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Equações de Navier-Stokes pelo método dos elementos finitos

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(1)

EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES PELO

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

PAULO ELISEU PORTELLA

Dissertação apresentada ao corpo docente do Curso de P~s-Graduação em Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul como parte dos requi sitos para a obtenção do titulo de Mestre em Engenharia Civil .

.

.

Porto Alegre

Setembro de 1984

fSCOLA De ENGENHARII'I n o OI I,..,.TCf"'.6.

(2)

Orientador

Ferraz Hennemann

oordenador do Curso de PÓs-Graduação em Engenharia Civil

(3)

i i i

A

m

e.u.l.>

pa..ü

e. -i.Jc..mã.o~.> .

(4)

tação deste trabalho

e pelo incentivo recebido

no

desenvo

lvimen

to

do

mesmo

.

Aos professores e

funcionirios

do Curso de Põs-Graduação em

Engenharia Civil da Universidade

Federal

do Rio

Grande

do Sul que co

-laboraram de

alguma

forma

para a realização deste trabalho

.

Aos

amigos e colegas de

Porto

Aleqre

pelo companheirismo e

cordialidade durante

a

temporada

qaÜcha

.

A todo o pessoal do CESEC da Universidade Federal

do

Parani

pelo

apoio e

confiança depositados

.

(5)

SUNÃRIO

INTRODUÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . 1

CAPÍTULO 1 TEORIA GERAL . • • . . . .. .. . . .. . . .. . . 3

1.1 - EquaçÕes Governantes . . . .. . . 3

1. 2 - CondiçÕes de Contorno . .. .. . . • . . . 18

CAPÍTULO 2 REVI SÃO B IBL IOGRÃFICA . . . .. . . 2 3 2. 1 - lntrodução . . .. . . 23

2.2 - Formulações Usando Velocidades e Pressão . . . • • . . . . 24

2.3 - FormulaçÕes Usando Função de Corrente e Vorticidade • . . . .. .. . . • . . • • . . . • . . . . • . . • • • • • . • 32

2.4 - FormulaçÕes Usando Função de Corrente . . • . . . • . . 36

CAPÍTULO 3 FORMU~AÇÃO EM FUNÇÃO DE CORRENTE E VORTICIDADE . . . . •. . . 38

3.1 - Introdução .. . . .. . • . . . .. . . • . . .. . . . •. . • . . . • . . . . • 38

3. 2 - Formulação em Elementos Finitos •.• . .. . . •. . . • . . . . • 39

3.3 - AplicaçÕes Numéricas . . . 48

CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO EM VELOCIDADES E PRESSÃO . .. . . ~ . . .. . . • 57

4.1 - Introdução . . . .. . . . .. . . .. . . .. . • 57

4. 2 - Caso Esta c i oniri o . .. . . • 57

4. 3 - Aplicação Numérica . . . . .. . . .•. 62

4.4 -~Cas.o Transiente . . . .. . . .. . .. . . • . . . 63

4.5 - Aplicação da Formulação Transicnte .. . . .. . . •. 73

4. 6 - Aspectos Computacionais . . . .. . . .. .. . . 76

CONCLUSÕES . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . 78

(6)

APÊNDICE B

ESQUEMA TRAPEZOIDAL DE PASSOS FR~CIONÃRIOS PARA

INTEGRAÇÃO NO TEMPO . . . • . . . • • ••••.•• • • . . . . • . . . . 84

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . • • . . . . • . . . .. • . ••. . •.• •• •• 87

(7)

INTRODUÇÃO

O método dos elementos finitos foi inventado para ser usado inicialmente em problemas da mec~nica dos s6lidos , campo onde ele tem uma interpretação fÍsica. Apenas recentemente , o método tem sido aplicado a fluidos. Seu sucesso na mecinica dos fluidos é essencialmente devido ao fato de que os contornos do problema são usualmente complicados e tumbém porque apresenta regras sistemiticas para o desenvolvimento de esquemas numéri-cos estáveis aproximando problemas matematicamente bem posicio-nados, com vários tipos de condiçÕes de contorno. De outra

forma, nao haveria razão vãlida para descartar os métodos mais cláss icos de diferenças finitas, pois o MEF necessita de mais memória da máquina, além de apresentar maior complexidade

de programação.

A

vantagem, entretanto, é

q

ue

o

programa

é

universal.

Escrever um bom programa para as equaçÕes de Navier --Stokes nao e uma tarefa simples , pois existem muitas dificul-dades específicas como os fortes gradientes de velocidade que podem ocorrer e que uma malha finita é incapaz de representar apropriadamente . Por causa disso , muitas técnicas tim sido de-senvolvidas, como por exemplo os esquemas de elementos finitos com "upwind".

O presente trabalho tem por objetivo analisar as equ~ çÕes de Navier-Stokes para escoamento viscoso bi-dimensional incompressível usando o MEF e tem um caráter eminentemente investigativo, visando apresentar as caracterí sticas básicas do problema.

No capÍtulo 1 sao relembradas as equaçoes diferen-ciais parciais governantes do problema usando diferentes va-riáveis independentes e as respectivas condiçÕes de contorno.

No capÍtulo 2 é feita uma descrição expedita dos mé-todos utilizados por alguns pesquisadores nos Últimos anos e serve para dar uma idéia ilustrativa do atual estágio de desen-volvimento das técnicas de resolução.

(8)

A formulação em função de corrente e vor ticidade é deli neada no capÍtulo 3 em termos de discretização em elemen -tos f ini tos. As equaç~cs estacionirias são resolvidas si multa-neamente pelo m~todo de Newton-Raphson e uma técnica direta para a i mposi ção das condiç~es de contorno em vorticidade

é

em -pregada. são apresentados exemplos de fluxo entre paredes pa -ralelas e em torno de um obsticulo s~lido cilÍndrico.

No capÍtulo 4 as equaç~es de Navier-Stokes sao

-

re -solvidas tendo como vari iveis as componentes de veloci dade e a pressao. São analisados tanto o caso estacionirio como o depe~ dente do t empo. O método da função de penalidade e usado para a restrição de incomprcssibilidade. Para o caso transiente , um método implÍcito e completamente acoplado e

-

empregado para 1n -tegrar as equaçoes

difusão ("upwind") no

-e reais do escoamento.

tempo e uma técni ca de balanceamento introduzida para eliminar oscilaç~es

da nao

Para maiores detalhes dos assuntos aqui tratados de -ve-se recorrer à bibliografia citada ao longo do texto e que segue ao final deste trabalho.

(9)

1. TEORIA GERAL

1.1 - EquaçÕe~ Governantes

Embora a forma geral das equações de Navier-Stokes seja bem conhecida, ~ importante redcrivar as equações a partir do princípio da conservação da massa e das leis do movimento de Newton. Isto permitirá obter urna melhor compreensao dos termos nas equaçÕes com relação ãs condiçÕes de contorno. As equaçoes seguintes sao formuladas num sistema Euleriano de coordenadas retangulares. A descrição espacial ou descrição Euleriana e a mais usada em mecânica dos fluidos , pois fixa atenção numa d~ da região do espaço ao inv~s de numa dada partícula.

cartesianos ortogonais serao denotados por do for usada a notação indicial, por

cientemente. x, y e z e Os eixos ou, quan-cor

respon-As componentes de velocidade e a densidade do fluido num ponto estao relacionadas atrav~s do requerimento de que o fluido deve ser contínuo , tanto no espaço (isto e , sem vazios no interior do fluido) como no

do não~ criada nem destruÍda) . fluidos viscosos e nao-viscosos.

tempo (isto ~ , a massa do flui-Esta relação ~ válida para

Seja P a densidade do f luido, a qual depende da po-sição e do tempo

p

=

p (x, y , z, t) (1. 1.1)

Considere-se um paralel epÍpedo elementar de dimensÕes ôx, ôy, ôz atrav~s do qual o fluido passa (Fig.(l.l.l)) . Se o centro do elemento estiver em (x, y, z) e as componentes da velocidade no tempo t neste ponto forem respectivamente u, v e w, entao o fluxo da massa que passa pelo centro atrav~s do elemento na direção X

e

p U Ôy Ôz. 0 fluxo que entra atrav~s da face mais próxima da origem a uma distância de ôx/2

(10)

-e e o fluxo que sa1 da face mais dis

tante da origem a uma dist~ncia tamb~m de 6x/2 do centro e

(pu + é)(pu)

!

ox

)

oy

o

z

.

ax

2 O ganho em massa por unidade de tempo no interior do elemento a partir destas duas faces e

é)(pu) 6

o

6

-

dX

X y z e , similarmente, para os outros dois pares de faces tem-se -

é)

(

f;

)

Ôx Ôy Ôz e - é)(()pz w) .r ux .r uy u.r z.

O ganho total em massa por unidade de tempo a partir de todas as faces é

[é)(pu) + é)(pv) + é)(pw)] 6x Óy Ôz

dX

dY

dZ

que deve ser igual

à

taxa de aumento de massa no tempo

a

dt

(p 6x 6y ôz), portanto:.

~ + é)(pu) + é)(pv) + ó(pw)

=

0 (1.1.2a)

Ôt

d

X

é)y é)z

Esta equaç~o, uma conseqU~ncia da conservaç~o da massa, ~ conh~ cicia como a Equaç~o da Continuidade (ver VALLENTINE

[41

)

).

Usando-se a notaç~o indicial e efetuando-se a > deri-vadas dos produtos em (1.1. 2a) obt~m-se:

~

é)(pu.) 1

o

+ = (1.1.2b) dt Óx . l. é)(pu.) ~ é)u. l. l. = u. + p

dX.

ax

.

1

ax

.

l. 1 l. (1 .1.3)

~ Útil agora introduzir o conceito de derivada tempo -ral material em coordenadas espaciais.

Ao utilizarmos a descriç~o Euleriana pode-se assumir que sempre existe uma funç~o x(X, t) suficientemente diferen-ciivel definindo o movimento, mesmo que este n~o sej a conheci -do. Ent~o, substituindo-a na descriç~o espacial da velocidade obt~m-se

(11)

Flg. (1.1.1)

ou em coordenadas cartesianas

e , pela regr a da cadeia,

mas , sabe-se que

a

u

m = ( - ) X

a

t (lu m +- - (soma em K) (1.1.4) (1.1.5) a que

é

a deri-m

Assim, a componente da aceleração

vada material da componente de velocidade pode ser escrita:

a m du m dt (soma em K) (1.1.6)

Usando-se a mesma notaçao para a derivada material da densidade , tem-se

(12)

dp dt é)p - + u. dl 1

ap

ux.

~ Substituindo- se as eq . (3) e (7) em (2b) seguinte forma para a cquaç~o da continuidade:

dp

+

p 0u. ~

o

ou, dt

a

x. ~ ~

r~+

é) v

d

H]

o

+

p

+-

ou, dt

d

X

é)y ()z ~

+

p di v u

o

-dt (1.1.7) obtém-se a (1.1.8a) (1 .1.8b) (1.1. 8c)

Para fluidos incompressíveis , com p constante , esta

-equaçao se reduz a

a

u

+ -

av

+

=

o

ou div u

o

ou V.u =O (1.1.9)

Caso a componente de velocidade na direção z seja

-constante, a equaçao toma a forma bi-dimensional

a

u

+

a

v

=

o

(1. 1.10)

ox

é)y

As leis do movimento de Newton relacionam as forças atuando num elemento de fluido com sua aceleração. Uma partí -cu la ponto te da de fluido no ponto x. no ~ vizinho X. + 6x. no tempo ~ ~ velocidade da partícula na 6u. ~

au

.

~ é)t 6 t +

au.

~ é)x. J 6x. J tempo t t + 6 t. direção

estará situada num A mudança da compone~ x. e

~

(1.1.11)

A componente de aceleração correspondente da partí-cula situada no ponto

lim 6t+O 6u. ~ 6t

=

é)u. ~

d

t

X. ~ no tempo t e + u. J

a

u.

~

ox

.

J = du. ~ dt (1.1.12)

(13)

que i a derivada material da velocidade . Aqui , o termo (ou. 1. /ót)

representa a aceleração "local", já que aparece a partir de mu-danças na velocidade com o tempo no ponto xi ' e os demais te rmos são conhecidos como aceleração "convectiva", pois apare -cem de mudanças na vel ocidade com a mudança de posição. Em flu xo estacionário ("steady-state flo\v"), isto é , fluxo em que as velocidades e aceleraç~cs não variam com o tempo , a acelera -çao local é nula, mas as partículas do flui do possuem acelera -çao convectiva se o fluxo for não-uniforme , como por exemplo num canal de paredes convergentes . Em fl uxo uni forme , i sto e , o fluxo em que as velocidades e aceleraç~es não variam com a posição, a aceleração convectiva é nula, mas as partículas do fluido possuem aceleração local se o fluxo for não-esta cioná-rio, como num fluxo com descarga crescente.

Antes de deduzir-se as equaç~es do movimento, e con

-veniente recordar o conceito de tensor de tensão de Cauchy. Deseja- se considerar as tens~es de cisalhamento e as normais (inclui ndo a pressão) no balanço de quantidade de movimento. Considere-se um cubo de fluido como o mostrado na f ig. (1.1.2) As tens~es são indicadas por

face de atuação e a direção

a

..

onde os Índices i ndicam a

l.J

da tensão respectivamente. As t en soes podem variar atravis do fluido e seu gradiente pode éxis -tir . O tensor das tensÕes pode ser escrito na forma matricial

a ll a l2 al3

a . .

=

a21 a22 a23 l.J

a31 a32 a33

As tres componentes da normais" no sentido de que cada

.

diagonal de uma delas dá (1. 1.13)

o

.

.

são 11 tensões l.J

a componente nor-mal da força de superfÍcie que age através de uma superfície plana paralela a um dos planos coordenados. As sei s componen -tes fora da diagonal são as "tensÕes tangenciais", também chamadas tensÕes de corte já que aparecem de um movimento lhante em que camadas paralelas de fluido es corregam umas relação às outras . Destas seis componentes apenas t rês independentes, pois o tensor é simétrico (a . . =a . . ) .

l.J Jl. Cl.Sa em

-sao 7

(14)

Fig.(l.l.2)

O princípio da quantidade de movimento par a uma cole -çio de par tículas declara que a vari açio da quantidade de mo -vimento total com o tempo de um dado conjunto de partÍculas

é

i gual ã soma vetorial de todas as forças externas que atuam nas partículas , desde que a terceira lei de Newton de aç~o e rea -çao governe as forças i nternas. Para extendermos este princ{ -p~o ao meio contínuo , considere-se uma dada massa do meio, ins -t antenearnente ocupando um volume V e tendo por f rontei ra uma superfície S, sob a aç~o de forças de superfÍcie T por unidade de área e forças de corpo

(1. 1.3)).

B por unidade de massa

Fig. ( 1.1.3)

(15)

A variação da quantidade de movimento total da massa dada

é

d~ f

p

~

dV, onde d/dt denota a derivada material ou substancial. O balanço da quantidade de movimento

é

então ex -presso por

f

T dS +

f

p B dV d

f

p u dV

-

(1.1.14)

s

v

dt

v

ou, em coordenadas retangulares

f

T. dS +

f

p 13. dV = d

f

p u. dV

s

~

v

~ dt

v

~ (1.1.15)

que e um postulado b as i co da mecanica do

-

contínuo.

Sendo n o vetor normal externo

ã

superfície S tem -se que

T.

~

a

J

..

~ n. J (1. 1.16)

Aplicando=se o teorema da divergência no termo da

esquerda da eq. (15), resulta éla ..

f

a .. n . dS

f

~ dV

s

J ~ J

v

dX. (1.1.17) J Logo, tem-se

[

aa .

.

dui]

f

v

~ + p B.

-

p- dV

=

o

élx. ~ dt (1.1.18) J

Para um volume

v

arbitrário , tem-se que em cada pon

-to éla .. du. ~ + B. ~ (l.l.l9a) p = p ou,

a

x. ~ dt J élu \1

.

a + p B p (1.1.19b) dt

Que sao

-

as equaçoes

-

do movimento de Cauchy.

Resta agora relacionar as tensÕes com as componentes de velocidade através da lei constitutiva do fluido.

(16)

A experiência indi.ca que um fluido em repouso ou em fluxo uniforme nio pode apresentar tens~es de cisalhamento. Neste caso o que existe G um estado de Lcns~es puramente hidros tático

o

..

l.J

=

-p

o

l j

.

.

(1.1.20)

onde 6 .. e o delta de Kronecker e p e a pressão estática, l.J

igual

i

pressão normal m6dia

p

=

p

=

(1.1.21)

Tal e o caso tamb6m de um fluido ideal não-viscoso, definido como o que nao suporta tensão tangencial mesmo quando estã em movimento. Nenhum fluido é , na realidade , não-viscoso, mas em muitos casos os efeitos de pressão e forças de corpo predominam sobre os efeitos viscosos e o fluxo pode ser analisa do satisfatoriamente como se o fluido fosse ideal, exceto no interior da camada limite, uma fina camada de transição

próxi

-ma a um objeto sólido imerso no fluxo ou prÓxima a uma parede do canal, onde os efeitos viscosos são da mesma magnitude que os outros efeitos .

Para fluidos viscosos em movimento vao se desenv ol-ver tensões tangenciais e a equação constitutiva vai diferir da quela do flui do i deal (eq .(20)) . De acordo com Stokes (1845) , assume-se que a diferença entre as tens~es no fluido deformado e a tensão de equilíbrio estático

é

uma função do tensor taxa de deformação D, de modo que a tensão Lotal é

a

=

-p I + f(D) (1.1.22)

. Quando a função [ é linear o fluido

é

chamado New to-niano e a equaçao

-

const i tutiva em coordenadas cartesianas toma a forma

a

.

.

=

-p ó .. +

c.

.

D

l.J l.J l.J rs rs (1.1. 23)

-onde C.. sao constantes . l.J rs

a

.

.

e a taxa de deformação l.J

Desde que o tensor de tensoes Drs são ambos simétricos ,

(17)

requer-11

-se que C.. seJa simétrico tanto em 1 e J como em r e s .

1 J r s

Além disso, se rão considerados apenas fluidos isotrópicos. O tensor i sotrópico de quarta ordem mais geral com componentes C. . simétricos em ij e rs tem a forma (ver MALVERN [26] )

1 J rs

c

..

~J rs f.. ó 1.J . 6 rs + JJ(61r . 6JS . + o1. s óJr . ) (1.1.24)

onde À. e JJ são dois parimetros independentes a viscosidade do fluido .

caracterizando

Substituindo a eq. (2L,) na (23) e utilizando-se a propriedade do delta de Kronecker , a equação constitutiva fica

(1.1.25)

O tensor de deformação ou velocidade de deformação e totalmente similar ao tensor das pequenas deformaçÕes da Teo-ria da Elasticidade , apenas que as componentes de deslocamentos dão lugar is componentes de velocidade :

an .. 2 __J2;_ ax. J D .. ~J Tendo a

=

ax. J a ax . ~ ao .. _12:. ax. J

=

Mas, tem-se que

=

l (- -au1 . + 2 ax. J em vista as au. au. ( __J_ + _ _ 1) ax. ax. 1 J ('V . u) + \j2

-

~

6 . . +À, ax. J 1 J

-

(19) equaçoes au. a (__J_) + ax. ax. ~ J u. 1 ankk 6 . . + 2 )J ax. J 1 J 'V • u

Fazendo as substituiçÕes em (28), vem

(1.1. 26) e (25) calcula-se 2 a u. 1 ax. ax. J J (1 .1.27) an .. _12:. (1.1.28) ax. J (1.1.29)

(18)

ao

..

~+

À

~ =- () ( 'il. u) + j.l ( 'il. u) + ll 'il 2

dX.

a

x.

J 1.

d

X.

1.

a

x.

1.

Levando as equaçÕes do movimento (19):

-ª..E_+ (À+jJ)

ax

.

2

('il. u) +IJ 'il u. +p B.

1. 1.

1.

a

x1. .

Ou, apenas em notaçao vetorial

- 'ilp + (À+JJ) íl(íl.u) + JJ íl2 u + p B p du. 1.

=

p -dt du dt u. 1.

Que são as equaçoes generalizadas de NAVIER-STOKES.

( 1. 1. 30)

(l.L3la)

(1.1.3lb)

Empregando a eq. (9) obtêm-se as equações de Navier--Stokes para fluidos incompressíveis , depois de dividi r por p:

onde du 1 2

=

B - 'ilp + v 'il dt

\)

=

.!:!

p p u

e a chamada viscosidade cinemâtica.

(1.1.32)

(1.1.33)

Nas equaçÕes (32) o termo \) \1 2 u representa a

for-ça interna adicional devida a viscosidade do fluido . Estas

equações sem estes termos são conhecidas como as equações de Eu ler para o escoamento sem atrito. Para melhor compreensão,

é

conveniente examinar brevemente a componente de tal força na direção x. A fig. (1.1.4) mostra um pequeno elemento num flu

-xo viscoso incompressível nesta direção. y

lt ----~---_.

(19)

13

As

tens~

es

tangcnciais viscosas aparecem devido

i

exist~ncia de um gradicnLc de velocidade 'ôu/'CJy perpendicular

ao fluxo c, portanLo, no di rcção x csLos tensocs sao

-

-(1.1.34) ()y T + ÓT lJ_1_ (u

+~

óy) ()y 0y Portanto, ÓT lJ

d

U

()y óy (1.1.35) (1.1. 36)

Se a are a do elemento onde atua T e

s

'

a força no

elemento e

-s

ÓT ()2u

s

óy óm

a

2 u (1.1.37) lJ = v 2

a

y

2 ()y

onde v e a

-

viscosidade cinemâtica e óm = p

s

óy e a massa do elemento. Logo, a força

ao gradiente de velocidade

()u é)u dX '

ay

'

com os gradientes ser a viscosa

d

U

-aye

au

a

z '

por unidade de massa devida

a2u

v

é)y2 Para o caso geral, a força total na direção x

2

=

v 'i/ u (1.1.38)

-Deste ponto em diante tratar-se-ao as equaçoes apenas

em sua forma bi-dimensional. As forças de corpo B podem ser

escritas em termos de uma força potencial gravitacional Q=gh, sendo g- 'a aceleração da gravidade e h a distância segundo um ei xo paralelo

à

direção da força de gravidade (orientado para cima) em relação a um "datum" ou ponto de referência arbitrá -rio, de modo que a força por unidade de massa nesta direção ~

a

n

()h

(20)

Assim, para as direçÕes X c y t

-

em-se as forças de corpo:

B =- a (gh) c B a (gh) (1.1.39b)

X

ax y é)y

Assim, as eq. ( 32) , cxpli ciLando-se os termos da

derivada material, tomam a forma

Clu Clu Clu Clh 1 -ª-e_

(

~

2 + ~) 2 (l.l.40a) +u +v - g +v Clt Clx dy Clx p Clx

a

x2 Cly2 a v +u

a

v Clv ()h 1 -ª-e_ +

v

(

~

2 +

~

2

)

(l.l.40b) +v - g

dt

d

X

Cly Cly p é)y ax2 é)y2

~ Útil agora tornar estas equaçÕes adimensionais, is

-to e, independentes do sistema de unidades adotado. Pela simi

-laridade dinâmica, as variáveis adimensionais são introduzidas

para facilitar a comparação entre o fluxo modelo e o protótipo

desde que sejam geometricamente similares . Assim escolhemos

"valores característicos" para comprimento (L),

velocidade (V), pressão (p

0 ) e densidade (p0) ,

as variáveis adimensionais fi cam definidas por

tempo (T) , de modo que X I =~ L t I t T Transcrevendo as eq. (40) u UI :

-v

p I =_.E_ Po em forma vetorial p' =_E_ (1.1.41) Po au p - + p u • \lu Clt - p g \Ih - 'íJp + )J \12 u (1.1.42)

Substituindo-se as eq . (41) e tendo em vista que 'íJ' =L . 'íJ vem

a.u

'

P v2 (p

Y..)

p' -=--+ ( o ) p' u' o T at I L . 'íJ' u' = - (p g) p' 'íJ' h' -

to

)

V' p' +()JV) 'íJ'2u' - o L L2 (1.1.43) Multiplicando-se por L élu' p I -=--+ p I u I • 'íJ I u'

= -

Lg p I 'íJ' h ' VT Clt'

v

2 Po 1J 2 --..,...'íJ' p'+-""---\1' u' P

v

2 p LV o o (1.1.44)

(21)

que sao as equaçoes de Navie r-Stokes adimensionais .

A razao entre os coefici entes da força de inircia e

da força viscosa na eq. (43)

Reynolds

resulta no chamado nGmero de

R e

p VL

o (1.1.45)

Este coeficiente adimensional e

-

um dos numeros característicos

do fluxo. Para dois casos extremos, as equaçÕes podem ser simplificadas : no caso de fluxo lento ("creeping flow") de

fluidos com viscosidade muito grande (muito pequeno nGrnero de

Reynolds) que resulta num sistema de equaçÕes lineares quando

R -+O·

. e ' e o limite oposto de viscosidade muito pequena (grande Re) em que os efeitos da viscosidade são pronunciados apenas

numa pequena regiao, a camada limite, onde os gradientes de ve-locidades são tão grandes que as forças viscosas são impor tan-tes mesmo para pequenos valores de ~· As equaç~es são ainda não-lineares, e sua solução

é

ainda muito difícil.

As forças de corpo serão omitidas.

dizer que a pressão serã in te rpre tada apenas

Isto equivale a

corno pressão

dini-m~ca, que se assume não ser afetada pelos termos da força de corpo.

(l

=

p o

Pela condição de incompressibilidade tem-se que se forem escolhidas e fixadas urna escala de pressao

e urna escala de tempo T =L/V, conclui-se que

p' 1 ' po 1 ' L l

=

p v2 VT o ( l . 1. 46) superscrito

que indica a adimensionalidade das variáveis, podem ser es

cri-tas na forma

Portanto, as eq. ( 4 4) ' apos omitir-se o

a

u

· - + u Vu

d

t

--Vp + l R e (1.1.47)

Estas equaçoes, juntamente com a equação da continuidade,

cons-tituem as equaçoes governantes do problema de escoamento de

fluido viscoso incompressível .

componentes , tem-se

(22)

IJ 2 2

d

u

d

U

d

u

-~

1

(~ +~)

+u +v +

-d

X

2 é!y 2 (1.1.48) onde R e

d

t

d

X

()y

d

X

R e

-

~

02 2

a

v

a

v

a

v l

(

~

+

~

)

+u +v

=

+

-d

t

d

X

;) y dy R êlx ()y2 e (1 .1.49)

d

U

+

-

d

V

o

(1 .1.50)

d

X

()y VL/V e V = lJ/p.

-Pode-se representar estas equaçoes sob outra forma,

trocando-se as variáveis independentes u, v, p por outras va -riáveis independentes 1/J (função de corrente) e w (vorticida-de) .

Num fluido, a parte sim~trica do tensor de de[ormação (ou gradientes espaciais da velocidade) e o tensor taxa de de -formação da eq. (26) e a parte anti-sim~trica ~ o tensor de ro tação, tensor de vorticidade ou tensor spin que ~ escrito como

l

w=Q 1 ílx u

=

1 rot u (1.1.51)

2 2 2

ou seja, a velocidade angular física do f luido

n

~ igual

à

metade do rotacional do vetor velocidade. Para escoamentos bi

--dimensionais a un~ca componente que subsiste ~

l (~ 2

d

X

~

)

Cly (l.l.52a) A correspondente vorticidade

w

2 , que passara a ser

designada apenas como

w,

~ o dobro da velocidade angular

a

v

d

U

w

=

dX

()y (l.l.52b)

Atrav~s da figura (1.1.5) pode-se ilustrar geometri

-camente este conceito. Vê-se que w ~ o dobro do valor m~dio da componente z da velocidade angular do elemento de fluido

(23)

17

(u,v)l y,utu. (u,v} AJ.

Fig. ( 1.1.5)

A linha 6x tem velocidade angular (vlx+óx - vlx)/6x

e a linha 6Y tem velocidade angular - (uly+óy - uly)/6y,

cu-ja midia e

t

(ãv/ax - au/ay), a velocidade angular midia do quadrado 6x 6Y·

-Tomando-se agora as derivadas cruzadas das equaçoes

( 4 8) e ( 4 9) '

tem-

se

a2u + -ª- ( u ~ ()u

i

e

1

u/

u) +v

-

)

= +- (1.1.53) ay at ãy )X ay ay ax R e a2v + --ª- (u ()v

~)

iP

l (í/2 v) - +v = + - (1 .1.54) ax at ax ()x ()y ax dY R e

Subtraindo-se a eq. (53) da (54), tendo em vista a

(52b) e impondo a eq . da continuidade (50) , deduz-se a chamada

equaçao de transporte de vorticidade (onde os termos de

pres--

-sao -sao eliminados)

êlw + u +v

aw

.

a

t ãy

=

1 í/2 w R e ou dw dt R e (1.1.55)

Introduzindo-se a função de corrente ~ . definida

como

(24)

de modo que a eq. da cont inuidade seJa satisfeita identi camente,

a eq. (55) pode ser expressa como

2 R (é)w + ~ aw

-

~ a w)

=

o

v

()J

-e tlt ;)y é)x é)x é)y (1.1. 57)

e a relação entre 1/J c (J) c

-CJv Clu

a

ar

a

(

~

)

w

=

(- ~)

élx ()y

dX

<lx ély ()y

lu

=

-

íJ2 ljJ (1.1.58)

As eq. (57) c (58) são as equações governantes da

formulação em função de cor rente -vorticidade para o fluxo de

f luido viscoso incompressível.

A forma final de -equação a ser considerada aqui usa

apenas a função de corrente como variável e é derivada levando

--se (58) em (57) dando

[

~

('v2l/J)

+

~

9 2

C

~

)

-

~

v2

<

~

> J

d

t

é)y ax ax é)y

=

o

(1.1.59)

Quando

R

e muito pequeno

c ("creeping flot.,") esta

-equaçao pode ser simplificada para

ou (1.1.60)

que

é

conhecida como equação bi-harmÔnica para fluxo de f luido

altamente viscoso .

1 .2 - CondiçÕes de Contorno

Considere-se o movimento de um meio contínuo atraves

de uma região fechada A de um espaço Euclidiano bi-dime

nsio-nal. Est abeleça-se em A um sistema de referência inercial f

i-xo definido pelos vetores de uma base ortogonal cujas coordena

-das espaciais de um ponto P sao d

-

enotadas por nentes de velocidade do meio em P num tempo

x. ~

-e as compo

(25)

19

por u.

1.

A fronteira S, envolvendo a regiao A, pode ser considerada em duas partes disti ntas A porção sl chamada contorno "rígido" pode assumir duas formas :

a) Contorno rígido de escorregamento livre ("free slip") representando um estado de tcnsio tangencial zero.

u

o

n

o

é)u é)u s (- -n s

o

v + - ) = (1 .2.1) p í.ls í)n

onde n e s i ndi cam as direçÕes normal e tangencial ao contor -no respectivamente. Esta condição pode ser considerada como um pl ano de simetria, ao invés de uma "parede" verdadeira ou pode representar uma superfície não aderente, que é uma aproximaçao usada em certos probl emas de escoamento com número de Reynolds alto.

b) Contorno rígido sem escorregamento ("no- sli p") requerendo que tanto a componente tangencial da velocidade como a componente normal sejam zero.

u

n

o

u

=

o

s

(1.2.2)

Esta condição

é

o equivalente a declarar que a tensao tangencial exercida no fluido adj acente a uma fronteira deste tipo pela prÓpria f ronteira

é

suficiente para reter o movimento deste f luido na direção tangencial . Ou sej a,

é

equi valente a

u

=

o

n os

r

~

~

n

ã

U

s]

=

v + p

a

s

(;)n (1.2. 3)

onde a barra superscrita denota uma quant idade conhecida "a priori".

-A porçao e chamada fronteira de fluxo e pode ser t ratada como contorno de entrada onde as velocidades normal e

(26)

tangencial sao especificadas , como em (2) , ou pelas duas formas

seguintes :

a) As tens;cs no contorno sio especificadas. fi

par

-t i r das equaçoes (1 .1.25) e (1.1. 26) e oinda impondo a condi

-çao (1. 1.9) tem-se

o ..

2.1.

= -p õ . . + \)

p q

que pode também ser escrita

-p + 2v p

d

U

=

v (- -s p

a

n

a

u

n

a

n

()u. ()u. (--l. + ~) (1.2. 4)

dX

.

a

x.

J l. como (1.2 .5)

b) A derivada normal de ambas as velocidades e ma1.s

-

-a press-ao s-ao especificadas

a

u.

l.

a

n

p = p

=

g.

l.

As condiçÕes (a) c (b)

(1 .2.6)

são igualmente aplicáveis pa -ra contornos de entrada e de sarda, mas no ~ltimo caso a pres

-são deve também ser especificada em um ponto da região a fim de definir a pressão de maneira ~nica.

As condiç;es de contorno para a f ormulação em função de corrente- vorticidade sao as seg

-

uintes :

Contorno rígido

a) Escorregamento livre

Substituindo-se as velocidades na eq . (1) e notando--se que

a

u

/ é)s

=

o

,

n tem-se

o

(1.2.7)

(27)

21

onde a primeira equaçio pode ser substiturda por

~

=

~

-b) Sem escorregamcnto Usando-se agora as cq. (2) ()ljJ

=

o

-+ 1jJ =

~

;)s Para ljJ é)ljJ =

o

a

n

a~

w

s

w

ou éJn Para

w

dW

=

gw an

Note-se que os valores w

(1.2.8)

-normalmente nao sao

conhecidos no contorno s6lido, donde a dificuldade em aplicar a

condição de contorno para vorticidadc.

usando-se a seguinte relação

d

U

au au s n n

o

w = -- = an as as w = -

a2~

dn 2 ao longo do contorno. Contorno de fluxo Para ljJ

-ª1.

= gljJ ou ljJ

=

ljJ <ln •Para w

[

ôw gw ou w w ôn Pode-se aproximá-las u =

_-ª1_

s an (1.2 .9) (1.2.10) w=w)

E

comum também usar as duas segundas condiçÕes (ljJ=~,

para o contorno de entrada e as duas primeiras para a sai da. Isto significa que a velocidade normal (~n) na entrada

i especificada e tambim o i o gradiente normal da velocidade

(28)

ro . Para o f luxo de sa1da a veloci dade tangenci al

é

especifi

-cada e , quando g

ljJ s

-

ao zero, um f luxo paralelo

(29)

2. REVISÃO BIBLIOGRÃriCA

2.1 - Introdução

A aplicação do M6todo dos Elementos Finitos (HEF) as

-equaçÕes não- lineares de Navier-Stokes tem recebido considerá vel atenção nos Gltimos anos e o progresso nesta área tem s i-do muito rápii-do.

Existe uma grande quantidade de literatura acerca de modelos discretos de escoamento de fluidos obtidos usando-se

aproximações em diferenças finitas para as equações diferen-ciais governantes . Tais modelos apresentam sirias limi taçÕes com respeito a problemas envolvendo geometrias e condiçÕes de

contorno complexas .

O conceito de elementos f initos apresenta muitas van tagens sobre mitodos convencionais de discretização devido a

simplicidade com que as condiçÕes de contorno podem ser apli-cadas e a facilidade com que domrnios complexos e multipl amen-te conexos podem ser aproximados .

Comparativamente, foi apenas recentemente que o meto -do -dos elementos finitos , originário dos campos da mccinica es -trutural e dos s6lidos , começou a ser aplicado a problemas de dinimica dos fluidos . O desenvolvimento do m~todo começou com a solução de problemas em que os termos convectivos eram ausen-tes ou despreziveis em comparaçao com as forças viscosas, como

por exemplo os problemas de fluxo potencial c de fluxo l ento ("creeping flo\.;") . t1ais tarde, houve progressos na solução de

problemas. incluindo forças de inércia, embora com limite s

u-perior para o numero de Rcynolds , a fim de se evitar as ins -tabilidades inerentes aos cálculos numéricos quando os termos

convectivos são predominantes .

Os desenvolvimentos da aplicaç~o do MEF na solução das equaçÕes de Navier-Stokes têm progredido em três áreas bá

-sicas, de acordo com as variáveis usadas, quais sejam: ve

(30)

.

.

dade e pressão (chamadas variáveis primitivas) , função de cor-rente e vorticidade e apenas função de corrente .

Os métodos de solução das equações diferenciais

par-ciais podem ser a grosso modo divididos em duas categorias :

aproximaçÕes explÍcitas , onde cada equaçao é resolvida

alter-nadamente, com alguma forma de relaxação das variáveis entre

as iterações , c a aproximação implÍcita , onde um Jacobiano e

n-volvendo todas as equaçÕes c todas as variáveis pode ser

forma-do.

Nos esquemas explÍcitos, se se tiver como condição de

contorno apenas velocidades paralelas aos eixos x e y, pode

--se segregar totalmente as equaçÕes correspondentes a cada uma

das variiveis independentes . Tendo como condição de contorno

velocidades não paralelas aos e1xos coordenados, pode-se segre

-gar apenas a equação referente

ã

pressão. Estes dois casos ne

-cessitam de menor espaço de armazenamento. Entretanto,

utili-zam mais tempo de computador, pois apresentam limitaçÕes no

ta-manho do intervalo de tempo, bem como depend~ncia do espaçame

n-to da malha.

Nos esquemas implícitos obtêm-se matrizes com largura

de banda maior que necessita ma1s mem5ria (nenhuma segregação

de equações). Utiliza menos tempo de computação, pois o passo

de tempo pode ser tomado com qualquer tamanho, sendo limitado

apenas pela precisão .

Neste capÍtulo procurar-se- á dar uma idéia abrange

n-te e bastante sucinta sobre os métodos utilizados por diversos

pesquisadores nos Últimos anos para obter uma aproximação por

elementos finitos da solução do problema de escoamento bi-di

-mensional de fluido viscoso newtoniana incompressível.

2.2 - FormulaçÕes Usando Velocidades e Pressão

As formulações em que as componentes de velocidade e

a pressão são resolvidas simultaneamente são chamadas formula

-ções integradas. Quase todos os t rabalhos em elementos finitos

usando as variáveis primitivas são deste tipo.

Aplicando-se a aproximação de Galerkin ou qualquer

(31)

25

(1 .1.49) e (1.1.50) , resulta um sistema de equaç~es discretiza -das globais da forma

M z +

[~

(z) +

d

z

=

f

(

2

.2

.

1)

onde M e a matriz de massa, C ~ a matriz convectiva, K e a matriz difusiva (similar

ã

matriz de rigidez da análise es

tru-tural); z é o vetor das incógnitas nodais (velocidades e pr es-são e, possivelmente, suas respectivas derivadas) e f um ve

-tor de carga resultante de forças de corpo , forças de supe rfí-CLe ou condiçÕes de contorno prescritas.

derivação com respeito ao tempo.

O ponto representa

Os aspectos mais importantes desta equação matricial

são que C depende das incógnitas de velocidade (não de pres-são) em virtude da não-linearidade do termo convectivo e e

não- simétrica, enquanto que K e constante e simétrica, mas

possui zeros na diagonal, dificuldade esta associada com a n

a-tureza desacoplada da equaçio da continuidade com relação ~

va-riãvel pressão. Assim, tem-se que o sistema de equaçÕes obtido

é não-linear, com a matriz dos coeficientes res ultando

não-si-métrica e ainda sendo nao positiva-definida.

Usualmente a equação (1) e reduzida

à

sua forma

es-tacionãria ("steady state")

[~

(z) +

~1

z

=

f

(2

.

2

.

2

)

e deve-se empregar um método para resolver este sistema não- li-near. Existem dois tipos mais populares de tais métodos. No primeiro tipo, a matriz dos coeficientes é tornada simétrica passando-se todos os termos, ou apenas a parte não-simétrica,

de C (z) z calculados no passo de iteração prévio para o la-do direito: como parte do vetor de carga para a prÓxima

itera-çao. Este processo segue o método da deformação inicial da

mecinica dos sólidos . No outro tipo t~m-se os métodos de

subst it uição sucessiva e Newton-Raphson, que retêm os coeficien

tes não- simétricos da matriz que e decomposta em cada passo.

(32)

nao convergem para numeras Jc Rcynolds ma1s al tos , e1tquanto que

os do segundo têm melhor estabili dade. Destes, as experiências indicam que o mitodo de NewLon-Raphson e o que atinge maior eficiência. Conclui-se ~ue nesta area parece ser essencial

reter os efeitos n~o-linearcs e nio-simi tricos na matriz dos

coeficientes e , portanto, deve-se usar um algoritmo que seja

eficiente para matrizes banda não-simétricas e

não-positivamen-te definidas.

Quanto ao tipo de elemento finito utilizado , muitos

experimentos têm sido fe i tos.

Tem- se observado que em problemas de dinâmica dos

fluidos o uso de element os de alta ordem não oferece grandes vantagens em relação a elementos mais simples (lineares) com respeito

à

precisão da solução. Ou seja, ao invés de empregar um elemento com função de interpolação de alto grau, utilizam --se vários elementos mai s simples, com sensfvel redução na

complexidade de programação.

GARTL

ING

et al.

(13

]

apresentam Úteis experiências usando duas diferentes interpolaç~es para o elemento. A p ri-meira usa para um elemento quadrilãtero isoparamitrico de oito nos uma formulação bi-quadrâtica para as velocidades e bi-li-near para a pressao. A outra usa um quadrilãtero geral cons-trufdo a partir de quatro triângulos de seis nós em que as ve

-locidades são quadrãticas e a pressão linear. Assim, ambas

resultam tendo velocidades em oito nós externos e press~es em quatro, mas a Gltima tem onze variáveis extras nos nós

inter-nos que devem ser retidas nos cálculos . Embora seja de se es -perar que estas variãveis internas extras forneçam resultados

mais acurados , suas experiências no problema de Hamel (fluxo

laminar em canal convergente) nao mostraram nenhuma diferença

significativa entre as duas . Realmente, esta conclusão e

con-sistente com experiências da mecânica dos sólidos. Por ex

em-plo, em estado plano de tens~es um quadrilãtero feito a partir

de dois ou quatro t riângulos de deformação constante (CST) não

é

melhor do que o obtido da transformação de um retângulo bi--linear.

A solução do problema transiente usando variãveis

(33)

comple-.

.

27

tamente explorada e existem poucas experi incias disponiveis .

ODEN e WELLFORD [31] usam um m6todo auto-corretor de

Runge--Kutta de quarta ordem c apresentam alguns resultados para o

desenvolvimento de fluxo no inte rior da camada limite . KAHAHARA

et al. [23] usam diferenças finitas progressivas para a derivada

temporal e , empregando o método da perturbação, analisam o es

-coamento em um canal com degrau. Em ambos os métodos os termos

não-lineares são deslocado~ para a direita e a matriz dos coe

-ficientes , que~ simétri ca mas não-positiva definida, e

cons-tante e , portanto, só decomposta uma vez .

Um método alternativo para se lidar com as variáveis

primitivas é a formulação segregada, em que as velocidades e a

pressão são desacopladas . As equaçÕes básicas são agora as

duas expressÕes de quantidade de movimento para o sistema u

u, +v u -X 'y v' t + u 1 R e 1 (2 u'xx +u, yy +v, xy ) (2.2.3) (u, +v, +2 v , ) xy xx YY

onde os subscritos indicam derivação em relação

ã

res pectiva

variável. Tomando-se o dive rgente destas equações obtém-se

uma equaçao de Poi sson para a pressão

a

o

+

2

v

2

o =

e

dt R e (2. 2.4)

onde D =u +v,

'x y é a dilatação. Neste esquema, a equação da continuidade que diz que

o

=o

a ponto na solução aproximada.

não pode ser satisfeita ponto

Assim, desprezando-se os termos

menos significativos , 9 é aproximado por

8 - 2 ( u '

y v ' x - v, y ) - (u, xt +v ,yt ) (2 .2.5)

A idéia

é

entao resolver alternadamente em termos de

pressao e velocidade as equaçÕes (4) e (3) respectivamente .

Em cada passo , a pressão é .:1ssumida como conhecida a partir do

(34)

O método de Ne\"ton-Raphson nao e ma

-

is vantajoso e uma solução passo-a-passo no tempo faz-se neccssiria mesmo para problemas

estacionários. O mGtodo a inda necessita muito estudo, pois nao

se sabe quão bem a continuidade é satisfei ta e existem proble

-mas de converg~ncia para nGmeros de Reynolds mais altos cuja

causa nao é clara (ver ref. (37)) .

Uma oulra a lternativa para o uso da formulação em variáveis primitivas

e

o uso de um campo solenoidal para

inter-polaç~es de velocidade, isto e, satisfazendo exatamente a eq

ua-ção de continuidade . O progresso nesta ãrea tem sido lento,

pois existem muitas dificuldades em formular tais campos sole

-noidais com as variáveis primitivas e é quase impossível sa tis-fazer simultaneamente os requerimentos de incompressibilidade e compatibilidade das velocidades (ref. [32]).

Um processo que vem ganhando atençao nos Últimos anos

é o método da função de penalidade.

E

um método baseado no mé-todo dos multiplicadores de Lagrange para a imposição de uma

equação de rest rição ao conjunto de equações governantes e po-de ser visto através do estabelecimento de princípios p seudo--variacionais. Para fl uidos incompressíveis esta restrição

consi ste na satisfação da equação da continuidade, baseada no

princípio de conservação da massa. O modelo mai s comum de tal

método constitui-se em modificar esta equaçao, tornando-a

acoplada com a variável pressao

sendo u. .

=

1 ' 1. 1 À p

um numero grande , de modo que quando

(2.2.6)

À +oo a co

nti-nuidade

é

satisfeita exatamente (ver HEINRICH e MARSHALL (lBb.

O método foi primeiramente aplicado, no contexto da

análise por elementos finitos, na solução de problemas de elas

-ticidade ~?ra sólidos incompressíveis, considerando-se o limite das soluç~es compressíveis quando o módulo de Poisson se

apro-xima de 0,5 .

J . N . RE D D Y [ 3 6

J

apresenta uma interessante revisão

no contexto geral da solução de problemas de minimizaça~ s u-jeitos a restri ção. São detalhadas algumas propriedades mate

(35)

r,

29

sobre a existência c unicidade da solução para o problema pe

-nalizado e sua convergência para a solução do problema

origi-na 1. são apresentados dois modelos de penalidade (um conv

en-cional e um misto) demonstrando-se a sua equivalência e ~

fei-ta uma anilise da influência do parimetro de penalidade na

pre-cisão da solução .

KAWAHARA e HIRANO [24] apresentam um m~todo baseado

num esquema explicito de dois passos para integraçio num~rica

no tempo e usam elementos finitos triangulares de três nós.

Para vencer a dificuldade de que o fluido é incompressível ~

usado o método da função de penalidade, que tem sua idéia

bi-sica na análise clássica por diferenças finitas, e está rela

-cionada com a de compressibilidade artificial. Os fluidos

existentes na natureza não são estritamente incompressiveis,

isto é, as observaç~es sempre mostram que a velocidade de

pro-pagaçao do som através do fluido tem um valor finito. Assim,

a equação da continuidade ~ modificada de maneira que, se a

velocidade

do

som

t

ende ao infini

to,

a equação se

torna

co

in-cidente com a equação da contunuidade convencional. Esta ~

também a interpretação física do m~todo da função de

penalida-de. A equação proposta tem a forma

-ª.E_

êlt

+ u. p,. +

~ ~ u. ~ ' l .

=

o

(2.2.7)

onde

c

e a velocidade do som.

Apesar de o esquema implÍcito ser mais estável e

permitir usar um incremento de tempo maior do que no esquema

explícito, os autores justificam a utilização deste Último com

o fato de que é necessirio o uso de uma idealização extremamen

-te refinada para computar o fluxo com alto número de Reynolds,

o que im~lica na necessidade de grande espaço de memória para

o armazenamento das matrizes do sistema de equaç~es sim

ulti-neas. O método aqui empregado reduz drasticamente esta

neces-sidade , pois faz a diagonalização ("lumping") da matriz dos

coeficientes cuja inversão pode então ser feita diretamente,

com operaç~es simples. Este processo de concentrar os

(36)

,,

utilizando-se um paramctro seletivo que controla o amortecime n-to e a estabilidade numGricos. O exemplo estudado i o do de-senvolvimento de v6rticcs atris de um cilindro c os resultados concordam favoravelmente com resultados experimentais .

P.l1. GRESIIO c R.L. LEE (15) também es tudam com êxi-to o mesmo problema, usando um esquema explicito onde as eq ua-ções são integradas através de um método previsor-corretor. É

empregado um elemento quadrilitcro de nove n6s usando 4x4

pontos de integração gaussiana e matriz de massa consistente.

O incremento de tempo ~ mudado automaticamente em cada passo e

e baseado unicamente em requerimentos de precisão para a

inte-gração no tempo, a través da obtenção de uma boa estimativa do

erro local de truncamento no tempo. Assim, observando- se a

escala de tempo, pode- se ter uma visão Úti l do aspecto fisico

do escoamento. Por exemplo, a formação de camada limite ou

de-senvolvimento de v6rtices de Karman requerem passos de tempo

pequenos , enquanto que incrementos maiores de tempo podem ser

s

u

ficie

nt

es

para

f

luxo

s

q

u

e

estão

se

ap

ro

ximan

do do

es

tado

es-tacionirio. Assim, tem-se um algoritmo econômico , pois o pas

-so de tempo selecionado é aumentado sempre que possfvel e

di-minuÍdo apenas quando necessirio.

Mais tarde , P.M. CRESHO e t al.

(16

)

apresentam um

es-tudo do mesmo problema de um canal com um obsticulo cilindrico

usando uma formulação explicita, empregando a mesma malha, mas

com um elemento de quatro n6s com interpolação bi-linear para

veloci dade, sendo a pressão constante em cada elemento. Este

elemento não obteve sucesso na correta simulação da formação

de vórtices atris da obstrução. Segundo os autores, as causas

seriam erros decorrentes da diagonalização da matriz de massa

("mass lumping"), o que somente seria preciso com a utilização

de uma malha extremamente fina.

A. ECER et al. [12] investigam a introdução das con-diçÕes de contorno para as equaçÕes de Navier-Stokes através

de uma formulação variacional . ~ usado um esquema de inte

gra-çao num~rica implicito de passo simples e inteiramente

acopla-do , baseado no principio variacional. são empregados elementos

(37)

31

fluxo em torno de um cilindro e atraves de um canal com degrau.

É utilizado um mé todo de relaxação entre as iterações para me

-lhorar a convergincia e um modelo simples de turbul~ncia ~

ado-tado.

Tem-se observado que ~m problemas nos quais os termos

de convecçao sao dominantes , o m6todo dos clementes finitos nio

tem alcançado o nível de sucesso dos métodos existentes de

di-ferenças finitas . Em geral, a maioria das experiências na apli_

cação do MEF a problemas de mecinica estrutural e dos s~lidos

envolve operadores simét ricos . Até recentemente , praticamente nenhuma atenção te~rica tinha sido dedicada ao fato de que os operadores convectivos são não-sim~tricos e que, portanto, no-vas técnicas necessitariam ser desenvolvidas para tratá-los efetivamente .

Elementos finitos usando o m~todo de Galerkin apre

-sentam o mesmo caráter de aproximação que diferenças finitas

centrais para os operadores diferenciais de primeira ordem. É

bem sabido que o uso de diferenças centradas para

a

aproxima -çao do termo convectivo pode causar severas oscilaç~es nio fÍ

-sicas na solução,

to valor crítico.

sempre que o tamanho da malha excede um

cer-Isto acontece basicamente devido

à

combi-nação das naturezas essencialmente elÍpticas e parabÓlicas dos termos difusivo e convectivo respectivamente. Com a aproxima-ção por diferenças finitas essas dificuldades já haviam sido encontradas e foram controladas usando-se diferenças centrais

para o primeiro termo e diferenças regressivas (conhecidas co

-mo "upt"ind") para o segundo. Descobri u-se que estas Últimas , embora sejam formalmente menos precisas que as diferenças ce

n-trais , eliminam as oscilaç~es espÚrias da solução sem necess

i-tar refinamento da malha.

Entretanto, o termo convectivo com upwind pode ser

.

construÍdo" simplesmente pela adição de uma difusio artificial ao tratamento com diferenças centrais, preservando o grau de

precisão. Generalizando-se para o caso bi-dimensional , uma

formulação por elementos f initos pode ser desenvolvida modif

i-cando-se as funç~es de interpolação (ou de peso) para

alcan-çar o efeito de upwind. Em essincia, o elemento a montante de

(38)

do n6. A formulaç~o assLm obtida ~ r~[crida como m~todo de

resrduos ponderados de Petrov-Galerkin (ver referincias

[17

]

,

(

19),

[2

0),

[25]

c

[6])

.

Este mitodo seri visto mats detalhadamentc em capftu

-lo posterior neste trabalho .

2. 3 - Formulaç~es Usando Funçi o de Corrente e Vorticidade

A principal motivaçio em se usar a formulaçio em

fun-çao de corrente c vorticidade

é

evitar as dificuldades inc

-rentes

ã

variivel pressão. Entretanto, evitando-se uma

difi-culdade, depara-se com uma nova, que no caso e a

-

de que as

condições de contorno não são conhecidas a priori e, portanto,

sem usar um artifício, ~ e

w

não podem ser resolvidas simul

-taneamente. O que se faz normalmente e usar um esquema seme

-lhante ao da formulação segregada para velocidades e pressão

vista anteriormente.

Esta formulação tem a vantagem de satisfazer exata-mente a conservação da massa e reduzir o nGmero de equaç~es diferenciais parciais simultâneas de t rês para duas em relação

ã

formulação em variiveis primitivas . A dificuldade com a

-aproximação usando função de corrente e vorticidade e que,

de duas equaç~es diferenciais parciais de segunda ordem, uma,

a equação de Poisson para a funçio de corrente , tem duas condi -ções de contorno ao invés de apenas uma requerida, c a outra, a equação de transporte de vorticidade, não tem nenhuma. Os

pesquisadores em diferenças finitas Ja h~ algum tempo c

on-tornaram esta dificuldade definindo a vorticidade na fronteira a partir da variaçio ao longo da normal ao contorno do campo

de função de corrente determinado numa iteração prévia. Este

i

o chamado método da f6rrnula da vorticidade no contorno, que

também tem' sido adotado por pesquisadores em elementos finitos

(ver STEVENS

(

38

)

).

Um dos primeiros trabalhos que mostraram que o méto

-do -dos elementos finitos

6

adequado, versitil e pritico quando

aplicado a problemas de escoamento viscoso num domíni o arbitri -rio foi o de R.T. CHENG

[8)

.

O problema de valor de contorno

(39)

..

é formulado tomando-se um funcional variacional para a função

de corrente c um pseudo-variacional para a vorLicidade. Uma

solução estacionária

é

assumida quando a solução transiente se

torna convergente . Um estudo do escoamento em uma famflia de

canais com estrangulamento localizado é apresentado. As

con-diçÕes de contorno em vorticidade para os pontos localizados 33

na parede sÕlida não são aplicadas diretamente , mas calculadas

através de uma expansão local de ~ em séries de Taylor, de

mo-do que a vorticidade na parede pode ser obtida em função dos

valores da função de corrente na parede e em ponto interior do

domfnio situado na direção normal

i

parede. A expressao para

este cálculo é dada por

w (x , y ) p p 2

=

2

(

~

(

x ' y ) - ~ (XI' y I) ) h p p (2.3.1)

onde p e I indicam respectivamente pontos situados na parede

e no interior ao longo da direção normal e h é a distância

en-tre eles . Em cada passo de tempo as equações são resolvidas de

forma desacoplada para a função de corrente e para vorticidade.

Outro trabalho também pioneiro foi o de C. TAYLOR e

P. HOOD [39] , no qual é pr9posto um método iterati vo para sa

-tisfazer as condiç~cs de contorno at€ a obtenção de campos

au-to-consistentes de função de corrente e de vorticidade. No

entanto , a eficiincia de tal técnica iterativa c limitada a

uma pequena faixa de nGmcros de Reynolds .

Em trabalho mais recente, CAMPION-RENSON c CROCHET

[7]

demonstram que tais i teraçÕes são desnecessárias. Empre

-gam uma formulação variacional mista e , através de uma re

consi-deração da formulação de Galerkin para as equaçÕes de Nav

ier--Stokes , pode-se resolver simultaneamente as mesmas em sua for

ma discretizada sem recorrer a um procedimento iterat ivo para

sat isfazer· as condiçÕes de contorno, que é a principal dificu

l-dade da formulação em tjJ e w. As derivadas normais de tjJ 1.mpo~

tas em parte do contorno aparecem em forma de integrais de

li-nha como termos de força e fazem parte do termo independente,

no lado direito do sistema de equaçoes discretizadas. são apr~

(40)

..

e em um canal com degrau, com resultados em boa concordincia

com as soluç~es existentes .

G. DHATT ct al. (10] tamb6m prop~em um mé todo para

se determinar os va lores da vorticidade no contorno reso

lvendo--se simultaneamente as cquaç~cs de I)! c

w

'

para o caso esta

-cionário , utilizando o tnétodo de Newton-Raphson. A solução é

obtida através do c~lculo de virias incrementos do vetor das inc~gnitas ate que o vetor dos resfduos seja minimizado. A

matriz dos coeficientes de cada i teraçio

é

chamada matriz

tan-gente (também chamada matriz de Jacobiano) e é obtida a par-ti r da discretizaçi o da primeira variaç~o do funcional derivado

do método dos resÍduos ponderados de Galerkin. O método consis

te em se substituir na matriz tangente a equação da

vorticida-de correspondente ao n~ do contorno ("no slip") por um vetor que representa, na média, a derivada de

w

na direç~o da normal

ao contorno neste n~ e que é calculado em função da dis

tribui-ção espacial de W atraves das funç~es de interpolação,

fican-do impl[citos os valores de

w

na vizinhança do ponto em

ques-tao. As condiç~es de contorno para não cscorregamento são, poE

tanto, introduzidas explicit amente nas cquaç~es não-lineares ,

e pode-se dizer que as condiç~es para derivada normal em

w

em

-pregadas na referência

[7]

são, assim, conside radas como c

on-diç~es de contorno adicionais.

M • I K E G A\~ A [ 2 2 ] a p r c s e n t a um m

é

t o do b as e a d o n a 1 e i

de conservação da vorticidade , a qual afirma que, num pequeno volume de controle S, a quantidade de vorticidade transportada

por convecção através da fronteira de S deve ser i gual

à

dis

-sipação de vorticidade em S. Elementos finit os triangulares

simples de t rês n~s são usados, os termos convectivos são

tra-tados através de um tipo modificado de diferenças f initas

re-gressivas mais conhecidas como "up\vind di ffercnces", j ~

men-cionado -anteriormente , que apresenta boa estabilidade , e o

tem-po de computação é poupado através do uso de um método de re -laxação .

A integração no tempo é de importincia fundamental na

solução das equaç~cs de fluxo transicnte incompressível. Esqu~

Referências

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