Quest˜ao 1 Calcule a derivada da fun¸c˜aoF(x) = Z x2
3x
cos(t2+t+ 1)dt, x∈R.
Pelo Teorema Fundamental do C´alculo, sabemos que a derivada de G(x) = Rx
a f(t)dt ´e G0(x) =f(x). Portanto, para cadax∈R, seja a um n´umero real entre 3x ex2 e escreva:
F(x) = Z x2
3x
cos(t2+t+ 1)dt =− Z 3x
a
cos(t2+t+ 1)dt+ Z x2
a
cos(t2+t+ 1)dt, da´ı, pela Regra da Cadeia, segue que
F0(x) =−3 cos(9x2+ 3x+ 1) + 2xcos(x4+x2+ 1).
Quest˜ao 2 Mostre que para todoa >0, vale a express˜ao:
Z dx
a2+x2 = 1
aarctgx a
+C.
Lembremos que d
dxarctg(x) = 1
1 +x2. Desse modo, devemos mostrar que 1
aarctg (x/a) ´e uma primitiva de a2+x1 2. Pela Regra da Cadeia, temos
d dx
1 aarctg
x a
+C
= 1 a
1
1 + (x/a)2 1
a
= 1 a2
1
a2+x2 a2
= 1
a2+x2, como era desejado.
Quest˜ao 3 Calcule as integrais:
(a) Z 1
0
x2exdx.
Fa¸ca x2 = u e exdx = dv. Da´ı, 2xdx =du e v = ex. Pela integra¸c˜ao por partes, temos R udv=iv−R
vdu, isto ´e, Z 1
0
x2exdx = [x2ex]10− Z 1
0
2xexdx=e− Z 1
0
2xexdx.
Na integral da direita, fa¸ca, novamente, u=x eexdx=dv, assim, segue que Z 1
0
x2exdx =e− Z 1
0
2xexdx
=e−2
[xex]10− Z 1
0
exdx
=e−2(e−(e−1))
=e−2.
(b) Z
sen(3x) cos(5x)dx.
Lembremos que sen(a+b) = senacosb+ senbcosae, portanto, sen(a−b) = senacosb− senbcosa. Assim, sea= 3xe b = 5x, temos
sen(3x+ 5x) = sen 3xcos 5x+ sen 5xcos 3x sen(3x−5x) = sen 3xcos 5x−sen 5xcos 3x.
Somando as identidades, teremos sen(8x) + sen(−2x) = 2 sen 3xcos 5x. Podemos, enfim, substituir na integral a fim de calcul´a-la. Da´ı,
Z
sen(3x) cos(5x)dx= Z 1
2(sen(8x)−sen(2x))dx
= 1 2(−1
8cos(8x) + 1
2cos(2x) +C)
= cos 2x
4 − cos 8x 16 +C.
(c)
Z 1 x2−1dx.
Por fra¸c˜oes parciais, temos 1
x2−1 = 1
(1 +x)(1−x) = −1/2
x+ 1 + 1/2
x−1. Da´ı, segue que Z 1
x2 −1dx= 1 2
Z 1
x−1dx− 1 2
Z 1 x+ 1dx
= 1
2ln|x−1| − 1
2ln|x+ 1|+C.
Quest˜ao 4 Sejam a > 0 um n´umero real e f e g: [−a, a]→R fun¸c˜oes cont´ınuas. Se f ´e uma fun¸c˜ao par e g ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar mostre que:
(a) Z a
−a
f(x)dx= 2 Z a
0
f(x)dx;
Lembre que sef ´e par, ent˜ao f(x) = f(−x). Assim, escreva Z a
−a
f(x)dx= Z 0
−a
f(x)dx+ Z a
0
f(x)dx
Na primeira integral, fa¸camos a mudan¸ca de vari´avelu=−x. Assim,du =−dxe quando x=−a, temosu=a e para x= 0, temos u= 0. Ou seja,
Z 0
−a
f(x)dx=− Z 0
a
f(−u)du.
Como f ´e par, segue que −R0
a f(−u)du=Ra
0 f(u)du. Ou seja, Z a
−a
f(x)dx= 2 Z a
0
f(x)dx
(b) Z a
−a
g(x)dx= 0.
Como antes, lembremos que f ´e ´ımpar se f(−x) =−f(x). Da´ı, ao fazermos a mudan¸ca de vari´avel u =−x na integral de −a a 0, obteremos que −R0
a f(−u)du =−Ra
0 f(u)du.
Consequentemente,
Z a
−a
f(x)dx= Z 0
−a
f(x)dx+ Z a
0
f(x)dx
=− Z a
0
f(u)du+ Z a
0
f(x)dx
= 0.
Quest˜ao 5 Um fio delgado estendido entre dois pontos de mesma altura, sofrendo apenas a¸c˜ao da gravidade, assume a forma de uma curva conhecida como caten´aria. Ao introduzir um sistema de coordenadas e calcular o sistema de for¸cas, obtemos que a fun¸c˜ao que d´a a altura do fio y=y(x) deve satisfazer a equa¸c˜ao diferencial:
y00(x) = 1 a
q
1 + (y0(x))2. Mostre que a fun¸c˜aoy(x) =acosh(x/a) descreve a caten´aria.
Devemos mostrar que a fun¸c˜ao y(x) = acos(x/a) satisfaz a equa¸c˜ao diferencial apontada.
Para tanto, calculemos a derivada primeira e segunda de y. Veja que, pela Regra da Cadeia, y0(x) = sinh(x/a) e y00(x) = a1cosh(x/a), pois cosh0(x) = sinh(x) e sinh0(x) = cosh(x). Do lado direito, temos
1 a
q
1 + (sinh(x/a))2 = 1 a
q
1 + sinh2(x/a)
= 1 a
q
cosh2(x/a)
= 1
acosh(x/a) =y00(x), pois cosh2(x)−sinh2(x) = 1 e coshx >0, para todo x∈R.
