Mecânica dos Fluidos

(1)

Mecânica dos Fluidos

Aula 03

Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

(2)

3.5- Força hidrostática sobre superfícies submersas

A determinação de forças na superfície de corpos submersos é importante no projeto de tanques para armazenamento de fluidos, navios, submarinos, barragens e de outras estruturas hidráulicas que esteja sob ação de forças de superfície submersas.

Para determinar completamente a resultante da força atuando sobre uma superfície submersa, devemos especificar:

1- A magnitude ou módulo da força resultante;

2- O sentido da força;

3- A linha de ação da força.

3.5.1- Força hidrostática sobre uma superfície plana submersa

A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas

submersas é um problema frequente da estática dos fluidos. Essas

forças são devidas às distribuições de pressões nos fluidos, e a força

resultante é obtida através da integração da distribuição de

pressões sobre a superfície plana submersa.

(3)

a) Superfície plana submersa

A força total de contato superficial no corpo pode ser determinada pela soma vetorial das forças superficiais em toda a área do corpo submerso.

x

y z

y

x dF

y’

x’

F

_R

CP

Centro de Pressão, CP Ponto de aplicação da força resultante

dA

(+) h P

₀

P



líquido



(superfície livre)

O

 g

(4)

A força de pressão agindo sobre o elemento de área, dA, no ponto O é dado por:

onde o sinal menos indica que a força dF age sobre o elemento de área dA, em sentido oposto ao da normal da área A. A força resultante é dado por:

A pressão P no ponto O sobre superfície plana de área A é dado por:

onde P ₀ é a pressão na superfície livre (h = 0).

(escalar) PdA

dF

(vetor)

A Pd

F d





 ( 1 )

( 2 )

A Pd

F d F

A

R ^  ^ ^ 

ρ gh

P

P  ₀  _fluido ( 3 )

(5)

 P ρgh  ^d ^A

F R ^  ₀ ^ ^{( 4 )}

Portanto, a força resultante total aplicada a uma superfície plana submersa horizontal é dado por:

Podemos escrever também:

onde F _Rx , F _Ry e F _Rz são as componentes escalares de F _R nos sentidos positivos de x, y e z, respectivamente.

k F j F i F

F R  _R x  _R y  _R z _{( 5 )}

(6)

PdA

k . A Pd

k . F d k . F F

PdA

j . A Pd

j . F d j . F F

PdA

i . A Pd

i . F d i . F F

A A

R R

A A

R R

A A

R R

 







 

































z y x

z z

y y

x x

onde:

k F j F i F

F R  _R x  _R y  _R z

(7)

b) Superfície plana inclinada

ysenθ

h y

h

senθ   

dA

y

(8)

dA

(9)

ysenθ

h  d A  Wdy k

 













A R 0

A A

R

A ρgh d

P

F

A Pd

F d F

W = largura da comporta

(10)

k ρysenθg Wdy

P

F

A P d

R ^ ^  ^ ^ _ ^  0   ^     ^ ^ _ ^   

 

y k Wsenθ y

γ A

P

F

2 1 2

2 R 0 



 



  







    _k

2 y Wsenθ y

γ

y y

W P

F

k 2 senθ

W y ρg Wy P

F

k dy Wysen θ ρg

W P

F

2 1 2

2 A

1 2

R 0

y

y 2

γ R 0

y

y γ

R 0

2

1 2

1

 





 



   





 





 



 





 





 



 



 







( 6 )

(11)

O momento, M, da força distribuída em relação ao eixo no ponto O é dado por:

A Pd . r

F d . r F . r'

M ^ ^R ^  ^ ^  ^{( 7 )}

k F F

k dA A d

j i r

j ' i ' r'

R   R











y x

x'

y' x

y

F d F R

o x

y z

CP

(12)

( 8 )

























R A A

R

R A A

R

F PdA 1

'

0 PdA

F ' 0

M

F PdA 1

'

0 PdA

F ' 0

M

y y

x x

x y

Exemplo 01: A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de

A, tem 5 m de largura. Determine a força resultante, F _R , da água e

do ar sobre a superfície inclinada.

(13)

h

P H

y +h

H D h

ysen30

H y

H sen30









Solução: Para determinar o vetor F

_R

, devemos especificar:

a) Sua magnitude;

b) Seu sentido;

c) Sua linha de ação.

P _atm ( 0)

Dados:

W = 5m (largura da comporta)



_água

= 999kg/m

³

(14)

Equações básicas:

A Pd

F d F

A

R ^  ^ ^  ^P ^ ^P ^atm ^ ^ρ ^água ^gh

a) Uma vez que estamos interessados na força resultante da água sobre a comporta, desprezamos P _atm ( 0) e obtemos:

 ^D ^ysen30 

ρ g P

ρ gh ρ gh

P

água

água água

atm











(15)

 

k N 4 , 588011

k s m

m m

4 kg , 588011

F

2 k 1 2

4m

2mx4m s 5m

9,81 m m

999 kg

F

2 k 1 2 L ρgW DL

F

k 2 senθ

y ρgW Dy

F

k Wdy ysenθ

ρg D

F

3 2 R 3

2 2

R 3

2 R

L

0 2

R

A P d

R









 

 



 





 

 



 





 

 



 









  ^ ^{ } ^ ^{ } ^ ^ ^ ^

k kN 01 , 588

F R  

(16)

b) Os momentos em relação ao eixo x passando pelo ponto A:

0 M 

 ^x

A

(17)

0 M 



^x

^ ^

PdA dF

Wdy dA

ysen30

D ρ g

P _água









 























L

0

2 R

água A

água R

R A A

R

A R

sen30]dy y

F [D

g Wρ

'

]Wdy ysen30

D g F [ρ

1 '

F PdA 1

'

0 PdA

F '

0 dF

F ' M

y y

y

x

y

(18)

 

  



 

  



 

  



6 64m 2

x16m 2m

kg/m.s 5,8810

5m s

9,81 m m

999 kg

y'

2 1 3 L 2

DL F

ρgW

y'

sen30 3

y 2

Dy F

ρgW

y'

3 2

2 5

2 3

3 2

R

L

0 3

2 R

2,22m

y' 

Também considerando os momentos em relação ao eixo y passando pelo ponto A, temos:

















R

A R

1 PdA

'

0 PdA

F '

0 dF

F ' M

x x

x

y x

(19)

Como W é constante e a integração está sendo realizada sobre o eixo y, temos que:

2,5m

2 m 5 2

W F

2 F W

2F PdA W

'

2 PdA W F

1 '

F PdA 1

'

R R

F R A

R A R A

R



 

 









 x

x

x x

2,5m

'  x

c) A linha de ação da força resultante é paralela ao eixo z, passando sobre r’, ou seja:

j ' i '

r'  x  y ^r' ^  ^2,5 ⁱ ^ ^2,22 ^j  ^m

(20)

Exemplo 02: A porta lateral do tanque é articulada na borda inferior.

Uma pressão de 100 lbf/ft ² (manométrica) é aplicada na superfície livre do líquido. Determine a força F _t necessária para manter a porta fechada.

 L = 3ft

b = 2ft

Articulação (eixo x)

 = 100 lbf/ft

³

P = 100 lbf/ft

²

Comporta

(21)

Solução: Aplicando os momentos em relação ao eixo x da articulação, temos:



 



 







 

L

dA t

t

) ( M )

( M

t

bd L P

1 PdA L

1 F

L dF 1 F

0 dF

.L F M

z z

z

x x

x

  

z

x dF

F

_t

L



h (+)

Articulação (eixo x)

h = L - z

P

₀

o

(22)

 ^L 

γ

P P

L h

h γ

P ρ gh

P P

fluido 0

z z



















 

 

 

 

 



 





 

 



 

 



 



 















3 L 2

LL L

γb L

2 bL P

F

3 z 2

Lz L

γb L

2 b P

F

d z L L

γb

d L P

b F

d L

γ

P L b

1 F

3 2

2 0

t

L

0 3 L 2

0 2 0 t

L

0 2 L

0 0 t

L

0 fluido 0

t

z

z z

z

(23)

lbf 600

F

6 ft 9 ft x x 2

ft 100 lbf 2

3ft 2ft x ft x

100 lbf F

6 γbL 2

bL P

3 1 2

bL 1 γ 2

bL P

F

t

2 3

t 2

2 2 0

0 t









 

 

 





Este problema ilustrou:

a) A inclusão da pressão manométrica diferente de zero na superfície livre do líquido;

b) O emprego direto do momento distribuído sem a avaliação da

força resultante e sua linha de ação em separado.

(24)

Exemplo 03: A medida que a água sobe no lado esquerdo da comporta retangular de largura W, ela abrir-se-á automaticamente.

A que profundidade ‘D’ acima da articulação (A) isso ocorrerá?

Despreze a massa da comporta.

z y

1,5 m

z ^dF

²

D _dF

₁

y h

₁

P

₁

P

₂

A h

₂





_líquido

(25)

 

  _ _

 

 



 





 

 



 













D

0 m 1,5

0 dA

D

0 dA

m 1,5

0 2 P

2 D

0 1 P

1 m 1,5

0 2 2

D

0 1 1

m 1,5

0 2 D

0 1 A

Dd

d D

d W D ρ g

d W D

ρ g

ρgh dA

0 dA P

dA P

0 dF

dF

M

1 2

2 1

z z

y y

y

z z

y y

y

z y

z

y

(26)

 

2 3

3 3 2 2

m 5 , 1

0 D 2

0 3 2

Dx1,125m

6 D

Dx1,125m

3 D 2

D

2 D 1,5m

3 D 2

DD

D 2 3

2 D









 

 

 

 



 

 

  y  y z

2,6m

D 

(27)

Exemplo 04: A comporta de 2 m de comprimento é articulada em H. Sua largura de 2 m é normal ao plano da Figura. Calcule a força F

_t

requerida em A para manter a comporta fechada.

Dado: 

_água

= 9810 N/m

³

30



1 m

H

F

_t

z

y



_água

h

dF h

₁

A P

_atm

( 0)

30

L = 2m

(28)

yPd

F

d L L yP

1 yPdA L

1 L ydF

1 F

0 ydF

L F M

L

0 t

L

0 t

t H



 



 







y

 ^1m ^ysen30 

γ

P

ysen30

1m

h 1m

h

h γ

ρ gh

P

0 água

0 1

água água

atm



















2m L

W

Wdy dA



(29)

   

N 32700

F

6 8m 2

m 4m m 1

9810 N

F

2 1 3

(2m) 2

1m. (2m) γ

F

sen30 3

y 2

1m. y γ

F

d sen30 y

1m.y γ

d ysen30

1m yγ

F

t

3 2

t 3

3 2

água t

2m L

0 0 3

2 água

t

L

0 0 2

água L

0 0 água

t



 

  



 

  



 

  













 ^y ^y

kN 32,7

F _t 

(30)

Exemplo 05: O nível de água é controlado por uma comporta plana de espessura uniforme e articulado em A. A largura da comporta, normal ao plano da Figura, é W = 10 ft. Determine a massa M, necessária para manter o nível à profundidade H, ou menos, se a massa da comporta for desprezível.

Dado: 

_água

= 1,94 slug/ft

³



z y

H = 4 ft

W



dF

h

D

A



(31)

 

  

 



 







7,5ft

0 7,5ft

0 z

A

yPwdy 2,5ft

Mgcosθ

yPwdy

yPdA

ydF

2,5ft Wcosθ

0 ydF

2,5ft W

M

 4 ft ysenθ 

γ h

γ

P

32,23 θ

7,5) arcseno(4/

θ

0,53 7,5ft

senθ 4ft

ysenθ

4ft

D 4ft

h

h γ

ρ gh

P

água água

0 água

água atm



























(32)

slug 344

M 

     

   

 

   

  _ ^ ^ _ ^



 

  



 

 







0 3

2 0

3 7,5ft

0 3

2 água

7,5ft

0 água 2

7,5ft

0 água

sen32,23 3

(7,5ft)

ft 2 4

(7,5ft) cos32,23

2,5ft

t 1,94slug/f 10ft

M

3 senθ ft y

2 4 y cosθ

2,5ft wρ

M

dy senθ

y ft

4 cosθ y

g 2,5ft

g ρ w

M

wdy ysenθ

ft γ 4

y 2,5ft

Mgcosθ

(33)

Exemplo 06: A comporta AOC mostrada na Figura tem 6 ft de largura e é articulada ao longo de O. Desconsiderando o peso da comporta, determine a força na barra AB.

Mecânica dos Fluidos