Presentation Susana Ribeiro

(1)

Modelac¸˜

ao estoc´

astica nas ciˆ

encias atuariais

Susana Ribeiro

Universidade do Minho

8 de Fevereiro de 2013

(2)

1

_{Teoria da ru´ına}

2

Simulac¸˜

oes te´

oricas

3

_{Base de dados real}

4

Notas finais

(3)

Teoria da ru´ına

(4)

(5)

Teoria da ru´ına Modelo em tempo discreto

Modelo em tempo discreto

Caraterizac

¸˜

ao do modelo

U(n) = u + cn −

n

X

k=0

S

k

, n ∈ N ∪ {0},

• U(n): capital no fim do per´ıodo n,

• u = U(0) > 0: capital inicial,

• c: pr´emio recebido em cada per´ıodo de tempo n,

E [U(n)] > E [U(0)] ⇔ c > E [S],

• S

k

: indemnizac

¸˜

ao agregada relativa ao per´ıodo k, S

0

= 0, e as v.a. {S

k

}

k≥1

s˜

ao

i.i.d. a uma v.a. S,

• Assume-se a existˆencia da func¸˜

ao geradora de momentos de S (que se

representa por M

S

(·)) para −∞ < r < η e que satisfac

¸a lim

r →η

M

S

(r ) = +∞.

(6)

Tempo de ru´ına

T = min{n ≥ 1 : U(n) < 0}.

Probabilidade de ru´ına

ψ(u) = P T < +∞

U(0) = u

.

Coeficiente de ajustamento

E

h

e

r (S−c)

i

= 1.

6/30

(7)

Modelo em tempo discreto

Tempo de ru´ına

T = min{n ≥ 1 : U(n) < 0}.

Probabilidade de ru´ına

ψ(u) = P T < +∞

U(0) = u

.

Coeficiente de ajustamento

E

h

e

r (S−c)

i

= 1.

(8)

Tempo de ru´ına

T = min{n ≥ 1 : U(n) < 0}.

Probabilidade de ru´ına

ψ(u) = P T < +∞

U(0) = u

.

Coeficiente de ajustamento

E

h

e

r (S−c)

i

= 1.

6/30

(9)

Modelo em tempo discreto

(10)

Teorema fundamental do risco

Para o capital inicial u ≥ 0 e coeficiente de ajustamento ˜

R,

ψ(u) =

e

− ˜Ru

E [e

− ˜RU(T )

_{|T < +∞]}

.

Desigualdade de Lundberg

Para o capital inicial u ≥ 0 e coeficiente de ajustamento ˜

R tem-se que

ψ(u) < e

− ˜Ru

.

(11)

Modelo em tempo discreto

Teorema fundamental do risco

Para o capital inicial u ≥ 0 e coeficiente de ajustamento ˜

R,

ψ(u) =

e

− ˜Ru

E [e

− ˜RU(T )

_{|T < +∞]}

.

Desigualdade de Lundberg

Para o capital inicial u ≥ 0 e coeficiente de ajustamento ˜

R tem-se que

(12)

Caraterizac

¸˜

ao do modelo

U(t) = u + ct − S(t), t ≥ 0

• U(t): capital no tempo t,

• u = U(0) > 0: capital inicial,

• c: taxa constante dos pagamentos `

a seguradora, E [U(t)] > E [U(0)] ⇔ c > λµ,

• S(t): S(t) =

P

N(t)

i =0

X

i

indemnizac

¸˜

oes agregadas que resultam do pagamento da

seguradora aos seus clientes at´

e ao tempo t,

• X

i

: montante das indemnizac

¸˜

oes particulares, X

0

= 0, as v.a. {X

i

}

i ≥1

s˜

ao i.i.d.

a uma v.a. X e µ = E [X ],

• N(t): processo que conta o n´

umero de indemnizac¸˜

oes que ocorreram at´

e ao

tempo t, considera-se um processo de Poisson homog´

eneo de parˆ

ametro λt, e

N(t) e X

i

s˜

ao v.a. independentes.

(13)

Teoria da ru´ına Modelo em tempo cont´ınuo

Modelo em tempo cont´ınuo

(14)

Tempo de ru´ına

T = inf{t ≥ 0 : U(t) < 0}.

Probabilidade de ru´ına

ψ(u) = P (T < +∞|U(0) = u) .

Coeficiente de seguranc¸a

c = (1 + α)λµ.

Coeficiente de ajustamento

´

Unica raiz positiva da equac

¸˜

ao rc = λ M

X

(r ) − 1

, ou de

1 + (1 + α) µ r = M

X

(r ).

(15)

Modelo em tempo cont´ınuo

Tempo de ru´ına

T = inf{t ≥ 0 : U(t) < 0}.

Probabilidade de ru´ına

ψ(u) = P (T < +∞|U(0) = u) .

Coeficiente de seguranc¸a

c = (1 + α)λµ.

Coeficiente de ajustamento

´

Unica raiz positiva da equac

¸˜

ao rc = λ M

X

(r ) − 1

, ou de

1 + (1 + α) µ r = M

X

(r ).

(16)

Tempo de ru´ına

T = inf{t ≥ 0 : U(t) < 0}.

Probabilidade de ru´ına

ψ(u) = P (T < +∞|U(0) = u) .

Coeficiente de seguranc¸a

c = (1 + α)λµ.

Coeficiente de ajustamento

´

Unica raiz positiva da equac

¸˜

ao rc = λ M

X

(r ) − 1

, ou de

1 + (1 + α) µ r = M

X

(r ).

(17)

Modelo em tempo cont´ınuo

Tempo de ru´ına

T = inf{t ≥ 0 : U(t) < 0}.

Probabilidade de ru´ına

ψ(u) = P (T < +∞|U(0) = u) .

Coeficiente de seguranc¸a

c = (1 + α)λµ.

Coeficiente de ajustamento

´

Unica raiz positiva da equac

¸˜

ao rc = λ M

X

(r ) − 1

, ou de

(18)

Existˆ

encia do coeficiente de ajustamento - Modelo em tempo cont´ınuo.

(19)

Modelo em tempo cont´ınuo

Teorema fundamental do risco

Para o capital inicial u ≥ 0 e coeficiente de ajustamento R,

ψ(u) =

e

−R u

E

e

−R U(T )

T < +∞

.

Desigualdade de Lundberg

Para o capital inicial u ≥ 0 e coeficiente de ajustamento R, tem-se que

ψ(u) < e

−Ru

.

(20)

Teorema fundamental do risco

Para o capital inicial u ≥ 0 e coeficiente de ajustamento R,

ψ(u) =

e

−R u

E

e

−R U(T )

T < +∞

.

Desigualdade de Lundberg

Para o capital inicial u ≥ 0 e coeficiente de ajustamento R, tem-se que

ψ(u) < e

−Ru

.

(21)

Simulações teóricas

(22)

• Horizonte temporal: 10 anos (aproximadamente 3650 dias),

• N´

umero de indemnizac¸˜

oes: 730,

• ˆ

λ, m´

edia do processo de Poisson: ˆ

λ =

₃₆₅₀730

= 0.2,

• Pr´emio constante: ˆ

c = 250,

• M´edia das indemnizac¸˜

oes: ˆ

µ = 750.

Probabilidade de ru´ına para u = 0

A probabilidade de ru´ına para o caso do capital inicial ser nulo ´

e

ψ(0) =

λµ_c

=

0.2×750₂₅₀

= 0.6.

(23)

Simulações teóricas Indemnizações particulares com distribuição discreta

Indemnizac¸˜

oes particulares com distribuic¸˜

ao discreta

Estimativa da probabilidade de ru´ına para X ∼ P(750), X ∼ Geo(

1 750

) e

X ∼ Bin(3000, 0.25).

(24)

Estimativa da probabilidade de ru´ına para X ∼ Exp(

₇₅₀1

), X ∼ U [0, 1500],

X ∼ U [300, 1200], X ∼ N (750, 50) e X ∼ Gamma(1500, 2).

(25)

Base de dados real

(26)

Comparac

¸˜

ao entre os valores dos pr´

emios e das indemnizac

¸˜

oes.

(27)

Base de dados real An´alise descritiva

An´

alise descritiva

(28)

Comparac

¸˜

ao entre o valor dos pr´

emios e das indemnizac

¸˜

oes relativos `

a

carteira de seguros autom´

ovel.

(29)

Base de dados real An´alise descritiva

An´

alise descritiva

Evoluc

¸˜

ao do n´

umero de indemnizac

¸˜

oes relativas `

a carteira de seguros

autom´

ovel.

(30)

• M

_S

(r ) = e

rc

para encontrar o coeficiente de ajustamento,

• Agrupamento dos dados em classes para o c´

alculo da func

¸˜

ao geradora de

momentos,

• ˆ

c = 15447 m´

edia do valor dos pr´

emios mensais registados durante os

anos 1999 a 2011,

• Coeficiente de ajustamento R ≈ 0.001056.

Estimativa da probabilidade de ru´ına para diferentes valores de capital

inicial u atrav´

es da Desigualdade de Lundberg.

u 500 1000 2000 5000 10000 50000 100000

ψ(u) 0.5898 0.3478 0.1210 5.1 × 10−3 2.6 × 10−5 1.2 × 10−23 1.4 × 10−46

(31)

Base de dados real C´alculo do capital

C´

alculo do capital

• Estimativa do capital da seguradora relativo `

a carteira de seguros

autom´

ovel em 2000: ˆ

u = 9500,

• M´edia dos valores de pr´emio de 1999 e 2000: ˆ

c = 168755,

• M´edia dos montantes das indemnizac¸˜

oes de 1999 e 2000: ˆ

µ = 125440.

Capital estimado

´

E poss´ıvel calcular a estimativa do capital em 2011, ou seja,

U(11) = 9500 + 11 × 168755 − 11 × 125440 = 485967.

Valor bastante superior ao capital esperado da carteira de seguros

(32)

Notas finais

(33)

Notas finais

Dificuldades iniciais.

Resultados interessantes.

Aplicac

¸˜

ao pr´

atica.

Trabalho futuro.

(34)

Dificuldades iniciais.

Resultados interessantes.

Aplicac

¸˜

ao pr´

atica.

Trabalho futuro.

(35)

Notas finais

Dificuldades iniciais.

Resultados interessantes.

Aplicac

¸˜

ao pr´

atica.

Trabalho futuro.

(36)

Dificuldades iniciais.

Resultados interessantes.

Aplicac

¸˜

ao pr´

atica.

Trabalho futuro.

(37)

Referˆencias

(38)

Bowers N., Gerber H., Hickman J., Jones D., Nesbitt C. - Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, 1997.

Centeno, L. - Teoria do Risco na Atividade Seguradora. Oeiras, Celta Editora, 2003. Chung, K. - A Course in Probability Theory, 2nd ed. New York, Academic Press, 1974. James, B. - Probabilidade: um curso em n´ıvel intermedi´ario. Rio de Janeiro: Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada, 1981.

Karlin, S. e Taylor, H. - A first course in stochastic processes. Academic Press, 1975. Reis, Alfredo D. E. - Ciˆencias Actuariais: Modelos para Seguros. ISEG-UTL. Reis, Alfredo D. E. - Teoria da Ru´ına. Cemapre.

Shiryayev, A. N. - Probability. New York, Springer - Verlag, 1984.

(39)

Referˆencias

Referˆ

encias

Centeno, L. - Teoria do Risco na Atividade Seguradora. Oeiras, Celta Editora, 2003.

Chung, K. - A Course in Probability Theory, 2nd ed. New York, Academic Press, 1974. James, B. - Probabilidade: um curso em n´ıvel intermedi´ario. Rio de Janeiro: Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada, 1981.

(40)

Centeno, L. - Teoria do Risco na Atividade Seguradora. Oeiras, Celta Editora, 2003. Chung, K. - A Course in Probability Theory, 2nd ed. New York, Academic Press, 1974.

James, B. - Probabilidade: um curso em n´ıvel intermedi´ario. Rio de Janeiro: Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada, 1981.

(41)

Referˆencias

Referˆ

encias

(42)

Karlin, S. e Taylor, H. - A first course in stochastic processes. Academic Press, 1975.

Reis, Alfredo D. E. - Ciˆencias Actuariais: Modelos para Seguros. ISEG-UTL. Reis, Alfredo D. E. - Teoria da Ru´ına. Cemapre.

(43)

Referˆencias

Referˆ

encias

Karlin, S. e Taylor, H. - A first course in stochastic processes. Academic Press, 1975. Reis, Alfredo D. E. - Ciˆencias Actuariais: Modelos para Seguros. ISEG-UTL.