Matemática Básica Função Logarítmica

Matemática Básica

₀₈

Versão: Provisória

Função Logarítmica

0. Introdução

Quando calculamos as equações exponenciais, o método usado consistia em reduzirmos os dois termos da equação à mesma base, como no exemplo:

2

x

=

8



2

x

=

2

3



x = 3

Mas, com este método, a solução de uma equação como

2

x

=

3

ainda é muito difícil!

Podemos perceber que 21 = 2 e 22 = 4 , logo o valor procurado de x está entre 1 e 2, mas não te-mos o valor exato.

1. Definição

Para resolver este tipo de equação é preciso determinar qual é o

expoente (x) ao qual deveremos elevar a base (a) para que

obte-nhamos o resultado 3, ou seja, precisamos encontrar uma função que seja inversa à função exponencial.

2x = 3

log 2x = log 3 ) x log 2 = log 3 ) x = log 2 log 3 )

x = 1,58496

O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e

di-ferente de um, é o número c ao qual se deve elevar a para se obter b.

Exemplos: a) 23 = 8 → 3 é o logaritmo de 8 na base 2. b)

(

1 2

)

4 = 1 16 → 4 é o logaritmo de 1 16 na base 1 2 . c) 3−2 = 1 9 → -2 é o logaritmo de 1 9 na base 3.

(a) Nomenclatura

O logaritmando também é chamado de antilogaritmo.

Para os exemplos dados anteriormente: a) 23 = 8 → log2 8 = 3 a = 2 b = 8 c = 3 b)

(

1 2

)

4 = 1 16 → log1 2 1 16 =4 a =1 2 b = 1 16 c = 4 c) 3−2 = 1 9 → log3 1 9 = −2 a = 3 b = 1 9 c = −2

(b) Representações especiais de logaritmos

log

₁₀

a = log a

(c) Condições de existência do logaritmo

log

_a

b = c

)

a

c

=

c

0 < a ≠1

b > 0

a ≠ 1

• A que expoente devo elevar o número 1 para obter qualquer real diferente de 1? A equação 1x

= b só é verdadeira para b = 1 !

Por exemplo: a que expoente devo elevar 1 para obter o resultado 3? ∄ x | 1x

= 3

a > 0

• A que expoente devo elevar o número 0 para obter qualquer número diferente de 0? A equação 0x = b só é verdadeira para b = 0 !

Por exemplo: a que expoente devo elevar 0 para obter o resultado 3? ∄ x | 0x = 3

• De forma semelhante, verificamos a impossibilidade de valores de a negativos:

b > 0

• A que número deve-se elevar a para que se obtenha zero?

Para comprovar a impossibilidade, basta tentar encontrar o valor de x que faça a igualdade ax = 0 (por exemplo: 8x = 0), logo, log_a0 não existe;

• Para valiarmos a impossibilidade de b < 0 (logaritmando negativo), devemos lembrar que 0 < a ≠1 , assim, teríamos log_a−b = c , ou seja, ac

= −b , o que é impossível se a>0 .

(d) Exemplos

• Calcular log₃ 81 (lê-se “logaritmo de 81 na base 3” ou, simplesmente “log de 81 na base 3”): 3c

=81 ) 3c

=3⁴ ) x = 4

• Calcular 0 valor de a em: log_a81 = 4 : log_a81 = 4 ) a4

= ±

√

481 ) a = ±3

mas , pela condição de existência dos lagarítmos, a > 0 , logo:

∃ log_a b se b > 0, ou seja : ∃ log₂(2 x−3) se (2 x−3) > 0, assim : 2 x−3>0 ) 2 x >3 x >3 2

{

x ∈ ℝ | x > 3 2

}

• Calcular o valor de x para que log_{2 x−5} 5 exista:

∃ log_ab se 0 < a ≠ 1 , ou seja: a deve cumprir as duas condições . ∃ log_{2 x−5}5 se

{

(2 x−5) > 0 (2 x−5) ≠ 1

}

assim: (2 x−5) > 0 ) 2 x > 5 ) x > 5 2 (2 x−5) ≠ 1 2 x ≠ 6 ) x ≠ 3

{

x ∈ ℝ | x >5 2 , x ≠ 3

}

• Calcular log₂

√

364 : log₂

√

364 = x ) 2x =

√

364 ) 2x=64 1 3 ₎ 2x= (26) 1 3 _{) 2}x =26 × 1 3 _{) 2}x =22 ) x = 3

(e) Resumindo:

O logaritmo nos permite responder à pergunta:

A que expoente x se deve elevar o

2. Consequências da definição

Sendo:

log

_a

b = c

)

a

c

=

b

b > 0

0 < a ≠1

c > 0

α ∈ ℝ

poderemos afirmar:

•

a

logab

₌

b

_{→ número ao qual se deve elevar a base a para obter b.}

•

log

_a

1 = 0

→ qualquer número elevado a zero é igual a 1.

•

log

_a

a = 1

→ qualquer número elevado à unidade é igual a ele mesmo. •

b = c ⇔ log

_a

b = log

_a

c

•

log

_a

a

α

= α

(a) Exemplos:

•

2

log25

₌

5

_{→ log}

2 5 resulta no número ao qual deve-se elevar 2 para obter 5, ora,

se elevamos 2 este número, encontramos 5. •

log

₅

1 = 0

→ 50 = 1 •

log

₅

5 = 1

→ 51 = 5 •

log

₅

x = log

₅

2

⇔

x = 2

•

log

₅

5

2

=

2

⇔

5

2

=

5

2

3. Propriedades dos logaritmos

(a) Logaritmo do produto

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores:

log

_a

(

b × c) = log

_a

b + log

_a

c

b > 0

(b) Logaritmo do quociente

log

_a

(

b

c

)

=

log

a

b − log

a

c

b > 0

c > 0

0 < a ≠1

Exemplo: log2 32

4 = log232 − log2 4 = log2 2 5

'−' log2 2 2

= 5 −' 3 = 3

(c) Logaritmo de uma potência

O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência:

log

_a

b

n

=

n⋅ log

_a

b

b > 0

0 < a ≠1

Exemplos: a) log3 93 = 3⋅ log3 9 = 3 ⋅2 = 6 ou log3 729 = log3 3 6 = 6 b) log₂ 3

√

8 = log₂8 1 3 ₌ 1 3⋅log2 8 = 1 3⋅3 = 1

(d) Exemplos

• Dados: logb a = 4 , logb c = 6 e logb d = −1 , calcular: logb

a × c d : logb (a × c ) − logb d = logb a + logb c − logb d = 4 + 6 − (−1) = 11

• Dados log 2 = x e log 3 = y , calcular: a) log 24

log (3×8) = log (3×23

• Dados log_x a = 8 , log_xb = 2 e log_x c = 1 , calcular log_x

(

a 3 b2⋅c4

)

: logx a 3 −logx(b 2 ⋅c4) = logxa 3 − (logxb 2 +logx c 4 ) ) 3 log_x a − (2 log_x b + 4 log_x c) = 3×8−(2×2 + 4×1) = 16

• Dado log_x A = 2⋅log_xm + log_x n , determinar o valor de A em função de m e n: logx A = 2⋅ logxm + logx n = logx m

2

+logxn = logx(m

2

⋅n) se log_x A = log_x(m2⋅n), então:

A = m⋅ n

4. Equações logarítmicas

Toda equação que apresente a incógnita em logaritmo. A solução da equação normalmente é obtida usando as propriedades dos logaritmos, mas sempre deverão ser verificadas as condições de

existên-cia dos logaritmos.

Exemplo:

• Determinar a solução da equação

log

_x

(3 x

2

−

x) = 2

As condições de existência do logaritmo nesta igualdade são:

(3 x ² − x ) > 0 x > 0 e x ≠ 1

Aplicando a definição de logaritmo, teremos: logx(3 x

2

−x) = 2 ) x2= (3 x2−x ) ) 2 x2−x = 0

Resolvendo a equação do segundo grau: x (2 x − 1) = 0

{

x1

= 0 x2 =

1 2

}

Verificando as condições de existência:

Para x = 0

Para

x = 1

2

(3 x ² − x) > 0 (3 × 02−0) = 0 (Falso ) (3 x ² − x) > 0 (3 ×

(

1 2

)

2 − 1 2) > 0 1 4 > 0 (Verdadeiro) x > 0 x = 0 0 > 0 (Falso) x > 0 x = 1 2 1 2 > 0 (Verdadeiro) x ≠ 1 x = 0 0 ≠ 1 (Verdadeiro) x ≠ 1 x = 1 2 1 2 ≠ 1 (Verdadeiro)

Assim, a única condição que satisfaz a equação é:

S =

{

1

5. Cologaritmo

O logaritmo do inverso de um número é igual ao simétrico do logaritmo do número inicial:

log

_a

1

b

=

log

a

1 − log

a

b = 0 − log

a

b = −log

a

b = colog

a

b

Sendo: b > 0 0 < a ≠ 1

Exemplos de uso do colog:

• Calcular o valor do colog2 64

colog2 64 = −log2 64 ) colog2 64 = −log2 64 = −log22

6 ₎

colog2 64 = −6

• Resolver a equação: log₅ x = log₅ 3 + colog₅ 4 : condição de existência: x > 0

log5 x = log5 3 + colog5 4 ) log5 x = log5 3 − log5 4

log5 x = log5

3

4 ) x = 3 4

como a condição de existência x > 0 é satisfeita, temos: S =

{

3 4

}

6. Mudança de base

Se:

log

_a

b = x

)

b = a

x e:

log

_c

b = x

)

b = c

x Então:

{

b = a

x

b = c

y

}

logo : a

x

=

c

y

, assim :

log

_c

a

x

=

log

_c

c

y

) x ⋅log

_c

a = y ⋅log

_c

c

substituindo x = log

c

b e

y = log

c

b , teremos :

log

_a

b ⋅log

_c

a = log

_c

b⋅1

) log

_c

b = log

_a

b⋅log

_c

a

)

log

a

b =

log

c

b

log

_c

a

b > 0

0 < a ≠ 1

0 < c ≠ 1

(a) Logaritmos na base decimal (base 10)

log

₁₀

b = c

representa−se: log b = c

)

10

c

=

b

ou:

(b) Logaritmos na base natural (base e)

log

_e

b = c

representa−se : ln b = c

)

e

c

=

b

lê-se: “logaritmo neperiano de b” ou, simplesmente “neperiano de b”.

(c) Exemplos:

• Dados log 2 = 0,3 e log 3 '=' 0,4 , calcular log2 6 :

log2 6 = log 6 log 2 = log 2 + log 3 log 2 = 0,3 + 0,4 0,3 = 0,7 0,3 ) log2 6 = 7 3 verificação: se log₂ 6 = 7 3, então: 2 7 3 _{= 6.}

mas, usando a calculadora encontramos: 2

7

3 _{= 5,4444 - porque??}

porque log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771

se usarmos os valores com as quatro casas decimais teremos:

0,3010 + 0,4771

O valor de e

Na matemática, número de Euler, assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à cons-tante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier.

e = lim h→0(1 + h) 1 h _{ou e = lim} h→∞

(

1 + 1 h

)

h

O valor de e determinado no software Maple (maplesoft.com):

> evalf(exp(1), 75);

(d) Exemplos de uso da calculadora para mudança de base:

Usando a calculadora para determinar logaritmos e para verificar os resultados encontrados: a) log₂ 7 :

como a calculadora não dispõe da função “logaritmo na base dois”, usamos a base 10:

log2 7 =

log 7

log 2 e usamos a calculadora para determinar os valores

log2 7 =

log7 log2 =

0,845098

0,301030 = 2,807355

E podemos verificar o resultado encontrado fazendo (na própria calculadora): 22,807355

= 7,00 b) log₇ 2 :

como a calculadora não dispõe da função “logaritmo na base sete”, neste exemplo usaremos a base natural (e):

log7 2 =

ln2

ln 7 e usamos a calculadora para determinar os valores

log7 2 =

ln2 ln 7 =

0,693147

1,945910 = 0,356207

E podemos verificar o resultado encontrado fazendo (na própria calculadora):

CUIDADO PARA NÃO ERRAR!!

log₂ 8 log24 ≠ 8 4 !!! log₂8 log24 = 3 2 log₁₆ 2 16 ≠ log21 !!!! log₂16 16 = 4 16 = 1 4

c) log₄2 :

como a calculadora não dispõe da função “logaritmo na base quatro”, neste exemplo usaremos a base 10:

log42 =

log 2

log 4 e usamos a calculadora para determinar os valores

log42 = log 2 log 4 = 0,301030 0,602060 = 0,50 ou 1 2

E podemos verificar o resultado encontrado fazendo (na própria calculadora):

4

1

2 _{= 2,00}

7. Inequações logarítmicas

Uma inequação que possui pelo menos um termo envolvendo logaritmo é dita uma inequação logarít-mica e a sua solução é feita impondo-se e resolvendo as condições de existência, após isso, são cons-truídos gráficos para comparação das bases ou dos logaritmandos

(a) Propriedades importantes na solução de inequações logarítmicas

a > 1

0 < a ≠ 1

x₂ > x₁ ⇔ log_a x₂ > log_a x₁

o sentido da desigualdade se conserva

x₂ > x₁ ⇔ log_a x₂ < log_a x₁

Exemplos

• Resolver a inequação log₃(5 x − 1) > log3 4 :

Pela condição de existência:

(5 x − 1) > 0

Resolvendo a condição de existência:

(5 x − 1) > 0 ) 5 x > 1 ) x > 1

5

①

Esboçando o gráfico:

base = 3 > 0 → função crescente.

Pela observação do gráfico confirma-se que a função é crescente, logo, o sentido da desi-gualdade se conserva.

Relacionando os logaritmandos:

5 x − 1 > 4 ) 5 x > 4 + 1 ) x > 1

➁

Representando os intervalos na reta real:

• Resolver a inequação log1 2

(x − 3) ≥ log1 2

4 : Pela condição de existência:

(x − 3) > 0

Resolvendo a condição de existência:

(x − 3) > 0 ) x > 3

①

Esboçando o gráfico: base = 1

2 < 0 → função decrescente.

Pela observação do gráfico confirma-se que a função é decrescente, logo, o sentido da desigualdade se inverte. Relacionando os logaritmandos: log1 2 (x − 3) ≥ log1 2

4 - o sentido da desigualdade se inverte, assim:

x − 3 ≤ 4 ) x ≤ 4 + 3 ) x ≤ 7

➁

Representando os intervalos na reta real:

8. Função logarítmica

(a) Definição

A função exponencial ( ax_{) admite uma função inversa:}

f ( x) = a

x

⇒

f

−1

(

x) = log

_a

x

forma exponencial:

x = a

y forma logarítmica:

log

_a

x = y

Exemplos: f (x) = log3(4 x – 7) g(x) = ln x h(t ) = log t2 −3 t D(I) = 10 ⋅log

(

I I_r

)

Chama-se função logarítmica à função real de variável real tal que:

f : ℝ → ℝ

|

f ( x) = log

_a

g( x)

sendo:

g(x ) > 0 0 < a ≠ 1

A função logarítmica é a função inversa da função exponencial:

f(x)

f

-1

_(x)

x

f ( x) = 2

x

x

f ( x) = log

₂

x

-3 1 8 1 8 -3 -2 1 4 1 4 -2 -1 1 2 1 2 -1 0 1 1 0 1 2 2 1 2 4 4 2 3 8 8 3

NOTE QUE OS PARES ORDENADOS SE INVERTEM

Representando graficamente as duas funções, teremos:

Dm(f ) : (−∞ , ∞ ) = Im( f−1

) Im( f ) : (0, ∞ ) = Dm( f−1

(b) Gráficos da função logarítmica

Exemplos:

Completar a tabela e construir o gráfico correspondente:

x f ( x) = log2x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8

Completar a tabela e construir o gráfico correspondente: x f ( x) = log1 2 x 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8

(c) Observações sobre a função logarítmica (com base nos gráficos)

• O gráfico da função é contínuo em todo o seu domínio;

• É um gráfico “suave” - não possui cantos vivos em sua representação;

• Domínio da função logarítmica:

ℝ

₊* (reais positivos) – graficamente: está totalmente repre-sentado à direita do eixo y (ao qual é assintótico);

• Imagem da função logarítmica:

ℝ

• Intercepta eixo y? NÃO

• Intercepta eixo x? Na abcissa 1 • Ou seja: passa pelo ponto (1, 0); • Assíntota:

x = 0

• É crescente para a > 0 e decrescente para 0 < a ≠ 1;

• Intercepta qualquer linha horizontal em exatamente um ponto, ou seja, para cada valor de x cor-responde um valor de y e vice-versa;

• Comportamento em pontos extremos:

y = log

_a

x , para b > 1

y = log

_a

x , para b < 1

para x → 0: −∞

para x → ∞: ∞

para x → 0: ∞

para x → ∞: −∞

Exemplo:

• Representar no mesmo par de eixos ordenados as funções f (x) = ex _{, g(x ) = ln x ,}

h(x ) = x :

• Determinar a ordenada do ponto de abcissa 1 (o par ordenado!) em f(x); • Determinar a abcissa do ponto de ordenada 1 (o par ordenado!) em g(x);

Observar os pontos importantes do gráfico.

D = 10⋅ log

(

I

I

_r

)

Sendo:

D – o nível do som em decibéis (dB);

I – é a intensidade do som, medida em Watts por metro quadrado (W/m²);

Ir – é o limite inferior de audição humana ( I_r=1 × 10−12W /m2);

Notar que, quando I = Ir, teremos:

D = 10⋅log 1=0 dB Tabela ilustrativa:

Fonte do Som Intensidade do som_(W/m²) dB Limiar da audição 1,0 × 10−12 _{0 dB} Aspirador de pó (tipo silencioso) 1,0 × 10−4 _{80 dB} iPod 1,0 × 10−2 100 dB Turbina de avião 1,0 × 10−3 _{150 dB} Exemplos:

Na apresentação de um determinado grupo de rock, a intensidade típica do som é de I=1 × 10−2W /m2. A quantos dB isto corresponde?

D = 10 ⋅log

(

I I_r

)

= 10⋅log

(

1,0×10−2 1,0×10−12

)

= 10 ⋅log 1,0×10 10 = 10⋅10 ) D = 100 dB

Qual é a intensidade sonora correspondente a um nível de 80 dB? D = 10 ⋅log

(

I Ir

)

) 80 = 10⋅log

(

I 1,0×10−12

)

) 80 = 10 ⋅(log I − log 1,0×10 −12 )) 80 = 10⋅(log I + 12) ) 80 10 = log I + 12 ) log I = −4 )

(b) A escala Richter

A magnitude M de um terremoto é medida através da escala Richter e pode ser obtida através de:

M =

2

3

⋅log

(

E

E

₀

)

Sendo: M – a magnitude do terremoto;

E – é a energia sísmica liberada pelo terremoto ( em Joules);

E0 – é a energia sísmica liberada pelo terremoto de referência ( E0=1 × 104,4J );

Exemplos:

Um dado terremoto liberou uma energia equivalente a 1,12 × 1015

Joules . Determinar a magnitude deste terremoto. M = 2 3⋅log

(

E E₀

)

= 2 3⋅log

(

1,12×1015 1,0×104,4

)

= 2 3⋅log

(

1,12×10 10,6

₎

₎ M = 7,1

(c) O pH de uma solução

O pH de uma solução é a medida molar da concentração de íons de hidrogênio (H+_{), em moles por}

li-tro, na solução.

PH significa potencial de hidrogênio e seu valor numérico pode ser calculado através de:

pH = −log [ H

+

]

Soluções muito ácidas têm pH perto de 1, Soluções neutras têm pH perto de 7 e

Soluções muito alcalinas (básicas) têm pH próximo de 14.

Exemplo:

O produto Pepto-Bismol possui uma concentração de íons de hidrogênio de 5,01×10−11

moles /litro . Calcular o seu pH:

(b) log₂₅ 5 (c) log₁₆32 (d) log₃₂16 (e) log₃81 (f) log₂ 1 4 (g) log₅0,2 (h) log₂₅ 0,2 (i) log₂ 0,25 (j) log₂ 3

√

64 (k) log_√8 4 (l) log₅0,000064 (m) log₄₉

√

37 (n) log₂ 8

√

64 (o) log₄ 2

√

2 (p) log5 √2128 (q) log₆₂₅

√

5 (r) log_√5625 (s) loga a 3 2. Calcular o valor de b: (a) log₃ b = 2 (b) log₁ 2 b = 4 (c) log₃ b = 0 (d) log₅ b = −3 (e) log1 2 b = 1 2

3. Calcular o valor da base: (a) log 16 = 2

(c) loga 16 81 =4 (d) loga 8 = 3 2 (e) loga 1 26 = −2

4. Calcular o valor da soma em cada um dos casos: (a) S =log10 0,001 + log33

√

3 − log81

(b) S =log₁ 5 1 25+log1 49 7 − log₄

√

32 (c) S =log₁ 2 8 − log4 3 27 64 +log2 1024

(d) S =log4

(

log216

)

−log2

(

log3 81

)

(e) S =log_√28 − log10 0,01 + log2

√

8

5. Resolver as equações: (a) logx(3 x2−x) = 2

(b) log3 x + 2(2 x − 1) = 1

(c) log2(x + 2) + log2(x − 2)

(d) 2 log₇ x = log₇ 3 x + log₇ 6 (e) log ( x ² + x − 1) = log (x2

+2 x 5) (f) log₂ {log3(log4(x + 2) ) } = 0

6. Calcular: (a) 5log52

(b) log₃1 (c) log25 25

5

8. Dados log_x a = 5 , log_xb = 2 e log_x c = −1 , determinar: (a) logx(a b c )

(b) log_x

(

a2⋅b3 c4

)

9. Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771 , resolver a equação 3x + 3x + 1 = 8 10. Dados log_c a = 5 e log_c b = 2 , determinar log_c

√

3 a

√

3 b

√

3 c

11. Dado logb a = 4 , determinar o valor de loga2 b

6

12. Resolver a equação: log2 x + log8x = 8

13. Usando as propriedades dos logaritmos e/ou mudança de bases, determine o valor das expressões (dados: log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699) - dê as respostas com 3 decimais e apre-sente o desenvolvimento completo da solução proposta.

(a) log₈500

(b) log₆15

(c) log₁₅ 100

14. Resolver as inequações: (a) log_√2 (x−6) > log_√2 5 (b) log (a2−2 a+ 1) < 2 (c) log3(x ²−1) ≤ 1 (d) log7(x2−9 x+18) > log7(x2−8 x +7) (e) log₁ 2

(

x2− 3 2

)

> 1 (f) log₁ 2 x < log₁ 4 25

15. Nas seguintes expressões, identifique aquela que está correta e, para as que estão erradas, identifi-que o erro, usando as propriedades e/ou regra de conversão de base dos logaritmos:

(c) ln 49=(ln 7)2

(d) log327=3

16. Assinalar a opção verdadeira – justifique, indicando o erro nas opções descartadas: (a)

log 2 = 1

4

⋅

log 8

(b)

log 9 = 3⋅log 3

(c)

log 3 = log 6−log 2

(d)

log 6 = log 3+ log 3

17. Uma determinada grandeza física é dada pela função logarítmica f (x ) = −log₁₀(x ) . Se x pos-sui o valor 5,1×10−13 _{, qual é o valor da grandeza?}

18. Na figura a seguir, determinar as coordenadas dos pontos A, B, C e D. Justifique o valor de cada uma das coordenadas (mostre como determinou o valor obtido).

20. Na figura estão representadas as oito funções seguintes. Identificar, no gráfico, cada uma das fun-ções e construir uma tabela relacionando cada uma delas com a sua função inversa.

Funções representadas:

f ( x)

f

−1

(

x)

f (x) = ln x g(x) = −ln x h(x ) = ex i(x) = −ex j(x ) = 1 ex k (x ) = −

(

1 ex

)

l(x) = ln(−x ) m(x) = −ln(−x)

21. Um dado terremoto liberou uma energia equivalente a 1,12 × 1012Joules. Determinar a magnitu-de magnitu-deste terremoto.

22. Qual a energia (em Joules) liberada por um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter?

23. Em 1956 os geólogos Richter e Gutenberg desenvolveram a seguinte fórmula para estimar a quan-tidade de energia liberada em um terremoto: log₁₀ E = 4,4 + (1,5) M , sendo E a energia em Joules liberada e M a intensidade o terremoto na escala Richter. Agora, usando a tabela a seguir e sendo E1 a energia do terremoto ocorrido nas Filipinas e E2 a energia liberada pelo terremoto de

Washington. Determine a razão E1

E₂ para comparar as energias liberadas pelos dois terremotos: Localização Data Magnitude na escala_Richter

Mindanao, Filipinas 01 janeiro de 2001 7,5 Washington 28 de fevereiro de 2001 6,8

24. A água sanitária comum possui uma concentração de íons de hidrogênio de aproximadamente 5,0×10−13moles/litro. Calcular o seu pH.

25. Numa conversa normal, a intensidade típica do som chega a I=1 × 10−6

W /m2. A quantos dB isto corresponde?

26. Uma campainha de porta gera uma intensidade típica do som chega a I=1 × 10−4,5W /m2. A quantos dB isto corresponde?

27. Se $ 8000 são investidos à uma taxa de 9 % ao ano, computada continuamente, quanto tempo le-vará para que o investimento chegue a $ 20000?

28. Quanto tempo leva para que um investimento de $ 4 atinja o valor de $ 12 se for aplicado a uma taxa de 5% ao ano, computada continuamente?