Tiê Farias - [email protected] Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Estatística
Aula 8
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento Ɛ. Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido.
Por exemplo: Vamos examinar a diferença
entre extrair uma peça de um lote, ao acaso,
com e sem reposição.
Um lote com 80 peças não defeituosas e 20 peças defeituosas. Suponha que escolhemos duas peças desse lote:
◦ Com reposição
◦ Sem reposição
Definamos os eventos A={a primeira peça é defeituosa} e B={a segunda peça é defeituosa}
Se extrairmos COM reposição, então:
P(A)=P(B)=20/100
E SEM reposição???
P(A) continua sendo a mesma, igual a 20/100.
P(B) ?
Observe que:
Poderemos ter a primeira peça defeituosa, ou ainda, a primeira peça não defeituosa.
Então, deveremos saber se A ocorreu ou não.
Logo temos que P(B) está condicionada ao evento A.
No exemplo teríamos: P(B|A)=19/99
Observe que: Estamos calculando a probabilidade de A no espaço amostral reduzido B.
A tabela abaixo descreve o número de alunos matriculados na disciplina de matemática pura, matemática aplicada, estatística e computação, por sexo. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual a probabilidade que seja do sexo feminino e esteja matriculado em estatística?
Observação:
Se A=S, obteremos P(B|S)=P(B⋂S)/P(S)=P(B),
◦ Porque:
P(S)=1 e
B⋂S=B
Nesse caso, dizer que S ocorreu quer
dizer apenas que o experimento foi
realizado.
Definição: Dizemos que os eventos B
1, B
2, ..., B
krepresentam uma partição do espaço amostral S quando:
i. B
i∩ B
j= Ø, para todo i ≠ j=1,...,k.
ii.
iii. P(B
i)>0.para todo i. Em outras palavras: ao
realizar o experimento E, somente um dos eventos
ocorre.
Para qualquer partição {B
1, B
2, ..., B
k} de S,
temos que
Seja {B
1, B
2, ..., B
k} uma partição do espaço amostral S. Seja A um evento associado a S.
Então:
Dizemos que dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não modifica a probabilidade de ocorrência do outro. Isto quer dizer que se B ocorre e a probabilidade de A não se modifica então A e B são eventos independentes.
Podemos escrever este fato em termos da seguinte probabilidade:
P(A/B) = P(A),
Ou seja, B ocorreu e a probabilidade de A é a mesma.
Mas por definição, P(A/B) =P(AB)/P(B). Substituindo na equação acima temos que:
P(AB)/P(B) = P(A), Ou seja,
P(AB) = P(A)P(B) .
Portanto, a equação anterior representa a condição para a ocorrência da independência entre dois eventos. No caso de três eventos, são necessárias mais condições, ou seja: os eventos A, B e C são independentes se as quatro equações abaixo ocorrem de forma simultânea (todas tem que ser verificadas para que A, B e C sejam independentes)
P(ABC) = P(A)P(B)P(C), P(AB) = P(A)P(B) e
P(AC) = P(A)P(C)
P(BC) = P(B)P(C).
Qual a probabilidade de ocorrer duas caras no lançamento de duas moedas?
Solução: A = { a primeira moeda é cara}, B = { a segunda moeda é cara}, AB = { as duas moedas são caras}. Considerando os dois eventos A e B como independentes, temos que:
P(AB) = P(A)P(B) = ½ * ½. = ¼.
Note que P(A)=P(B) = ½.
Solução: Se A e B são eventos quaisquer (dependente ou independente), TEMOS QUE
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB).
No caso de independência, substituímos
P(AB) = P(A)P(B) em P(AB) e obtemos P(AB) = P(A) + P(B) - P(A)P(B).
Substituindo os valores P(AB) = 0,7 e P(B) = 0,4 temos 0,7 = P(A) + 0,4 – P(A) 0,4 P(A) – 0,4P(A)
= 0,7 – 0,4 (1-0,4)P(A) = 0,3
0,6P(A) = 0,3 P(A) = 0,3/0,6 P(A) = 0,5.
Numa prova de 7 questões, o aluno deve
resolver apenas 5.De quantas maneiras ele
poderá escolher essas 5 questões?
Uma associação tem uma diretoria formada
por 10 pessoas das quais, 6 são homens, e 4
são mulheres. De quantas maneiras podemos
formar uma comissão dessa diretoria que
tenha 3 homens e 2 mulheres?