1 , 3 ] d)[0 , 4 ] e)[3 , 5]

13-(MACK) Seja f uma função tal que f( x + 2 ) = x - 1 , para todo x real. Se f(x) < 0, então os valores

de x são tais que :

a)-3< x < -1 b)-1 < x <1 c)1< x <3 d)3 < x < 5 e) x > 5

14-(CESGRANRIO) Se x - 6x ≤-x + bx + c tem como solução o conjunto {x∈R, 0≤x≤3}, então b e c valem, respectivamente :

a) 1 e -1 b)-1 e 0 c)0 e -1 d)0 e 1 e) 0 e 0

15-(OSEC) Determine m para que se tenha , para qualquer valor de x ∈R, x +(2m-3)x+(m -1)>0. a)m < 1/12 b)m > 13/12 c)-13/12<m<0 d)m>-13/12 e)m>3

16-(PUCAMP) Considere as funções reais, de variáveis reais, dadas por f(x)=x, g(x)=x²-2x e

h(x)=f(x).g(x). A função h tem valores positivos para todos os valores de x tais que

a) x > 0 b) x > 2 c) x < 0 d) 0 < x < 2 e) -2 < x < 0

17-(UFPE) Sendo x um número real tal que x>7 ou x<-3, assinale a alternativa correta:

a) (x + 3)(x - 7) < 0 b) (x + 3)(x - 7) > 0 c) (x + 3)(x - 7) = 0 d) x² > 49 e) x² < 9

18-(MACK-01) Sabe-se que o quadrado de um número natural k é maior do que o seu triplo e que o

quíntuplo desse número k é maior do que o seu quadrado. Dessa forma, k² – k vale: a) 10 b) 12 c) 6 d) 20 e) 8

19-(PUC-RIO-00) A equação x4- 2b²x² + 1 = 0 a) não tem soluções reais se -1 < b < 1.

b) sempre tem apenas uma solução real. c) tem apenas duas soluções reais se b > 1. d) sempre tem quatro soluções reais. e) tem quatro soluções reais se b = 0.

20-(UEL-00) Para todo x real, uma função f do 2° grau pode ser escrita na forma fatorada f(x)=a.(x-m).(x-n), na qual a é uma constante real não nula e m e n são as raízes de f. Se uma função f,

do 2° grau, admite as raízes -2 e 3 e seu gráfico contém o ponto (-1;8), então f(x)>0 se, e somente se, a) x < -2 ou x > 3 b) -2 < x < 3 c) x > -2 e x ≠3 d) x < 3 e x ≠ -2 e) x ≠ -2 e x ≠3

21-(PUCMG-03) O polinômio P(x) = (m+2)x² + 2(m-3)x + m² é negativo para x = 1. Nesse caso, o

maior valor inteiro de m é:

a) 0 b) -1 c) -2 d) -3

22-(FGV-03) O custo diário de produção de um artigo é C= 50 + 2x + 0,1x², onde x é a quantidade

diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por R$ 6,50. Entre que valores deve variar x para não haver prejuízo?

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23-(GV-02) Quantos números inteiros satisfazem a inequação x²-10x<-16?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

24-(UFV-01) Considere a equação x+ x2+x+m

=m, onde m é um número real. a) Para m=-1, determine a raiz real da equação.

b) Determine o conjunto dos valores de m, para os quais a equação possui uma raiz real.

25-(UFF) No triângulo retângulo representado abaixo cada um dos catetos mede 3cm.

Considere um ponto C da hipotenusa e o retângulo ABCD, sendo x a medida de AD

Determine:

a) a área S do retângulo ABCD em função de x; b) para que valor(es) de x se tem S ≤ 1,25cm²

26-(MACK-00) A soma dos números inteiros pertencentes ao domínio da função f(x)= −x2+2x a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 0

GABARITO

1)B 2)B 3)A 4)A 5)C 6)C 7)A 8)C 9)B 10)B 11)C 12)D 13)C 14)E 15)B 16)B 17)B 18)B 19)A 20)B 21)A 22)B 23)C 24) a) V = {- 2} b) { m ∈R / - 2 ≤ n ≤ - 1/2 ou m ≥0 } 25) a) S = 3x – x², 0 ≤ x ≤ 3 b) 0 < x ≤1/2 ou 5/2 ≤ x < 3 26)C