01. Um copo está sobre uma mesa com a boca voltada para cima.
Um explosivo no estado sólido preenche completamente o copo, estando todo o sistema a 300 K. O copo e o explosivo são aquecidos. Nesse processo, o explosivo passa ao estado líquido, transbordando para fora do copo. Sabendo que a temperatura final do sistema é 400 K, determine:a) a temperatura de fusão do explosivo; b) o calor total fornecido ao explosivo. Dados:
• volume transbordado do explosivo líquido: 10-6 m3;
• coeficiente de dilatação volumétrica do explosivo no estado líquido: 10-4 K-1;
• coeficiente de dilatação volumétrica do material do copo: 4 x 10-5 K-1;
• volume inicial do interior do copo: 10-3 m3; • massa do explosivo: 1,6 kg;
• calor específico do explosivo no estado sólido: 103 J.kg-1.K-1; • calor específico do explosivo no estado líquido: 103 J.kg-1.K-1; e • calor latente de fusão do explosivo: 105 J.kg-1.
Consideração:
• o coeficiente de dilatação volumétrica do explosivo no estado sólido é muito menor que o coeficiente de dilatação volumétrica do material do copo.
Solução:
a) Seja Vc a variação de volume do copo: (I) Vc = VocT,
Onde Vo = 10-3 m3 é o volume inicial, c = 4 x 10-5 K-1 é o seu coeficiente de dilatação volumétrico e T = 100K é a variação de temperatura.
Supondo que o volume do explosivo na fase sólida se mantém inalterado, sua variação de volume total Vc + V, onde V = 10-6 m3 é o volume transbordado, ocorre apenas na fase líquida:
(II) Vc + V = E VoT’
Onde E = 10-4 K-1 é o coeficiente de dilatação do explosivo líquido e T’ = 400K – TF é a variação de temperatura a partir da temperatura de fusão TF.
De (I) e (II) segue: V c T' = T 1+ = 50K V T c o E Logo, T = 350K F
b) O calor total fornecido ao explosivo é Q = MCE,S [TF – 300K] + MLE + MCE,L [400K – TF], Onde M = 1,6 kg, CE,S = 10 3 J kg-1 K-1 e CE,L = 10 3 J kg-1 K-1 são a massa e calores específicos do explosivo no estado sólido e líquido, respectivamente. Assim,
5 Q = 3,2x10 J
02. Os pulsos emitidos verticalmente por uma fonte sonora situada no
fundo de uma piscina de profundidade d são refletidos pela face inferior de um cubo de madeira de aresta a que boia na água da piscina, acima da fonte sonora. Um sensor situado na mesma posição da fonte capta as reflexões dos pulsos emitidos pela fonte sonora. Se o intervalo de tempo entre a emissão e captação de um pulso é ∆t, determine a massa específica da madeira.Dados:
• velocidade do som na água: vs = 1500 m/s;
• massa específica da água: ρa = 10
3 kg/m3; • profundidade da piscina: d = 3,1 m; • aresta do cubo: a = 0,2 m; • aceleração da gravidade: g = 10 m/s2 ; • ∆t = 4 ms. Consideração:
• o cubo boia com sua base paralela à superfície da água da piscina.
Solução:
Seja h a altura da parte imersa do cubo. O tempo entre a emissão e captação de um pulso é, então
s d h t 2 , v de onde obtemos s v t h d 2 .
O volume submerso é dado por a2h. Para que o cubo esteja em equilíbrio, o empuxo deve balancear o peso:
3 2 ma g a a h g a s m a v t h d a a 2 Numericamente, 2 3 a m 5 10 kg / m 2 03
.Uma mola presa ao corpo A está distendida. Um fio passa por uma roldana e tem suas extremidades presas ao corpo A e ao corpo B, que realiza um movimento circular uniforme horizontal com raio R e velocidade angular ω. O corpo A encontra-se sobre uma mesa com coeficiente de atrito estático µ e na iminência do movimento no sentido de reduzir a deformação da mola. Determine o valor da deformação da mola.
Dados:
• massa do corpo A: mA; • massa do corpo B: mB; • constante elástica da mola: k; • aceleração da gravidade: g. Consideração:
A massa mA é suficiente para garantir que o corpo A permaneça no plano horizontal da mesa.
Solução: T x B M g y
2 B B Eixo x : Tsen m R (1) Eixo y :T cos m g (2) Corpo A A Eixo x : k x T cos N (3) Eixo y :m g N Tsen (4) De (1) e (4) obtemos: 2 A B Nm gmR (5) Substituindo (2) e (5) em (3):
2 B A B 2 a B k x m g m g m R 1 x m g m g R k 04
.Um canhão movimenta-se com velocidade constante ao longo do eixo Y de um sistema de coordenadas e dispara continuamente um feixe de elétrons com vetor velocidade inicial constante e paralelo ao eixo X. Ao deixar o canhão, o feixe de elétrons passa a sofrer exclusivamente a ação do campo elétrico indicado nas duas situações das figuras. a) Na situação 1, sabendo que, em t = 0, o canhão está em y = y0,
determine a equação da curva de y em função de x e t do feixe de elétrons que é observada momentaneamente no instante t, resultante do disparo contínuo de elétrons.
b) Na situação 1, determine a máxima coordenada y da curva observada no instante t.
c) Repita o item (a) para o campo elétrico em conformidade com a situação 2, determinando a equação da curva de x em função de y e t.
Dados:
• módulo do campo elétrico do plano XY: E; • massa do elétron: m;
• carga do elétron: -q;
• velocidade escalar do canhão e velocidade de saída do feixe: v. Solução:
No plano XY, que vamos chamar de referencial do laboratório, todos os elétrons lançados pelo canhão apresentam uma trajetória própria de um lançamento horizontal.
Vamos considerar duas dessas trajetórias separadas por um intervalo t. Confira: B A y x 0 t t t 2 0 Considere : BC y y y ' AC x x x ' Onde : qE y y t 2m x vt E também:
2 0 qE y ' y vt t t 2m x ' v t t Assim:
2 2 2 qE qE y y y ' v t t t t 2m 2m qE qE y v t t t t m 2m E também : x v t Desprezando os termos de segunda ordem temos: qE y v t t t m x v t Assim: 2 2 qE x qE x x y x t x m v m v v qE y x x x mv y qE 1 x x mv Quando t 0, teremos: 2 2 y dy qE 1 x x dx mv qE dy 1 x dx mv
Integrando a equação, vem:
2 2 qEx y x Constante 2mv
Mas quando x = 0 y = y0 – vt, daí: y = y0 – vt = constante 2 0 2 qEx y y vt x 2mv
b) Fazendo em um tempo t específico:
2 2 dy dy qEx 0 1 0 dx dx mv mv x qE
2 2 2 0 2 2 2 máx 0 2 máx 0 mv qE mv y y vt qE 2mv qE mv mv y y vt qE 2qE mv y y vt 2qE
c) Dessa vez a equação do movimento de um elétron lançado pelo canhão, será: 2 0 qE x v(t t) (t t) 2m y y v t Após um tempo t. Daí 0 0 y y qE y y x v t t v 2m v
05.
A figura acima mostra uma estrutura em equilíbrio, formada por nove barras AB, AC, AD, AE, BC, BE, CD, CE e DE conectadas por articulações e apoiadas nos pontos A, B e C. O apoio A impede as translações nas direções dos eixos x, y e z, enquanto o apoio B impede as translações nas direções x e
y. No ponto C, há um cabo CF que só restringe a translação da estrutura na direção do eixo y. Todas as barras possuem material uniforme e homogêneo e peso desprezível. No ponto E há uma carga concentrada, paralela ao eixo z, de cima para baixo, de 60 kN. Determine, em kN:
a) as componentes da reação do apoio B. b) as componentes da reação do apoio A. c) o módulo da força do cabo CF.
d) os módulos das forças das barras BE, BC, AB e AC. Solução: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AE 4 2 20 AE 2 5m BE 4 AE 16 20 36 BE 6m AC 4 4 32 AC 4 2m BE CE e AE DE 4 2 5 2 5 sen e cos 5 5 2 5 2 5 4 2 2 5 5 sen e cos 6 3 6 3
Fazendo o equilíbrio de rotação em relação ao eixo 7 da barra AB:
y y
f 4 0 f 0 KN
Considerando o corpo todo como rígido e em equilíbrio:
Rz z Rx x x Ry y y y F 0 a 60KN F 0 a b 0 F 0 a b f 0
Rotação em torno do eixo y da barra AD:
y 60 4 b 4 0
y y
b 60KN a 60KN
Rotação em torno do eixo x que possa por A:
x x x 60 2 4 b 0 b 30KN a 30KN
Analisando nó B:
Ry y 6 6 6 F 0 b F cos sen 0 2 5 5 60 F 0 F 90KN 5 3 Rz 1 6 1 1 F 0 F F sen 0 2 F 90 0 F 60KN 3 Rx 5 x 6 5 5 F 0 F b F cos cos 0 5 5 F 30 ( 90) 0 F 0 3 5 Analizando nó A:
Rz 1 z 2 2 2 F 0 F a F . sen 45º 0 60 60 F . sen 45º 0 F 0 a)
x y b 30KN b 60KN b)
z x y a 60KN a 30KN a 60KN c)
F0KNd)
6 5 4 2 F 90 KN F 0 KN F 60 KN F 0 KN 06
.Um circuito elétrico tem uma resistência de 2 Ω ligada entre seus terminais A e B. Essa resistência é usada para aquecer o Corpo I durante 21 minutos, conforme apresentado na Figura 1. Após ser aquecido, o Corpo I é colocado em contato com o Corpo II e a temperatura se estabiliza em 50o C, conforme apresentado na figura 2.
Determine o valor da fonte de tensão U. Dados:
• massa do Corpo I: 0,4 kg; • massa do Corpo II: 1,0 kg;
• calor específico dos Corpos I e II: 0,075 kcal/kg°C; • temperatura inicial do Corpo I: 20°C;
• temperatura inicial do Corpo II: 30°C. Considerações:
• 1 cal = 4,2 J;
• não há perda de calor no sistema. Solução:
Após o aquecimento temos:
1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 m 0,4kg ? c 0,075 kacl / kg C m 0,10kg 30 C c c Q 0 m c m c 0 0,4 0,075 50 1 0,075 50 30 0 0,03 50 1,5 0 1,5 1,5 0,03 100 C Durante o aquecimento de I temos:
0 F 1 1 20 C 100 C 80 C Q m c 0,4 0,075 80 2,4kal 10,08KJ 3 ot 2 2 ot Q 10,08 10 P 8W t 21 60 i Se a R 2 P R 8 i 2 d i 2A
A corrente que passa por AB é 2ª pera superposição de circuitos:
i1 + i2 = 2A Do circuito 1: total total 1 2 9 9 i i 1A i 0,5A i 1,5A Circuito 2: 5 2 2 3 5 2 3 4 2 3 4 i i i i i i 15 i 4 i 12 1,5 15 1,5 15 mas i 1,5 i i 4 12 CD DE CD 5 DE 2 U U U U i 3 e U i 15 1,5 15 1,5 15 U 3 2 1,5 1,5 15 4 12 U 3 10,5 1,5 15 U 54V
07
.Seis blocos idênticos, identificados conforme a figura, encontram-se interligados por um sistema de cordas e polias ideais, inicialmente em equilíbrio estático sob ação de uma força F, paralela ao plano de deslizamento do bloco II e sentido representado na figura. Considere que: o conjunto de polias de raios r e R são solidárias entre si; não existe deslizamento entre os cabos e as polias; e existe atrito entre os blocos I e II e entre os blocos II e IV com as suas respectivas superfícies de contato.
Determine:
a) o menor valor do módulo da força F para que o sistema permaneça em equilíbrio estático;
b) o maior valor do módulo da força F para que o sistema permaneça em equilíbrio estático quando a válvula for aberta e o líquido totalmente escoado;
c) o maior valor do módulo da força F para que não haja deslizamento entre os blocos I e II, admitindo que a válvula tenha sido aberta, o tanque esvaziado e a força F aumentado de modo que o sistema tenha entrado em movimento.
Dados:
• aceleração da gravidade: g; • massa específica de cada bloco: ρB;
• volume de cada bloco: VB;
• massa específica do líquido: ρL;
• coeficiente de atrito entre os blocos I e II: μ;
• coeficiente de atrito estático entre o bloco II e o solo: 1,5 μ; • coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco II e o solo: 1,4 μ; • coeficiente de atrito estático entre o bloco IV e a superfície com
líquido: 0,5 μ;
• coeficiente de atrito estático entre o bloco IV e a superfície sem líquido: 0,85 μ;
• coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco IV e a superfície sem liquido: 0,75 μ;
• ângulo entre a superfície de contato do bloco IV e a horizontal:
. Solução:
a) A situação de menor força F ocorre quando o sistema tende a se mover no sentido oposto ao da força. Para usar o resultado obtido neste item também no item seguinte, consideremos II e IV os coeficientes de atrito estático entre II e IV e suas superfícies de contato e mIV a massa do bloco IV.
Bloco IV:
IVN
IVN
IVT
IVm
IVg
Eixo normal: NIV = mIV g cos
Eixo tangencial: TIV + IVNIV = mIV g sen De onde obtemos
TIV = mIVg (sen - IV cos) (I)
Polias soldadas: r R T TIV 2pBvBg Torque total = 0 2pBvBgR + TIV r = pBvBgR + Tr IV B B R T T p v g r (II) Blocos I e II: B B II Eixo y : 2 V g N (3) Eixo x : F N T (4) Substituido (1), (2) e (3) em (4), obtemos:
IV IV B B II R F m g sen cos V g 2 5 r Na situação deste item, temos
IV B L B II IV m V , 1,5 e 0,5 . Substituindo em 5 :
mín B L B B B R F V g(sen 0,5 cos ) V g 3 r b) Na condição de maior força, o sistema tenderá a se mover no sentido da força. Assim, as forças de atrito em II e IV mudarão de sentido. Portanto, II 1,5 e IV 0,5 . Como não há mais líquido no tanque, mIV BV .B Substituindo em (5): máx B B R F V g sen 0,5 cos 3 r
c) Devido ao vínculo dos cabos, as acelerações dos blocos I, II e IV são iguais e as dos blocos III, V e VI também.
Denotaremos respectivamente por a e A. As polias soldadas impõem o vínculo. A a (6) Rr Bloco III: A B BV g TIII B BV A (7) III T B BV g
Bloco V e VI: A TV 2B BV g 2 B BV A (8) V T B B 2V g Bloco IV: a IV T IV N IV 0,75 N IV B B IV B B IV B B
Eixo normal : N V gcos
Eixo tangencial : T V gsen 0.75 N V a
IV B B T V g sen 0,75 cos (9) B BV g Blocos I e II y I B B x I B B II B B II II B B I : N V g I : N V a ( I II ) y : N 2 V g ( I II ) x : F T 1, 4 N 2 V a Das equações para I; obtemos
a g (10)
E das equações para (I + II),
II B B
T F4,8 V g (11) Polias soldadas:
Considerando que as polias não tem massa, o torque total deve ser nulo. V IV III II T RT r T RT r (12) Substituindo (6 – 11) em (12), obtemos: B B R R F V g 5,8 sen 0,75 cos 1 3 r r 08.
Uma fenda é iluminada com luz monocromática cujo comprimento de onda é igual a 510 nm. Em um grande anteparo, capaz de refletir toda a luz que atravessa a fenda, são observados apenas cinco mínimos de intensidade de cada lado do máximo central. Sabendo que um dos mínimos encontra-se em θ, tal que
3 sen(θ) =
4 e ,determine
7 cos(θ) =
4 , determine a largura da fenda. Solução:
A condição para o n-ésimo mínimo é A sen n = n
Assim, temos que n 1 n sen n 1 sen n Seja n = . Como n 1 2 : n 1 n 1 3 n 1 1 sen sen n 4 n n 3 Se n = 3, então 4 2
e, portanto, só teríamos quatro mínimos.
Para n 5, certamente 6 2
, de modo que teríamos mais de cinco mínimos. Portanto n = 4. Assim: 6 4 16 a sen 3 a 2,72x10 m
09
. Figura 1Figura 2
Figura 3
O circuito magnético apresentado na Figura 1 é constituído pelas bobinas B1 e B2, formadas por 100 e 10 espiras, respectivamente, e por um material ferromagnético que possui a curva de magnetização apresentada na Figura 2. Considerando que seja aplicada no lado de B1 a corrente i1(t) apresentada na Figura 3, desenhe:
a) o gráfico do fluxo magnético φ (t) indicado na Figura 1; b) o gráfico da tensão induzida e2(t) indicada na Figura 1. Consideração:
•
todo o fluxo magnético criado fica confinado ao material ferromagnético.Solução: Letra a)
Perceba que a dependência do fluxo magnético com o produto (corrente) (número de espiras) é dado por:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ,se i n 50 i 100 50 i 0,5 1 1 i n i 100 20i ,se 50 i n 50 0,5 i 0,5 5 5 10 ,se i n 50 i 0,5
Analisando a dependência da corrente com o tempo, vemos que:
0 ,se 0 t 2 1 t 1 100 10t 20 ,se 2 t 3 5 2 10 , se 3 t 7 1 t 4 100 10t 80 ,se 7 t 8 5 2 t 0 ,se 8 t 10 1 t 5 100 10t 100 ,se 10 t 11 5 2 10 ,se 11 t 15 1 t 8 100 10t 160 ,se 15 t 16 5 2 Assim, o gráfico (t) será dado por:
3 7 8 2 0 10 10 11 10 15 16 t(s) (t)(Wb) Letra (b) Sabemos que 2 2 2 d d e n e 10 dt dt
Desse modo a evolução de e2 com o tempo será dada por:
2 0 , 0 t 2 10 10 100 , 2 t 3 0 , 3 t 7 10 ( 10) 100 , 7 t 8 e (t) 0 , 8 t 10 10 ( 10) 100 , 10 t 11 0 , 11 t 15 10 10 100 , 15 t 16
Assim o gráfico e2(t) será dado por:
2 3 7 8 10 11 15 16 100 -100 (s) t 2 (volts) e (t)
10
.A figura acima mostra uma fonte luminosa e uma lente convergente, presas a molas idênticas, de massas desprezíveis e relaxadas. A fonte e a lente são colocadas em contato, provocando a mesma elongação nas três molas. Em seguida são soltas e movimentam-se sem atrito.
Do instante inicial até o instante em que a fonte e a lente se encontram novamente, determine o tempo total em que a imagem formada é virtual.
Dados:
•
constante elástica das molas: k = 20 g/s2;•
massa da fonte luminosa + suporte: 20 g;•
massa da lente: 10g;•
elongação das molas no instante do contato: 10 cm;•
distância focal da lente: 26,25 cm. Solução:Na situação da questão a lente está acoplada a duas molas de constante K logo a constante equivalente é 2K.
Ambos irão descreves movimentos harmônicos simples de amplitude 10cm. fonte lente K 20 g / s² m 20 g m 10 g
Para a fonte temos: F F m 20 T 2 2 2 s K 20 e F F K 1rad / s m Para a lenta: L L m 10 T 2 2 s 2K 2 20 e L L 2K 2rad / s m
Para se encontrarem novamente a lente terá feito dois ciclos do MHS A imagem é virtual quando o objeto (fonte) está entre a lenta e o foco da lente, pois ela convergente. Assim a distância entre a fonte e a lente deve ser entre 0 e 26,25 cm. Mas a distância entre as poucas em que as molas não estão deformadas é 20cm então a distância entre a fonte e a lente é dada por:
F L
d20X X
Na qual XL é a posição da lente na MHS e XF é a posição da fonte no MHS.
L L L
X 10 sen t X 10 sen 2 t 10 cos (2 t)
2 2 F F F
X 10 sen t X 10 sen t 10 cos (t)
2 2 d20 10 cos (2t) 10 cos (t)
d10 2 cos(2t) cos(t)
2
d10 2 2 cos (t) 1 cos (t)
2
d10 3 2 cos (t)cos(t) Mas, 0 d 26,25
2
0 10 3 2 cos (t) cos(t) 26,25
2
0 3 2 cos (t) cos(t) 2,625 Para
2
0 3 2 cos (t)cos(t)
0 2cos(t)3 cos(t)1Ambos são sempre negativos
Para t 0 ou t 2 (situação inicial e final), então sempre é válido
2 2 2
2
para 3 2 cos (t) cos(t) 2,625 0,375 2 cos (t) cos(t) 0 3 2 cos (t) cos(t) 0 8 3 1 cos (t) cos(t) 0 16 2 3 1 cos(t) cos(t) 0 4 4 ou 3 1 cos(t) 0 e cos(t) 0 4 4 3 1 cos(t) e cos(t) 4 4 ou 3 1 cos(t) 0 e cos(t) 4 4 0 3 1 cos(t) e cos(t) 4 4 Como 0 t 2 t1 t1 t2 t2 3 4 1 4 1 2 N total 1 t arccos 4 3 t arccos 4 1 3
T 2 arc cos arc cos
4 4
