tgx  Cˆsen21Bˆsen

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Relações Trigonométricas em ângulos agudos - GABARITO 1. Em um triângulo ABC, retângulo em A, a hipotenusa mede 5cm e o senCˆ

2 Bˆ 1

sen  . Encontre as

medida, em centímetros, do maior cateto, do perímetro, da área e da altura relativa à hipotenusa.

Solução. Aplicando a Relação Fundamental e as relações métricas no triângulo retângulo, temos:

 

   

     

        

₂_cm

5 5 . 5 h 2 hipotenusa .

altura adjacente

. cat . oposto . cat :) hip ( Altura ) iv

cm 2 5

5 . 5 2 2

adjacente .

cat . oposto . : cat Área )iii

cm 5 3 5 5 5 2 5 : Perímetro )ii

cm 5 2 : cateto maior 5

adjacente .

5 cat adjacente .

cat 5

5 5

adjacente .

Cˆ cat cos

5 2 oposto . 5 cat

oposto . cat 5

5 2 5

oposto . Cˆ cat sen )i

5 5 2 5 2 5 Cˆ sen

5 5 5 1 5 Cˆ 1 cos 1 Cˆ cos Cˆ cos 4 1 Cˆ cos Cˆ cos 2 1 Cˆ cos Cˆ sen

Cˆ cos 2 Cˆ Bˆ sen sen 2 Cˆ sen Cˆ 2sen Bˆ 1 sen

Cˆ cos Bˆ sen º 90 Cˆ Bˆ

2 2 2

2





















































 

























 

















.

2. Se

2 6 senx

1  , com 0 < x < 90º, calcule ^tgx.

Solução. Utilizando a relação da tangente como razão entre seno e cosseno, temos:

(2)

3 2 6 3 6 3 .3 3

6 33 63 x cos tgx senx , Logo

3 3 9 3 9 1 6 x cos 1 x 3 cos

6 1

x cos x sen

3 6 6

6 2 6 senx 2 2

6 senx

1

2 2









 



























.

3. Sabendo-se que

2 x 1

cos  , determine o valor de ^y^ _senx^cot^gx__tgx^¹ . Solução. Calculando as razões pelas relações trigonométricas, temos:

 

3 1 3 2 9

3 6 6 3 . 3 3 3

6 3 2 3

3 6 3 2 3 . 2 3

3 3 2

3 2 3

3 3 3 2 3

3 3 1 3 y

3 3 3 gx 1 cot 1 3

.2 2

3 122 3 tgx , Logo 2 .

3 4 1 1 2

1 1 2 senx

x 1 cos

2

 

 

 



 



 

 



 

 









 



 











.

4. Sendo

2

senx 1, com 0 < x < 90º, calcule o valor de

x cos x 1 tg . 2

y ²  ₂ .

Solução. Calculando as razões pelas relações trigonométricas, temos:

3 2 6 3 4 3 2 34

1 3 2 1 y

3 1 3 .4 4 1 3144 x cos

x x sen tg , Logo 4. 3 4 1 1 2 1 1 x 2 cos

senx 1 ₂

2 2











 



 





 



 











.

5. Sabendo que BC = 10 m, C e

5

cos3, calcule o perímetro do triângulo ABC, retângulo em A.

Solução. O lado BC está oposto a ao vértice A. Logo a hipotenusa mede 10m. Os catetos são calculados de acordo com as razões trigonométricas.

m 24 ) 8 6 10 ( : Perímetro

m 5 8

) 10 ).(

4 oposto ( . 10 cat

oposto . cat 5 4 hipotenusa

oposto . sen cat

) ii

m 5 6

) 10 ).(

3 adjacente ( .

10 cat adjacente .

cat 5 3 hipotenusa

adjacente .

cos cat ) i

5 4 25 sen 16

25 16 25 1 9 5 1 3 5 sen

cos 3

2 2







































 



 















.

6. Simplifique a expressão

x sen

x .cos gx cot

y tgx ₂

 2 .

Solução. Escrevendo a expressão em senos e cossenos, temos:

(3)

x 1 sen

x .cos x cos .senx x cos senx x

sen x .cos senx

x cosx cos senx x

sen x .cos gx cot

y tgx ²₂  ²₂  ²₂  .

7. Se 2sencos1, calcule o(s) valore(s) de sen e do cos.

Solução. Reescrevendo a equação informada e utilizando a relação fundamental, vem:

 

5 3 5 1 8 5 2 4 1 5 cos

sen 4 )ii 1

)0 (2 1 cos 0 sen )i

5 sen 4

0 sen 4

sen 5.

sen 0 sen 4 sen 5 1 sen 4 sen 4 1 sen

1 sen 2 1 1 sen

cos sen

sen 2 1 cos 1 cos sen 2

2 2

2

2 2 2

2





 



 



 



















































































 



























.

8. Determine a, de forma que se tenha simultaneamente

a senx 1 e

a 1 x a

cos   , com 0x90º. Solução. Basta verificar a relação fundamental.











 



 



 

 

 





















 





 











 



 













2 1 3 a 1

2 2 3 a 1

2 3 1 2

8 1 1 )1

(2

)2 )(

1(

4 )1 ( )1 a (

0 2 a a a 2 a a 1

1 a a 1 1 a

1 a a

1 1 cos sen

2

2 2 2

2 2

.

9. Sendo

3

senx 1, com 0 x90º, calcule o valor da expressão

1 senx

tgx x cos . y senx



  .

Solução. Calculando as outras razões e substituindo, temos:

24 2 2 . 3 36

2 3

2 36 2

3 2 36

2 9 2 8

3 2 4

2 9

2 2 3 1

1

4 2 3

2 . 2 3 1 1

senx

tgx x cos . y senx

4 2 2 . 2 2 2

1 2 2 . 3 3 1 23 2

13 tgx , Logo 3 .

2 2 9 8 9 1 1 x 3 cos senx 1





 

































 





















 





 

 











.

10. Encontre os valores das expressões:

Solução. Utilizando as relações fundamentais e as propriedades de ângulos complementares, vem:

(4)

a) 2sen78º 1

º 12 cos º 22 cos º 78 sen º 68

M cos² ²



  .

1 1 º 78 sen 2

º 78 sen 2 1 1

º 78 sen 2

º 78 sen º 22 cos º 78 sen º 22 sen 1

º 78 sen 2

º 12 cos º 22 cos º 78 sen º 68 M cos

º 68 cos º 22 sen º

90 º 68 º 22

; º 12 cos º 78 sen º 90 º 12 º 78

2 2

 

 



 



 

















. b)

2 2 2

2 2

2

º 89 sen º 88 sen º 2 sen º 1

M sen 



 



   

 .

2 1 1 1 2

º 89 sen º 88 sen º 88 cos º 89 cos 2

º 89 sen º 88 sen º 2 sen º 1 M sen

º 88 cos º 2 sen º

90 º 88 º 2

; º 89 cos º 1 sen º 90 º 89 º 1

2 2 2

2 2

 

 



 



   

 



 



   

















.

11. Se sen64ºk, calcule em função de k, o valor de ^P ^²^.^tg⁶⁴^º^.^sen²⁶⁴^º^.

Solução. Encontrando as razões em função de k, temos:

    

2 3 2

3 2 3

2

2 2

k 1

k 2 k

1 . k º 2 64 cos

º 64 . sen 2 º 64 sen º . 64 cos

º 64 . sen 2 º 64 sen . º 64 tg . 2 P

k 1 º 64 cos k

1 º 64 sen 1 º 64 cos k

º 64 sen

 









 



 



 



 



 





















.