Cálculo Financeiro com o Uso da HP 12C

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Cálculo Financeiro com

o Uso da HP 12C

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Autor(a): Jean Carlo Bilhan. 1ª Edição – 2011

Cálculo Financeiro com o Uso da

HP 12C

Todos os direitos desta edição são reservados à Cresça Brasil Editora S/A.

É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios, sem autorização escrita da Editora.

ISBN: 978-85-8153-043-7

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Sumário

Capítulo 1-Conhecendo a Calculadora Hp 12C.

1.1 Conceitos Básicos e Simbologia da HP

1.2 Conhecendo as Funções da Calculadora Hp 12C 1.3 Como Realizar Cálculos Aritméticos Simples 1.4 Como calcular porcentagens

1.5 Conhecendo as funções de calendário 1.6 Como armazenar e recuperar valores

Capítulo 2-Operações Comerciais

2.1 Juros

2.2 O que são operações comerciais 2.3 Regra de Três.

2.4 Porcentagem

Capítulo 3-Capitalização Simples

3.1 Descontos

3.2 Cálculo da taxa efetiva em operação de descontos 3.3 Taxa nominal

3.4 Taxa real

3.5 Capitalização simples ou linear 3.6 Cálculo do valor do juro

3.7 Cálculo do valor presente (pv), principal ou valor atual. 3.8 Cálculo do montante ou valor futuro (fv)

Capítulo 4-Capitalização Composta ou Exponencial

4.1 Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV) 4.2 Cálculo do valor presente (pv)

4.3 Cálculo da taxa de capitalização 4.4 Cálculo do prazo de aplicação

4.5 Fluxo de caixa: Conceitos e convenções básicas 4.6 Taxas Equivalentes

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Capítulo 5-Séries de pagamentos e análise de investimentos

5.1 Séries de pagamentos 5.2 Montante de uma Renda

5.3 Prestação ou renda postecipada 5.4 Prestação ou renda antecipada 5.5 Taxa interna de retorno – (TIR) 5.6 Valor presente líquido - npv

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Apresentação

Com este conteúdo você irá desfrutar da arte matemática. Por mais que achamos que dominamos um determinado assunto, ainda existirá algum recurso desconhecido.

A partir de agora, você perceberá que o mundo matemático é muito vasto e vai além do que imaginamos.

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Introdução

A partir de agora, vamos navegar pelo mundo matemático, e entender sobre os elementos básicos da Matemática Financeira.

Assim como: capitalização simples, capitalização composta, séries de pagamentos e etc. A linguagem adotada é extremamente didática e de fácil compreensão, sempre acompanhada pela prática com a HP 12C, em que você terá acesso ao emulador desta calculadora e irá aprender como utilizá-la adequadamente enquanto estuda Matemática Financeira.

Para facilitar a compreensão, o Curso está dividido em unidades que contêm exemplos práticos, explicativos e resolvidos passo-a-passo. Cujo objetivo é facilitar o entendimento, além de mostrar as suas principais aplicações práticas, com ênfase nos cálculos utilizados nos departamentos financeiros das empresas.

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Capítulo 1

Conhecendo a calculadora HP 12C

1.1 Conceitos Básicos e Simbologia da HP12C

Conheça a simbologia adotada e como já foi dito anteriormente, durante todo o percurso, utilizaremos uma HP 12C. Caso você não seja usuário de uma HP, isto não deve constituir uma preocupação.

Para facilitar o estudo, vamos utilizar o emulador da Calculadora Financeira Programável HP 12C. Os símbolos utilizados são idênticos àqueles adotados por todas as calculadoras da marca HP (HAWLETT PACKARD). Acompanhe a seguir:

[n] Número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos, semestres, trimestres, meses ou dias, podendo tomar os valores 0,1,2,3.... Por exemplo, se os períodos correspondem aos meses, temos:

n = 0: indica a data atual ou a data do início da operação;

n =1: indica a data do final do 1º mês ou primeiro período, e assim, sucessivamente.

[i] Taxa de juros por período de capitalização expressa em porcentagem e sempre aliada com a unidade de tempo considerada over (ano, semestre, trimestre, mês ou dia).

Por exemplo: i = 10% ao ano ou i = 10%a.a. ou i = 0,10 a.a.

[PV] Valor presente (Present Value), ou seja, valor do capital inicial (principal) aplicado. Representa na escala horizontal do tempo o valor monetário colocado na data inicial, isto é, o ponto correspondente a n = 0.

[FV] Valor futuro (Future Value), ou seja, valor montante acumulado no final de n períodos de capitalização, sob a taxa de juros i, representa na escala

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horizontal do tempo os valores monetários nas datas futuras, ou seja, nos pontos correspondentes a n= 1, 2 , 3....

[PMT] Valor de cada prestação ou parcela de uma série uniforme de pagamentos (Priodic Pay Muen T) que ocorre a cada período completado. Representa, na escala horizontal do tempo, o valor de cada uma das prestações iguais que ocorrem no final dos períodos 1, 2, 3... etc.

Por exemplo: num financiamento com prazo de 12 meses, a ser pago em 12

prestações mensais de $600,00, o valor de PMT é igual a $600,00.

Regimes Adotados

Os regimes de juros adotados na Matemática Financeira são conhecidos como juros simples e juros compostos. Ou ainda como: Regime de capitalização simples e Regime de Capitalização composta.

No regime de juros simples é apenas o capital inicial, também chamado de principal, que rende juros. Nesse regime, não se somam os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros.

Já no regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os Juros são capitalizados e passam a render juros, ou seja, “juro ganha juro”.

A seguir, vamos conhecer um pouco mais desta valiosa ferramenta de cálculo financeiro.

1.2 Conhecendo as Funções da Calculadora HP12C

Observe as funções de cada tecla, representadas na imagem a seguir conhecendo a calculadora HP12C.

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Primeiros Cálculos

Vamos começar pelas funções mais simples. Ligar e desligar sua HP 12C.

Para ligar sua HP 12C, pressione a tecla . Pressionando novamente a tecla , você estará desligando a calculadora.

Entendendo o Teclado

A fim de otimizar o espaço, a maioria das teclas da HP-12C realiza duas ou três funções:

As funções primárias estão disponíveis ao primeiro toque. A impressão está em branco, basta pressioná-la.

As funções em amarelo são acionadas ao pressionar a tecla amarela, de prefixo . Após solicitar essa função, pressione a tecla da função desejada.

As funções em azul são acionadas ao pressionar a tecla azul, de prefixo . Após solicitar essa função, pressione a tecla da função desejada.

Sobre a separação dos dígitos

Observe em sua HP 12C se a parte inteira está separada da parte decimal por ponto (0.00). Se isso ocorre, significa que está configurada para cálculos em US$. O procedimento para configurá-la para cálculos em R$, ou

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seja, (0,00), consiste em: desligar a máquina e pressionar ao mesmo tempo as teclas e . Solte primeiro a tecla e, em seguida, a outra tecla. Pronto, agora sua HP está configurada com o padrão 0,00, ou seja, R$.

Como fixar o número de casas decimais.

Para fixar quantos dígitos desejados para os decimais, pressione a tecla seguida da tecla de número correspondente à quantidade desejada (de 0 a 9 casas).

Observe o exemplo:

Pressione a tecla e depois o número 4 aparecerá no visor:

Usualmente, utilizamos 2 casas para decimais, 4 casas para taxas e 6 casas para coeficientes.

A calculadora HP está programada para fazer arredondamentos à medida que for reduzido o número de casas decimais, portanto, utiliza-se a seguinte convenção:

Se o número seguinte for:

0 a 4 mantém 5 a 9 arredondam

Observe o exemplo:

Digite Pressione a função desejada Observe o Visor

300 ENTER

13

Se você deseja alterar a quantidade de casas decimais, então, faça o seguinte:

Pressione Observe o Visor 3

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Todas as respostas estão corretas, pois, somente foi ampliada a quantidade de casas decimais. Por isso, é preciso prestar atenção ao número de casas decimais solicitadas em cada exemplo ou exercício apresentado durante este estudo.

1. 3 Como Realizar Cálculos Aritméticos Simples

A Calculadora Financeira HP 12C, traz uma lógica operacional diferente das demais calculadoras. Pois adota um sistema que corresponde à Notação Polonesa Reversa (RPN

A solução de uma

comumente aprendida em nosso país e adotada pelas demais calculadoras. Na HP 12C, os valores são usados considerando sua disposição antecipada dos sinais (+,

Então, primeiro digite o número correspondente à sua operação e pressione ENTER, depois, digite o segundo número e a respectiva operação desejada (++++, −−−−, x ou ÷). Fique atento(a), pois a resposta aparecerá

HP.

Observe o exemplo: 23 + 11 = 34

Solução com a sua

Digite Pressione a função desejada

23 ENTER

11

Para alguns usuários, esse fator é estranho no começo, mas após algumas horas de manuseio, já se pode perceber

acomodação visual.

4 5 6

Todas as respostas estão corretas, pois, somente foi ampliada a quantidade de casas decimais. Por isso, é preciso prestar atenção ao número de casas decimais solicitadas em cada exemplo ou exercício apresentado

Como Realizar Cálculos Aritméticos Simples

A Calculadora Financeira HP 12C, traz uma lógica operacional diferente das demais calculadoras. Pois adota um sistema que corresponde à Notação Polonesa Reversa (RPN – Reverse Polish Notation).

A solução de uma operação não obedece a ordem dos parênteses, comumente aprendida em nosso país e adotada pelas demais calculadoras.

Na HP 12C, os valores são usados considerando sua disposição antecipada dos sinais (+, -, x, ÷, etc) e com isso, facilita a evolução da sol

Então, primeiro digite o número correspondente à sua operação e , depois, digite o segundo número e a respectiva operação

). Fique atento(a), pois a resposta aparecerá

:

Pressione a função desejada Observe o Visor ENTER

Para alguns usuários, esse fator é estranho no começo, mas após algumas horas de manuseio, já se pode perceber sua praticidade e Todas as respostas estão corretas, pois, somente foi ampliada a quantidade de casas decimais. Por isso, é preciso prestar atenção ao número de casas decimais solicitadas em cada exemplo ou exercício apresentado

Como Realizar Cálculos Aritméticos Simples

A Calculadora Financeira HP 12C, traz uma lógica operacional diferente das demais calculadoras. Pois adota um sistema que corresponde à Notação operação não obedece a ordem dos parênteses, comumente aprendida em nosso país e adotada pelas demais calculadoras.

Na HP 12C, os valores são usados considerando sua disposição , x, ÷, etc) e com isso, facilita a evolução da solução. Então, primeiro digite o número correspondente à sua operação e

, depois, digite o segundo número e a respectiva operação ). Fique atento(a), pois a resposta aparecerá no visor da

Observe o Visor

Para alguns usuários, esse fator é estranho no começo, mas após sua praticidade e

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Procedimento para limpar os registros

Ao pressionar a tecla pressionar as teclas

Trocando de sinais

Utilize a tecla

“troca sinal”. Transforma o número positivo em negativo e vice

Cálculos sequênciais (em Cadeia)

A calculadora HP 12C

armazenar automaticamente os resultados anteriores e conhecidos por memórias de pilhas operacionais e designados por, X, Y, Z e T. Por isso, toda vez que o resultado de um cálculo estiver no visor

para efetuar outro cálculo em seguida, não precisa pressionar resultado será armazenado automaticamente.

1. 4 Como calcular porcentagens

Para calcular o valor correspondente à porcentagem de um número, digite o número, pressione

.

Observe o exemplo:

Vamos calcular 15% de 300. Solução com a sua

300 ENTER

15

Para calcular a taxa percentual entre dois números, digite o número mais antigo da operação, seguido da tecla

pressione a tecla .

Procedimento para limpar os registros

Ao pressionar a tecla você limpará somente o visor, mas se

limpará todos os registros anteriores.

para a troca de sinais, CSH, em inglês, que dizer “troca sinal”. Transforma o número positivo em negativo e vice-versa.

Cálculos sequênciais (em Cadeia)

A calculadora HP 12C tem quatro registradores que são usados para armazenar automaticamente os resultados anteriores e conhecidos por memórias de pilhas operacionais e designados por, X, Y, Z e T. Por isso, toda

resultado de um cálculo estiver no visor e você deseja

para efetuar outro cálculo em seguida, não precisa pressionar ENTER, resultado será armazenado automaticamente.

Como calcular porcentagens

Para calcular o valor correspondente à porcentagem de um número, ione ENTER, digite a porcentagem desejada e pressione

Observe o exemplo:

Vamos calcular 15% de 300. Solução com a sua :

Para calcular a taxa percentual entre dois números, digite o número mais antigo da operação, seguido da tecla ENTER, digite o segundo número e você limpará somente o visor, mas se limpará todos os registros anteriores.

, em inglês, que dizer versa.

tem quatro registradores que são usados para armazenar automaticamente os resultados anteriores e conhecidos por memórias de pilhas operacionais e designados por, X, Y, Z e T. Por isso, toda e você desejar armazená-lo

ENTER, pois o

Para calcular o valor correspondente à porcentagem de um número, , digite a porcentagem desejada e pressione

Observe o Visor

Para calcular a taxa percentual entre dois números, digite o número mais , digite o segundo número e

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Observe o exemplo:

Em três dias, o dólar comercial passou de R$ 2,22 para R$ 2,31. Qual a foi a variação percentual?

Solução com a sua

2.22 ENTER

2.31

Para calcular a porcentagem de um valor em relação a (outro valor) um total. Primeiro digite o valor correspondente ao total, pressione

seguida, digite o valor da porcentagem e pressione a tecla Observe o exemplo:

O preço de venda de um cert

afixou um informativo comunicando o valor total dos impostos recolhidos sobre este produto, cujo valor era de R$ 987,31. Qual o percentual que os impostos representam do preço deste produto?

Solução usando a sua

(Limpe todos os registros anteriores pressionando as teclas

Digite Pressione a função desejada

2550 ENTER

987.31

Logo, os impostos representam 38, 7180 % do preço de venda do produto.

Observe o exemplo:

Em três dias, o dólar comercial passou de R$ 2,22 para R$ 2,31. Qual a foi a variação percentual?

Solução com a sua

Pressione a função desejada Observe o Visor

Para calcular a porcentagem de um valor em relação a (outro valor) um total. Primeiro digite o valor correspondente ao total, pressione

seguida, digite o valor da porcentagem e pressione a tecla . Observe o exemplo:

O preço de venda de um certo produto é R$ 2.550,00. O comerciante afixou um informativo comunicando o valor total dos impostos recolhidos sobre este produto, cujo valor era de R$ 987,31. Qual o percentual que os impostos representam do preço deste produto?

Solução usando a sua :

(Limpe todos os registros anteriores pressionando as teclas

Pressione a função desejada Observe o Visor

ENTER

Logo, os impostos representam 38, 7180 % do preço de venda do Em três dias, o dólar comercial passou de R$ 2,22 para R$ 2,31. Qual a

Observe o Visor

Para calcular a porcentagem de um valor em relação a (outro valor) um total. Primeiro digite o valor correspondente ao total, pressione ENTER, em

o produto é R$ 2.550,00. O comerciante afixou um informativo comunicando o valor total dos impostos recolhidos sobre este produto, cujo valor era de R$ 987,31. Qual o percentual que os impostos

.)

Observe o Visor

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1.5 Conhecendo as

A Calculadora HP 12C também está programada para encontrar datas futuras ou passadas e o respectivo dia da semana. Então vamos exercitar essa função.

Inicialmente, pressione as teclas

iniciais de dia, mês e ano em inglês, assim, esta informação estará fixada em sua calculadora. Não há necessidade de repetir esse processo.

Conforme informado anteriormente, a tecla definida em azul nas teclas de sua calculadora.

Como calcular data

Primeiro, digite as datas conhecidas, separando o dia e o mês pela tecla e, em seguida, pressione a tecla

que correspondem ao intervalo de tempo definido por você e pressione as teclas e (DMY)

Observe o exemplo:

Qual será a data de vencimento de uma fatura referente à compra realizada no dia 25.05.2006 para pagamento em 40 dias?

Solução com a sua

Digite Pressione a

função desejada

25.052006 ENTER

40

Se você estiver utilizando uma calculadora HP convencional, o visor vai mostrar a seguinte sequência:

Conhecendo as funções de calendário

A Calculadora HP 12C também está programada para encontrar datas futuras ou passadas e o respectivo dia da semana. Então vamos exercitar essa

Inicialmente, pressione as teclas e (DMY), representam as

e ano em inglês, assim, esta informação estará fixada em sua calculadora. Não há necessidade de repetir esse processo.

Conforme informado anteriormente, a tecla aciona a função

definida em azul nas teclas de sua calculadora.

Como calcular data futura

Primeiro, digite as datas conhecidas, separando o dia e o mês pela tecla e, em seguida, pressione a tecla ENTER. Agora, digite o número de dias que correspondem ao intervalo de tempo definido por você e pressione as

(DMY). Pronto, no visor aparecerá a nova data.

Observe o exemplo:

Qual será a data de vencimento de uma fatura referente à compra realizada no dia 25.05.2006 para pagamento em 40 dias?

Solução com a sua :

Pressione a

função desejada Observe o Visor

ENTER

(Date) 04/JULHO/ 2006 terça

Se você estiver utilizando uma calculadora HP convencional, o visor vai mostrar a seguinte sequência:

A Calculadora HP 12C também está programada para encontrar datas futuras ou passadas e o respectivo dia da semana. Então vamos exercitar essa

representam as e ano em inglês, assim, esta informação estará fixada em

aciona a função

Primeiro, digite as datas conhecidas, separando o dia e o mês pela tecla Agora, digite o número de dias que correspondem ao intervalo de tempo definido por você e pressione as

. Pronto, no visor aparecerá a nova data.

Qual será a data de vencimento de uma fatura referente à compra

04/JULHO/ 2006 terça-feira

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Digite Pressione a função desejada

25.052006 ENTER

40

Comentário: O vencimento será em 04.07.2006. O número que aparece

à direita do resultado representa o dia da semana em que esta data ocorrerá. Neste exemplo, o dia é terça

1. 6 Como armazenar e recuperar valores

Você pode armazenar valores utilizando as 20 memórias de sua HP 12 C. As memórias vão de 0 a 9 e de

Digite o valor desejado e, em seguida, pressione a tecla número da memória desejada.

Se desejar recuperar a informação contida na memória, então pressione a tecla seguida do número da memória.

Observe o exemplo: Armazenar o número 1750 na memória 1.

Solução com a sua

Digite Pressione a função

desejada 1750

Embora o número continue no visor, ele já está armazenado na memória 1 e poderá ser utilizado para quaisquer cálculos.

Até agora, você conheceu somente algumas teclas e funções básicas de uma calculadora financeira HP 12C

universo da Matemática Financeira.

Pressione a função

desejada Observe o Visor

ENTER

(Date)

O vencimento será em 04.07.2006. O número que aparece à direita do resultado representa o dia da semana em que esta data ocorrerá. Neste exemplo, o dia é terça-feira.

Como armazenar e recuperar valores

Você pode armazenar valores utilizando as 20 memórias de sua HP 12 C. As memórias vão de 0 a 9 e de • 0 a • 9.

Digite o valor desejado e, em seguida, pressione a tecla número da memória desejada.

Se desejar recuperar a informação contida na memória, então pressione seguida do número da memória.

Observe o exemplo: Armazenar o número 1750 na memória 1.

Solução com a sua :

Pressione a função

1

Embora o número continue no visor, ele já está armazenado na memória 1 e poderá ser utilizado para quaisquer cálculos.

Até agora, você conheceu somente algumas teclas e funções básicas de uma calculadora financeira HP 12C, que são necessárias para adentrar neste universo da Matemática Financeira.

O vencimento será em 04.07.2006. O número que aparece à direita do resultado representa o dia da semana em que esta data ocorrerá.

Você pode armazenar valores utilizando as 20 memórias de sua HP 12

seguida do Se desejar recuperar a informação contida na memória, então pressione Observe o exemplo: Armazenar o número 1750 na memória 1.

Observe o Visor

Embora o número continue no visor, ele já está armazenado na memória

Até agora, você conheceu somente algumas teclas e funções básicas de , que são necessárias para adentrar neste

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Capítulo 2

Operações Comerciais

2.1 Juros

Juro é a remuneração do Capital, podendo ser definido como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Como os recursos são escassos e as pessoas têm preferência temporal (estão mais propensas a consumir do que poupar), o juro também pode ser definido como o prêmio por poupar o dinheiro.

Juro e tempo andam juntos. Por isso, o juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Este coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual aquele da taxa.

Por exemplo: 12 % ao ano.

Embora seja tradicional para o nosso tempo, ocorrendo de modo corriqueiro, o valor do juro sempre será objeto de questionamento e polêmica. Principalmente no tocante à aceitação ou não de uma alternativa de negócio.

A capitalização dos juros pode ocorrer de duas formas: Simples ou

Composto.

Será em regime de juros simples quando os juros incidirem unicamente sobre o capital inicial, isto é, independente do número de períodos de capitalização.

Já no regime de capitalização composta, os juros de cada período, a partir do segundo período, passam a ser calculados sobre o montante anterior e incorporados ao capital inicial, que passam a render juros, ou seja, “juros ganham juros”.

Ambos os regimes de capitalização serão aprofundados no decorrer do Curso.

2.2 O que são Operações Comerciais

As operações das empresas ou operações comerciais, assim como: comprar, armazenar, processar ou vender “produtos”, estão claramente relacionadas com o estudo da Matemática Financeira, que por sua vez, objetiva capacitar e munir as empresas de ferramentas que possibilitem avaliar a lucratividade resultante do conjunto de operações financeiras da empresa, pois o lucro dentro da organização é o juro na aplicação financeira.

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É preciso haver lucro no negócio. O investidor precisa atender suas expectativas financeiras.

Espero que este estudo contribua para sua independência de pensamento e de realização profissional.

2.3 Regra de Três.

Esta é uma regra prática que permite comparar duas grandezas proporcionais. Normalmente, adotam-se grandezas A e B, sendo que, pela regra de três, são relacionados dois valores da grandeza A com dois valores da Grandeza B. Essas grandezas, assim relacionadas, formam uma proporção em que três termos são conhecidos, e o quarto termo é procurado, ou seja, o quarto termo é a variável x.

Observe este Exemplo:

Cinco metros de um tecido custam R$ 12,00. Quanto custaria nove metros desse mesmo tecido?

Acompanhe a solução:

Grandezas ⇒ comprimento (m) e preço (R$)

5 12

9 x

As setas representam que as grandezas são diretamente proporcionais. Isto é: se aumentar o comprimento do tecido, aumenta-se também o preço a pagar. Então:

Lê-se: cinco está para nove, assim como, 12 está para x.

Logo, o preço de 12 metros de tecido custará R$ 21,60.

Em se tratando de regra de três, seu estudo compreende a forma simples e a composta, tal que, nesta última, tem-se grandezas compostas, isto é, grandezas A, B, C....n. (seja n um número natural).

60 , 21 5 108 108 . 5 12 . 9 . 5 12 9 5 = = = = = x x x x x

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2.4 Porcentagem

As comparações entre grandezas realizadas através de razões, cujo denominador seja 100 (razões centesimais), são muito utilizadas no mundo dos negócios. Quando um resultado é apresentado na forma centesimal, a compreensão é assumida pela maioria dos indivíduos que acessam esses números. Veja, por exemplo, a informação: A produção de arroz no estado de Santa Catarina, em 2007, apresentou um aumento de 0,3 mil toneladas.

Agora veja a mesma informação apresentada numa razão centesimal: A produção de arroz, no estado de Santa Catarina, cresceu 5 % em 2007 é o maior índice de crescimento desde 1995.

Usar a comparação na apresentação de um resultado facilita entender a dimensão da informação, cuja “posição” está numa escala tradicionalmente aceita e largamente utilizada: a escala centesimal.

Razão centesimal é toda razão com denominador igual a 100. Por exemplo: 100 99 , 100 75 , 100 3 Taxa de Porcentagem

Devido à grande importância das razões centesimais, estas costumam ser apresentadas pelo símbolo % que substitui o denominador 100.

Desse modo, podemos observar:

100 3

= 3% (três por cento)

Taxa de Juro na Forma Percentual

Na forma percentual, a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano.

Note-se que o símbolo (%) é que determina a forma percentual

Taxa de Juro na Forma Unitária

Na forma unitária a taxa de juros é aplicada à unidades do capital. Ex.: 0,12 ao ano.

Note-se que, neste caso, o símbolo (%) não mais existe na representação da taxa.

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Taxa de Juros

É a razão obtida entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital inicial referente à operação financeira. A taxa de juros sempre deve estar associada a uma unidade de tempo.

As unidades de tempo mais comuns são: dia, mês e ano. Outras periodicidades são definidas em comum acordo entre as partes da operação financeira.

Observe o exemplo:

Calcule a taxa de juros cobrada por um empréstimo de R$ 1.000,00 resgatado após um ano por R$ 1.440,00?

Solução: Valor Atual (PV) = R$ 1.000,00 Valor Futuro (FV) = R$ 1.440,00 Juros = R$ 440,00 Taxa de Juros = PV Juros Taxa de Juros = 0,44 1000 440 ₌ Note-se que:

Este resultado está na forma unitária.

Para escrever na forma percentual, é só você multiplicar esse resultado por 100. Assim, obterá o seguinte resultado:

44 100 44 ,

0 × = % ao ano.

As taxas de juro na forma percentual, publicadas nos meios de comunicação, também são utilizadas no teclado da calculadora financeira HP 12C.

Quando precisar resolver uma expressão algébrica (fórmula), deve-se utilizar a taxa na forma unitária.

Resumindo:

Forma percentual Transformando Forma unitária (decimal) 3% a.m. 100 3 0,03 a.m. 122% a.a. 100 122 1,22 a.a.

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Capítulo 3

Capitalização Simples

3.1 Descontos

O desconto pode ser definido como uma parcela que o banco cobra por antecipar (descontar) recursos para aqueles clientes que possuem duplicatas ou títulos a receber.

Basicamente, a operação de desconto é realizada quando se conhece o Valor Futuro de um título

desejar determinar o seu Valor Presente (o valor do título atual).

Como calcular o valor do desconto

Para calcular o valor do desconto, utilizaremos o seguinte modelo matemático. Observe: n d FV D . 30 . = Em que:

D = Valor Monetário do Desconto

FV = Valor Futuro de um Título (Valor na data do seu vencimento) d = Taxa de Desconto (será dividida por 30,

bancários divulga a taxa mensal).

n = Prazo (o número de dias corridos entre a data da operação e do vencimento do título).

Observe o exemplo:

Certo cliente deseja saber quanto será descontado de uma duplicata no valor de R$ 20.000,00, apresentada ao Banco hoje, cujo vencimento será daqui a 25 dias. A taxa de desconto informada pelo Banco é de 3,80% a.m..

Solução utilizando a sua

Configure a calculadora para 4 dígitos. Seleção dos dados do problema: FV = 20.000,00

Capitalização Simples

O desconto pode ser definido como uma parcela que o banco cobra por antecipar (descontar) recursos para aqueles clientes que possuem duplicatas Basicamente, a operação de desconto é realizada quando se conhece o Valor Futuro de um título (o valor do título na data do seu vencimento) e se desejar determinar o seu Valor Presente (o valor do título atual).

Como calcular o valor do desconto

calcular o valor do desconto, utilizaremos o seguinte modelo

D = Valor Monetário do Desconto

FV = Valor Futuro de um Título (Valor na data do seu vencimento)

d = Taxa de Desconto (será dividida por 30, pois, a maioria dos contratos bancários divulga a taxa mensal).

n = Prazo (o número de dias corridos entre a data da operação e do

Certo cliente deseja saber quanto será descontado de uma duplicata no e R$ 20.000,00, apresentada ao Banco hoje, cujo vencimento será daqui a 25 dias. A taxa de desconto informada pelo Banco é de 3,80% a.m..

Solução utilizando a sua . Configure a calculadora para 4 dígitos. Seleção dos dados do problema:

O desconto pode ser definido como uma parcela que o banco cobra por antecipar (descontar) recursos para aqueles clientes que possuem duplicatas Basicamente, a operação de desconto é realizada quando se conhece o (o valor do título na data do seu vencimento) e se

calcular o valor do desconto, utilizaremos o seguinte modelo

FV = Valor Futuro de um Título (Valor na data do seu vencimento)

pois, a maioria dos contratos n = Prazo (o número de dias corridos entre a data da operação e do

Certo cliente deseja saber quanto será descontado de uma duplicata no e R$ 20.000,00, apresentada ao Banco hoje, cujo vencimento será daqui a 25 dias. A taxa de desconto informada pelo Banco é de 3,80% a.m..

(21)

d = 3,80 % a.m. Adote a forma decimal: 0,038 100 80 , 3 ₌ % a.m. n = 25 dias

Agora faça o seguinte:

Digite Função desejada Observe o Visor

20000 ENTER

0.038 ENTER

30 25

Logo, será cobrado pelo Banco, o valor de R$ 633,33 para que seja antecipado o recurso referente ao título no valor de R$ 20.000,00.

Agora vamos fazer um cálculo diferente. Vamos calcular o Valor Presente de um título descontado.

Para isso, é necessário entender que o Valor Presente ou Valor Atual em uma operação de desconto é o valor que será creditado na conta do cliente.

Ao utilizar uma representação algébrica, podemos dizer que:

PV = FV – D. Isto é: O Valor Presente é a diferença entre o Valor Futuro e o valor monetário do Desconto.

Retomando o exemplo anterior com os seus respectivos dados, temos: FV = 20.000,00

D = 633,33

PV = FV – D, então, PV = 20.000,00 – 633,33 PV = 19.366,67

Logo, o valor que será creditado na conta do cliente é de R$ 19.366,67.

3.2 Cálculo da taxa efetiva em operação de descontos

A taxa efetiva é a taxa de juros aplicada em uma operação de descontos calculada com base no valor que será creditado em favor do cliente, enquanto a taxa de descontos é calculada com base no valor do título no seu

(22)

vencimento. Quando dizemos taxa efet juros de uma operação de desconto.

Deste procedimento e critério, podemos concluir que a taxa de desconto sempre será menor que a taxa efetiva de juros, considerando

prazo.

Vamos adotar a seguinte simbologia i = Taxa Efetiva de Juros

D = Valor do Desconto (já sabemos calcular)

PV = Valor que será creditado ao cliente (Valor Atual do título) A fórmula é muito simples, observe:

Veja: x100 PV

D

i= . Observe o exemplo:

Certo comerciante deseja

que ele pagou numa operação de desconto nas seguintes condições: Valor do título: R$ 10.000,00.

Prazo de vencimento do título: 45 dias Taxa de desconto: 4,5 % a.m.

Solução utilizando a sua Configure a HP para 4 dígitos.

1°°°° passo - Vamos calcular o valor do Desconto para conhecer o Valor atual do

Título (quanto será creditado ao cliente). Seleção dos dados do problema:

FV = 10.000,00

d = 4,5 % ao mês. Na forma decimal, escrevemos 0,045 a.m. n = 45 dias.

Agora, substitua estas variáveis na fórmula: n d FV D . 30 . = Então, temos:

vencimento. Quando dizemos taxa efetiva, estamos nos referindo à taxa de juros de uma operação de desconto.

Deste procedimento e critério, podemos concluir que a taxa de desconto sempre será menor que a taxa efetiva de juros, considerando

Vamos adotar a seguinte simbologia: i = Taxa Efetiva de Juros

D = Valor do Desconto (já sabemos calcular)

PV = Valor que será creditado ao cliente (Valor Atual do título) A fórmula é muito simples, observe:

Certo comerciante deseja saber qual é a taxa efetiva mensal de juros que ele pagou numa operação de desconto nas seguintes condições:

Valor do título: R$ 10.000,00.

Prazo de vencimento do título: 45 dias Taxa de desconto: 4,5 % a.m.

Solução utilizando a sua . para 4 dígitos.

Vamos calcular o valor do Desconto para conhecer o Valor atual do Título (quanto será creditado ao cliente).

Seleção dos dados do problema:

d = 4,5 % ao mês. Na forma decimal, escrevemos 0,045 a.m.

Agora, substitua estas variáveis na fórmula:

iva, estamos nos referindo à taxa de Deste procedimento e critério, podemos concluir que a taxa de desconto sempre será menor que a taxa efetiva de juros, considerando-se o mesmo

saber qual é a taxa efetiva mensal de juros que ele pagou numa operação de desconto nas seguintes condições:

(23)

10000 ENTER

0.045 ENTER

30 45

Se o valor descontado do título é de R$ 675,00, então: PV = FV – D, isto é:

PV = 10.000 – 675 PV = 9.325,00

10000 ENTER

675

2º passo - Vamos calcular a taxa efetiva de juros do período de 45 dias:

Substituindo na fórmula: x100 PV D i= , temos: 2386 , 7 100 . 0724 , 0 100 325 . 9 675 = = = i i x i

675 ENTER

9325 100

Desse modo, a taxa de juros para o período de 45 dias é de 7,2386 % a.p ou seja, é a taxa de juros para o período.

(24)

Se o comerciante desejar saber a taxa mensal, então é só você calcular a taxa equivalente. Lembre

taxa.

3º passo - Encontrar a taxa de juro mensal requer usar a fórmula da taxa

equivalente: Observe:

(

1 i

)

1 x100 i t q t q     ₊ ₋ =

O que temos é: a taxa efetiva de juros (i

dias.

O que queremos é: encontrar a taxa mensal (i Fazendo a devida substituição na fórmula e:

(

)

[

]

(

)

[

]

[

]

7637 , 4 100 0476 . 0 100 1 0476 . 1 100 1 0723 , 1 100 1 0723 , 0 1 1 45 30 45 30 = = − = − = − + = q q q q q i x i x i x i x

Digite Função desejada

1 ENTER 0.0723 30 ENTER 45 1 100

Logo, a taxa efetiva mensal é de 4, 7637 % a.m.

Se o comerciante desejar saber a taxa mensal, então é só você calcular a taxa equivalente. Lembre-se, já estudamos anteriormente como calcular esta

Encontrar a taxa de juro mensal requer usar a fórmula da taxa

a taxa efetiva de juros (it) de 7,2386 % para o período de 45

encontrar a taxa mensal (iq).

Fazendo a devida substituição na fórmula e:

100

Solução utilizando a sua .

Função desejada Observe o Visor

ENTER

Logo, a taxa efetiva mensal é de 4, 7637 % a.m.

Se o comerciante desejar saber a taxa mensal, então é só você calcular se, já estudamos anteriormente como calcular esta

Encontrar a taxa de juro mensal requer usar a fórmula da taxa

(25)

3.3 Taxa nominal

A taxa nominal é aquela encontrada nas operações correntes, tais como: contratos de empréstimos, contratos de financiamentos e de aplicações financeiras, etc.

Para sua composição, levam em conta a expectativa de inflação e o ganho estimado pelo agente financeiro.

A fórmula algébrica é muito simples, pois, consta apenas de multiplicação e soma.

Observe: iN =

[

(

1+iR

) (

x1

iN = Taxa Nominal (vem escrita no documento que regulamenta a operação financeira)

iR = Taxa Real

INFL = Índice de Inflação Veja o exemplo:

Supondo uma Taxa Real de juros de 2,80% a.m. e um índice de inflação de 1,22% ao mês, calcule a taxa nominal.

Observações importantes:

As taxas devem estar na forma decimal para serem usadas na fórmula algébrica. Preferencia

para 4 dígitos.

Faça a devida substituição na fórmula e utilizando a sua Observe: iN = ? iR = 2,80 % a.m. INFL = 1,22 % a.m. ( ) ( )

[

( ) (

[

( ) ( )

[

]

[

]

0542 , 4 100 0405 , 0 100 1 0405 , 1 100 1 0122 , 1 028 , 1 0122 . 0 1 028 . 0 1 1 1 1 = = − = − = + + = − + + = iN x iN x iN x x iN x iN INFL x iR iN

Taxa nominal

A taxa nominal é aquela encontrada nas operações correntes, tais como: contratos de empréstimos, contratos de financiamentos e de aplicações Para sua composição, levam em conta a expectativa de inflação e o

agente financeiro.

A fórmula algébrica é muito simples, pois, consta apenas de

)

1

]

100

1+INFL − x , onde:

iN = Taxa Nominal (vem escrita no documento que regulamenta a operação

de Inflação

Supondo uma Taxa Real de juros de 2,80% a.m. e um índice de inflação de 1,22% ao mês, calcule a taxa nominal.

As taxas devem estar na forma decimal para serem usadas na fórmula algébrica. Preferencialmente, configure a calculadora

Faça a devida substituição na fórmula e utilizando a sua

]

)

]

100 100 1 100 − x x

A taxa nominal é aquela encontrada nas operações correntes, tais como: contratos de empréstimos, contratos de financiamentos e de aplicações Para sua composição, levam em conta a expectativa de inflação e o A fórmula algébrica é muito simples, pois, consta apenas de

iN = Taxa Nominal (vem escrita no documento que regulamenta a operação

Supondo uma Taxa Real de juros de 2,80% a.m. e um índice de inflação

As taxas devem estar na forma decimal para serem usadas na lmente, configure a calculadora

(26)

Agora, faça o seguinte:

1 ENTER 0.028 1 ENTER 0.0122 1 100

Logo, a taxa nominal será de 4,0542 % a.m. levando-se em conta a expectativa de inflação de 1,22 $ a.m. e a taxa real de 2,80 % a.m.

Quando uma instituição financeira deseja acumular taxas de juros compostos, o procedimento é análogo.

3.4 Taxa real

A taxa Real é calculada a partir da taxa nominal, descontando-se os efeitos inflacionários. O objetivo é determinar o quanto se ganhou ou perdeu, desconsiderando a inflação.

A fórmula algébrica está expressa da seguinte forma:

100 1 1 1 x INFL iN iR _      −       + +

= , cuja simbologia já é conhecida:

iR = Taxa Real; iN = Taxa Nominal

INFL = Índice de Inflação. Observe o exemplo:

Supondo uma taxa nominal de 6,11 % a.m. e um índice de inflação de 2,82% no mês, agora, calcule a taxa real.

(27)

Solução:

Faça a devida substituição na fórmula e utilizando a sua Observe:

(

)

[

]

[

]

1998 , 3 100 0320 , 0 100 1 0320 , 1 100 1 0282 , 1 0611 , 1 1 0282 , 0 1 0611 , 0 1 100 1 1 1 = = − =       −       =       −       + + =       −       + + = iR x iR x iR x iR x iR x INFL iN iR

Agora, faça o seguinte:

Digite Função 1 ENTER 0.0611 1 ENTER 0.0282 1 100

Logo, a taxa real pode ser considerada 3,20 % ao mês.

Observe que as taxas mostradas aqui são elevadas, considerando o atual quadro financeiro do Brasil. No

para taxas menores.

Exercitar é a melhor forma de você aprender para ter autonomia ao trabalhar com operações financeiras que exigem estes cálculos. Então, altere as taxas e repita os procedimentos para obter outros re

Faça a devida substituição na fórmula e utilizando a sua

100 100 100

x

Função desejada Observe o Visor

ENTER

Logo, a taxa real pode ser considerada 3,20 % ao mês.

Observe que as taxas mostradas aqui são elevadas, considerando o atual quadro financeiro do Brasil. No entanto, o procedimento não se altera Exercitar é a melhor forma de você aprender para ter autonomia ao trabalhar com operações financeiras que exigem estes cálculos. Então, altere as taxas e repita os procedimentos para obter outros resultados.

.

Observe o Visor

Observe que as taxas mostradas aqui são elevadas, considerando o entanto, o procedimento não se altera Exercitar é a melhor forma de você aprender para ter autonomia ao trabalhar com operações financeiras que exigem estes cálculos. Então, altere

(28)

3.5 Capitalização Simples ou Liner

O que é capitalização simples ou linear?

É um regime de capitalização em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial. Cuja remuneração é diretamente proporcional:

o Ao valor aplicado

o Ao tempo de aplicação.

A variação da taxa é linear em função do tempo, ou seja, para converter:

o A taxa mensal em anual, basta multiplicar por 12;

o A taxa mensal em diária, basta dividir por 30, e assim por diante.

3.6 Cálculo do valor do juro

O juro é a quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro emprestado. Este valor será indicado por J.

Na capitalização simples, o valor dos juros é obtido por meio da expressão: n i PV J = .. Onde:

J = valor dos juros;

PV = Capital inicial ou Valor Presente; i = Taxa de juros (usar na forma unitária);

n = Prazo da aplicação (sempre na mesma unidade que a taxa).

Na Matemática Financeira, PV (Valor Presente) ou C (Capital) é qualquer valor expresso em dinheiro e disponível em uma determinada data. Este valor dá início a uma operação financeira.

O prazo (n) é o tempo decorrido do início ao final da operação financeira. Este valor (n) determina o número de períodos completados na operação, que pode ser em dias, meses, bimestres, semestres, anos ou outras periodicidades.

Comumente, o prazo é contado a partir de duas convenções:

a) Prazo Exato

Considera o ano civil, no qual os dias são contados pelo calendário. O ano pode ter 365 dias ou 366 dias (ano bissexto). Os meses são observados quanto ao número de dias de cada mês.

(29)

b) Prazo comercial

No prazo comercial, os meses são considerados todos com 30 dias e, consequentemente, o ano tem 360 dias, chamado de ano comercial.

Evidentemente, dessas convenções em relação ao prazo, derivam os dois tipos de juros:

Juro Exato.

exato. Isto é, conforme o calendário.

Juro Comercia

prazo comercial, isto é, consideram dias.

Com base nestas informações, veja a seguir um exemplo sobre cálculo de juro no regime de capitalização simples.

Exemplo:

Supondo um empréstimo no valor de R$ 2.000,00 com taxa de 3% ao mês. Qual o valor dos juros devidos após 3 meses?

Solução utilizando a sua Dados do problema proposto: PV = 2000

n = 3

i = 3 % a. m. (na forma unitária será 0,03 a.m.). Adote a fórmula J =PV.i

2000 ENTER

0.03 3

Logo, o juro resultante deste empréstimo será de R$ 180,00.

Prazo comercial

No prazo comercial, os meses são considerados todos com 30 dias e, emente, o ano tem 360 dias, chamado de ano comercial.

Evidentemente, dessas convenções em relação ao prazo, derivam os

Juro Exato. É obtido contando-se os dias pelo critério do prazo

exato. Isto é, conforme o calendário.

Juro Comercial. É obtido contando-se os dias pelo critério do

prazo comercial, isto é, consideram-se todos os meses com 30

Com base nestas informações, veja a seguir um exemplo sobre cálculo de juro no regime de capitalização simples.

empréstimo no valor de R$ 2.000,00 com taxa de 3% ao mês. Qual o valor dos juros devidos após 3 meses?

Solução utilizando a sua . Dados do problema proposto:

i = 3 % a. m. (na forma unitária será 0,03 a.m.).

n i.

. e o seguinte procedimento:

Logo, o juro resultante deste empréstimo será de R$ 180,00.

No prazo comercial, os meses são considerados todos com 30 dias e, emente, o ano tem 360 dias, chamado de ano comercial.

Evidentemente, dessas convenções em relação ao prazo, derivam os se os dias pelo critério do prazo se os dias pelo critério do se todos os meses com 30

Com base nestas informações, veja a seguir um exemplo sobre cálculo

empréstimo no valor de R$ 2.000,00 com taxa de 3% ao

Observe o Visor

(30)

Observe a seguir, variações da

A partir da primeira fórmula algébrica, podem

fórmulas, conforme a necessidade de encontrar a taxa de capitalização, o tempo ou o Valor Presente.

3. 7 Cálculo do valor presente (pv), principal ou valor atual.

Pode-se calcular este valor de duas formas distintas. Na primeira, são conhecidos os valores das seguintes variáveis: taxa, prazo e juros. Na segunda, acrescenta-se uma quarta variável: o Valor Futuro.

Então, vamos calcular o Capital utilizando a fórmula Observe o exemplo:

Calcular o Principal que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 7 meses, à taxa de 3 % ao mês para se conseguir um juro de R$ 294,00.

Solução utilizando a sua Dados do problema proposto: J = 294,00

n = 7

Com base na fórmula acima, acompanhe o procedimento e repita calculadora.

J

P

V

.

i

J

n

=

Observe a seguir, variações da fórmula do juro:

A partir da primeira fórmula algébrica, podem-se deduzir as demais fórmulas, conforme a necessidade de encontrar a taxa de capitalização, o tempo ou o Valor Presente.

Cálculo do valor presente (pv), principal ou valor atual.

se calcular este valor de duas formas distintas. Na primeira, são conhecidos os valores das seguintes variáveis: taxa, prazo e juros. Na

se uma quarta variável: o Valor Futuro.

Então, vamos calcular o Capital utilizando a fórmula auxiliar

Calcular o Principal que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 7 meses, à taxa de 3 % ao mês para se conseguir um

Solução utilizando a sua · Dados do problema proposto:

Com base na fórmula acima, acompanhe o procedimento e repita

n

i

PV

.

=

n

i

J

PV

.

=

n

PV

J

i

.

=

se deduzir as demais fórmulas, conforme a necessidade de encontrar a taxa de capitalização, o

Cálculo do valor presente (pv), principal ou valor atual.

se calcular este valor de duas formas distintas. Na primeira, são conhecidos os valores das seguintes variáveis: taxa, prazo e juros. Na

auxiliar

n

i

J

PV

.

=

_.

Calcular o Principal que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 7 meses, à taxa de 3 % ao mês para se conseguir um

(31)

294 ENTER

7 0.03

Essa operação corresponde à expressão: 1400,00 03 , 0 . 7 294 = = PV

Se houver a necessidade de encontrar o tempo de aplicação ou a taxa de juros, sob as mesmas condições, basta proceder de forma análoga à utilizada para calcular o Valor Presente.

No conjunto de exercícios propostos, você terá a oportunidade de calcular cada uma das variáveis separadamente, a saber: Juro (J), Valor Presente (PV), Taxa (i) e Prazo (n).

3. 8 Cálculo do montante ou valor futuro (fv)

Calcular o Montante (M) ou Valor Futuro (FV) significa somar o Valor Presente (PV) com o respectivo juro. Algebricamente, pode-se dizer que: FV = J + PV.

Para você encontrar o valor do Montante através da fórmula, vamos fazer uma dedução simples.

Supondo um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 4 meses à taxa de juro simples de 2% ao mês.

Selecionando os dados do problema proposto: PV = R$ 1000,00

n = 4 meses i = 2% a.m.

Realizando um procedimento já aprendido, pode-se calcular o valor do juro, onde: J = PV . i . n, então: J = 1000 x 0,02 x 4 J = 80,00 Sendo o FV = J + PV, logo: FV = 80 + 1000 FV = 1080,00

(32)

FV = PV + PV. i . n.

Note que PV repete escrevemos:

)

.

1 (

i

n

PV

FV

=

+

Observe o exemplo.

Uma aplicação no valor de R$ 500,00 a juros simples de 1,50% a.m. que deverá ser resgatada daqui a 5 meses. Qual montante será resgatado, cumprido este prazo?

Configure sua

Selecione os dados do problema. PV = R$ 500,00

n = 5 meses

i = 1,5 % a.m que depois de transformada em taxa unitária será i = 0,015 a.m.

)

.

1 (

i

n

PV

FV

=

+

, então:

Limpe os registros anteriores pressionando as teclas: Configure para 3 dígitos pr

Digite Pressione a função

desejada

500 ENTER

0,015 ENTER

5 1

Note que PV repete-se duas vezes. Colocando-se PV em evidência,

Uma aplicação no valor de R$ 500,00 a juros simples de 1,50% a.m. que deverá ser resgatada daqui a 5 meses. Qual montante será resgatado,

Solução utilizando a sua .

para 3 dígitos (pressione e 3, nesta ordem) ecione os dados do problema.

i = 1,5 % a.m que depois de transformada em taxa unitária será i = 0,015 a.m. , então:

Limpe os registros anteriores pressionando as teclas: Configure para 3 dígitos pressionando as teclas:

Pressione a função desejada Observe o Visor ENTER ENTER se PV em evidência,

Uma aplicação no valor de R$ 500,00 a juros simples de 1,50% a.m. que deverá ser resgatada daqui a 5 meses. Qual montante será resgatado,

e 3, nesta ordem)

i = 1,5 % a.m que depois de transformada em taxa unitária será i = 0,015 a.m.

Limpe os registros anteriores pressionando as teclas: . e 3.

(33)

1

Sendo assim, o valor futuro resgatado após 5 meses de aplicação, será de R$ 537,50.

Outra forma de calcular o valor

Esta é a segunda forma de calcular o PV de uma capitalização simples. Lembre-se que, o Valor Presente ou Valor Atual é o valor do capital que, aplicado a uma determinada taxa e a um determinado prazo, gera um Valor Futuro (FV).

Observe o esquema a seguir, supondo uma aplicação com duração de 5 meses:

PV

Utilizando a fórmula do FV (Valor Futuro), vamos chegar à fórmula do Valor Presente (PV).

Veja com é simples:

)

.

1 (

.

1 (

n

i

FV

PV

n

i

PV

FV

+

=

+

=

Pronto. Para calcular o Valor Atual de uma operação financeira sob o regime de juro simples, basta substituir as variáveis: FV,

algébrica: ) . 1 ( in FV PV + = . Observe o exemplo:

Uma instituição financeira oferece uma capitalização simples à taxa de 1,5% ao mês e sendo o resgate somente daqui a um ano. A instituição disponibiliza vários prêmios para sere

Supondo aceitar esta oferta e, desejando resgatar R$ 10.000,00 daqui a 12 meses, qual o valor que deverá ser depositado hoje?

1

Sendo assim, o valor futuro resgatado após 5 meses de aplicação, será

Outra forma de calcular o valor presente (pv)

Esta é a segunda forma de calcular o PV de uma capitalização simples. se que, o Valor Presente ou Valor Atual é o valor do capital que, aplicado a uma determinada taxa e a um determinado prazo, gera um Valor squema a seguir, supondo uma aplicação com duração

FV

Utilizando a fórmula do FV (Valor Futuro), vamos chegar à fórmula do

)

n

Pronto. Para calcular o Valor Atual de uma operação financeira sob o regime de juro simples, basta substituir as variáveis: FV, i e

.

Uma instituição financeira oferece uma capitalização simples à taxa de 1,5% ao mês e sendo o resgate somente daqui a um ano. A instituição disponibiliza vários prêmios para serem sorteados entre os depositantes. Supondo aceitar esta oferta e, desejando resgatar R$ 10.000,00 daqui a 12 meses, qual o valor que deverá ser depositado hoje?

Solução utilizando a sua :

2 3 4 5 meses

Sendo assim, o valor futuro resgatado após 5 meses de aplicação, será

Esta é a segunda forma de calcular o PV de uma capitalização simples. se que, o Valor Presente ou Valor Atual é o valor do capital que, aplicado a uma determinada taxa e a um determinado prazo, gera um Valor squema a seguir, supondo uma aplicação com duração

Utilizando a fórmula do FV (Valor Futuro), vamos chegar à fórmula do

Pronto. Para calcular o Valor Atual de uma operação financeira sob o e n na fórmula

Uma instituição financeira oferece uma capitalização simples à taxa de 1,5% ao mês e sendo o resgate somente daqui a um ano. A instituição m sorteados entre os depositantes. Supondo aceitar esta oferta e, desejando resgatar R$ 10.000,00 daqui a 12

(34)

Seleção dos dados do problema: FV = R$ 10.000,00

n = 12 meses

i = 1,5 % a.m. (escrevendo na forma unitária, temos i = 0,015 a.m) PV = ?

10000 ENTER

0,015 ENTER

12 1

Sendo assim, o valor atual a ser depositado deverá ser de R$ 8.474,576 para resultar no montante de 10.000,00 em 12 meses à taxa de 1,5% ao mês.

Até agora, as taxas utilizadas eram compatíveis com os prazos. Isto é, na mesma unidade de tempo. No entanto, nem sempre é possível capitalizar em períodos inteiros. Por exemplo: suponha uma aplicação por 41 dias à taxa de 2% ao mês.

Em casos como este, será necessário alterar a taxa, pois, aquela informada é mensal.

Então:

Adotando-se o mês comercial (30 dias), faremos:

a.p. % 2,73 dias 41 x dias 30 % 2 ₌

Tal que, a.p. significa “ao período”.

Essa forma de alterar a taxa só é possível em juros simples. Em juros compostos, procede-se de outra maneira.

(35)

Capítulo 4

Capitalização Composta ou

Exponencial

4.1 Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV)

Pois bem, FV = PV. (1 + i.n).

Fazendo este mesmo raciocínio, porém considerando n = 1, resulta em: FV = PV. (1 + i).

(1 + i) é chamado de fator de acumulação de capital ou de fator de capitalização.

Pelo exposto citado anteriormente, sendo n = 1.

FV = PV. (1+i). Se quisermos reaplicar este Valor (FV) por mais um período n, então o novo Valor Futuro (FV) no final de n = 2 resulta em:

FV2 = [PV. (1 + i)] (1 + i), logo,

FV2 = PV (1 + i)2 E, assim sucessivamente. ; ) 1 ( : termo ésimo -n o Para ... ; ) 1 ( : 6 n Para ; ) 1 ( : 5 n Para ; ) 1 ( : 4 n Para ; ) 1 ( : 3 n Para 6 6 5 5 4 4 3 3 n n PV i FV i PV FV i PV FV i PV FV i PV FV + = + = = + = = + = = + = =

Esta fórmula é apresentada para que você saiba a origem do Valor Futuro (FV), após serem conhecidas as outras variáveis financeiras, assim como: o Valor Presente, o tempo de aplicação e a respectiva taxa.

Vale lembrar que, de modo semelhante ao regime de juros simples, deve haver a mesma unidade entre o n (prazo) e i (taxa).

Agora, em capitalização composta, passaremos a utilizar as teclas financeiras da calculadora HP 12C.

(36)

1. Não se preocupe com a ordem ao utilizar as teclas financeiras. Você pode iniciar a resolução do problema utilizando qualquer uma das teclas (n, i, PV, PV, FV ou PMT).

2. Não esqueça que prazo e taxas devem ser informados na mesma unidade de tempo.

3. A calculadora receberá, no mínimo, três dados ou informações

cálculo.

4. A taxa de juros deve ser indicada na forma percentual (%).

Caso você não tenha uma Calculadora HP em mãos, pode utilizar o emulador disponibilizado.

Observe o exemplo:

Supondo uma aplicação de R$

mês, por 6 meses. Qual será o montante resultante desta aplicação?

Seleção dos dados do problema: PV = 9.700,00

n = 6 meses i = 1,7 % a.m, FV = ?

Agora, utilize sua Calculadora:

Não se preocupe com a ordem ao utilizar as teclas financeiras. Você pode iniciar a resolução do problema utilizando qualquer uma das teclas (n, i, PV, PV, FV ou Não esqueça que prazo e taxas devem ser informados na mesma unidade de tempo.

A calculadora receberá, no mínimo, três dados ou informações, para que seja dada a resposta de um A taxa de juros deve ser indicada na forma percentual

Caso você não tenha uma Calculadora HP em mãos, pode utilizar o emulador disponibilizado.

Supondo uma aplicação de R$ 9.700,00 à taxa composta de 1,7% ao mês, por 6 meses. Qual será o montante resultante desta aplicação?

Solução utilizando a sua . Seleção dos dados do problema:

Agora, utilize sua Calculadora:

Não se preocupe com a ordem ao utilizar as teclas financeiras. Você pode iniciar a resolução do problema utilizando qualquer uma das teclas (n, i, PV, PV, FV ou Não esqueça que prazo e taxas devem ser informados A calculadora receberá, no mínimo, três dados ou , para que seja dada a resposta de um A taxa de juros deve ser indicada na forma percentual

Caso você não tenha uma Calculadora HP em mãos, pode utilizar o

9.700,00 à taxa composta de 1,7% ao mês, por 6 meses. Qual será o montante resultante desta aplicação?

(37)

Digite Pressione a função desejada

9700 6 1.7

Este é o montante resultante da aplicação proposta.

4.2 Cálculo do valor presente (pv)

Qual deve ser o valor depositado hoje à taxa de 0,9% ao que, em 24 meses, resulte em R$ 3.000,00?

Seleção dos dados do problema: FV = 3.000,00

n = 24 meses i = 0,9% a.m

Utilize a sua calculadora:

desejada 3000 24 0.9 2.419,543. Pressione a função desejada Observe o Visor

Este é o montante resultante da aplicação proposta.

Cálculo do valor presente (pv)

Qual deve ser o valor depositado hoje à taxa de 0,9% ao que, em 24 meses, resulte em R$ 3.000,00?

Utilize a sua calculadora:

Pressione a função desejada

Observe o Visor

O valor que deve ser depositado hoje é de R$

Observe o Visor

Qual deve ser o valor depositado hoje à taxa de 0,9% ao mês a fim de

Observe o Visor

(38)

4.3 Cálculo da taxa de capitalização.

Um empréstimo de R$ 4.000,00 foi pago ao final de 10 meses e rendeu juros compostos de R$ 462,43. Qual a taxa que foi

financeira?

Seleção dos dados do problema: PV = 4.000,00

n = 10

FV = 4.000,00 + 462,43 FV = 4.462,43.

Sendo assim:

desejada 4000

10 4462.43

Ou seja, a taxa de capitalização da operação foi de 1,1 % ao mês.

No regime de capitalização composta, não podemos mais dividir ou multiplicar a taxa de juros. A forma correta de alterar uma taxa composta será estudada mais adiante.

4. 4 Cálculo do prazo de aplicação

Um investimento foi realizado à taxa de 22% ao ano e rendeu juros de 27.952,69. A aplicação inicial foi de R$ 23.000,00. Por quanto tempo durou este investimento?

Cálculo da taxa de capitalização.

Um empréstimo de R$ 4.000,00 foi pago ao final de 10 meses e rendeu juros compostos de R$ 462,43. Qual a taxa que foi utilizada nesta operação

Pressione a função

desejada

Observe o Visor

No regime de capitalização composta, não podemos mais dividir ou multiplicar a taxa de juros. A forma correta de alterar uma taxa composta será estudada mais adiante.

Cálculo do prazo de aplicação

Um investimento foi realizado à taxa de 22% ao ano e rendeu juros de 27.952,69. A aplicação inicial foi de R$ 23.000,00. Por quanto tempo durou Um empréstimo de R$ 4.000,00 foi pago ao final de 10 meses e rendeu utilizada nesta operação

Observe o Visor

No regime de capitalização composta, não podemos mais dividir ou multiplicar a taxa de juros. A forma correta de alterar uma taxa composta

Um investimento foi realizado à taxa de 22% ao ano e rendeu juros de 27.952,69. A aplicação inicial foi de R$ 23.000,00. Por quanto tempo durou