Divisão Proporcional. Matemática - UEL Compilada em 26 de Março de 2010.

Matemática Essencial

Divisão Proporcional

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 26 de Março de 2010.

Prof. Ulysses Sodré

Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Conteúdo

1 Divisão em duas partes diretamente proporcionais 1

2 Divisão em várias partes diretamente proporcionais 1

3 Divisão em duas partes inversamente proporcionais 2

4 Divisão em várias partes inversamente proporcionais 3

5 Divisão em duas partes diretamente e inversamente proporcionais 4

6 Divisão em várias partes diretamente e inversamente proporcionais 5

7 Regra de Sociedade 6

‘O ladrão não vem senão para roubar, matar e destruir; eu Jesus, vim para que tenham vida e a tenham em abundância.’ A Bíblia Sagrada, Livro de João 10:10

Seção 1 Divisão em duas partes diretamente proporcionais 1

1 Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Decompomos um número M em duas partes X1 e X2 diretamente

pro-porcionais aos pesos p1 e p2, montando um sistema com 2 equações e 2

incógnitas, de modo que a soma das partes seja X1+ X2= M, mas

X1

p1

= X2

p2

A solução segue das propriedades das proporções:

X1 p1 = X2 p2 = X1+ X2 p1+ p2 = M p1+ q2 = K O valor de K é que proporciona a solução pois:

X1= K p1 e X2= K p2

Exemplo: Decompomos o número 100 em duas partes X1 e X2diretamente

proporcionais a 2 e 3, montando o sistema tal que X1+ X2 = 100, cuja

solução segue de:

X1 2 = X2 3 = X1+ X2 5 = 100 5 = 20 Segue que X1= 40 e X2= 60.

Exemplo: Obtemos números X1 e X2 diretamente proporcionais a 8 e 3,

sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar X1− X2= 60 e escrever:

X1 8 = X2 3 = X1− X2 5 = 60 5 = 12 Segue que X1= 96 e X2= 36.

2 Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Decompomos um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente

propor-cionais aos pesos p1, p2, ..., pn, montando um sistema com n equações e n

incógnitas, tomando X1+X2+...+Xn = M e p1+p2+...+pn = p, satisfazendo

X1

Seção 3 Divisão em duas partes inversamente proporcionais 2

A solução segue das propriedades das proporções:

X1 p1 = X2 p2 = ... = Xn pn = X1+ X2+ ... + Xn p1+ p2+ ... + pn = M p = K

Exemplo: Decompomos o número 120 em três partes X1, X2 e X3

direta-mente proporcionais a 2, 4 e 6, montando um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que X1+ X2+ X3= 120 e p = 2 + 4 + 6 = 12. Assim:

X1 2 = X2 4 = X3 6 = X1+ X2+ X3 2 + 4 + 6 = 120 12 = 10 logo X1= 20, X2= 40 e X3= 60.

Exemplo: Determinamos números X1, X2 e X3 diretamente proporcionais

a 2, 4 e 6, de modo que 2X1 + 3X2 − 4X3 = 120. A solução segue das

propriedades das proporções:

X1 2 = X2 4 = X3 6 = 2X1+ 3X2− 4X3 2(2) + 3(4) − 4(6)= 120 −8 = −15 logo X1= −30, X2= −60 e X3= −90.

Observação: Também existem proporções com números negativos!

3 Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Decompomos um número M em duas partes X1 e X2 inversamente

pro-porcionais a q1 e q2, decompondo o número M em duas partes X1 e X2

diretamente proporcionais a 1

q1

e 1

q2

, que são, respectivamente, os inversos de q1 e q2.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas X1e X2

tal que X1+ X2= M. Desse modo:

X1 1 q1 = X₁2 q2 = X₁1+ X2 q1 + 1 q2 = ₁ M q1 + 1 q2 = M · q1· q2 q1+ q2 = K

O valor de K proporciona a solução pois: X1=

K q1 e X2= K q2 .

Seção 4 Divisão em várias partes inversamente proporcionais 3

Exemplo: Decompomos o número 120 em duas partes X1 e X2

inversa-mente proporcionais a 2 e 3, montando o sistema tal que X1+ X2 = 120,

de modo que: X1 1 2 = X₁2 3 = X₁1+ X2 2+ 1 3 =120₅ 6 = 120 · 6 5 = 144 Assim X1= 72 e X2= 48.

Exemplo: Determinamos números X1 e X2 inversamente proporcionais a

6 e 8, se a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos

X1− X2= 10. Assim: X1 1 6 = X₁2 8 = X₁1− X2 6− 1 8 = 10₁ 24 = 240 Assim X1= 40 e X2= 30.

4 Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Decompomos um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente

proporcionais aos pesos q1, q2, ..., qn, decompondo este número M em n

partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a _q1

1,

1

q2, ...,

1

qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+

X2+ ... + Xn = M e além disso X1 1 q1 = X₁2 q2 = ... = X₁n qn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

X1 1 q1 = X₁2 q2 = ... = X₁n qn = X₁1+ X2+ ... + Xn q1 + 1 q2 + ... + 1 qn = ₁ M q1 + 1 q2 + ... + 1 qn

Exemplo: Decompomos o número 220 em três partes X1, X2 e X3

Seção 5 Divisão em duas partes diretamente e inversamente proporcionais 4

incógnitas, de modo que X1+ X2+ X3= 220. Desse modo:

X1 1 2 = X₁2 4 = X₁3 6 = X1₁+ X2+ X3 2+ 1 4+ 1 6 =220₁₁ 12 = 240 A solução é X1= 120, X2= 60 e X3= 40.

Exemplo: Obtemos números X1, X2e X3 inversamente proporcionais a 2, 4

e 6, de modo que 2X1+ 3X2− 4X3= 10, montando as proporções:

X1 1 2 = X₁2 4 = X₁3 6 = 2X1₂+ 3X2− 4X3 2+ 3 4− 4 6 = 10₁₃ 12 = 120 13 logo X1= 60 13, X2= 30 13 e X3= 20 13.

Observação: Também existem proporções com números fracionários!

5 Divisão em duas partes diretamente e inversamente

pro-porcionais

Decompomos um número M em duas partes X1 e X2 diretamente

propor-cionais a p1e p2 e inversamente proporcionais a q1 e q2, decompondo este

número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a

p1

q1

e p2

q2

, montando um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que

X1+ X2= M e além disso: X1 p1 q1 = X_p2₂ q2 = _pX₁1+ X2 q1 +p2 q2 = _p1M q1 +p2 q2 = M · q1· q2 p1(q2) + q1(p2) = K

O valor de K garante a solução pois: X1= K

p1 q1 e X2= K p2 q2 .

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes X1e X2 diretamente

proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, devemos tomar

X1+ X2= 58 e montar as proporções: X1 2 5 = X₃2 7 = X₂1+ X2 5+ 3 7 = 58₂₉ 35 = 70

Seção 6 Divisão em várias partes diretamente e inversamente proporcionais 5 Assim X1= 2 5(70) = 28 e X2= 3 7(70) = 30.

Exemplo: Para obter números X1 e X2 diretamente proporcionais a 4 e 3 e

inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que X1− X2= 21 resolver as

proporções: X1 4 6 = X₃2 8 = X₄1− X2 6− 3 8 = 21₇ 24 = 72 Assim X1= 4 6(72) = 48 e X2= 3 8(72) = 27.

6 Divisão em várias partes diretamente e inversamente

pro-porcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente

proporcionais aos pesos p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais aos

pesos q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2,

..., Xn diretamente proporcionais às divisões:

p1 q1 , p2 q2 , ..., pn qn .

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas assume que X1+

X2+ ... + Xn = M e além disso X1 p1 q1 = X_p2₂ q2 = ... = X_pnn qn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1 p1 q1 = X_p2 2 q2 = ... = X_pnn qn = _pX1+ X2+ ... + Xn 1 q1 +p2 q2 + ... +pn qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes X1, X2 e X3

dire-tamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, devemos montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de

X1+ X2+ X3= 115 e tal que: X1 1 4 = X₂2 5 = X₃3 6 = X1₁+ X2+ X3 4+ 2 5+ 3 6 =115₂₃ 20 = 100

Seção 7 Regra de Sociedade 6 logo X1= 1 4(100) = 25, X2= 2 5(100) = 40 e X3= 3 6(100) = 50.

Exemplo: Determinar números X1, X2 e X3 diretamente proporcionais a 1,

10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2X1+3X2−4X3=

10.

A montagem do problema fica na forma:

X1 1 2 = X₁₀2 4 = X₂3 5 = 2X1₁+ 3X2− 4X3 2+ 30 4 − 8 5 = 10₆₉ 10 = 100 69 A solução é X1= 50 69, X2= 250 69 e X3= 40 69.

7 Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático para indicar a dis-tribuição de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, em que os membros podem participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os

respectivos tempos de participação de tais capitais por t1, t2, ..., tn.

Os pesos p1, p2, p3, ..., pn dos participantes são diretamente proporcionais

aos produtos:

p1= C1t1, p2= C2t2, p3= C3t3, ..., pn= Cntn

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1+C2+ ... +Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor C diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Exemplo: Uma sociedade foi formada por três pessoas X1, X2 e X3, sendo

que X1 entrou com um capital de R$50.000 e nela permaneceu por 40

meses, X2 entrou com um capital de R$60.000 e nela permaneceu por 30

meses e X3 entrou com um capital de R$30.000 e nela permaneceu por 40

meses. Se o resultado (lucro ou prejuízo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Seção 7 Regra de Sociedade 7

Os pesos dos sócios são indicados em milhares para evitar muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p1= 50(40) = 2000, p2= 60(30) = 1800, p3= 30(40) = 1200

A montagem do problema estabelece que X1+ X2+ X3= 25000 e além disso:

X1 2000= X2 1800= X3 1200 A solução segue das propriedades das proporções:

X1 2000 = X2 1800= X3 1200= X1+ X2+ X3 5000 = 25000 5000 = 5 Resultado: X1= 5(2000) = 10000, X2= 5(1800) = 9000 e X3= 5(1200) = 6000.