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Utilização de Materiais Piezelétricos (PZTs) para Coleta e Armazenamento de Energia

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Academic year: 2021

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Campus de Ilha Solteira

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

“Utilização de Materiais Piezelétricos (PZTs) para Coleta e Armazenamento de Energia”

Thiago Galbiati Lagoin

Orientador: Prof. Dr. João Antonio Pereira

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Área de Conhecimento: Mecânica dos Sólidos

Ilha Solteira – SP

Setembro/2011

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FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.

Lagoin, Thiago Galbiati.

L177u Utilização de materiais piezelétricos (PZTS) para coleta e armazenamento de energia / Thiago Galbiati Lagoin. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2011 116 f. : il.

Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área do Conhecimento: Mecânica dos Sólidos, 2011

Orientador: João Antonio Pereira Inclui bibliografia

1. Materiais piezelétricos. 2. Vibrações mecânicas. 3. Energia.

(3)
(4)

Dedico este trabalho a minha noiva Alliny e aos meus pais Ordelice e Euclides.

(5)

Agradeço a Deus por me dar forças para buscar o seu santo nome todos os dias, pela sabedoria e pelo conhecimento adquiridos nesta fase da vida.

Ao Professor João Antônio Pereira, um agradecimento especial. Pela sua competência e disposição estando sempre presente em todos os momentos não medindo esforços para que esse trabalho se concretizasse. Além de um grande orientador tornou-se um grande amigo.

Aos professores Gustavo Luiz Chagas Manhães de Abreu e Vicente Lopes Junior pelas sugestões dadas. Também aos demais professores e funcionários do Departamento de Engenharia Mecânica.

Aos grandes companheiros e amigos Thiago Viana Galavotti, Eduardo Aragão de Lima, João Artur Fiuza Mazarini, Carlos Eduardo Prazzo, Vitor Suman Guirao, Ricardo Mesquita, Rogério Kimura, Marcelo Maesta e tantos outros amigos que conviveram em momentos de trabalho e descontração tão importantes durante este período.

A todos os amigos e colegas que tive contato e que me ajudaram de alguma forma durante o desenvolvimento deste trabalho.

Aos membros da Banca Examinadora pelas sugestões e comentários.

Ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia (INCT) pelo suporte financeiro que

possibilitou a execução deste trabalho com dedicação exclusiva.

(6)

As vibrações mecânicas tem se mostrado uma forma efetiva de geração de energia através da deformação de materiais piezelétricos ou movimentação de bobinas eletromagnética. As técnicas de energy harvesting estudam o processo de extração e armazenamento deste tipo de energia até um nível utilizável. Neste caso que a estrutura piezelétrica é deformada devido à condição de operação gerando uma tensão/corrente que pode ser usada como uma fonte natural de energia, principalmente, para operar dispositivos eletrônicos de baixa potência.

Entretanto, a energia gerada através do efeito piezelétrico usualmente não é suficiente para operar diretamente a maioria dos circuitos eletrônicos. Assim, o desenvolvimento e implementação de métodos para acumular e armazenar a energia capturada nestes sistemas (materiais inteligentes) até um nível utilizável é a chave para o sucesso desta tecnologia. Este trabalho discute o estudo e avaliação da modelagem teórica-experimental de uma estrutura do tipo viga com PZTs submetida à deformação causada por vibrações mecânicas, buscando avaliar o comportamento do acoplamento eletromecânico do sistema bem como quantificar a eficiência, não só da quantidade de energia gerada pelo material, mas também o seu armazenamento em dispositivos do tipo capacitor. A modelagem da estrutura piezelétrica foi realizada por elementos finitos com o programa ANSYS

£

e validada com testes experimentais. Em seguida foi feito um estudo paramétrico das variáveis do modelo através de um conjunto de simulações numéricas efetuadas para avaliar o potencial elétrico gerado.

Para finalizar foram realizados testes experimentais de dois circuitos eletrônicos utilizados para extrair energia de um material piezelétrico.

Palavras-chave: Materiais piezelétricos. Vibrações mecânicas. Energia.

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Mechanical vibrations have been shown an effective form of generating energy through deforming piezoelectric materials or moving electromagnetic coil. The energy harvesting techniques studies the processes of extracting and storing this kind of energy until an usable level. In the case that piezoelectric structure is deformed due operation condition it generates a voltage/current that can be used like a natural source of energy, mainly, for operating electronic devices of low power. However, the energy generated through piezoelectric effect usually is not enough to operate directly the most electronic circuits. Therefore, the development and implementation of methods to accumulate and store the energy captured in these systems (smart materials) until an usable level is the key for the success of this technology. This work discusses the study and evaluation of a theoretical-experimental modeling of a beam structure with bounded PZTs submitted to mechanical vibration, aiming at evaluating the behavior of the electro-mechanical coupling of the system, as well as, to quantify the amount of energy generated by the material and the storage of this energy in a capacitive type device. The modeling of piezostructure was performed by finites elements with the program ANSYS

£

and validated with experimental tests. Then a parametric study of model variables was made through a set of numerical simulations carried out to evaluate the electrical potential generated. For finished were performed experimental tests of two electronic circuits used to extract energy from a piezoelectric material.

Keywords: Piezoelectric material. Mechanical vibration. Energy harvesting.

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Figura 2.1 – Representação visual do acoplamento entre os domínios físicos... 26

Figura 2.2 – Dipolos elétrico que conduzem o acoplamento eletromecânico em materiais piezelétrico. ... 27

Figura 2.3 – Processo de polarização associado com materiais piezelétrico... 28

Figura 2.4 – Representação do comportamento tensão-deformação para um material elástico. ... 28

Figura 2.5 – Efeito piezelétrico direto e relação entre tensão e deslocamento elétrico em um material piezelétrico. ... 30

Figura 2.6 – Relação entre o campo elétrico aplicado e o deslocamento elétrico em um material piezelétrico. ... 31

Figura 2.7 – Relação entre o campo elétrico e a deformação em um material piezelétrico. .... 32

Figura 2.8 – Cubo piezelétrico indicando os eixos de coordenadas da análise tridimensional. ... 33

Figura 2.9 – (a) Gerador longitudinal (d

33

) e (b) Gerador Transversal (d

31

), comprimido nos lados. ... 38

Figura 2.10 – Gerador transversal de 2-camadas (extensão), comprimido longitudinalmente.39 Figura 2.11 – (a) Gerador de flexão na condição engaste-livre e (b) Gerador de flexão na condição bi-apoiada. ... 40

Figura 2.12 – Gerador de pilha. ... 41

Figura 2.13 – Tensão vs. Corrente, diagrama para um gerador piezelétrico. ... 42

Figura 3.1 – Sistemática da construção das matrizes de massa e rigidez. ... 53

Figura 4.1 – Ilustração da viga com o PZT. ... 58

Figura 4.2 – Viga com PZT acoplado e modelagem por elementos finitos. ... 60

Figura 4.3 – Modos de vibrar da estrutura com PZT... 61

Figura 4.4 – Resposta estrutural obtida em vários pontos, na mesma direção da excitação. ... 61

Figura 4.5 – Set up experimental utilizado no primeiro caso. ... 63

Figura 4.6 – Diagrama de blocos implementado no Matlab Simulink® para coletar a resposta do martelo de impacto e do acelerômetro. ... 64

Figura 4.7 – Set up Experimental utilizado no segundo caso. ... 65

Figura 4.8 – Diagrama de blocos implementado no Matlab Simulink® para coletar a resposta da célula de carga e do PZT... 66

Figura 4.9 – Função de resposta em frequência experimental e numérica. ... 67

(9)

Figura 4.12 – Deslocamento para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema. ... 73

Figura 4.13 – Deformação para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema. ... 73

Figura 4.14 – Deformação e deslocamento para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema. ... 74

Figura 4.15 – Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação da largura do PZT. ... 75

Figura 4.16 – Potencial elétrico gerado versus largura do PZT. ... 76

Figura 4.17 – Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação do comprimento do PZT. ... 76

Figura 4.18 – Potencial elétrico gerado versus comprimento do PZT. ... 77

Figura 4.19 – Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação da espessura do PZT. ... 77

Figura 4.20 – Potencial elétrico gerado versus espessura do PZT. ... 78

Figura 4.21 – Potencial elétrico gerado em regime permanente pelo PZT para cada material normalizado pela frequência de ressonância. ... 80

Figura 4.22 – Potencial elétrico gerado versus módulo de Young da viga hospedeira. ... 80

Figura 4.23 – Potencial elétrico gerado em regime permanente pelo PZT para cada material com frequência de ressonância constante. ... 81

Figura 4.24 – Potencial elétrico gerado versus módulo de Young da viga hospedeira para uma frequência de ressonância constante. ... 81

Figura 5.1 – Bancada de testes. ... 84

Figura 5.2 – Sistema de aquisição ControlDesk Developer Version 2.7, da dSpace®. ... 84

Figura 5.3 – Circuito retificador de onda completa em ponte. ... 85

Figura 5.4 – Etapas de funcionamento do circuito retificador de onda completa em ponte. ... 86

Figura 5.5 – Forma de onda da corrente e da tensão no capacitor do transdutor piezelétrico para retificador de onda completa em ponte. ... 87

Figura 5.6 – Circuito retificador de onda completa. ... 88

Figura 5.7 – Sinal da força de excitação aplicada a estrutura piezelétrica. ... 89

Figura 5.8 – Sinal de reposta do PZT na condição de circuito aberto para um circuito retificador de onda completa. ... 90

Figura 5.9 – Sinal de reposta do PZT na condição de circuito fechado para um circuito

retificador de onda completa. ... 90

(10)

Figura 5.11 – Potencial elétrico gerado pelo PZT para um circuito retificador de onda

completa em função da resistência. ... 92

Figura 5.12 – Potência para um circuito retificador de onda completa em função da

resistência. ... 92

Figura 5.13 – Circuito retificador de onda completa em ponte chaveado. ... 93

Figura 5.14 – Etapas de funcionamento do circuito retificador de onda completa em ponte

chaveado. ... 94

Figura 5.15 – Forma de onda da corrente e da tensão no capacitor do transdutor piezelétrico

para retificador de onda completa em ponte chaveado. ... 95

Figura 5.16 – Circuito retificador de onda completa chaveado. ... 96

Figura 5.17 – Sinal de reposta do PZT na condição de circuito fechado para um circuito

retificador de onda completa chaveado. ... 97

Figura 5.18 – Tensão armazenada no capacitor versus tempo para um circuito retificador de

onda completa chaveado. ... 97

Figura 5.19 – Potencial elétrico gerado pelo PZT para um circuito retificador de onda

completa chaveado em função da resistência. ... 98

Figura 5.20 – Potência para um circuito retificador de onda completa chaveado em função da

resistência. ... 98

(11)

Tabela 2.1 – Exemplos de domínios físicos e variáveis de estado associadas. ... 25

Tabela 4.1 – Dimensões e propriedades da viga e do PZT... 59

Tabela 4.2 – Frequências naturais numéricas ... 60

Tabela 4.3 – Materiais e instrumentos utilizados nos testes experimentais ... 63

Tabela 4.4 – Frequências naturais experimental ... 65

Tabela 4.5 – Frequências naturais e diferenças percentuais numéricas ... 67

Tabela 4.6 – Parâmetros dos modos de vibrar para uma viga na condição engastada-livre .... 72

Tabela 4.7 – Dimensões e propriedades do PZT ... 79

Tabela 4.8 – Dimensões e propriedades dos materiais da viga hospedeira ... 79

(12)

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ...14

1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 16

1.2 OBJETIVO ... 21

1.3 CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO ... 22

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 22

CAPÍTULO 2 CONCEITOS E FUNDAMENTOS DE MATERIAIS PIEZELÉTRICOS PARA ENERGY HARVESTING ...24

2.1 MATERIAIS INTELIGENTES ... 24

2.2 MATERIAIS PIEZELÉTRICOS ... 26

2.2.1 Efeito piezelétrico direto ... 28

2.2.2 Efeito piezelétrico inverso ... 30

2.2.3 Equações constitutivas para um material piezelétrico linear ... 32

2.2.4 Modo de operação 31 de um dispositivo piezelétrico ... 35

2.3 PIEZOGERADORES ... 38

2.3.1 Geradores de uma camada ... 38

2.3.2 Geradores de duas camadas ... 39

2.3.3 Geradores multi-camadas ... 40

2.3.4 Desempenho do gerador ... 41

CAPÍTULO 3 MODELAGEM DE ESTRURAS INTELIGENTES ...43

3.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ... 43

3.1.1 Equações de Lagrange ... 44

3.1.2 Obtenção da equação do movimento em coordenadas generalizadas locais ... 46

3.2 SISTEMA GLOBAL DE EQUAÇÕES... 53

3.2.1 Obtenção da equação do sensor e atuador ... 54

3.3 AMORTECIMENTO ESTRUTURAL ... 56

(13)

4.1 DESCRIÇÃO DO SISTEMA ... 58

4.2 MODELO DE ELEMENTOS FINITOS ... 59

4.3 TESTE EXPERIMENTAL ... 62

4.4 COMPARAÇÃO DOS MODELOS ... 66

4.5 ESTUDO PARAMÉTRICO DAS VARIÁVEIS USANDO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS ... 69

4.5.1 Posicionamento do PZT ... 70

4.5.2 Largura, comprimento e espessura do PZT... 74

4.5.3 Módulo de Young da viga hospedeira ... 78

CAPÍTULO 5 CIRCUITO ELETRÔNICO DE ARMAZEMENTO ...83

5.1 DESCRIÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DA BANCADA DE TESTES ... 83

5.2 CIRCUITO RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA EM PONTE ... 85

5.2.1 Análise experimental do circuito retificador de onda completa em ponte ... 88

5.3 CIRCUITO RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA EM PONTE CHAVEADO 93 5.3.1 Análise experimental do circuito retificador de onda completa em ponte chaveado 96

CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE CONTINUIDADE DO TRABALHO 100 REFERÊNCIAS ...103

ANEXO I LISTAGEM DOS CÓDIGOS COMPUTACIONAIS DESENVOLVIDOS NOS PROGRAMAS ANSYS E MATLAB ...109

I.1 LISTAGEM DO CÓDIGO COMPUTACIONAL (PROGRAMA ANSYS) ... 109

I.2 LISTAGEM DO CÓDIGO COMPUTACIONAL (PROGRAMA MATLAB) ... 115

(14)

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

Recentemente, um grande número de estudos está em progresso em relação ao processo de geração de energia elétrica a partir de fontes renováveis bem como o aproveitamento da energia desprendida em atividades cotidianas, movimentos naturais ou em movimentos induzidos pelas próprias condições de operação de sistemas e equipamentos.

Entre as principais fontes naturais estão fontes fotônicas (iluminação solar), térmica (vapor vulcânico), fluídica (hidráulica e eólica) e fontes associadas às atividades do cotidiano tais como cinética (movimento humano) e movimentos de máquinas e equipamentos (vibração).

Essas técnicas de coleta e armazenamento destes tipos de energias são conhecidas na literatura como Energy Harvesting (ANTON et al., 2007).

Nesta área, os materiais piezelétricos que têm como principal característica a capacidade de gerar um potencial elétrico quando deformados ou apresentar uma deformação quando submetido a um potencial elétrico externo (ANTON et al., 2007) vêm ganhando uma grande importância visto que os mesmos podem ser usados como sensor, como atuador e mais recentemente como sensores para coleta de energia desprendida em atividades cotidianas (movimento humano), movimentos induzidos pela operação de sistemas e equipamentos (vibração) e outros.

A aplicação de materiais piezelétricos como transdutores para coleta de energia

associada a deformações provocadas por movimentos ou operação de sistemas e

equipamentos permite que o mesmo possa funcionar como um dispositivo de captura de

energia do meio, possibilitando, assim, o aproveitamento de fontes de energia não

aproveitadas normalmente. A captura e o armazenamento deste tipo de energia denominada

Energy Harvesting tem um amplo leque de aplicação, principalmente como fonte alternativa

para a alimentação de pequenos dispositivos elétricos e eletrônicos. A proposta de integração

de um sistema de Energy Harvesting dentro de dispositivos eletrônicos portáteis e sensores é

uma demanda corrente que poderia eliminar a necessidade de recarga periódica ou

substituição de baterias eletroquímicas, garantindo o funcionamento ininterrupto desses

dispositivos ou mesmo aumentando sua vida útil.

(15)

Para investigar a viabilidade das técnicas de coleta e armazenamento de energias de vibração, pesquisadores têm apresentado diferentes modelos matemáticos (ADACHI et al., 2009; AJITSARIA et al., 2007; LIANG et al., 1996; LUMENT et al., 2009) e testes experimentais (ERTURK et al., 2009; LIAO et al., 2008) utilizados para validar esses modelos. Diferentes tipos de materiais piezelétricos têm sido estudados e utilizados para a geração de energia (SODANO et al., 2005a; SODANO et al., 2006) entre eles PZT (RÖDIG et al, 2010; VATANSEVER et al, 2011), PVDF (RÖDIG et al, 2010; VATANSEVER et al, 2011) e PFC (SWALLOW et al., 2008). Em um artigo de 2005, Sodano et al. (2005b) testaram alguns materiais e o Lead–Zirconate–Titanate (PZT) mostrou maior eficiência se comparado com outros materiais do tipo bimorfe Quick Pack (QP) e Macro-Fiber Composite (MFC), principalmente quanto à eficiência em relação ao tempo de carga e da máxima capacidade que o dispositivo de armazenamento pode carregar.

Já na área de coleta e armazenamento de energia os super capacitores têm sido considerados mais desejáveis do que baterias recarregáveis quando analisada a adaptabilidade, a vida útil, a capacidade energética, a densidade energética e o armazenamento de energia, em

Energy Harvesting (GUAN et al., 2007).

As pesquisas atuais têm focado no melhoramento da eficiência dos materiais piezelétrico em dispositivos de energy harvesting através da configuração física e geométrica dos materiais, bem como, a adaptação de circuitos e técnicas de remoção de energia mais eficientes. A proposta desta pesquisa é fazer um estudo do posicionamento do PZT, da geometria do PZT (largura, espessura e comprimento) e do módulo de Young da viga hospedeira na geração de energia de uma estrutura piezelétrica simples através de simulações numéricas e testes experimentais, bem como, a adaptação de circuitos e técnicas de extração da energia gerada.

Neste trabalho apresenta-se a modelagem teórica-experimental de uma estrutura do

tipo viga com material piezelétrico colado, mais especificamente, tiras de PZT analisada na

condição engastada-livre. A estrutura é submetida a uma deformação causada por vibrações

mecânicas, buscando avaliar sua capacidade de converter energia mecânica em elétrica, bem

como quantificar a eficiência, não só da quantidade de energia gerada pelo material, mas

também o seu armazenamento em dispositivos do tipo capacitor. A modelagem da estrutura

piezelétrica foi realizada por elementos finitos com o programa ANSYS

£

e validada com

testes experimentais. Em seguida foi feito um estudo paramétrico das variáveis do modelo

através de um conjunto de simulações numéricas efetuadas para avaliar o potencial elétrico

(16)

gerado. Para finalizar foram realizados testes experimentais de dois circuitos eletrônicos utilizados para extrair energia de um material piezelétrico.

1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nas técnicas para geração e captação de energia denominada Energy Harvesting existem quatro métodos principais para captação da energia, o piezelétrico (SODANO et al., 2005ª; SWALLOW et al., 2008), a eletromagnética (REID et al., 2007; TORAH et al., 2007), a termoelétrica (ROWE, 2005) e a fotovoltaica (LEE et al., 1994). Entretanto, a revisão será focada apenas na captação de energia utilizando materiais piezelétricos.

Durante a última década, a quantidade de pesquisas sobre o tema da captação de energia aumentou consideravelmente devido ao interesse renovado em fontes alternativas de energia. A apresentação que se segue relaciona alguns importantes estudos envolvendo geradores piezelétricos baseados em estruturas engastadas, que são considerados relevantes para o desenvolvimento deste trabalho.

Anton et al. (2007) apresentam uma ampla revisão de power harvesting utilizando materiais piezelétrico (2003-2006) e abordam os seguintes tópicos: melhoramento da eficiência e a geração de energia através de configurações do material piezelétrico, de circuitos e do método de armazenamento de energia; aplicação de power harversting em atividades do ser humano; coleta de energia do fluxo de fluidos provenientes do ambiente;

power harversting em sistemas microeletromecânicos (MEMS); sensores auto-alimentados e

análise do desempenho de materiais piezelétrico em relação a outros materiais.

O estudo mostrou que grande parte das pesquisas até o momento tem se concentrado

na caracterização do energy harvesting em parte, em vez do desenvolvimento completo de

dispositivos auto-alimentados. Os autores deste artigo consideram que o futuro do energy

harvesting é o desenvolvimento de sistemas completos (energy harvesting, armazenamento, e

aplicação de circuito combinados), que pode ser facilmente implementados. Uma pesquisa

preliminar foi realizada, por exemplo, em uma unidade de sensoriamento completa autônoma

que incorpora tecnologias de monitoramento de integridade estrutural e energy harvesting em

um único dispositivo auto-alimentado (INMAN; GRISSO 2006). O desenvolvimento de tais

(17)

sistemas facilitaria a evolução de métodos de energy harvesting de um tema de pesquisa pura para uma tecnologia utilizável em dispositivos práticos.

Considerando está revisão feita por Anton et al. (2007) a seguir neste trabalho apresenta-se uma revisão a partir de 2007.

Dutoit et al. (2007) realizaram a validação de modelos para captadores de energia piezelétricos. Resultados experimentais de um captador piezelétrico de energia proveniente de vibração foram obtidos e apresentados, focando nas vibrações ressonantes de dispositivos (vigas bimorfes na condição engastada-livre) que podem ser implementados em sensores aplicados em sistemas microeletromecânicos (MEMS). A necessidade dessa investigação é devido à falta de resultados experimentas compreensivos na literatura, adequados para verificação de modelos que abordam os principais pontos de operação na frequência de ressonância e anti-ressonância. Um modelo anteriormente desenvolvido é implementado no dispositivo experimental. Os resultados obtidos foram utilizados para verificar o modelo de acoplamento eletromecânico desenvolvido e uma ferramenta útil de projeto foi desenvolvida.

As tendências de resposta do dispositivo são capturadas através do modelo, embora o desempenho elétrico perto da ressonância fosse estimado. Isto é devido à resposta não-linear do material piezelétrico. O modelo verificado foi posteriormente aplicado ao projeto de um captador de energia piezelétrico aplicado em um MEMS de baixo nível e baixa frequência com o conhecimento de que a energia ótima predita será muito conservativa devido à resposta piezelétrica não-linear. Sobre a ampla gama de parâmetros analisados, os modelos foram capazes de predizer com rigor todas as tendências e desempenho do dispositivo fora das frequências de ressonância e anti-ressonância. Perto das frequências de ressonância, o modelo foi capaz de predizer, de forma consistente, o desempenho elétrico, que é satisfatoriamente atribuído ao acoplamento piezelétrico não-linear na região de alta tensão. Os dados apresentados puderam servir como dados de referência para verificar outros esforços de modelagem. Os modelos verificados foram utilizados para aperfeiçoar projetos de captadores piezelétricos aplicados em MEMS utilizados em aviões comerciais e a microfabricação desses dispositivos está em andamento.

Ferrari et al. (2007) desenvolveram e testaram um arranjo de conversores piezelétricos

de multifrequências (MFCA), composto por múltiplos bimorfes engastados cujas tensões de

saída retificadas alimentavam um único capacitor armazenador. Os autores enfatizam a

possibilidade de fabricar um sistema em miniatura constituído por um conjunto de

conversores engastados capazes de trabalhar em diferentes faixas de frequência.

(18)

O estudo mostrou que, para um único conversor seguido de um retificador dobrador de tensões, sob regime senoidal, quando as perdas são desprezadas, o ângulo de carregamento do capacitor armazenador só era dependente do período e independente da frequência e amplitude de excitação. Já com o MFCA com conversores diferentes, observou-se qualitativamente que o conversor carregou o capacitor com um nível mais alto de saída instantânea, dependendo da frequência de excitação.

Ajitsaria et al. (2007) realizaram uma aproximação analítica baseados na teoria de viga de Euler-Bernoulli e equações de viga Timoshenko para tensão de saída e geração de energia que é então comparado com dois modelos descritos anteriormente na literatura: circuito equivalente elétrico e método da energia. Os modelos são implementados no

matlab/simulink/simpower enviroment e simulado com um circuito conversor de energia

AC/DC. Na comparação verificou-se que os modelos baseados na teoria de viga de Euler- Bernoulli e equações de viga Timoshenko foram os que melhor se aproximaram do resultado experimental.

Liao et al. (2008) descreveram um modelo teórico de um piezelétrico baseado em um sistema de energy harvesting que é de simples aplicação e ainda fornece uma predição precisa da energia gerada em torno de um único modo de vibrar. Este modelo permiti a otimização dos parâmetros do sistema tal que o desempenho seja o máximo que possa ser conseguido.

Usando este modelo uma expressão para resistência ótima e um parâmetro descrevendo a eficiência do energy harvesting foram apresentados e avaliados através de simulações numéricas. Depois disto apresenta-se uma validação experimental da expressão para resistência ótima e do parâmetro que descreve a eficiência do coeficiente de acoplamento eletromecânico desenvolvido com o modelo citado.

Adachi et al. (2009) propuseram uma viga na condição engastada-livre tipo vibration

energy harvester para monitoramento de vibração baseado na condição aplicada em máquinas

rotativas. O energy harvester proposto consiste em um material chamado Macro-Fiber

Composite (MFC) que é um atuador do tipo piezocomposito flexível e durável. A frequência

de ressonância da viga piezelétrica bimorfe na condição engastada-livre é ajustada com a

velocidade de rotação de um motor de indução de 4-polos da máquina rotativa. Neste caso, o

desempenho da geração de energia elétrica do energy harvester proposto é avaliado através de

simulações numéricas e experimentalmente, quando sujeito a uma entrada de vibração de

magnitude de 0,71 (mm/s rms) na frequência de ressonância do energy harvester gerada por

um shaker eletrodinâmico.

(19)

Os resultados indicaram que a geração de energia elétrica era maximizada quando a impedância elétrica do energy harvester era igual a resistência da carga.

Erturk et al. (2009) propuseram uma solução analítica que é aplicada para uma viga bimorfe na condição engastada-livre com configuração das ligações das conexões das camadas piezelétricas em série e paralelo com excitação na base. A excitação da base é assumida de translação na direção transversal com uma pequena rotação sobreposta. A forma- fechada das expressões de resposta para o estado estacionário são obtidas para excitações harmônicas em frequências arbitrárias, que são então reduzidas para expressões de um único- modo assumindo excitações modal. As Funções de Resposta em Frequências (FRFs) eletromecânica que relaciona a tensão de saída e a resposta de vibração para acelerações de base translacional e rotacional são identificadas das soluções multi-modos e único-modo.

A validação experimental do único-modo acoplado a tensão de saída e das expressões de resposta de vibração é apresentada para uma viga bimorfe na condição engastada-livre com uma massa na ponta. Foi observado que as FRFs de forma-fechada de único-modo obtidas através da solução analítica pode com sucesso predizer o acoplamento de sistemas dinâmicos para um grande intervalo de resistência elétrica da carga. O desempenho do dispositivo bimorfe é analisado extensivamente para excitações de frequências de ressonância de curto- circuito e de circuito-aberto. O modelo analítico pode com sucesso predizer a variação no acoplamento elétrico e a resposta mecânica da vida bimorfe na condição engastada-livre.

Song et al. (2010) abordaram a validação experimental de uma metodologia de projeto para um dispositivo energy harvesting que se utiliza de materiais Macro-Fiber Composite (MFC). O dispositivo energy harvesting é composto de uma viga na condição engastada-livre com elementos MFC, uma massa na ponta, um retificador e uma resistência elétrica. Um modelo teórico do dispositivo energy harvesting foi desenvolvido para estimar a tensão, a corrente e a potência gerada com uma excitação aplicada à base na forma senoidal com uma frequência de valor igual a sua primeira frequência natural e o seu desempenho foi verificado através do experimento. Um estudo paramétrico foi realizado para aumentar o conhecimento sobre os métodos para maximizar a potência e a tensão gerada baseado na variação da espessura, do comprimento, da largura e da densidade. As características de desempenho do dispositivo energy harvesting utilizando duas diferentes direções de polarização dos materiais MFC, d

33

e d

31

, foram avaliadas experimentalmente sob diferentes níveis de aceleração.

Os resultados experimentais mostram que o comportamento na prática do dispositivo

energy harvesting com material MFC foi bem representado pelo modelo teórico, e a seguir

são apresentadas algumas conclusões do artigo:

(20)

(1) Usando o modelo teórico, estudos paramétricos foram conduzidos para maximizar a energia coletada. Foi teoricamente observado que quando se aumenta a espessura, a largura e a densidade da viga a máxima potência do dispositivo energy

harvesting aumenta. Assim também quando se aumenta o comprimento da viga a

máxima potência diminui.

(2) Avaliação dos efeitos das ligações paralelas e em série entre dois MFC no dispositivo energy harvesting. Foi observado experimentalmente que a ligação em série era melhor na produção da máxima potência que a ligação em paralelo para os casos de altos valores de resistência elétrica. Em contraste, a ligação em paralelo era uma escolha melhor quando o objetivo fosse gerar máxima corrente em baixos valores de resistência elétrica.

(3) Avaliação do desempenho do dispositivo energy harvesting com duas diferentes direções de polarização dos materiais MFC, d

33

e d

31

. Foi experimentalmente encontrado que o tipo-d

33

de material MFC produziria um leve aumento na máxima potência, mas o tipo-d

31

de material MFC gera maiores valores de corrente máxima. Isto implica que o tipo-d

31

de material MFC pode ser uma escolha melhor que o tipo-d

33

de material MFC quando se visa à recarga de bateria.

(4) Baseado em um estudo paramétrico e nos experimentos limitados, foi mostrado que dispositivos energy harvesting geraram maiores valores de potência quando utilizaram uma viga grossa na mesma frequência natural ou quando utilizaram um baixo valor de frequência natural na mesma frequência de excitação.

Ramadass (2010) verificaram a utilização de um retificador Bias-flip que pode

aperfeiçoar a capacidade de extração de energia dos circuitos retificadores de onda completa

em ponte existentes, a um valor 4X maior que o apresentado por estes. Um circuito de

controle eficiente com conversor DC–DC incorporado que pode compartilhar de seu filtro

indutor com o retificador Bias-flip assim reduzindo o volume e a quantidade de componentes

da solução geral demonstrada. Também identificam os problemas que existem com as

configurações de retificadores que são comumente usados para extração de energia de

coletores de energia piezelétrico. Expressões matemáticas para extração de energia usando

diferentes configurações de retificadores foram apresentadas e os seus respectivos resultados

experimentais e simulados. Novos projetos de retificadores foram apresentados, estes

podendo melhorar a extração de energia dos coletores piezelétricos maiores que 4X se

comparados com os circuitos retificadores comumente usados (onda completa em ponte e

dobrador de tensão). Em sistemas onde é proibido o uso de um indutor para melhorar a saída

(21)

de energia, uma configuração de retificador somente-chaveado (switch-only) foi proposta que poderia extrair 2X mais energia com a ajuda de uma simples chave. O indutor usado pelo retificador Bias-flip foi compartilhado eficientemente com um grande número de conversores DC–DC usados dentro do sistema conduzindo para uma solução compacta e de custo eficaz.

Uma solução completa de extração de energia que inclui retificadores e conversores DC–DC foi fornecida.

Com esta revisão verificou-se que as especificações de projetos bem como a capacidade de coleta de energia dos sistemas piezelétricos (energy harvesting) não são triviais e que esta é uma tarefa que requer muita atenção. Qualquer vibração proveniente do ambiente tem a possibilidade de ser utilizada no contexto de energy harvesting, entretanto, a coleta e o armazenamento de energia não são tão imediatos. A aplicação de materiais piezelétricos em sistemas de energy harvesting contém muitas variáveis a serem consideradas para obtenção de energia elétrica da vibração ambiente capaz de operar dispositivos de baixa potência principalmente quando se deseja que estes dispositivos sejam operados de maneira auto- alimentada. O desafio à frente de muitas pesquisas permanece na diferença entre a energia consumida pelo circuito de armazenamento e a capacidade de geração de energia do dispositivo de energy harvesting. O melhoramento dos métodos de armazenamento e geração de energia, combinado com a diminuição da potência requerida para alimentar os equipamentos eletrônicos de hoje, têm ajudado a levar o conceito de produção de equipamentos auto-alimentados mais próximos da realidade.

Para isso, as pesquisas atuais têm focado no melhoramento da eficiência dos materiais piezelétrico em dispositivos de energy harvesting através da configuração física e geométrica dos materiais, bem como, na adaptação de circuitos e técnicas de remoção de energia mais eficientes.

1.2 OBJETIVO

Este trabalho tem como objetivo a modelagem de uma estrutura piezelétrica focando

na utilização de materiais piezelétricos (PZTs) como dispositivo para coleta e armazenamento

de energia proveniente de movimentos de máquinas e equipamentos (vibração) a partir de

simulações numéricas e testes experimentais.

(22)

1.3 CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO

A contribuição deste trabalho está em fornecer ao laboratório de forma sistemática e organizada uma metodologia completa para a modelagem de uma estrutura piezelétrica através de elementos finitos e um estudo paramétrico de como as variáveis afetam o potencial elétrico gerado.

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

O trabalho esta dividido em seis capítulos organizados da seguinte forma:

Capítulo 1: Apresenta uma introdução e uma revisão bibliográfica com uma visão geral de materiais piezelétrico, bem como a utilização destes para captura de energia do meio, possibilitando, assim, o aproveitamento de fontes de energia não utilizadas.

Capítulo 2: Neste capítulo são apresentados os conceitos e fundamentos de materiais piezelétricos para energy harvesting. Compreende também os tipos de geradores baseados em materiais piezelétricos.

Capítulo 3: Descreve a formulação para a modelagem numérica, através do Método de Elementos Finitos, de uma estrutura piezelétrica.

Capítulo 4: Apresenta a modelagem de uma estrutura piezelétrica por elementos finitos e testes experimentais da mesma, buscando avaliar a representatividade do modelo de elementos finitos. Em seguida o modelo de elementos finitos será utilizado para um estudo paramétrico das variáveis do modelo, a fim de determinar como o potencial elétrico gerado é afetado pelas mesmas.

Capítulo 5: Este capítulo inicialmente apresenta uma descrição do funcionamento de

dois circuitos eletrônico de armazenamento de energia em um componente do tipo capacitor e

(23)

em seguida são realizados testes experimentais dos mesmos buscando quantificar a energia extraída do transdutor piezelétrico.

Capítulo 6: Apresentam-se as conclusões e propostas de continuidade do trabalho.

(24)

CAPÍTULO 2

CONCEITOS E FUNDAMENTOS DE MATERIAIS PIEZELÉTRICOS PARA

ENERGY HARVESTING

Neste capítulo inicialmente apresenta-se uma introdução do que vêm a ser materiais inteligentes e em seguida são introduzidas as relações fundamentais para materiais piezelétricos lineares que são caracterizados por dois pares de variáveis de campo, variáveis mecânicas e elétricas. As variáveis de campo mecânicas são a tensão e a deformação e as variáveis elétricas são o deslocamento elétrico e o campo elétrico. São abordados também os tipos de geradores baseados em materiais piezelétricos.

2.1 MATERIAIS INTELIGENTES

Os materiais inteligentes são definidos como aqueles materiais que possuem acoplamento entre múltiplos domínios físicos. Alguns desses materiais exibem uma mudança no volume quando sujeitos a estímulos externos tal como um potencial elétrico ou produzem sinais elétricos quando dobrados ou esticados, outros encolhem, expande ou movimentam quando aquecidos ou resfriados.

Exemplos comuns desses materiais incluem aqueles que podem converter energia térmica em deformação mecânica as chamadas ligas de memória de forma SMA (Shape

Memory Alloys), converter sinais elétricos em deformação mecânica e vice-versa, chamados

de materiais piezelétricos. Existem também os que possuem suas propriedades físicas alteradas na presença de campos elétricos ou magnéticos os chamados materiais eletrorreológicos (ER) e magnetoreológicos (MR).

Um domínio físico é definido como qualquer quantidade física que pode ser descrita por um conjunto de duas variáveis de estado. E um par de variáveis de estado pode ser pensado como um meio de definição de tamanho ou localização dentro de um domínio físico.

Um exemplo de domínio físico é o domínio elétrico, cujas variáveis de estado são o campo

elétrico e o deslocamento elétrico do material. Outros exemplos de domínios físicos são o

(25)

mecânico, o térmico, o magnético e o químico. A Tabela 2.1 descreve alguns domínios físicos e as suas respectivas variáveis.

Tabela 2.1 – Exemplos de domínios físicos e variáveis de estado associadas.

Mecânico Elétrico Térmico Magnético Químico Tensão

Deformação

Campo elétrico

Deslocamento elétrico

Temperatura

Entropia

Campo magnético

Fluxo magnético

Concentração

Fluxo volumétrico Fonte: Adaptado de Leo (2007).

O acoplamento entre domínios físicos ocorre quando uma mudança na variável de estado em um domínio físico causa uma mudança na variável de estado de um outro domínio físico separado. Por exemplo, a mudança na temperatura de um material que é uma variável de estado do domínio térmico causa uma mudança na deformação que é uma variável de estado do domínio mecânico. Este tipo de inter-relação é chamado de acoplamento termomecânico, ou seja, existe um acoplamento entre o domínio físico térmico e mecânico.

Uma representação visual do conceito de domínios físico e do acoplamento entre eles

é mostrada na Figura 2.1. Cada retângulo representa um domínio físico, neste caso, mecânico,

elétrico e térmico. As variáveis de estado associadas a cada domínio estão listadas nos

retângulos. A ponte dentro do retângulo é a propriedade física que se relaciona com as

variáveis de estado. As propriedades elásticas de um material relacionam os estados de tensão

e deformação do material, já as propriedades dielétricas relacionam as variáveis de estado do

domínio elétrico. Os acoplamentos entre os domínios físicos são representados pelas setas que

conectam os retângulos (efeito direto e inverso). Por exemplo, a saída elétrica produzida por

um estímulo térmico é chamado de efeito piroelétrico. Da mesma forma, a variação de tensão

mecânica devido a um potencial elétrico é chamada de efeito piezelétrico inverso.

(26)

Figura 2.1 – Representação visual do acoplamento entre os domínios físicos.

Fonte: Adaptado de Leo (2007).

2.2 MATERIAIS PIEZELÉTRICOS

O surgimento de eletricidade devido ao aquecimento do cristal turmalina já era conhecido desde o século XVIII. Em 1824, Brewster observou o efeito em vários tipos de cristais, chamando este fenômeno de “piroeletricidade”. Lord Kelvin notou que a piroeletricidade era devida a polarização permanente. De acordo com sua teoria, o efeito piroelétrico é simplesmente a manifestação do coeficiente de temperatura desta polarização.

Por isso, este efeito ficou conhecido como a interação entre o sistema elétrico e térmico (IKEDA, 1996).

O efeito piezelétrico foi descoberto em 1880 por Pierre e Jacques Curie. Pierre Curie tinha previamente estudado a relação entre piroeletricidade e cristal simétrico. Este estudo levou os irmãos não somente a notar a eletrificação devido à pressão, mas também prever em qual direção a pressão deveria ser aplicada e em qual classe de cristal o efeito era esperado.

Hankel propôs o termo piezeletricidade para a interação entre o sistema elétrico e mecânico (IKEDA, 1996).

O fenômeno da piezeletricidade foi descoberto primeiro em um cristal natural

chamado sal de rochelle. Esses cristais exibem uma fraca piezeletricidade sem utilidade

prática, com isso a necessidade de se ter materiais piezelétricos melhores motivou o

(27)

desenvolvimento de materiais sintéticos que exibem propriedades piezelétricas. Os avanços dos materiais piezelétricos sintéticos aumentaram o acoplamento das propriedades e habilitaram aplicações práticas.

A fabricação de materiais piezelétricos sintéticos, tipicamente, começa com os materiais constituintes na forma de pó. Uma mistura típica de materiais que exibem propriedades piezelétrica é a mistura de chumbo (Pb), zircônio (Zr) e titânio (Ti). A mistura destes materiais produz um material piezelétrico, conhecido como PZT.

Os materiais piezelétricos pertencem a uma classe de materiais conhecida como ferroelétricos. A estrutura molecular destes materiais exibe uma separação líquida entre cargas positivas no cristal e cargas negativas associadas. Esta separação de carga produz um dipolo elétrico ilustrado na Figura 2.2.

Figura 2.2 – Dipolos elétrico que conduzem o acoplamento eletromecânico em materiais piezelétrico.

Fonte: Adaptado de Leo (2007).

Os dipolos elétrico exibem uma orientação aleatória no material e para orientação de um dipolo em relação a outro utiliza-se do processo chamado polarização. A polarização requer que o material piezelétrico seja aquecido a uma temperatura bem abaixo da temperatura de Curie e que seja submetido a um campo elétrico de alta intensidade (tipicamente, 2000 V/mm). A combinação do aquecimento e do campo elétrico produz o movimento do dipolo elétrico. O aquecimento do material permite os dipolos rotacionar livremente, desde que o material seja macio em altas temperaturas. O material também expande na direção do campo, contrai na direção transversal e o campo elétrico produz um alinhamento dos dipolos ao longo da direção do campo elétrico como mostrado na Figura 2.3.

Rapidamente reduzindo a temperatura e removendo o campo elétrico tem-se um material

cujos dipolos elétrico são orientados na mesma direção. Esta direção é referenciada como a

direção de polarização do material.

(28)

Figura 2.3 – Processo de polarização associado com materiais piezelétrico.

Fonte: Adaptado de Leo (2007).

2.2.1 Efeito piezelétrico direto

Considere um corpo de prova de um material elástico que tem um uma tensão mecânica aplicada em duas faces opostas e o movimento é restringido para ocorrer somente na direção da tensão aplicada, T, conforme ilustrado na Figura 2.4.

Figura 2.4 – Representação do comportamento tensão-deformação para um material elástico.

Fonte: Adaptado de Leo (2007).

A aplicação de uma tensão no material produzirá um alongamento na direção da carga

aplicada, e sob a suposição que o material esta em um estado de deformação uniaxial, a

(29)

deformação, S, é definida como o total do alongamento dividido pelo comprimento original do corpo de prova. Para valores baixos de tensão aplicada, a resposta da deformação será linear até uma tensão crítica. Na região linear elástica a inclinação da curva tensão- deformação é constante a qual é definida como de módulo elasticidade, ou módulo de Young do material, denotado por Y cuja unidade é N/m². A relação tensão-deformação nesta região é dada pela equação (2.1).

ൌ • (2.1)

O termo s, o inverso do módulo de elasticidade, é chamado de compliância mecânica (m²/N). Acima da tensão crítica a inclinação da curva tensão-deformação modifica-se em função da carga aplicada. Um material macio exibirá um decaimento na inclinação da curva com o aumento da tensão, já um material duro exibirá um aumento na inclinação da curva para valores de tensão acima da tensão crítica.

Agora considere o caso quando um material piezelétrico esta sendo submetido a uma tensão mecânica aplicada. Além do alongamento elástico do material existe ainda no caso do material piezelétrico um fluxo de carga nos eletrodos, localizados nas duas pontas do corpo de prova. Este fluxo de carga é causado pelo movimento dos dipolos elétricos dentro do material.

A aplicação de tensão externa causa o movimento das partículas, criando um fluxo de carga

aparente que pode ser medido nos dois eletrodos. A carga produzida dividida pela área dos

eletrodos é definida como deslocamento elétrico, D, que tem a unidade de C/m². Aplicando

um aumento no nível de tensão produzirá um aumento da rotação dos dipolos elétrico e um

aumento no deslocamento elétrico. Sobre um determinado intervalo de tensão mecânica

aplicada, existe uma relação linear entre a tensão e o deslocamento elétrico medido. A

inclinação da curva, chamada de coeficiente piezelétrico de deformação, é denotado pela

variável d, como apresentado na Figura 2.5.

(30)

Figura 2.5 – Efeito piezelétrico direto e relação entre tensão e deslocamento elétrico em um material piezelétrico.

Fonte: Adaptado de Leo (2007).

A equação (2.2) estabelece essa relação de proporcionalidade entre a tensão mecânica e o deslocamento elétrico.

ൌ ݀ (2.2)

O coeficiente de proporcionalidade d na equação (2.2) é definido como coeficiente piezelétrico de deformação (C/N). Para níveis suficientemente altos de tensão, a relação entre tensão mecânica e deslocamento elétrico passa a ser não-linear devido à saturação do movimento do dipolo elétrico (Figura 2.5).

2.2.2 Efeito piezelétrico inverso

O efeito piezelétrico direto descrito na seção 2.2.1 é a relação entre a carga mecânica aplicada e a resposta elétrica do material. Materiais piezelétricos também exibem um efeito inverso, ou seja, quando submetido a potencial elétrico produz uma resposta mecânica.

Além disso, sob a suposição de que o material piezelétrico é um perfeito isolador, o

potencial aplicado vai produzir um campo elétrico, E, no material que é igual ao potencial

aplicado dividido pela distância entre os eletrodos. A unidade do campo elétrico é V/m. A

aplicação de um potencial elétrico no material produzirá atrações entre a carga aplicada e os

(31)

dipolos elétricos. A rotação do dipolo ocorrerá e um deslocamento elétrico será medido nos eletrodos do material. Para valores abaixo de um dado limite, a relação entre o campo elétrico E e o deslocamento elétrico D será linear (Figura 2.6) e a constante de proporcionalidade, chamada de permissividade elétrica, tem unidade F/m.

Figura 2.6 – Relação entre o campo elétrico aplicado e o deslocamento elétrico em um material piezelétrico.

Fonte: Adaptado de Leo (2007).

A relação entre o campo e o deslocamento elétrico no regime linear é:

İ

(2.3)

Como no caso de uma tensão mecânica aplicada, a aplicação de um campo elétrico cada vez mais intenso, irá resultar na saturação do movimento do dipolo, levando a uma relação não-linear entre o campo elétrico aplicado e o deslocamento elétrico.

O efeito piezelétrico inverso é quantificado pela relação entre o campo elétrico

aplicado e a deformação mecânica. No caso do efeito piezelétrico direto, a aplicação de uma

tensão mecânica produz a rotação do dipolo e o fluxo de carga aparente. Sobre a aplicação de

um campo elétrico, a rotação do dipolo também ocorre e produz uma deformação no material

(Figura 2.7).

(32)

Figura 2.7 – Relação entre o campo elétrico e a deformação em um material piezelétrico.

Fonte: Adaptado de Leo (2007).

Para valores de campo elétrico abaixo de um dado limite, observa-se uma relação linear entre o campo elétrico aplicado e a deformação mecânica. Curiosamente, a relação da inclinação da curva campo elétrico-deformação é igual ao coeficiente piezelétrico de deformação, d. A equação (2.4) mostra essa relação.

ൌ ݀ (2.4)

Na equação acima, o coeficiente piezelétrico de deformação, d, tem unidade m/V. A equação (2.4) é a denominada expressão do efeito inverso para um material piezelétrico linear.

2.2.3 Equações constitutivas para um material piezelétrico linear

O acoplamento eletromecânico é parametrizado por três variáveis: a compliância

mecânica, a permissividade dielétrica e o coeficiente piezelétrico de deformação. O efeito

piezelétrico direto, assim como o efeito inverso, pode ser expresso como uma relação entre

tensão mecânica, deformação, campo elétrico e deslocamento elétrico. As expressões estavam

em termos de três parâmetros: •ǡ

݃†݀. A compliância mecânica e a permissividade elétrica

foram apresentadas para serem funções de uma condição de contorno elétrica ou mecânica,

respectivamente, e as condições de contorno necessitam ser especificadas quando se escreve

esses parâmetros.

(33)

Considerando o cubo de material piezelétrico mostrado na Figura 2.8, não são feitas suposições a respeito da direção que o campo elétrico é aplicado ou as direções em que o material produz tensão ou deformação, assim pode-se definir um sistema de coordenadas específico para representar o mesmo. As três direções são especificadas numericamente e usando a convenção comum, em que a direção 3 é alinhada com o eixo de polarização do material.

Figura 2.8 – Cubo piezelétrico indicando os eixos de coordenadas da análise tridimensional.

Fonte: Leo (2007).

Observa-se na Figura 2.8 que existem três direções em que se pode aplicar campo elétrico.

Essas direções foram rotuladas de

‡“—‡‹ ൌ ͳǡʹ‡͵ expressa o valor desses campos em termos de um vetor campo elétrico, E:

۳ ൌ ൝

ൡ (2.5)

Similarmente, nota-se que existem três direções associadas com o campo elétrico e três com o deslocamento elétrico, mostrando uma relação geral entre as variáveis que pode ser expressa pelas equações (2.6 a 2.8).

İଵଵ

İଵଶ

İଵଷ

(2.6)

İଶଵ

İଶଶ

İଶଷ

(2.7)

İଷଵ

İଷଶ

İଷଷ

(2.8)

(34)

Essas expressões podem ser compactadas segundo a notação equação inicial, equação (2.9).

۲

ൌ ઽ

୫୬

۳

 ൌ ͳǡʹ‡͵‡ ൌ ͳǡʹ‡͵Ǥ (2.9)

As equações que relacionam deformação e tensão no caso tridimensional podem ser derivadas de forma semelhante. No caso de estado geral de tensão e deformação para um cubo de material, é possível observar que são requeridos nove termos para uma completa especificação do estado de tensão. Os componentes de tensão e deformação que são normais as superfícies do cubo são denotadas por

ଵଵ

ǡ

ଶଶ

ǡ

ଷଷ

‡

ଵଵ

ǡ

ଶଶ

ǡ

ଷଷ

, respectivamente ainda existem seis componentes de cisalhamento,

ଵଶ

ǡ

ଵଷ

ǡ

ଶଷ

ǡ

ଶଵ

ǡ

ଷଶ

ǡ

ଷଵ

e

ଵଶ

ǡ

ଵଷ

ǡ

ଶଷ

ǡ

ଶଵ

ǡ

ଷଶ

ǡ

ଷଵ

.

Para um material linearmente elástico, a relação da deformação com a tensão é dada pelo tensor झ

୧୨୩୪

.

܁

୧୨

ൌ झ

୧୨୩୪

܂

୩୪

(2.10)

Neste caso, o tensor झ

୧୨୩୪

representa 81 termos de compliância mecânica.

O último passo para escrever as relações constitutivas é especificar o acoplamento entre variáveis elétricas e mecânicas. No caso mais geral, é possível observar que nove estados de deformação são relacionados com três campos elétricos aplicados e a relação tensão com a deformação é dada pelo tensor ऎ

୧୨୬

.

܁

୧୨

ൌ ऎ

୧୨୬

۳

(2.11)

Já os três termos de deslocamento elétrico são relacionados com a tensão mecânica a partir da expressão:

۲

ൌ ऎ

୫୩୪

܂

୩୪

(2.12)

Combinando as quatro expressões anteriores (2.9 a 2.12), escreve-se o conjunto

completo de equações constitutivas para um material piezelétrico linear, equações (2.13) e

(2.14).

(35)

܁

୧୨

ൌ झ

୧୨୩୪

܂

୩୪

൅ ऎ

୧୨୬

۳

(2.13) ۲

ൌ ऎ

୫୩୪

܂

୩୪

൅ ઽ

୫୬

۳

(2.14)

O conjunto completo de equações é definido por 81 constantes de compliância mecânica, 27 valores de coeficiente de deformação piezelétrica e 9 de permissividade dielétricas (LEO, 2007).

2.2.4 Modo de operação 31 de um dispositivo piezelétrico

Na análise de sistemas com materiais piezelétricos, é aconselhável começar com o conjunto completo das relações constitutivas em qualquer notação seja esta por índice ou matricial compacta. Em muitas aplicações, no entanto, pode-se reduzir o total das relações constitutivas para um pequeno conjunto de relações, devido às condições de contorno associadas com o problema em questão. Para cada problema primeiramente as relações constitutivas completas são simplificadas em um conjunto de expressões que permite determinar as relações envolvidas entre força, deslocamento, carga elétrica e tensão.

Uma aplicação comum dos dispositivos piezelétricos é a do modo 31, neste caso, o dispositivo é submetido a um campo elétrico na direção 3 e utiliza a deformação e a tensão produzidas na direção 1 para criar uma extensão ou flexão no material. A aplicação desse modo assume a existência de algumas condições de contorno específicas,

ൌ Ͳ

ൌ Ͳ

ൌ Ͳ

ൌ Ͳ

ൌ Ͳ

ൌ Ͳ

(2.15)

Sob tais condições de contorno, as equações constitutivas são reduzidas para

൅ ݀

ଵଷ

(2.16)

ൌ െ

Ȟమభ

൅ ݀

ଶଷ

(2.17)

(36)

ൌ െ

Ȟయభ

൅ ݀

ଷଷ

(2.18)

ൌ ݀

ଷଵ

İଷଷ

(2.19)

Os coeficientes de deformação piezelétrico são simétricos (ou seja, ݀

ଷଵ

ൌ ݀

ଵଷ

). As equações constitutivas reduzidas para um transdutor com modo de operação 31 têm duas variáveis independentes e quatro variáveis dependentes. Em geral, foca-se a análise nas equações da deformação mecânica e do deslocamento elétrico, equações (2.16) e (2.19).

൅ ݀

ଵଷ

ൌ ݀

ଷଵ

İଷଷ

O coeficiente de acoplamento (k) indica a habilidade de o material piezelétrico converter energia mecânica em energia elétrica ou vice-versa. Para um transdutor com um modo de operação 31 o coeficiente de acoplamento é dado por:



ଷଵ

యభටଢ଼

ටİయయ

భయ

ටୱభభ İయయ

(2.20)

As equações constitutivas reduzida são usadas na definição dos vários parâmetros de projeto de um dispositivo operando no modo de operação 31. A deformação livre é definida como a deformação produzida quando não existe nenhuma tensão mecânica aplicada ao material. Sob essa condição de contorno mecânica, assume-se que

ൌ Ͳ e a deformação produzida é:

ȁ

భసబ

ൌ ݀

ଵଷ

(2.21)

A forca bloqueada é definida como a força produzida pela tensão mecânica atuando no material quando a deformação

é restringida como zero. Esta condição,

ൌ Ͳ, a tensão mecânica induzida é dada por:

ȁ

భసబ

ൌ െ݀

ଷଵ

(2.22)

(37)

Assumindo que a deformação na direção 1, a tensão mecânica aplicada a superfície na direção 1, o campo elétrico e a superfície do eletrodo são uniformes para um elemento piezelétrico de comprimento ܮ

, largura ݓ

e espessura ݐ

, têm-se as seguintes relações:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

As equações de um transdutor de um único elemento piezelétrico operando no modo 31 podem ser determinadas substituindo as relações de (2.23) a (2.26) nas equações (2.16) e (2.19).

൅ ݀

ଵଷ

(2.27)

௪௅

ൌ ݀

ଷଵ

İଷଷ

(2.28)

Rearranjando os termos das equações do transdutor para elemento piezelétrico operando no modo 31, obtêm-se as equações (2.29) e (2.30).

ݑ

݂ ൅

భయ

˜ (2.29)

ݍ ൌ

యభ

݂ ൅

İయయ

˜ (2.30)

Informações importantes para projetos podem ser determinadas das equações (2.29) e (2.30). Para estas equações podem-se resolver para deslocamento livre ߜ

(݂ ൌ Ͳ) e forca bloqueada ݂

௕௟

ൌ Ͳ):

ߜ

భయ

˜ (2.31)

݂

௕௟

ൌ ݀

ଵଷ

ݓ

˜ (2.32)

Referências

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