Não-localidade além da mecânica quântica. Ernesto F. Galvão Instituto de Física, UFF

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(1)Não-localidade além da mecânica quântica. Ernesto F. Galvão. Instituto de Física, UFF. O Pote de Ouro de Bell – CBPF – 5/12/2014.

(2) Resumo. • . Descrevendo teorias físicas de forma operacional. • . Não-localidade da MQ – desigualdade CHSH como um jogo. • . Não-localidade além da MQ: caixas Popescu-Rohrlich. • . Geometria de correlações:. • Politopo de não-sinalização. • Corpo convexo de correlações quânticas. • Politopo local. • . Princípios para recuperar os limites da não-localidade quântica. • Não-trivialidade da complexidade de comunicação. • Causalidade da informação. • Outras ideias e resultados.

(3) Em busca de princípios simples para a MQ. • . Axiomatizações da MQ usam conceitos matemáticos complexos como espaços de Hilbert, operações unitárias, postulado do colapso etc.. • . Em contraste, a relatividade restrita segue de 2 postulados simples:. • Princípio da equivalência de referenciais inerciais;. • Existência de um limite para a velocidade de propagação de sinais.. • . Gostaríamos de ter obter a MQ a partir de princípios simples. . • . Exemplo: Sistemas de axiomas operacionais para a MQ, sobre preparações, transformações, e medidas..

(4) a subset of M of these distinguishable states. In both classical and quantum theory the system will behave like one of dimension M in such cases. To motivate the third axiom consider a composite system consisting of systems A and B. In both classical and quantum theory we have that N = NA NB and K = KA KB . One set of functions K = K(N ) which satisfy these properties are K = N r where r is a positive integer. In fact, it will turn out from the axioms that K(N ) must be of this form. The simplest case is K = N (with r = 1). This arXiv:quant-ph/0101012. is consistent with classical probability theory. However, the fourth axiom will imply that there exists a continuous set of pure states. This rules out K = N . The next simplest case is K = N 2 . This corresponds to quantum theory. The role of Axiom 5 will be to take the simplest case consistent with the constraints imposed by the axioms (namely K = N 2 ). The five axioms for quantum theory are:. Axiomas operacionais para a MQ. • . Axiomas de Hardy (2001) para a MQ de sistemas discretos:. Axiom 1 Probabilities. Relative frequencies (measured by taking the proportion of times a particular outcome is observed) tend to the same value (which we call the probability) for any case where a given measurement is performed on a ensemble of n systems prepared by some given preparation in the limit as n becomes infinite. Axiom 2 Subspaces. There exist systems for which N = 1, 2, · · · , and, furthermore, all systems of dimension N , or systems of higher dimension but where the state is constrained to an N dimensional subspace, have the same properties. Axiom 3 Composite systems. A composite system consisting of subsystems A and B satisfies N = NA NB and K = KA KB . Axiom 4 Continuity. There exists a continuous reversible transformation on a system between any two pure states of that system for systems of any dimension N . Axiom 5 Simplicity. For each given N , K takes the minimum value consistent with the other axioms. The axioms are written in a slightly different (though obviously equivalent) form to those given in [1]. If the word “continuous” is dropped from Axiom 4 then, 9.

(5) Não-localidade: descrição operacional. • . Descrição operacional da não-localidade, no caso particular de:. • • • . 2 subsistemas A e B. 2 experimentos possíveis em cada um deles: x, y 2 resultados possíveis: a, b ∈ {0,1}. Alice (A). ∈ {0,1}. y. x a. Bob (B). b. • . Caixas-pretas: laboratórios e sistemas que funcionam de acordo com regras arbitrárias – as instruções {x,y} determinam, probabilisticamente, os resultados {a,b} dos experimentos. • . Descrição completa: probabilidades condicionais. p(a, b | x, y).

(6) Descrição operacional do cenário CHSH. • . 2 subsistemas A e B; 2 inputs (bits) x e y; 2 outputs (bits) a e b. y. x a. • . b. Suponha que Alice e Bob querem construir caixas que dão outputs a e b tais que:. a⊕b = x⋅y. #⊕ = soma módulo 2 $ %⋅ = multiplicação. • . Em palavras: se x=y=1 outputs diferentes; nos outros casos, outputs iguais.. • . Qual é a melhor probabilidade de sucesso de A e B nesse jogo? . • Depende do funcionamento das caixas…. 1- Caixas arbitrárias, usando comunicação: p = 1. y y x  x y x  x y % "     1 3 $ ' 2- Caixas locais. pL = p(ab = 1 | 0,0) + p(ab = 1 | 0,1) + p(ab = 1 |1,0) + p(ab = 0 |1,1) ≤ 4 $# '& 4. (Equivalente à desigualdade CHSH). 3- Caixas com “recheio quântico”: . €. pQ = (2 + 2 ) / 4 ≅ 0.85.

(7) Descrição operacional do cenário CHSH. y. x. a⊕b = x⋅y. a. #⊕ = soma módulo 2 $ %⋅ = multiplicação. b. 1- Caixas arbitrárias. p =1 (usando comunicação):. pL = 3 / 4 = 0.75 2- Caixas locais. 3- Caixas com “recheio quântico”: pQ = (2 + 2 ) / 4 ≅ 0.85. • . Popescu/Rohlich (1994):. • • • . MQ não permite sinalização superluminal. Ideia: proibição de mensagens superluminais como postulado para recuperar pq=0.85?. Resposta: não funciona!.

(8) Caixas PR (Popescu, Rohrlich 1994). S. Popescu e D. Rohlich, Found. Phys. 24, 379 (1994). y. x. Inputs:. Sandu Popescu. a ⊕ b = xy. a. Outputs:. 1 p(a, b | x, y) = δa⊕b,xy 2. b. Daniel Rohlich. Propriedades:. ∑ p(a,b | x, y) ≡ p(a | x, y) = p(a, x). I- Sem sinais superluminais:. b =0,1. €∑ p(a,b | x, y) ≡ p(b | x, y) = p(b, y). a =0,1. 1 2- Marginais aleatórias: p(a | x) = p(b, y) = 2. Caixas PR têm correlações perfeitas. € sem permitir que seus usuários se a ⊕ b = xy 3- Correlação perfeita:. comuniquem instantaneamente. €. Se xy = 0 ⇒ a=b Se xy=1 ⇒ a ≠ b.

(9) Geometria convexa de conjuntos de correlações. • . Podemos visualizar geometricamente a relação entre diversos conjuntos importantes de correlações. No cenário CHSH, um “par de caixas” é um ponto no espaço com d=15. Politopo geral: p(a, b | x, y) livre, sujeito a. Normalização: Probabilidades:. ∑ p(a,b | x, y) = 1 0 ≤ p(a,b | x, y) ≤ 1 a,b. €. Politopo de não-sinalização - mais vínculos:. €. ∑ p(a,b | x, y) = ∑ p(a,b | x, y#) b. b. ∀y, y#. ∑ p(a,b | x, y) = ∑ p(a,b | x#, y) a. ∀x, x#. a. Correlações quânticas ∃ Πxa ,Πyb | p(a,b | x, y) = Tr(ρΠxa Πyb ) € Politopo local : combinações convexas de correlações determinísticas €p(a,b | x, y) = δ a, f (x )δ b,g(y ). . • . Programa: achar princípios simples diferenciem o corpo quântico do politopo de correlações sem sinalização superluminal. €. Figura: Popescu, Nature Phys. 2014.

(10) €. Por que pQ = 0.85 ? • • . Proibir comunicação superluminal não é suficiente para recuperar a cota quântica no cenário CHSH. Outros princípios propostos:. • . Não-trivialidade da complexidade de comunicação. • . O Princípio da Causalidade de Informação. • . Princípio da Ortogonalidade Local (ou princípio da exclusividade). • . …. x. y. a. b.

(11) Complexidade de comunicação. • . Complexidade de comunicação = determinar o mínimo necessário de comunicação para computação de função com inputs distribuídos. • . Cenário para 2 pessoas:. • . • • • . y. f (x, y) = ?. Alice tem sequência x de bits;. Bob tem sequência y de bits;. Objetivo: Bob quer computar função f(x,y) com o mínimo possível de comunicação com Alice.. O número mínimo de bits de comunicação depende de f(x,y). Exemplos:. • • . x. comunicação. clássica. paridade de xy: 1 bit é suficiente.. Problema de coordenação de duas agendas: é o problema mais difícil.

(12) Coordenando agendas. Semana da Alice. Segunda. Terça. Quarta. Quinta. Sexta. Sábado. Domingo. x. (1=livre). 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. y (1=livre). 1. Comunicação 0. clássica. 1. 1. 1. 0. 1. Semana do Bob. Segunda. Terça. Quarta. Quinta. Sexta. Sábado. Domingo. €. f (x, y) = ∑ x i y i (mod2) i. = 0 ou 1?. • . Bob quer saber se o número de dias em que os dois podem se encontrar é par ou ímpar.. • . Este problema é completo para complexidade de comunicação – resolvendo-o, resolvemos qualquer problema.. • . Pode ser necessário que Alice mande toda sua agenda para Bob: |x| bits..

(13) Coordenando agendas. Semana da Alice. Segunda. Terça. Quarta. Quinta. Sexta. Sábado. Domingo. x. (1=livre). 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. y (1=livre). 1. Comunicação 0. clássica. 1. 1. 1. 0. 1. Semana do Bob. Segunda. Terça. Quarta. Quinta. Sexta. Sábado. Domingo. €. f (x, y) = ∑ x i y i (mod2) i. = 0 ou 1?. • . Bob quer saber se o número de dias em que os dois podem se encontrar é par ou ímpar.. • . Este problema é completo para complexidade de comunicação – resolvendo-o, resolvemos qualquer problema.. • . Pode ser necessário que Alice mande toda sua agenda para Bob: |x| bits.. • . Mesmo com emaranhamento compartilhado previamente, não há redução na comunicação – correlações quânticas não ajudam neste problema..

(14) Não-trivialidade da complexidade de comunicação. x. y comunicação. clássica. • . f (x, y) = ?. P. x. y comunicação. clássica. f (x, y) = ?. Um novo princípio para explicar as correlações quânticas:. • Proibir a comunicação superluminal não é suficiente – as caixas PR têm pPR=1>pq. • Intuição: se caixas PR se “comportam bem” na ausência de comunicação, procuramos um princípio que as proíba na presença de comunicação:. Princípio da não-trivialidade da complexidade de comunicação:. Correlações que permitam reduzir a complexidade de comunicação de todas as funções para o valor trivial (1 bit) são proibidas.. • . Sabemos que o problema das agendas não é trivial para as correlações quânticas. . • . Ele é trivial para caixas PR?.

(15) Caixas PR e o problema das agendas. Semana x. da Alice. Segunda. Terça. Quarta. Quinta. Sexta. Sábado. Domingo. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. y. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. Semana do Bob. Segunda. Terça. Quarta. Quinta. Sexta. Sábado. Domingo. €. f (x, y) = ∑ x i y i i. f é par ou ímpar?.

(16) Caixas PR e o problema das agendas. xi. Semana x a. da Alice. Segunda. Terça. Quarta. Quinta. Sexta. Sábado. Domingo. Soma mod 2. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. yi. a. b y. b. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. Semana do Bob. Segunda. Terça. Quarta. Quinta. Sexta. Sábado. Domingo. Soma mod 2. f (x, y) = ∑ x i y i i. f é par ou ímpar?. €. • . Usando uma caixa PR para cada input xi , yi teremos ai ⊕ bi par ⇔ x i y i par. • . Alice manda mensagem m = ∑. a i (mod. 2) para Bob . i. • . Como Bob tem os bi , consegue calcular ∑. €ai + bi (mod 2) , que é a paridade de f(x,y). i. € PR trivializam a complexidade de comunicação. Caixas.

(17) Não-trivialidade da complexidade de comunicação. y. x. comunicação. clássica. • . f (x, y) = ?. Princípio da não-trivialidade da complexidade de comunicação:. Correlações que permitam reduzir a complexidade de comunicação de qualquer função para o valor trivial (1 bit) são proibidas.. Correlações perfeitas das caixas PR são proibidas pelo Princípio acima.. • Brassard et al. mostraram que o princípio também proíbe caixas PR imperfeitas, com probabilidade de sucesso p > 0.91. [Brassard et al., PRL 96, 250401 (2006)]. • Ainda não sabemos nada sobre 0.85 < p < 0.91 . x. y comunicação. clássica. f (x, y) = ?. P. x. y comunicação. clássica. f (x, y) = ?.

(18) Causalidade de informação. M. Pawlowski et al., Nature 461, 1101 (2009). N bits. N. ∑ I(x. m bits. i. : βi ) ≤ m. i=1. • . Alice tem N bits, e manda mensagem de m bits para Bob (m<N).. €. €. €. Princípio da causalidade da informação:. Ganho de informação de Bob sobre dados da Alice é de no máximo m bits.. • . Intuição: mensagem de m bits não deve permitir a Bob recuperar informação sobre mais que m bits da Alice – mesmo que Bob não tenha acesso a todos eles simultaneamente. . • . Pode-se mostrar que a MQ satisfaz ao Princípio da CI. .

(19) Caixas PR violam a causalidade de informação. x 0 ⊕ x1. x 0 x1. a ⊕ b = ( x 0 ⊕ x1 ) y. €. €. a €. €. €. €. b. m = x0 ⊕ a. € • . y. Se y = 0 ⇒ m ⊕ b = x 0 Se y = 1 ⇒ m ⊕ b = x1. € Protocolo:. • Bob escolhe qual bit de Alice quer ler (y=0 para x0 e y=1 para x1) e coloca y na caixa PR. • Alice manda a mensagem m = x 0 ⊕ a para Bob. • Bob usa a mensagem m e seu output b para€ler o bit escolhido com probabilidade 1. • . Princípio de CI recupera a cota quântica (pq=0.85), mas não se sabe se o mesmo vale para. outras desigualdades de Bell para 2 subsistemas.. €. • . Sabe-se que princípios envolvendo mais que 2 subsistemas serão necessários em cenários mais gerais. [Gallego et al., PRL 107, 210403 (2011)].

(20) Outros princípios propostos. • . • . Outro princípio para sistemas bipartidos: classes de funções computáveis de maneira distribuída [Linden et al., PRL 99, 180502 (1007)]. . • Nesse caso, Q e L dão a mesma classe, e caixas PR computam funções arbitrárias – questão em aberto sobre pontos genéricos de NS.. O princípio de exclusividade, ou de ortogonalidade local, é multipartido e também se aplica a cenários de contextualidade.. [Cabello, PRL 110, 060402 (2013), colaboração com Rafael Rabelo, Marcelo Terra Cunha]. [T. Fritz et al., Nat. Comm. 4, 2263 (2013), co-autor: Rafael Chaves].

(21) Perspectivas. • . Vimos como definir corpos convexos no espaço de correlações, e para cada cenário de nãolocalidade podemos identificar:. • o politopo de não sinalização NS; . • o corpo quântico Q;. • e o politopo local L.. • . Descrever a fronteira exata do corpo quântico usando um princípio simples é um problema em aberto.. • . Por que a Natureza não é ainda mais não-local que a MQ prevê?. • Não-sinalização: não é suficiente (ex: caixas PR). • Não-trivialidade da complexidade de comunicação: elimina caixas PR e parte de NS. • Causalidade da Informação: elimina caixas PR e recupera a cota de Tsirelson. • . Princípios genuinamente multipartidos são necessários. • . Ainda não há um princípio único que comprovadamente recupere esse conjunto em cenários gerais incluindo contextualidade quântica.. Obrigado pela atenção!.

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