I
NTELIGÊNCIAA
RTIFICIAL2009/10
Representação de conhecimento
1. (2º Teste Tagus 2007/08) Utilizando os símbolos de predicado descritos abaixo juntamente com as respectivas interpretações pretendidas, que são
Jogo(x) -- 'x' é um jogo;
PertenceCampeonato(x) -- 'x' pertence ao campeonato; Joga(x,y) -- 'x' joga no 'y';
JogadorSelecção(x) -- 'x' é jogador da selecção Golo(x) -- 'x' é um golo;
Marca(x,y,z) -- 'x' marca 'y' em 'z'. represente em LPO as seguintes proposições:
a. (0.5) Se o Cristiano joga um jogo do campeonato então é jogador da selecção. b. (0.5) Todos os jogadores da selecção jogam um jogo no campeonato.
c. (0.5) Há jogadores da selecção que não jogam qualquer jogo do campeonato. d. (0.5) O Ricardo joga em pelo menos dois jogos do campeonato.
e. (1.0) Há pelo menos um jogador da selecção que marca exactamente um golo em cada jogo que joga.
2.(Repescagem 2º Teste Tagus 2007/08) Utilizando os símbolos de predicado descritos abaixo juntamente com as respectivas interpretações pretendidas, que são
Pessoa(x) -- 'x' é uma pessoa; Careca(x) -- 'x' é careca;
Cabelo(x) -- 'x' é um cabelo; Pertence(x,y) -- 'x' pertence a 'y'; Dia(x) -- 'x' é um dia; Cai(x,y) -- 'x' cai em 'y'
represente em LPO as seguintes proposições: a) Há pessoas que não têm cabelos.
b) Há pessoas que têm exactamente um cabelo. c) As pessoas que não têm cabelos são carecas. d) O Ricardo tem no máximo dois cabelos. e) Há quem perca pelo menos um cabelo por dia.
3. Um quadrado latino de dimensão n é uma matriz n x n cujas entradas são números de 1 a n e em que não existem linhas nem colunas com números repetidos.
a) Suponha que quer escrever as limitações que descrevem um quadrado latino de dimensão n utilizando a Lógica de Primeira Ordem. Diga quais são os predicados, funções e objectos de que precisa e o que representam.
b) Utilizando a linguagem descrita na alínea anterior, escreva a proposição que garante que a entrada da linha 2 e coluna 2 de um quadrado latino de dimensão 4 é um dos números 1, 2, 3 ou 4.
4. (2º Teste Tagus 2006/07) Considerando a constante “Homem-aranha” e os seguintes predicados Super-herói(s) – 's' é um Super-herói
Inimigo(x, y) – 'x' é inimigo de ‘y’
escolha de entre as respostas possíveis a que representa as seguintes proposições: a) Todos os super-heróis têm inimigos.
A) sx Inimigo(x,Super-herói(s))) B) sx Inimigo(x,Super-herói(s))) C) sx Inimigo(x,Super-herói(s))) D) s (Super-herói(s) x Inimigo(x, s)) E) s (Super-herói(s) x Inimigo(x, s)) F) s (Super-herói(s) ∧ x Inimigo(x, s)) G) s (Super-herói(s) x Inimigo(x, s)) H) s (Super-herói(s) ∧ x Inimigo(x, s)) b) Há super-heróis que não têm inimigos. A) sx Inimigo(x,Super-herói(s))) B) sx Inimigo(x,Super-herói(s))) C) sx Inimigo(x,Super-herói(s))) D) s (Super-herói(s) x Inimigo(x, s)) E) s (Super-herói(s) x Inimigo(x, s)) F) s (Super-herói(s) ∧ x Inimigo(x, s)) G) s (Super-herói(s) x Inimigo(x, s)) H) s (Super-herói(s) ∧ x Inimigo(x, s)) c) O Homem-aranha tem no máximo um inimigo.
A) xy (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha)) B) x Inimigo(x, Homem-aranha)
C) x y (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha) x = y) D) x y (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha)) E) x y (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha) x = y) F) x Inimigo(x, Homem-aranha)
G) x (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ y Inimigo(y, Homem-aranha))
H) x y (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha) ∧ (x = y)) d) O Homem-aranha tem pelo menos dois inimigos.
A) xy (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha)) B) x Inimigo(x, Homem-aranha)
C) x y (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha) x = y) D) x y (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha)) E) x y (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha) x = y) F) x Inimigo(x, Homem-aranha)
G) x (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ y Inimigo(y, Homem-aranha))
H) x y (Inimigo(x, Homem-aranha) ∧ Inimigo(y, Homem-aranha) ∧ (x = y))
5. Considere a seguinte tabela. Pretende-se colocar nas entradas (ou posições) da tabela os valores 0 ou 1 sujeitos à restrição de que entradas vizinhas não podem conter o mesmo valor. Por exemplo, se existir o valor 0 no quadrado central superior, só pode existir 1 nas posições acima, abaixo e aos lados.
1
1 0 1
1
a) Quais são os símbolos de predicado, função e constante a utilizar e o seu significado se pretender formular este problema em Lógica de Primeira Ordem?
b) Escreva as fórmulas necessárias para garantir a restrição acima referida, de que as entradas vizinhas não podem conter o mesmo valor, relativamente ao quadrado central superior.
6. (Repescagem 2º Teste 2006/07) Uma quadrado latino de dimensão n é uma matriz n x n cujas entradas são números de 1 a n e em que não existem linhas nem colunas com números repetidos. Escreva as limitações que descrevem o quadrado latino de dimensão n utilizando Lógica de Primeira Ordem com igualdade (utilize a função m(l,c) para identificar a entrada da matriz com linha l e coluna
c).
7. (Repescagem 2º Teste 2006/07) Considerando as constantes “HarryPotter”, “GinnyWeasley”, “ChoChang” e “CáliceDeFogo” e os predicados Namora(x, y) (que permite representar 'x' namora com ‘y’, bem como ‘y’ é namorada de ‘x’), Aliado(x, y) (que pernite representar 'x é aliado de ‘y’) e Ganha(x, y) (que permite representar ‘x’ ganha ‘y’), escolha de entre as respostas possíveis a que representa as seguintes proposições:
a) O Harry Potter namora com a Cho Chang ou com a Ginny Weasley, mas não com as duas. Nota: Recorde-se que α β é equivalente a (αβ)∧(βα).
A) Namora(HarryPotter, GinnyWeasley) ∧ Namora(HarryPotter, ChoChang)) B) Namora(HarryPotter, GinnyWeasley) ∧ Namora(HarryPotter, ChoChang) C) Namora(HarryPotter, GinnyWeasley) ∧ Namora(HarryPotter, ChoChang) D) Namora(HarryPotter, GinnyWeasley) Namora(HarryPotter, ChoChang) E) Namora(HarryPotter, GinnyWeasley) Namora(HarryPotter, ChoChang) F) Namora(HarryPotter, GinnyWeasley) Namora(HarryPotter, ChoChang) G) Namora(HarryPotter, GinnyWeasley) Namora(HarryPotter, ChoChang) H) Namora(HarryPotter, GinnyWeasley) Namora(HarryPotter, ChoChang) b) O Harry Potter tem no máximo uma namorada.
B) x Namora(x, HarryPotter)
C) x y (Namora(HarryPotter, x) ∧ Namora(HarryPotter, y) x = y) D) x y (Namora(x, HarryPotter) ∧ Namora(y, HarryPotter) x = y) E) x y (Namora(x, HarryPotter) ∧ Namora(y, HarryPotter)) F) x Namora(x, HarryPotter)
G) x (Namora(x, HarryPotter) ∧ y Namora(y, HarryPotter))
H) x y (Namora(x, HarryPotter) ∧ Namora(y, HarryPotter) ∧ (x = y)) c) O Harry Potter tem pelo menos dois aliados.
A) xy (Aliado(x, HarryPotter) ∧ Aliado(y, HarryPotter)) B) x Aliado (x, HarryPotter)
C) x y (Aliado(x, HarryPotter) ∧ Aliado(y, HarryPotter) x = y) D) x y (Aliado(x, HarryPotter) ∧ Aliado(y, HarryPotter) x = y) E) x y (Aliado(x, HarryPotter) ∧ Aliado(y, HarryPotter)) F) x Aliado(x, HarryPotter)
G) x (Aliado(x, HarryPotter) ∧ y Aliado (y, HarryPotter))
H) x y (Aliado(x, HarryPotter) ∧ Aliado (y, HarryPotter) ∧ (x = y)) d) Um e a apenas um aluno pode ganhar o “Cálice de Fogo” .
A) x (Aluno(x)∧ Ganha(x, CáliceDeFogo) y (Aluno(y)∧ Ganha(y, CáliceDeFogo) x = y)) B) x (Aluno(x)∧ Ganha(x, CáliceDeFogo) y (Aluno(y)∧ Ganha(y, CáliceDeFogo) x = y)) C) x (Aluno(x)∧ Ganha(x, CáliceDeFogo) ∧ y (Aluno(y)∧ Ganha(y, CáliceDeFogo) x = y)) D) x (Aluno(x)∧ Ganha(x, CáliceDeFogo) ∧ y (Aluno(y)∧ Ganha(y, CáliceDeFogo) x = y)) E) x (Aluno(x)∧ Ganha(x, CáliceDeFogo) y (Aluno(y)∧ Ganha(y, CáliceDeFogo) x = y)) F) x (Aluno(x)∧ Ganha(x, CáliceDeFogo) y (Aluno(y)∧ Ganha(y, CáliceDeFogo) x = y)) G) x (Aluno(x)∧ Ganha(x, CáliceDeFogo) ∧ y (Aluno(y)∧ Ganha(y, CáliceDeFogo) x = y)) H) x (Aluno(x)∧ Ganha(x, CáliceDeFogo) ∧ y (Aluno(y)∧ Ganha(y, CáliceDeFogo) x = y))
8. Considerando que o significado pretendido para os predicados “Homem”, “ComidaVegetariana” e “Gosta” é dado pelas associações seguintes, associe as frases identificadas por letras às fórmulas identificadas por números.
Homem(x) – “x” é homem; ComidaVegetariana(x) – “x” é comida vegetariana; Gosta(x,y) – “x” gosta de “y”.
A) A Maria gosta de alguns homens que não gostam de comida vegetariana. B) A Maria não gosta de homens que não gostam de comida vegetariana. C) A Maria não gosta de homens que gostam de comida vegetariana. D) A Maria só gosta de homens que só gostam de comida vegetariana.
1)∃h(Homem(h) ∧Gosta(Maria,h) ∧∀x(ComidaVegetariana(x)¬Gosta(h,x))) 2) ∀h(Homem(h)∧ ¬∃x(Gosta(h, ComidaVegetariana(x))) ¬Gosta(Maria,h)) 3) ∀h(Homem(h) ∧∃
x
(ComidaVegetariana(x)∧Gosta(h,x)) ¬Gosta(Maria,h)) 4) ∀h(Homem(h) ∧∀x(Gosta(h,x) ComidaVegetariana(x)) Gosta(Maria,h))5)
∀h(Homem(h) ¬∃x(Gosta(h, ComidaVegetariana(x))) ∧¬Gosta(Maria,h)) 6)∀h(Homem(h) ∧Gosta(Maria,h) ∧∀x(ComidaVegetariana(x)¬Gosta(h,x))) 7) ∀h(Homem(h) ∧ ¬∃x(ComidaVegetariana(x) ∧ Gosta(h,x)) ¬Gosta(Maria,h)) 8) ∀h(Homem(h) ¬∃x(Gosta(h, ComidaVegetariana(x))) ¬Gosta(Maria,h)) 9) ∃h(Homem(h) ∧∃x (ComidaVegetariana(x)∧Gosta(h,x)) ∧¬Gosta(Maria,h))9. Considerando o significado pretendido dos predicados na pergunta anterior, qual a melhor opção para escrever a proposição “A Maria gosta de comida vegetariana”?
b) ∀x (ComidaVegetariana(x) Gosta(Maria,x)) c) ∃x (Gosta(Maria,ComidaVegetariana(x))) d) ∀x (ComidaVegetariana(x) ∧ Gosta(Maria,x)) e) ∃x (ComidaVegetariana(x) ∧ Gosta(Maria,x)) f) ∃x (ComidaVegetariana(x) Gosta(Maria,x))
10. (2º Teste Tagus 2005/06) Considerando os predicados Cadeira(c) – 'c' é uma cadeira Professor(p) – 'p' é um professor Exame(e,c) – 'e' é exame de 'c' Teste(t,c) – 't' é teste de 'c' Projecto(p,c) – 'p' é projecto de 'c' Vigia(p,e) – 'p' vigia 'e'
escolha de entre as respostas possíveis as que representam as seguintes proposições: a) Há cadeiras que não têm exames.
A) c (Cadeira(c) ∧ Exame(Cadeira(c)) B) c (Exame(Cadeira(c)) C) c (Cadeira(c) e Exame(e,c)) D) c (Cadeira(c) ∧ e Exame(e,c)) E) c (Cadeira(c) Exame(Cadeira(c)) F) c (Cadeira(c) e Exame(e,c)) G) c (Cadeira(c) ∧ e Exame(e,c)) H) c (Cadeira(c) ∧ e Exame(e,c)) I) e (Cadeira(Exame(e)) J) c (Cadeira(c) e Exame(e,c))
b) Os exames de uma cadeira são vigiados por pelo menos um professor. A) c ! e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) p (Professor(p) ∧ Vigia(p,e))) B) c e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) ∧ p (Professor(p) Vigia(p,e))) C) c e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) p (Professor(p) ∧ Vigia(p,e))) D) c ! e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) ∧ p (Professor(p) Vigia(p,e))) E) c e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) ∧ p (Professor(p) ∧ Vigia(p,e))) F) c e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) ! p (Professor(p) ∧ Vigia(p,e))) G) c e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) p (Professor(p) ∧ Vigia(p,e))) H) c ! e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) ∧ p (Professor(p) ∧ Vigia(p,e))) I) c e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) p (Professor(p) Vigia(p,e))) J) c e (Cadeira(c) ∧ Exame(e,c) ∧ ! p (Professor(p) ∧ Vigia(p,e))) c) Todas as cadeiras têm exames ou testes ou projectos.
A) c (Cadeira(c) ∧ ( e Exame(e,c) ∨ t Teste(t,c) ∨ p Projecto(p,c))) B) c (Cadeira(c) ∧ ( e Exame(e,c) ∨ t Teste(t,c) ∨ p Projecto(p,c))) C) c (Cadeira(c) ( e Exame(e,c) ∨ t Teste(t,c) ∨ p Projecto(p,c))) D) c (Cadeira(c) ( e Exame(e,c) ∨ t Teste(t,c) ∨ p Projecto(p,c))) E) c (Cadeira(c) ( e Exame(e,c) ∨ t Teste(t,c) ∨ p Projecto(p,c))) F) c (Cadeira(c) ∧ ( e Exame(e,c) ∨ t Teste(t,c) ∨ p Projecto(p,c))) G) c (Cadeira(c) ∧ ( e Exame(e,c) ∨ t Teste(t,c) ∨ p Projecto(p,c))) H) c (Cadeira(c) ( e Exame(e,c) ∨ t Teste(t,c) ∨ p Projecto(p,c))) d) Há cadeiras que têm testes e projectos.
A) c (Cadeira(c) ∧ t Teste(t,c) ∧ p Projecto(p,c)) B) c (Cadeira(c) ∧ t Teste(t,c) ∧ p Projecto(p,c))
C) c (Cadeira(c) ( t Teste(t,c) ∧ p Projecto(p,c))) D) c (Cadeira(c) ∧ t Teste(t,c) ∧ p Projecto(p,c)) E) c (Cadeira(c) ∧ t Teste(t,c) ∧ p Projecto(p,c)) F) c (Cadeira(c) ( t Teste(t,c) p Projecto(p,c))) G) c (Cadeira(c) ( t Teste(t,c) p Projecto(p,c))) H) c (Cadeira(c) ( t Teste(t,c) ∧ p Projecto(p,c))) 11. (Repescagem 2º Teste 2005/06) Utilize os predicados
Jogador(x) – 'x' é um jogador Melhor(x) – 'x' é o melhor Faz(x,y) – 'x' faz 'y' Asneira(x) – 'x' é asneira
Cabecada(x,y) – 'x' dá cabeçada a 'y'
e escolha uma das opções abaixo para escrever as seguintes frases em lógica de primeira ordem
(Cuidado: algumas destas questões podem ser enganadoras): a) Um dos jogadores é o melhor.
A) x (Jogador(f(x))∧ Melhor(f(x))) B) x (Jogador(x) Melhor(x)) C) x (Jogador(f(x)) Melhor(f(x))) D) x (Jogador(f(x)) Melhor(f(x))) E) x (Jogador(x) Melhor(x)) F) x(Jogador(x)∨ Melhor(x)) G) x (Jogador(x) Melhor(x)) H) x(Jogador(x)∨Melhor(x)) b) O melhor jogador não faz asneiras.
A) xy (Asneira(y)∧ Faz(x,y)(Jogador(x)∨ Melhor(x))) B) xy (Asneira(y)∧ Faz(x,y)∨Jogador(x)∨ Melhor(x)) C) xy (Asneira(y)∧ Faz(x,y)Jogador(x)∧ Melhor(x)) D) xy (Asneira(y)∧ Faz(x,y)∧Jogador(x)∧ Melhor(x)) E) xy (Asneira(y)∧ Faz(x,y)Jogador(x)∧ Melhor(x)) F) xy (Jogador(x)∧ Melhor(x)∧Faz(x,y)∧Asneira(y)) G) xy (Jogador(x)∧ Melhor(x)Faz(x,Asneira(y))) H) xy (Jogador(x)∧ Melhor(x)∧Faz(x,Asneira(y))) c) Dar uma cabeçada noutro jogador é fazer uma asneira.
A) xy (Jogador(x)∧Jogador(y)∧Cabecada(x,y)z (Faz(x,z)∧Asneira(z))) B) xyz (Jogador(x)∧Jogador(y)∧Cabecada(x,y)∧Faz(x,z) Asneira(z))) C) xyz (Jogador(x)∧Jogador(y)∧Cabecada(x,y)∧ Asneira(z)Faz(x,z))) D) xy (Jogador(x)∧Jogador(y)∧Faz(x,Asneira(Cabecada(x,y)))
E) xy (Jogador(x)∧Jogador(y)∧Cabecada(x,y)z (Faz(x,z)∧Asneira(z))) F) xy (Jogador(x)∧Jogador(y) Faz(x,Asneira(Cabecada(x,y)))
G) xy (Jogador(x)∧Jogador(y)∧Faz(x,Cabecada(x,y)) Asneira(x)) H) xy (Jogador(x)∧Jogador(y)∧Cabecada(x,y)) Faz(x,Asneira(y))) d) O melhor jogador não dá cabeçadas.
A) x (Melhor(x)∧Jogador(x)∧y Cabecada(x,y)) B) x (Melhor(x)∧Jogador(x) y Cabecada(x,y)) C) x (Melhor(x)∧Jogador(x) y Cabecada(x,y)) D) x (Melhor(x)∧Jogador(x) y Cabecada(x,y)) E) x (Melhor(x)∨Jogador(x)∨y Cabecada(x,y)) F) x (Melhor(x)∨Jogador(x) y Cabecada(x,y)) G) x (Melhor(x)∨Jogador(x) y Cabecada(x,y)) H) x (Melhor(x)∨Jogador(x) y Cabecada(x,y))
12. Considere uma situação inicial em que estão um professor e um aluno numa sala de aulas e uma aluna fora da sala de aulas. Considere ainda que podem ser executadas uma acção que corresponde a alguém entrar na sala de aulas e outra que corresponde a alguém sair da sala. Considerando Lógica de Primeira Ordem com o predicado
NaSala(x,s) -- 'x' está na sala na situação 's'; com as funções
Result(a,s) -- 'a' é uma acção e 's' é uma situação (representa a situação resultante de executar a acção 'a' na situação 's');
EntraNaSala(x) -- 'x' é uma pessoa (representa a acção de 'x' entrar na sala); SaiDaSala(x) -- 'x' é uma pessoa (representa a acção de 'x' sair da sala); com as constantes
Aluno, Aluna -- dois alunos; Prof -- professor;
S0 -- situação inicial;
represente a situação inicial e as proposições que lhe permitirão concluir que, na situação S1 resultante da entrada da aluna na sala, a aluna está na sala e que o professor e o aluno continuam na sala e que, nesta situação, se considerarmos a situação resultante da saída do aluno da sala, o aluno deixa de estar na sala e que o professor e a aluna continuam na sala. Sugestão: utilize o cálculo situacional.
13. (Livro Ex. 10.3) Para este exercício, vamos considerar o problema de planear o caminho de um robot de uma cidade para outra. A acção básica que o robot pode executar é Ir(x,y), que o leva da cidade 'x' para a cidade 'y' se houver uma estrada directa entre as duas cidades. EstradaDirecta(x,y) é verdade se e só se existir uma estrada directa entre as duas cidades (pode-se assumir que todos os factos já estão presentes na BC -- veja mapa na página 63 do livro). O robot começa em Arad e pretende-se que chegue a Bucarest.
a. Escreva a descrição lógica da situação inicial do robot.
b. Escreva a formulação lógica adequada da pergunta cuja solução produz os caminhos possíveis para o objectivo.
c. Escreva a formulação lógica que descreve a acção Ir.
d. Suponha agora que ao percorrer o caminho entre duas cidades consome uma quantidade de combustível igual à distância entre as duas cidades. O robot começa com o depósito cheio de combustível. Aumente a sua formulação por forma a incluir estas considerações.
e. Descreva a situação inicial e re-escreva a(s) regra(s) que descrevem a acção Ir.
f. Suponha que alguns vértices são estações de serviço, onde o robot pode encher o tanque. Estenda a sua representação e escreva todas as regras necessárias à descrição das estações de serviço, incluindo a acção EncherDepósito.
14. (Livro Ex. 10.6) Escreva a definição dos seguintes conceitos: i) DecomposiçãoExaustivaDePartes
ii) PartiçãoDePartes iii) PartesDisjuntas
Estas definições devem ser análogas às definiçõesDecomposiçãoExaustiva, Partição e Disjuntos. Será que se tem PartiçãoDePartes(s,MonteDe(s))? Se for, prove-o. Senão, dê um contra-exemplo e defina as condições suficientes para garantir que se verifica.
15.(Livro Ex. 10.7) Escreva um conjunto de fórmulas que lhe permite calcular o preço de um tomate individual (ou de outro objecto), dado o preço por quilograma. Aumente a teoria para permitir que seja calculado o preço de um saco de tomates.
16. (Livro Ex. 10.8) Um esquema alternativo para representar medidas envolve a aplicação de uma função que mede número de unidades a um comprimento. Utilizando este esquema, poder-se-ia escrever Centimetros(Comprimento(C1))=1,5. Como é que este esquema se compara ao utilizado neste capítulo? Deve-se considerar axiomas para converter as medidas, nomes para quantidades abstractas (como 50 Euros), e comparações de medidas abstractas em unidades diferentes (50 polegadas é maior que 50 centímetros).
