Capítulo 5 Análise com volumes de controle fixos

Capítulo 5 – Análise com volumes de

controle fixos

Como dito anteriormente, a análise de alguns problemas de Mecânica dos Fluidos aplicados a engenharia é mais fácil, e adequada, quando feita a partir da consideração de volumes de controle.

Exemplos

►

Tempo para preenchimento de um tanque com líquido.

►

Força para manter uma turbina presa em uma bancada de testes.

►

Transferências de líquidos entre dois tanques desnive-lados.

Conceitos básicos para abordagem desses

problemas

►

Conservação da massa.

►

Segunda lei de Newton.

►

Leis fundamentais da termodinâmica.

►

Teorema de Reynolds (forma geral).















SC VC

bd

b

dA

t

Dt

DB

n

V





V

SIS

5.1 Conservação da massa e equação da

continuidade

5.1.1 Derivação da equação da continuidade

►

Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa e identificável de um material. Desta definição, e do princípio da conservação de massa, vem que,

►

Assim, se a massa é o parâmetro físico, como na equação anterior, teremos,

0

SIS



Dt

DM

Seguindo a discussão,

►

Consideremos a figura a seguir que mostra um sistema e um volume de controle fixo, coincidentes num dado instante t.

• (a) em t - δt.

• (b) em t (coincidentes).

►

Aplicando o teorema de Reynolds.





SIS SIS

dV

M



0



















SIS

d

_t

VC

d

SC

dA

Dt

D

n

V







V

V

Taxa de variação temporal da mas-sa do sistema coincidente. Taxa de variação temporal da mas-sa no volume de controle Vazão líquida de massa através da superfície de controle.

Ponderações.

►

Se o escoamento é permanente,

►

A vazão em volume através da área dA da superfície de controle é,

►

A vazão em massa através de dA é,

►

Se o escoamento é para fora do volume de controle,

►

Se o escoamento é para dentro do vol. de controle,







dA

Q

V

n

0









VC

d

t



V







dA

m





V

n

0



n

V

0



n

V

Com essas ponderações.

Onde

• é vazão em massa líquida total no volume de controle (kg/s).

• é vazão em massa que entra no volume de controle (kg/s).

0

















dA

m

_sai

m

_entra

m

SC



V

n







m



Difícil de calcular em alguns casos Fácil de medir na maioria dos casos entra

m



►

A vazão em massa, , através de uma superfície de controle de área, A, pode ser dada por,

Onde ρ é a massa específica e V é perpendicular a A.

►

A equação acima só representa a realidade, se considerarmos valores médios para ρ e V ao longo do escoamento. Assim, como

Vem que,

VA

Q

m

















SC

dA

m





V

n

m



A

dA

V

dA

A

V

SC SC













V



n







V



n

►

Se o perfil de velocidade do escoamento é uniforme na seção transversal que apresenta área A, isto é, se o escoamento for unidimensional, temos,

Onde U é a velocidade do escoamento.

U

A

dA

V

SC













V

n

Assim, num ponto da superfície de controle...

► (se a velocidade e a densidade forem constantes ao longo da área A)

5.1.2 Volumes de controle fixos e indeformáveis

Exemplos

1) A água do mar escoa em regime permanente no bocal cônico mostrado na figura abaixo. No bocal, está instalado uma mangueira e esta é alimentada por uma bomba hidráulica. Qual deve ser a vazão em volume da bomba para que a velocidade de descarga da seção do bocal seja igual a 20 m/s?

Solução

► O volume de controle contém, em qualquer instante, a água do mar que está contida na mangueira.

► Temos informações sobre a seção de descarga do bocal. Assim, poderemos encontrar a vazão no volume de controle. ► Aplicando o teorema de Reynolds,

► Como o regime é permanente,

► Logo,

0

















SC VC SIS

dA

d

t

Dt

DM

n

V





V

0









VC

d

t



V

2 1 1 2

m

0

,

m

m

m

dA

SC























V

n

► Por outro lado, como o regime é permanente,

► Ainda temos ρ₁ = ρ₂, portanto,

► Daí, 2 2 1 1 2 1

Q

Q

m

m







 



s

m

Q

D

A

V

Q

Q

/

0251

,

0

)

040

,

0

(

20

2

3 2 2 2 2 2 1





























2 1

Q

Q



2) O ar escoa entre duas seções de um tubo de diâmetro igual a 10 cm, como mostrado na figura abaixo. As distribuições de pressão e temperatura são uniformes em cada seção. Se a velocidade média do ar na seção (2) é 304,8 m/s, calcule a velocidade média na seção (1).

Solução

► O volume de controle indicado na figura contém, a todo instante, o ar em quantidade constante, já que o escoamento é permanente.

► Aplicando o teorema de Reynolds,

► Como, (escoamento permanente)

► Então,

0

















VC VC SIS

dA

d

t

Dt

DM

n

V





V

0









VC

d

t



V

1 2

0

0

m

m

dA

dA

SC





















n

V

n

V





► Seguindo,

► Não podemos considerar ρ₁ = ρ₂, pois a massa específica do ar varia com a pressão e a temperatura. Isto é,

2 2 2 1 1 1 1 2

A

V

A

V

m

m







 



s

m

k

k

V

T

p

V

T

p

A

RT

p

A

V

RT

p

A

A

V

V

Assim

RT

p

8

,

66

453

5

,

689

8

,

304

540

87

,

126

,

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1

























3) A figura a seguir mostra o desenvolvimento de um escoamento laminar de água num tubo reto (raio R). O perfil de velocidade na seção (1) é uniforme com velocidade U paralela ao eixo do tubo. O perfil de velocidade na seção (2) é assimétrico, parabólico e com velocidade nula na parede do tubo. Qual a relação existente entre U e u_Max? Qual a relação existente entre a velocidade média na seção (2),

Solução

► Aplicando o teorema de Reynolds,

► Como, (escoamento laminar permanente)

► Então,

► Na seção 1, V = U e ainda, U é perpendicular a A₁. Logo,

0

















VC VC SIS

dA

d

t

Dt

DM

n

V





V

0









VC

d

t



V

0

0

2 1



















A A SC

dA

dA

dA

n

V

n

V

n

V







UA

dA

U

dA

A A



















1

V

n

1

cos(

180

)

Seguindo,

► Agora, analisando a seção 2:

• Os componentes de V também são perpendiculares a área A₂.

• n aponta para fora, logo V.n > 0.

• A seção A₂ é circular de raio R. Assim,

0

2











A

dA

UA



V

n



► Dessa forma,

0

4

2

2

0

1

2

0

2

1

,

1

0

2

0 2 4 2 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2

























































































































R Max R Max R Max Max R

R

r

r

u

R

dr

R

r

u

R

U

rdr

R

r

u

UA

Daí

R

r

u

u

rdr

u

UA





















► Seguindo,

► Nas paredes da seção (2), u = 0. A velocidade máxima na seção (2), por sua vez, é 2U. Desta forma,

U

u

R

u

R

U

R

R

R

u

R

U

R

r

r

u

R

U

Max Max Max R Max

2

0

4

2

0

4

2

2

0

4

2

2

2 2 2 4 2 2 0 2 4 2 2



















































U

u



2

0

► Cálculo formal de

_V

₂

dA

A

V

A

n

V ˆ

1











rdr

R

r

u

R

V

R







1

2

1

0 2 max 2 2





































































































4

2

2

4

2

2

1

2

2 2 2 max 0 2 4 2 2 max 0 2 2 max 2

R

R

R

u

R

r

r

R

u

rdr

R

r

R

u

V

R R





4

2

2 2 max 2

R

R

u

V

V



u



U

2

max

2

►

Solução Proposta pela aluna Patrícia Martins

U

V

que

Vem

constante

U

V

Com

A

V

A

V

Então

iguais

saída

e

entrada

de

áreas

as

e

ível

incompress

e

permanente

escoamento

o

Sendo









2 1 2 2 1 1

,

.

,

.

,





O exercício anterior, trata do “escoa-mento de Poiseuille”

► Descoberto experimentalmente

por Poiseuille durante estudos sobre o movimento de sangue na artéria aorta.

► A unidade de viscosidade, poise, é

uma homenagem aos seus traba-lhos.

































2 max

1

)

(

R

r

u

r

u

Jean Louis Marie Poiseuille (1797 ‐ 1869)

4) A banheira retangular mostrada na figura abaixo está sendo enchida com água fornecida por uma torneira. A vazão em volume é constante e igual a 2,0 m3_{/h. Determine a taxa}

de variação temporal da profundidade, h, de água na banheira.

Solução

► O volume de controle contém, em qualquer instante, a água acumulada na banheira, a água descarregada pela torneira e o ar.

► Aplicando o teorema de Reynolds,

0

















SC VC SIS

dA

d

t

Dt

DM

n

V





V

0





















água ar Vágua água Var ar

d

_t

d

m

m

t



V



V





► Ponderações:

• As taxas de variação temporal das massas de ar e água, isoladamente, não são nulas.

• O princípio da conservação da massa nos leva ao fato que a taxa de variação temporal da massa de ar no volume de controle precisa ser igual ao fluxo de ar que sai de dentro do volume.

• Idem para água. Daí,

0



















ar Var ar

d

m

t



V

V





► A taxa de variação temporal da massa de água pode ser calculada por

Onde

V_banheira = hx 0,6 x 1,5 é o volume água na banheira em t.

V_j = (0,5 – h)A_j é o volume de água na banheira em t + δt. A_j é a área transversal do jato d’água.

Daí, vem que,

]

)

5

,

0

(

)

5

,

1

6

,

0

(

[

)]

(

[

j água Vágua água j banheira água Vágua água Vágua água

A

h

h

t

d

t

t

d

t

d

t





























































V

V

V

V

V

água j água

h

h

A

m

t

















]

)

5

,

0

(

)

5

,

1

6

,

0

(

[



► Na equação abaixo, h é o único parâmetro a variar, logo,

► Assumindo que A_j << 0,9, teremos,

2

1

3



)

9

,

0

(

)

9

,

0

(

]

)

5

,

0

(

)

5

,

1

6

,

0

(

[

j água água água água água j água água j água

A

Q

t

h

Q

m

mas

m

t

h

A

m

A

h

h

t













































►

Solução Proposta pelo aluno Alex Machado

9 , 0 9 , 0 ) 9 , 0 ( 9 , 0 ) ( ) 5 , 0 ( ) 9 , 0 ( ) ( , 5 , 0 9 , 0 ) 5 , 0 ( ) 9 , 0 5 , 1 ( , Q dt dh termos A Se A Q dt dh dt dh A dt dh Q h A dt d A dt d h dt d Qt dt d tempo ao relação em equação esta Derivando h A A h A h h Qt Volume Qt t Volume Q temos banheira a encher para necessário o que menor t tempo um Para j j j j j j j j                      

5) Um escoamento de água é descrito pelo campo de velocidade

Determine a vazão em massa no paralelogramo mostrado na figura abaixo.

k

j

i

Solução

► Aplicando o teorema de Reynolds,

► Como

temos um escoamento permanente, logo,

► Assim,

0

















SC VC SIS

dA

d

t

Dt

DM

n

V





V

k

j

i

V



(

3

x



2

)



(

2

y



4

)



5

z

0









VC

d

t



V

0

1 2













dA

m

m

m

SC



V

n







► Continuando,













































6 6 5 5 4 4 2 2 3 3 1 1 face face face face face face SC

dA

dA

dA

dA

dA

dA

dA

n

V

n

V

n

V

n

V

n

V

n

V

n

V





)

5

0

,

5

0

(

5

:

6

)

5

0

,

5

0

(

5

:

5

)

2

0

,

5

0

(

4

2

:

4

)

2

0

,

5

0

(

2

3

:

3

)

2

0

,

5

0

(

4

2

:

2

)

2

0

,

5

0

(

2

3

:

1

5 5 4 4 3 3 2 2 1 1























































































































y

x

z

Face

y

x

z

Face

z

y

y

Face

z

x

x

Face

z

y

y

Face

z

x

x

Face

n

V

k

n

n

V

k

n

n

V

j

n

n

V

i

n

n

V

j

n

n

V

i

n

► Daí,

► Este resultado mostra que a vazão líquida através da superfície de controle é nula e, portanto, a massa se conserva dentro do volume de controle (paralelogramo da figura).





0

,

)

5

(

)

5

(

)

4

2

(

)

2

3

(

)

4

2

(

)

2

3

(

1000

5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 2 0 5 0 2 0 5 0 2 0 5 0 2 0



























 

 

 

 

 

 

m

Logo

dzdy

z

dzdx

z

dzdy

y

dzdy

x

dzdx

y

dzdx

x

m





Características importantes dos exemplos anteriores

►

Todos os escoamentos são permanentes e têm volumes de controle fixos. Logo,

►

Para um escoamento transitório,

0

0

0































entra sai entra sai VC

Q

Q

m

m

d

t





V











VC

d

t



V

0

►

Se o volume de controle só apresenta uma seção de alimentação ou descarga, e o regime do escoamento é permanente,

►

Se for incompressível, 2 2 2 1 1 1

A

V

A

V

m











2 2 1 1

V

A

V

A

Q





5.1.3 Volumes de controle indeformáveis e móveis

►

Muitas vezes é necessário analisar um escoamento utilizando um volume de controle indeformável solidário a um referencial móvel.

►

A velocidade do fluido em relação ao volume de controle móvel (velocidade relativa) é importante nesses casos. Sejam,

• W a velocidade do fluido vista por um observador solidário ao volume de controle.

• V_VC a velocidade do volume de controle vista por um observador solidário a um referencial fixo a terra.

• V a velocidade do fluido vista um observador imóvel solidário ao referencial fixo a terra.

Exemplos

1) Um avião move-se com velocidade de 971 km/h como mostrado na figura abaixo. A área frontal da turbina é 0,8 m2

e a massa específica do ar que entra por essa seção é 0,736 kg/m3_{. Um observador fixo a terra observa que a}

velocidade de exaustão dos gases é de 1050 km/h. A área de exaustão da turbina é 0,558 m2 _{e a massa específica dos}

gases exauridos é de 0,515 kg/m3_{. Estime a razão de massa}

No referencial fixo ao avião.

• W₁ é a velocidade do ar em relação

ao avião.

• W₂ é a velocidade dos gases exauri-

Mas

h

km

2 1

?

)

/

(

971

W

j

W





No referencial fixo a Terra.

• V₁ é a velocidade do avião em relação a Terra

(= V_Vol.Contole).

• V₂ é a velocidade dos gases

exauridos pela turbina em relação a Terra (= V_fluido/Terra).

) / ( 2021 ) 971 ( 1050 , ) / ( 1050 ) / ( 971 2 . / 2 / 2 . 1 h km Então Como h km h km controle vol terra fluido terra fluido controle Vol j j j W V V W j V V j V V           

Solução

► O volume de controle mostrada na figura contém todo ar, combustível e gases localizada no interior da turbina. Este volume é indeformável, porém, móvel para um referencial fixo a terra.

► Aplicando o teorema de Reynolds,

► Temos um escoamento permanente, logo,

► Assim,

0

















SC VC SIS

dA

d

t

Dt

DM

n

V





V

0









VC

dV

t



ar gás comb comb ar gás SC

m

m

m

m

m

m

dA





























. .

0

n

V



Continuando, ► Da equação,

► Temos

Onde W₁ e W₂ são as velocidade de entrada e saída do volume de controle do ar e dos gases, respectivamente, para um observador solidário ao avião.

• W₁ = 971 km/h.

• W₂ = V₂ – V_avião = 1050 – (-971) = 2021 km/h (veja página 38). ar gás comb

m

m

m



_.









1 1 2 2 .

W

A

W

A

m



_comb





_gás





_ar

► Continuando,









h

kg

m

h

m

m

m

kg

h

m

m

m

kg

m

comb comb

9100

10

971

80

,

0

736

,

0

10

2021

558

,

0

515

,

0

. 3 2 3 3 2 3 .















_































_























2)A vazão de água no irrigador de jardim da próxima figura é 1000 ml/s. Se a área de seção de descarga de cada um dos bocais do irrigador é de 30 mm2_{, determine a}

velocidade da água que deixa o irrigador em relação ao bocal se:

(a) a cabeça do irrigador for imóvel.

(b) a cabeça do irrigador apresenta uma rotação de 600 rpm.

(c) a cabeça do irrigador acelera de 0 a 600 rpm.

Solução

► O volume de controle mostrado na figura contém, em todo instante, toda água localizada na cabeça do irrigador. Este volume é indeformável, porém, móvel para um referencial fixo a terra.

► Aplicando o teorema de Reynolds,

► Temos um escoamento permanente, logo,

► Assim,

0

















SC VC SIS

dA

d

t

Dt

DM

n

V





V

0









VC

dV

t



sai entra entra sai SC

m

m

m

m

dA























V

n

0

► Como há duas saídas e uma entrada,

► Para os três casos, W₂ independe da velocidade angular do irrigador (W₂ foi calculada para um referencial fixo à cabeça do irrigador) e representa a velocidade (média) das

s

m

W

A

Q

W

Q

W

A

Daí

Q

m

e

W

A

m

água água água entra água sai

/

7

,

16

10

30

2

10

1000

2

2

,

2

6 6 2 2 2 2 2 2 2



















 









_



► A velocidade para um observador fixo a terra é, W₂ = V₂ + U (V₂ = W₂ - U)

Onde U é a velocidade do bocal em relação a um referencial fixo a terra. ► r é o raio do irrigador.

o

dispositiv

do

irrigador

do

cabeça

cabeça

da

Raio

da

angular

Velocidade

U





r

U





► Com relação a um observador estacionário...

a) O irrigador está parado.

b) A cabeça gira a 600 rpm.

U

W

V

₂



₂



U





r

m/s

7

,

16

2 2 2





V

W

V

1 rpm = 2π rad·min−1 = 2π/60 rad·s−1 ≈ 0,10471976 rad·s−1

m/s

4,13

0,2

62,83186

7

,

16

2 2 2













V

V

r

W

V



c) A cabeça do irrigador acelera de 0 a 600 rpm. Isto significa que U = U(t)=

ω

t r

(m/s)

12,56637

7

,

16

)

(

0,2

62,83186

7

,

16

)

(

)

(

)

(

2 2 2 2

t

t

V

t

t

V

r

t

W

t

V



















600 rpm = 62,83186 rad·s−1

5.2 Segunda Lei de Newton – As equações da

quantida-de quantida-de movimento linear e do momento da quantidaquantida-de quantida-de

movimento

5.2.1 Derivação da equação da quantidade de

movimen-to

► Segunda Lei de Newton,

Taxa de variação temporal da Soma das forças

quantidade de momento linear = externas que agem

do sistema sobre o sistema

►

Para uma partícula fluida de massa ρdV, a quantidade de movimento é dp = VρdV. Assim, a quantidade de movimento do sistema é,

► Aplicando a segunda Lei de Newton,

►

Considerando o caso em que o sistema coincide, mesmo que instantaneamente, com o volume de controle.









_Sistema SIS

d

Dt

D

Dt

D

F

V

p

_

_V







e coincident controle de Volume Sistema

F

F

► Aplicando o Teorema de Reynolds,

►

Multiplicando pelo vetor velocidade,



















SC VC SIS SIS

d

dA

t

d

Dt

D

M

Dt

D

n

V







V

V

















SC VC SIS

d

_t

d

dA

Dt

D

n

V

V

V

V



V



V



Taxa de variação temporal da quantidade de movimento linear do sistema . Taxa de variação temporal da quantidade de movimento linear do volume de Fluxo líquido de quantidade de movimento linear através da superfície de

► Combinando as equações,

►

Obtemos a equação da quantidade de movimento linear









_Sistema SIS

d

Dt

D

Dt

D

F

V

p

_

_V

















SC VC SIS

d

_t

d

dA

Dt

D

n

V

V

V

V



V



V



















e coincident controle de Volume SC VC

d

dA

t

V



V

V



V

n

F







e coincident controle de Volume Sistema

F

F

► A somatória, contém,

1. Forças de campo (mas, só consideraremos o campo gravitacional em nossos estudos).

2. Forças superficiais exercidas sobre o volume de controle pelo material que está localizado nas vizinhanças externa do volume de controle, por exemplo, paredes de um recipiente. Estas são forças de reação no fluido feitas pelas paredes que o confinam.

3. Um objeto imerso em um escoamento também exerce forças superficiais sobre o fluido.



e coincident controle de Volume

F

5.2.2 Aplicação da equação da quantidade de

movimento linear

► A equação,

é vetorial e sua análise é feita em um sistema de coordenadas Cartesianas (x, y, z) ou cilíndricas (r, θ, z).

►

Principais considerações para o uso da equação acima são: Escoamentos permanentes e unidimensionais.

(vídeos)

















e coincident controle de Volume SC VC

d

dA

t

V



V

V



V

n

F

Exemplos

1) A figura abaixo mostra um jato de água horizontal incidindo num anteparo estacionário. O jato é descarregado do bocal com velocidade uniforme e igual a 3 m/s. O ângulo entre o escoamento de água, na seção de descarga do anteparo, e a horizontal é θ. Admitindo que os efeitos gravitacionais e viscosos são desprezíveis, determine a força necessária para manter o anteparo imóvel.

Solução

►

Consideremos o volume de controle a seguir

►

Aplicando a equação da quan-tidade de movi-mento, Lembrando que

























































Az SC VC AX SC VC e coincident controle de Volume SC VC

F

dA

w

d

w

t

F

dA

u

d

u

t

s

componente

Em

dA

d

t

n

V

n

V

F

n

V

V

V













V

V

V

0

,









v

caso

neste

w

v

u

i

j

k

V

►

Se o regime de escoamento é permanente,

►

Ponderações,

• A água entra e sai do volume de controle como um jato livre a pressão atmosférica.

• Assim, a pressão que atua na superfície de controle é uniforme e igual a pressão atmosférica.

• A força líquida devida a pressão atmosférica é nula.

• Desprezando os pesos da água e do anteparo, as únicas forças que atuam no conteúdo do volume de controle são as

0

















VC

u

d

_t

VC

w

d

t



V



V

• Na seção 1

• Na seção 2

• Como desprezamos os efeitos gravitacionais e viscosos, • ► Assim, na seção 1, na seção 2, Daí, 1

V





n

V

0 2 1

p

p

p





2 1

V

V



2

V



n

V





sen

cos

₁ 1

e

w

V

V

u





1

V

u



Ax A A SC

u

dA



u

dA



u

dA

F















2 1

V

n

V

n

n

V







Az A A SC

w

dA



w

dA



w

dA

F















2 1

V

n

V

n

n

V







► Primeiro na direção x ► Na direção z

)

1

(cos

)

cos

1

(

cos

)

(

cos

)

(

2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1



































































V

A

F

ou

V

A

A

V

A

V

F

V

V

e

A

A

F

A

V

V

A

V

V

dA

u

dA

u

dA

u

Ax Ax Ax Ax A A SC

V

n

V

n

V

n

F











)

(

sen

)

(

0

_{1 1 1 1 2 1 2 1 2} 2 1

V

V

e

A

A

F

A

V

V

A

V

dA

w

dA

w

dA

w

Az Ay A A SC





























V

n

V

n

V

n

F

► Logo,

► Substituindo os valores fornecidos,

► Se θ = 0 F_ax = F_az = 0. ► Se θ = 90o _F ax = Faz= 50,1 N. ► Se θ = 180o _F ax = -100,2 N e F_az = 0.

N

F

_Ax





(

999

)(

5

,

57



10

3

)(

3

2

)(

1



cos



)





50

,

1

(

1



cos



)

N

F

_Az



(

999

)(

5

,

57



10

3

)(3

2

)sen





50

,

1

sen



)

cos

1

(

)

cos

1

(

₁ 2 1 1



















A

V

ou

F

m

V

F

_{Ax Ax}









A

₁

V

₁2

sen

ou

F

m

V

₁2

sen

F

_Az



_Az





2) Determine a força necessária para imobilizar um bocal cônico instalado na seção de descarga de uma torneira de laboratório (figura) sabendo que a vazão de água na torneira é de 0,6 litros/s. A massa do bocal é de 0,1 kg e os diâmetros das seções de alimentação

e descarga do bocal são, respectivamente, iguais a 16 mm e 5 mm. O eixo do bocal está na vertical e a distância axial entre as se-ções (1) e (2) é 30 mm. A pressão na seção (1) é de 464 kPa.

Solução

►

A força procurada é a força de reação da torneira sobre a rosca do bocal.

►

O volume de controle corresponde ao mostrado na figura ao lado.

►

As forças verticais que atuam no conteúdo do volume de com-trole, estão mostradas na figura ao lado, menos a pressão atmos-férica, cuja ação é nula em todas as direções.

►

As forças devidas as pressões relativas não se anulam.

►

Aplicando a equação da quantidade de movimento, na direção vertical, onde 2 2 1 1

A

W

p

A

p

W

F

dA

w

d

w

t

dA

w

d

w

t

W n A SC VC e coincident controle de Volume SC VC







































n

V

F

n

V









V

V

►

Se o regime de escoamento é permanente,

►

►

Vamos admitir que os escoamento é incompressível

►

E também que os perfis de velocidade sejam uniformes na entrada (w₁) e saída (w₂) (podem não ser em um caso geral).

0









VC

w

d

t



V













controle

de

Volume

no

entra

escoamento

o

quando

wdA

controle

de

Volume

do

sai

escoamento

o

quando

wdA

dA

n

V

►

Desta forma, 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1

)

(

)

(

w

A

w

w

A

F

W

W

p

A

p

A

w

A

p

A

p

W

W

F

dA

w

dA

w

A

p

A

p

W

W

F

dA

w

W n A W n A S S W n A SC





























































n

V

n

V

n

V

Sinais negativos, pois as velocidades apontam

►

Daí, 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

A

p

A

p

W

W

w

w

m

F

que

Vem

massa

da

o

conservaçã

m

m

m

que

Assumindo

A

p

A

p

W

W

m

w

m

w

F

e

A

p

A

p

W

W

F

m

w

m

w

W n A W n A W n A





























































►

Substituindo os valores g D D D D h g controle de Volume g m W N g m W s m s kg A Q w s m s kg A Q w s kg Q A w m W W n n ) ( 12 1 ) ( 981 , 0 81 , 9 1 , 0 / 6 , 30 ] 4 / ) 10 5 [( / 10 6 , 0 / 0 , 3 ] 4 / ) 10 16 [( / 10 6 , 0 / 6 , 0 ) 10 6 , 0 ( 999 2 1 2 2 2 1 2 3 3 2 2 2 3 3 1 1 3 1 1     _{ }                          

















►

Logo,

►

Com F_A > 0, seu sentido é para cima (de acordo com o sistema de referência considerado).

►

Outros volumes de controle podem ser considerados na solução desse problema. Vejam páginas 131, 132 e 133 do Young.

N

F

F

F

p

W

A

p

W

w

w

m

F

A A A W n A

8

,

77

028

,

0

3

,

93

98

,

0

5

,

16

028

,

0

4

)

10

16

(

10

464

98

,

0

)

6

,

30

0

,

3

(

6

,

0

)

0

(

)

(

2 3 3 2 1 1 2 1















































3) Água escoa na curva mostrada na figura abaixo. A área da seção transversal da curva é constante e igual a 9,3x10-3 _m2_.

A velocidade é uniforme em todo o campo de escoamento e é igual a 15,2 m/s. A pressão absoluta nas seções de alimentação e descarga são, respectivamente, iguais a 207 kPa e 165 kPa. Determine os componentes da força necessária para ancorar a curva nas direções x e y.

Solução

►

Vamos considerar o volume de controle mostrado na figura anterior (linha azul tracejada).

►

A próxima figura mostra as forças horizontais e verticais que atuam no volume de controle.

►

Força peso atua na vertical, portanto, não influencia na determinação da força hori-zontal de estabilização.

► Aplicando a equação da quantidade de movimento,





)

(

0

.

)

(

0

. .

F

dA

u

dA

anterior

Fig

o

considerad

s

coordenada

de

sistema

No

dA

permanente

escoamento

d

t

dA

d

t

X SC SC

SC _volExternas_controle VC

SC _volExternas_controle VC









































































n

V

n

V

n

V

V

F

n

V

V

V

F

n

V

V

V















V

V

► Considerando a figura anterior, verificamos que nas seções (1) e (2), o escoamento coincide com a direção y, por isso, u = 0. Não existe assim, fluxo na direção x, portanto, F_X = 0 (como escrito na equação anterior).

► A força para imobilizar o cano é a reação às forças em y feitas pela água e pressão.

► Na seção (1), ► Na seção (2),

)

(

)

(

2 1 0 2 2 1 1 2 1 2 1 0 2 2 1 1

A

A

p

A

p

A

p

F

dA

v

dA

v

A

A

p

A

p

A

p

F

F

dA

v

Ay S S Ay Y SC





































n

V

n

V

n

V







1 1

e

V

V

v



V



n





2 2

e

V

V

v





V



n



Cuidado com esse termo.