DANILO ZUCOLLI FIGUEIREDO

TOMADA DE DECIS ˜ AO DE INVESTIMENTO EM UM FUNDO DE PENS ˜ AO COM PLANO DE BENEF´ ICIOS DO TIPO BENEF´ ICIO DEFINIDO:

UMA ABORDAGEM VIA PROGRAMAC ¸ ˜ AO ESTOC ´ ASTICA MULTIEST ´ AGIO LINEAR

S˜ ao Paulo

2011

TOMADA DE DECIS ˜ AO DE INVESTIMENTO EM UM FUNDO DE PENS ˜ AO COM PLANO DE BENEF´ ICIOS DO TIPO BENEF´ ICIO DEFINIDO:

UMA ABORDAGEM VIA PROGRAMAC ¸ ˜ AO ESTOC ´ ASTICA MULTIEST ´ AGIO LINEAR

Disserta¸c˜ ao apresentada ` a Escola Poli- t´ ecnica da Universidade de S˜ ao Paulo para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Engenharia

Area de Concentra¸c˜ ´ ao:

Engenharia de Sistemas

Orientador:

Prof. Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa

S˜ ao Paulo

2011

Ao Prof. Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa pelos valiosos ensinamentos, pela oportu- nidade de realizar este trabalho e pelo exemplo de competˆ encia acadˆ emica.

A banca examinadora pela an´ ` alise e contribui¸c˜ oes.

Aos que auxiliaram na realiza¸c˜ ao deste trabalho. ` A Ana Maria Badiali, bibliotec´ aria da Escola Polit´ ecnica, pelas cr´ıticas e orienta¸c˜ oes em rela¸c˜ ao ` a formata¸c˜ ao. Ao meu pai pelas sugest˜ oes para a reda¸c˜ ao e pela revis˜ ao ortogr´ afica. Ao Aldo Medina e ` a Fran Lima pela ajuda na elabora¸c˜ ao do c´ odigo R para as an´ alises estat´ısticas das simula¸c˜ oes e pelas dicas de LaTeX. ` A Kellen Quessada por todas as referˆ encias sobre Ciˆ encias Atuariais.

Aos docentes do programa de p´ os-gradua¸c˜ ao da Escola Polit´ ecnica, em especial, aos professores Jos´ e Roberto Castilho Piqueira e Agenor de Toledo Fleury por conseguirem transformar Matem´ atica em Engenharia.

Aos professores Plinio Francisco dos Santos Rodrigues, Osvaldo Shigueru Nakao e Paulo S´ ergio Muniz Silva pelo incentivo e recomenda¸c˜ ao de ingresso no mestrado.

A todos os colegas da Principia Capital Management pelas discuss˜ oes sobre finan¸cas quantitativas.

Ao Eng. Salvador Arena (in memoriam ) por seu ideal ao criar o Col´ egio Termomeca- nica, onde tive o prazer de estudar.

As pessoas queridas que fazem parte da minha vida. Aos meus pais pelo amor, carinho ` e incentivo incondicional. ` A Nina pelo amor, incentivo (o maior de todos) e por sempre me manter com os p´ es no ch˜ ao. A todos os meus amigos e familiares pelo carinho e incentivo.

A Coordena¸c˜ ` ao de Aperfei¸camento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pelo apoio

financeiro.

Este trabalho apresenta uma abordagem via programa¸c˜ ao estoc´ astica linear para a tomada de decis˜ ao de investimento em um fundo de pens˜ ao com plano de benef´ıcios do tipo benef´ıcio definido. Prop˜ oe-se uma nova metodologia para a defini¸c˜ ao da aloca¸c˜ ao da carteira do fundo no instante inicial baseada na m´ edia de v´ arios cen´ arios econˆ omicos gerados aleatoriamente. Como exemplo de aplica¸c˜ ao, essa metodologia ´ e utilizada para resolver o problema da aloca¸c˜ ao inicial da carteira de um grande fundo de pens˜ ao brasileiro e a aloca¸c˜ ao inicial obtida ´ e avaliada em termos da probabilidade de insolvˆ encia e VaR, valor em risco, do fundo no instante final do horizonte de planejamento de investimento.

Palavras-chave: Programa¸c˜ ao estoc´ astica. Fundo de pens˜ ao. Gest˜ ao de Ativos e Passi-

vos.

This paper presents an approach via linear stochastic programming for investment decision making in a defined benefit pension fund plan. It proposes a new methodology for defining the allocation of the portfolio at the initial time based on the average of several randomly generated economic scenarios. As an illustrative example, this methodology is used to solve the problem of portfolio initial allocation of a large Brazilian pension fund and the obtained initial allocation is evaluated in terms of fund’s probability of default and VaR, Value-at-Risk, at the final time of the investment planning horizon.

Keywords: Stochastic programming. Pension fund. Asset and Liability Management

(ALM).

ALM Gest˜ ao de Ativos e Passivos (Asset and Liability Management) BD Benef´ıcio Definido

CD Contribui¸c˜ ao Definida

CDI Certificado de Dep´ osito Interfinanceiro DI Dep´ osito Interfinanceiro

EAPC Entidade Aberta de Previdˆ encia Complementar EFPC Entidade Fechada de Previdˆ encia Complementar IBOV ´Indice da BOVESPA

INSS Instituto Nacional do Seguro Social MPS Minist´ erio da Previdˆ encia Social

Previc Superintendˆ encia Nacional de Previdˆ encia Complementar

1 Introdu¸ c˜ ao 9

1.1 Fundos de Pens˜ ao . . . . 9

1.2 Objetivo do trabalho . . . . 11

1.3 Justificativa do tema . . . . 11

1.4 Estrutura da disserta¸c˜ ao . . . . 14

2 Programa¸ c˜ ao Estoc´ astica 15 2.1 Modelos de recurso com dois est´ agios . . . . 16

2.2 Modelos multiest´ agio . . . . 18

3 Formula¸ c˜ ao do problema de ALM para um fundo de pens˜ ao 22 3.1 Restri¸c˜ oes na tomada de decis˜ ao de investimento . . . . 23

3.1.1 Restri¸c˜ oes de balan¸co . . . . 25

3.1.2 Restri¸c˜ oes de invent´ ario . . . . 26

3.1.3 Restri¸c˜ oes de aloca¸c˜ ao . . . . 28

3.1.4 Restri¸c˜ oes de liquidez . . . . 28

3.2 Fun¸c˜ ao objetivo . . . . 29

3.3 Problema de ALM para um fundo de pens˜ ao . . . . 31

3.3.1 Defini¸c˜ ao do problema . . . . 31

3.3.2 Abordagem por ´ arvores de cen´ arios . . . . 33

4 Metodologia para a aloca¸ c˜ ao da carteira de um fundo de pens˜ ao 37 4.1 Defini¸c˜ ao da ´ arvore de cen´ arios . . . . 37

4.1.1 Modelagem dos retornos dos ativos . . . . 39

4.1.2 Modelagem do passivo do fundo . . . . 39

4.1.3 Constru¸c˜ ao da ´ arvore de cen´ arios . . . . 41

4.2 Aloca¸c˜ ao da carteira do fundo . . . . 42

4.2.1 T´ ecnicas de amostragem . . . . 42

5 Simula¸ c˜ oes 45

5.1 Parˆ ametros das simula¸c˜ oes . . . . 46

5.2 Experimentos e resultados . . . . 47

5.2.1 Determina¸c˜ ao da aloca¸c˜ ao do fundo no instante inicial . . . . 47

5.2.2 An´ alise da distribui¸c˜ ao do resultado t´ ecnico do fundo . . . . 48

6 Conclus˜ oes 51 6.1 Conclus˜ oes . . . . 51

6.2 Perspectivas futuras . . . . 52

Referˆ encias 54

Biblioteca ALM (Matlab) 57

C´ odigo do estudo de simula¸ c˜ ao 1 (Matlab) 63

C´ odigo do estudo de simula¸ c˜ ao 2 (Matlab) 64

C´ odigo da an´ alise estat´ıstica do estudo de simula¸ c˜ ao 2 (R) 66

1 Introdu¸ c˜ ao

1.1 Fundos de Pens˜ ao

Previdˆ encia ´ e a capacidade de antecipar acontecimentos futuros e de se prevenir. Na medida em que n˜ ao h´ a acontecimento futuro mais certo para o ser humano que o envelhe- cimento e a morte, cabe a ele prevenir-se de modo a garantir um final de vida tranquilo e a possibilidade de que sua fam´ılia tenha uma renda satisfat´ oria mesmo em sua ausˆ encia.

O Brasil conta com um seguro social chamado Previdˆ encia Social que garante renda ao trabalhador e ` a sua fam´ılia caso ele perca a capacidade de trabalho - seja por doen¸ca, acidente, gravidez, pris˜ ao, morte ou velhice - mediante uma contribui¸c˜ ao mensal realizada durante seu tempo de servi¸co. A administra¸c˜ ao da Previdˆ encia Social ´ e realizada pelo Minist´ erio da Previdˆ encia Social (MPS) e o reconhecimento de direito ao recebimento de benef´ıcios ´ e realizado pelo Instituto Nacional do Seguro Social (INSS).

Al´ em da Previdˆ encia Social, os trabalhadores tˆ em a op¸c˜ ao de contratar uma Pre- vidˆ encia Complementar, que se constitui num seguro previdenci´ ario adicional oferecido como um produto financeiro por entidades privadas.

Os planos de Previdˆ encia Complementar se dividem em planos de previdˆ encia aberta e planos de previdˆ encia fechada, sendo que as principais diferen¸cas entre essas duas classes de planos de previdˆ encia s˜ ao as entidades que os oferecem e a quem esses planos s˜ ao ofertados.

Os planos abertos s˜ ao oferecidos por Entidades Abertas de Previdˆ encia Complementar (EAPC) ou Sociedades Seguradoras e podem ser contratados de forma individual ou coletiva, sem nenhum tipo de restri¸c˜ ao ao contratante.

J´ a os planos de previdˆ encia fechada s˜ ao oferecidos por Entidades Fechadas de Pre-

vidˆ encia Complementar (EFPC), tamb´ em conhecidas como fundos de pens˜ ao e s˜ ao per-

mitidos exclusivamente aos empregados de uma empresa e aos servidores da Uni˜ ao, dos

Estados, do Distrito Federal e dos Munic´ıpios, entes denominados patrocinadores; e aos

associados ou membros de pessoas jur´ıdicas de car´ ater profissional, classista ou setorial,

denominados instituidores. Trabalhadores vinculados a entidades representativas, como sindicatos, cooperativas e ´ org˜ aos de classe tamb´ em tˆ em direito ` a previdˆ encia complemen- tar fechada, numa modalidade denominada previdˆ encia associativa.

No presente trabalho, as empresas, de forma geral, que oferecem a seus empregados ou servidores planos de benef´ıcios de natureza previdenci´ aria operado por um fundo de pens˜ ao ser˜ ao denominadas patrocinadoras do plano. Os trabalhadores que aderem a estes planos ser˜ ao chamados de participantes do plano de benef´ıcios. Por ´ ultimo, as empresas respons´ aveis pela gest˜ ao dos recursos do fundo ser˜ ao chamadas administradoras ou gestoras do fundo.

Segundo Oliveira (2005), fundos de pens˜ ao s˜ ao a forma pela qual as empresas provˆ eem recursos para a acumula¸c˜ ao de reservas destinadas a cobrir pagamentos de aposentadorias aos seus empregados. Estes fundos se justificam pela necessidade de garantir um n´ıvel equivalente de renda para os que se desligam do quadro pessoal da patrocinadora, por motivo de tempo de servi¸co, invalidez ou velhice.

O fluxo de caixa de um fundo de pens˜ ao se constitui em uma s´ erie de recebimentos durante a fase em que os participantes encontram-se em atividade, seguida de uma s´ erie de pagamentos durante a fase de inatividade dos participantes, ou seja, participantes e patrocinadora contribuem com recursos financeiros para o fundo enquanto o empregado encontra-se trabalhando e, em contrapartida, a partir do momento em que o empregado se aposenta ele passa a receber do fundo uma aposentadoria ou benef´ıcio mensal.

Cabe ao gestor do fundo investir os valores captados com as contribui¸c˜ oes em ativos, de modo a garantir os recursos necess´ arios para o pagamento do total dos compromissos futuros do fundo expressos em sua reserva matem´ atica. A reserva matem´ atica de um fundo de pens˜ ao ´ e definida como a diferen¸ca entre o valor presente dos benef´ıcio futuros do plano e o valor presente das contribui¸c˜ oes futuras.

O descasamento temporal entre o fluxo de caixa gerado pelas contribui¸c˜ oes e aquele

gerado pelo pagamento dos benef´ıcios e a diferen¸ca entre as rentabilidades obtidas nos

investimentos realizados pelo fundo e a taxa de crescimento de suas obriga¸c˜ oes s˜ ao as

principais fontes de incerteza para a sa´ ude financeira de um fundo de pens˜ ao. Este tipo

de risco causado pelas diferen¸cas entre ativo e passivo de uma carteira s˜ ao a base de estudo

da chamada Gest˜ ao de Ativos e Passivos, Asset and Liability Management (ALM).

1.2 Objetivo do trabalho

Este trabalho procura contribuir com os avan¸cos na ´ area de ALM atrav´ es da proposta de uma metodologia para a tomada de decis˜ ao de investimento, ou seja, uma metodologia para a defini¸c˜ ao da aloca¸c˜ ao, no instante atual, da carteira de um fundo de pens˜ ao com plano de benef´ıcios do tipo benef´ıcio definido (BD). Para isso, o problema da tomada de decis˜ ao de investimento ´ e formulado como um problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica e, a partir das solu¸c˜ oes ´ otimas deste problema para uma variedade de realiza¸c˜ oes distintas de futuros cen´ arios econˆ omicos, ´ e definida a aloca¸c˜ ao da carteira do fundo para o instante atual.

1.3 Justificativa do tema

O problema da tomada de decis˜ ao de investimento em fundos de pens˜ ao tem relevante importˆ ancia face os vultosos volumes financeiros sob gest˜ ao dessa classe de fundos e o risco de desequil´ıbrio entre seus ativos e passivos.

Segundo a Superintendˆ encia Nacional de Previdˆ encia Complementar (Previc) em seu relat´ orio de estat´ısticas mensais

, o total de ativos de investimento de fundos de pens˜ ao em Junho de 2010 somava cerca de 496 bilh˜ oes de reais, distribu´ıdos como mostra a tabela 1.1.

Tabela 1.1: Composi¸c˜ ao do ativo de investimentos das EFPC

Aplica¸c˜ oes %

fundos de investimento 56,9 t´ıtulos p´ ublicos 18,2

a¸c˜ oes 14,8

cr´ editos privados e dep´ ositos 4,6 investimentos imobili´ arios 2,9 empr´ estimos e financiamentos 2,5 outros realiz´ aveis 0,1

Diante dessa grande acumula¸c˜ ao de recursos nos fundos de pens˜ ao, torna-se not´ avel a participa¸c˜ ao dessa classe de fundos como investidores nos mais diversos mercados. A t´ıtulo de exemplo, a m´ edia di´ aria negociada, em volume financeiro, na Bovespa em 2010

1

Previdˆ encia Complementar - Estat´ıstica Mensal - Junho/2010 (Estat´ısticas Mensais - Cont´ abil e

Cadastro)

foi de R$ 6,48 bilh˜ oes e os investimentos diretos de fundos de pens˜ ao em a¸c˜ oes tota- lizavam aproximadamente R$ 73 bilh˜ oes, 14,8% do total de ativos de investimento dos fundos, demonstrando nitidamente a significativa relevˆ ancia desses fundos para o mercado acion´ ario.

Al´ em disso, o crescimento do sistema de previdˆ encia complementar fechado e os gran- des volumes financeiros sob sua gest˜ ao tˆ em criado demandas complexas para os ´ org˜ aos fiscalizadores do setor, como a Secretaria de Previdˆ encia Complementar, exigindo a for- mula¸c˜ ao de pol´ıticas p´ ublicas eficazes, em consonˆ ancia com o cen´ ario macroeconˆ omico e de transi¸c˜ ao demogr´ afica do Pa´ıs, de forma a contribu´ırem efetivamente para a sustenta- bilidade do sistema de previdˆ encia privada.

Neste mesmo sentido, gestores tˆ em adotado t´ ecnicas cada vez mais sofisticadas de ALM para tomar suas decis˜ oes de investimento. Segundo pesquisa realizada por Oliveira (2005) e que considerou uma amostra de 72 fundos de pens˜ ao, h´ a ind´ıcios de que a maioria dos fundos de pens˜ ao j´ a empregue alguma ferramenta de ALM e, aqueles que por alguma raz˜ ao declararam n˜ ao usar, revelaram inten¸c˜ ao de fazˆ e-lo. As respostas dessa pesquisa indicaram tamb´ em que os fundos tˆ em conhecimento das t´ ecnicas de ALM e de sua importˆ ancia no planejamento estrat´ egico que deve considerar o horizonte de longo prazo de suas obriga¸c˜ oes.

As principais t´ ecnicas empregadas em ALM s˜ ao os modelos de m´ edia-variˆ ancia, mode- los de tempo discreto com m´ ultiplos per´ıodos, modelos de tempo cont´ınuo e modelos de programa¸c˜ ao estoc´ astica. Kouwenberg; Zenios (2006) discutem as caracter´ısticas positi- vas e negativas de cada uma destas t´ ecnicas e destacam que os modelos de tempo discreto com m´ ultiplos per´ıodos e os modelos de tempo cont´ınuo apesar de trazerem informa¸c˜ oes relevantes sobre pol´ıticas de investimento e ALM, por incorporarem muitas simplifica¸c˜ oes para se tornarem computacionalmente vi´ aveis, n˜ ao s˜ ao ferramentas interessantes do ponto de vista pr´ atico. Destacam ainda que modelos de programa¸c˜ ao estoc´ astica podem ser con- siderados extens˜ oes dos modelos de m´ edia-variˆ ancia para o caso multiper´ıodo.

Kouwenberg; Zenios (2006) apontam como a maior vantagem para o uso de modelos de programa¸c˜ ao estoc´ astica em ALM o fato destes modelos considerarem aspectos pr´ aticos relevantes em sua formula¸c˜ ao como custos de transa¸c˜ ao, mercados incompletos e limites de aloca¸c˜ ao e de liquidez.

Um dos primeiros trabalhos envolvendo aplica¸c˜ oes de programa¸c˜ ao estoc´ astica a pro-

blemas de gest˜ ao de carteiras foi realizado por Bradley; Crane (1972), que estudaram a

gest˜ ao multiper´ıodo de uma carteira de t´ıtulos. A partir desse trabalho, muito foi feito

e revis˜ oes detalhadas dos trabalhos realizados de aplica¸c˜ oes de programa¸c˜ ao estoc´ astica

aos problemas da gest˜ ao de fundos de pens˜ ao e empresas de seguro foram efetuadas por Silva (2001) e Kouwenberg; Zenios (2006).

A aplica¸c˜ ao de t´ ecnicas de ALM em fundos de pens˜ ao tem como premissa b´ asica garan- tir que o plano de benef´ıcios previdenci´ arios contratado pelo participante seja cumprido.

Segundo Conde; Ernandes (2007), um plano de benef´ıcios previdenci´ arios ´ e representado pelo conjunto de direitos e obriga¸c˜ oes assumidas pelas partes: participante, patrocinador e administrador, expresso no regulamento do plano.

H´ a no mercado uma s´ erie de diferentes planos de benef´ıcios com as mais peculiares caracter´ısticas. Neste trabalho ser˜ ao citados apenas os planos do tipo benef´ıcio definido (BD) e do tipo contribui¸c˜ ao definida (CD).

Planos do tipo BD s˜ ao planos em que o participante tem direito a um benef´ıcio de aposentadoria na forma de uma renda mensal e vital´ıcia, cujo valor ´ e dado por um per- centual de seu sal´ ario na data da aposentadoria. Como existe uma regra expressa no regulamento do plano que define o c´ alculo do benef´ıcio, este tipo de plano ´ e dito de be- nef´ıcio definido. Nesta modalidade de plano, as contribui¸c˜ oes dos participantes n˜ ao s˜ ao fixas e podem variar ao longo do tempo.

No caso de planos do tipo CD ocorre o oposto ao observado nos planos do tipo BD. Em um plano do tipo CD o participante conhece exatamente o valor de suas contribui¸c˜ oes, dai este tipo de plano ser dito de contribui¸c˜ ao definida, mas n˜ ao sabe antecipadamente qual ser´ a o valor de seu benef´ıcio. Este valor ´ e fixado em fun¸c˜ ao do montante acumulado em sua conta individual durante o per´ıodo contributivo e depende das contribui¸c˜ oes acumuladas ao longo do tempo e dos retornos dos investimentos realizados pelo fundo com essas contribui¸c˜ oes.

Oliveira (2005) comenta que um fundo de pens˜ ao com plano do tipo CD pode ser encarado como um fundo de investimento ou uma poupan¸ca programada, com vantagens tribut´ arias, onde o saldo acumulado na data da aposentadoria ´ e transformado em benef´ıcio de renda mensal, podendo ou n˜ ao ser vital´ıcio, com ou sem garantia de reajustes anuais.

Vallad˜ ao (2008) destaca que apesar da migra¸c˜ ao que tem ocorrido no mercado de fundos de pens˜ ao para os planos do tipo CD, os planos BD residuais ainda s˜ ao um per- centual significativo, em alguns casos, a maior parte da carteira dos grandes fundos do pa´ıs. Desse modo, ´ e de extrema relevˆ ancia pr´ atica o estudo do problema de ALM para essa classe de fundos.

Segundo Oliveira (2005), gestores e atu´ arios dividem responsabilidades de modo a

buscar garantir o objetivo de um fundo de pens˜ ao: cumprir a promessa de pagamentos de

aposentadoria. Os gestores devem alocar os recursos dispon´ıveis em investimentos com

rendimentos suficientes para o pagamento das obriga¸c˜ oes do fundo. J´ a os atu´ arios tˆ em a responsabilidade de definir os valores das contribui¸c˜ oes e o n´ıvel dos benef´ıcios. Para isto se utilizam de hip´ oteses sobre determinadas vari´ aveis como retorno dos investimen- tos, rotatividade de m˜ ao-de-obra, crescimento salarial, reajuste de benef´ıcios, idade de aposentadoria, taxas de infla¸c˜ ao, taxas de juros, t´ abuas de mortalidade, etc. A falta de verifica¸c˜ ao destas hip´ oteses atuariais ´ e a maior fonte de risco dos fundos, traduzidos na sua incapacidade de realizar a promessa feita a seus participantes.

1.4 Estrutura da disserta¸ c˜ ao

Este trabalho foi organizado em 6 cap´ıtulos. A seguir ´ e apresentada uma breve des- cri¸c˜ ao do conte´ udo de cada um deles.

No cap´ıtulo 1 ´ e feita uma apresenta¸c˜ ao sobre fundos de pens˜ ao e previdˆ encia comple- mentar no Brasil. Tamb´ em s˜ ao expostos os objetivos e a motiva¸c˜ ao para o desenvolvimento deste trabalho.

No cap´ıtulo 2 ´ e feita uma breve revis˜ ao sobre Programa¸c˜ ao Estoc´ astica, de modo a introduzir o formalismo necess´ ario para o tratamento do problema objeto de estudo deste trabalho.

No cap´ıtulo 3 ´ e apresentada uma formula¸c˜ ao via programa¸c˜ ao estoc´ astica linear para o problema da tomada de decis˜ ao de investimento em um fundo de pens˜ ao com plano de benef´ıcios do tipo benef´ıcio definido. No cap´ıtulo 4 ´ e definida a forma como s˜ ao constru´ıdas as ´ arvores de cen´ arios para o problema e ´ e apresentada uma metodologia para a defini¸c˜ ao da aloca¸c˜ ao da carteira do fundo no instante atual.

No cap´ıtulo 5 s˜ ao apresentadas simula¸c˜ oes do uso da metodologia proposta aplicada a

dados obtidos de um grande fundo de pens˜ ao brasileiro. No cap´ıtulo 6 s˜ ao apresentadas as

conclus˜ oes e listados poss´ıveis trabalhos futuros. Por fim, os apˆ endices contˆ em os c´ odigos

utilizados nas simula¸c˜ oes num´ ericas.

2 Programa¸ c˜ ao Estoc´ astica

A maioria dos problemas de otimiza¸c˜ ao que modelam situa¸c˜ oes reais incorporam in- certezas em pelo menos alguns de seus parˆ ametros. Gra¸cas a isso, a ´ area da programa¸c˜ ao estoc´ astica, que engloba modelos e m´ etodos para tratar justamente de problemas de oti- miza¸c˜ ao que envolvem incertezas, possui vasta aplica¸c˜ ao pr´ atica. Exemplos de aplica¸c˜ oes de t´ ecnicas de programa¸c˜ ao estoc´ astica s˜ ao encontrados em problemas envolvendo a gest˜ ao de recursos (agr´ıcolas, energ´ eticos, financeiros, h´ıdricos, militares, etc.), problemas de con- trole e planejamento da produ¸c˜ ao, problemas de log´ıstica, etc.

Neste cap´ıtulo ´ e realizada uma breve revis˜ ao sobre programa¸c˜ ao estoc´ astica. S˜ ao apresentados os problemas de programa¸c˜ ao estoc´ astica com recurso para os casos em que h´ a dois est´ agios de decis˜ ao e m´ ultiplos est´ agios de decis˜ ao. Por fim, o problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica linear ´ e apresentado. No pr´ oximo cap´ıtulo, o problema da tomada de decis˜ ao de investimento num fundo de pens˜ ao ser´ a formulado em termos de um problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica linear com m´ ultiplos est´ agios.

Deve-se ressaltar os dois empregos da palavra “recurso” neste cap´ıtulo. O primeiro ocorre quando se fala das aplica¸c˜ oes da programa¸c˜ ao estoc´ astica em problemas de aloca¸c˜ ao de recursos. Neste caso, a palavra recursos tem sentido de riquezas, bens materiais, bens naturais, for¸ca de trabalho, etc. O segundo ocorre ao se tratar de problemas de pro- grama¸c˜ ao estoc´ astica com recurso. Neste caso, recurso tem sentido de a¸c˜ ao ou resultado de recorrer, ou seja, um meio empregado para vencer determinada dificuldade.

Problemas de programa¸c˜ ao estoc´ astica foram formulados pela primeira vez por Dantzig

(1955) e Beale (1955). Uma interessante revis˜ ao dos trabalhos sobre programa¸c˜ ao es-

toc´ astica foi realizada por Dupaˇ cov´ a (1995), que apresentou as formula¸c˜ oes t´ıpicas dos

problemas, ´ areas de aplica¸c˜ ao, t´ ecnicas num´ ericas para a solu¸c˜ ao dos problemas e uma ex-

tensa lista de referˆ encias a trabalhos da ´ area. Os livros texto de Birge; Louveaux (1997)

e Shapiro; Dentcheva; Ruszczynski (2009) condensam grande parte da teoria dispon´ıvel

sobre programa¸c˜ ao estoc´ astica e apresentam diversos exemplos de aplica¸c˜ ao.

2.1 Modelos de recurso com dois est´ agios

Modelo de recurso com dois est´ agios

O problema de programa¸c˜ ao matem´ atica de dois est´ agios com recurso pode ser for- mulado como

min f(x) + E [Q(x, ω)] , (2.1)

sujeito a

A · x = b, x ∈ R

,

onde x ∈ R

´ e a vari´ avel de decis˜ ao do primeiro est´ agio, f (x) ´ e a fun¸c˜ ao custo do primeiro est´ agio, A ´ e uma matriz de dimens˜ ao m

× n

de coeficientes das restri¸c˜ oes, b ´ e um vetor de dimens˜ ao m

e ω ´ e uma vari´ avel aleat´ oria definida sobre o espa¸co de probabilidades (Ω, F , P ).

A fun¸c˜ ao Q(x, ω), chamada fun¸c˜ ao custo do recurso, ´ e definida como o valor ´ otimo de

min q(y, ω), (2.2)

sujeito a

W (ω) · y = h(ω) − T (ω) · x, y ∈ R

,

onde y ∈ R

´ e chamada vari´ avel de decis˜ ao do segundo est´ agio, q(y, ω) ´ e a fun¸c˜ ao custo do segundo est´ agio e {T (ω), W (ω), h(ω)} s˜ ao parˆ ametros do modelo. Tais parˆ ametros s˜ ao aleat´ orios, uma vez que s˜ ao fun¸c˜ ao de ω. T ´ e chamada matriz de tecnologia e tem dimens˜ ao m

× n

, W ´ e chamada matriz de recurso e tem dimens˜ ao m

× n

e h ´ e um vetor de dimens˜ ao m

.

A decis˜ ao de primeiro est´ agio x n˜ ao depende da observa¸c˜ ao de ω, mas para que a decis˜ ao seja tomada de maneira adequada, deve considerar todas as poss´ıveis realiza¸c˜ oes desta vari´ avel aleat´ oria. Em outras palavras, a decis˜ ao x deve ser tal que, sob todas as poss´ıveis realiza¸c˜ oes de ω, as restri¸c˜ oes e a fun¸c˜ ao objetivo do problema tenham carac- ter´ısticas desejadas.

J´ a a decis˜ ao de segundo est´ agio y ´ e tomada depois que as incertezas sobre o problema

se tornam conhecidas, ou seja, depois que ´ e realizada a observa¸c˜ ao da vari´ avel aleat´ oria

ω e, por isso, ´ e chamada decis˜ ao de recurso. Seja F toda a informa¸c˜ ao dispon´ıvel ap´ os a realiza¸c˜ ao da observa¸c˜ ao, tal que F seja a σ-´ algebra de todos os poss´ıveis eventos, gerada pelo conjunto Ω suporte da vari´ avel aleat´ oria ω. Como y depende desses poss´ıveis eventos, y ´ e dita F -adaptada.

Desse modo, o problema de programa¸c˜ ao matem´ atica (2.1) modela a situa¸c˜ ao em que um agente deve tomar uma decis˜ ao x em um ambiente em que a incerteza sobre o futuro

´ e descrita pela vari´ avel aleat´ oria ω. Num est´ agio seguinte, o valor de ω se torna conhecido e, em fun¸c˜ ao da decis˜ ao anterior x e da forma como a incerteza ω se realizou, uma a¸c˜ ao de recurso y deve ser tomada. As decis˜ oes x e y s˜ ao escolhidas de modo que a fun¸c˜ ao custo do problema seja minimizada.

decis˜ ao x −→ ocorre ω −→ recurso y

De (2.1) e (2.2), o problema de programa¸c˜ ao matem´ atica de dois est´ agios com recurso pode ser escrito de maneira compacta como

min f(x) + E

"

min

y∈R₊ⁿ¹

{q(y, ω) | T (ω) · x + W (ω) · y = h(ω)}

#

, (2.3)

sujeito a

A · x = b, x ∈ R

.

Forma determin´ıstica equivalente

Nos casos em que a vari´ avel aleat´ oria ω tem distribui¸c˜ ao discreta, com suporte Ω = {ω

, . . . , ω

}, cada uma de suas poss´ıveis realiza¸c˜ oes, ω

, . . . , ω

, ´ e chamada de cen´ ario. A modelagem por cen´ arios ´ e interessante em aplica¸c˜ oes em que a incerteza so- bre o futuro pode ser descrita de maneira razo´ avel por meio de sua discretiza¸c˜ ao em um n´ umero finito de casos.

Denotando por p

a probabilidade de ocorrˆ encia do i-´ esimo cen´ ario, i = 1, . . . , N , tem-se

p

= P (ω = ω

), (2.4)

com

p

≥ 0, i = 1, . . . , N,

e

X

i=1

p

= 1,

e o valor esperado da fun¸c˜ ao custo do recurso pode ser escrito como

E [Q(x, ω)] =

N

X

i=1

p

Q(x, ω

). (2.5)

Para cada realiza¸c˜ ao ω

∈ Ω da vari´ avel aleat´ oria ω, uma decis˜ ao diferente de segundo est´ agio y

´ e tomada. Para uma dada realiza¸c˜ ao ω

, o problema de segundo est´ agio (2.2) pode, ent˜ ao, ser escrito como

min q(y

, ω

), (2.6)

sujeito a

W (ω

) · y = h(ω

) − T (ω

) · x, y

∈ R

,

e combinando (2.5) e (2.6), o problema (2.3) pode ser escrito como um problema deter- min´ıstico n˜ ao-linear, chamado problema determin´ıstico equivalente,

min f (x) +

N

X

i=1

p

q(y

, ω

), (2.7)

sujeito a

A · x = b,

T (ω

) · x + W (ω

) · y

= h(ω

), ∀ω

∈ Ω x ∈ R

, y

∈ R

, i = 1, . . . , N.

2.2 Modelos multiest´ agio

Modelo de recurso com m´ ultiplos est´ agios

O problema apresentado na se¸c˜ ao 2.1 pode ser generalizado para o caso em que existem

mais que dois est´ agios de decis˜ ao. Neste caso, deve-se tomar uma sequˆ encia de decis˜ oes

x = (x

, . . . , x

), cada decis˜ ao associada a um est´ agio do problema, e a cada decis˜ ao ´ e

revelado um componente do vetor aleat´ orio ω = (ω

, . . . , ω

), que descreve a incerteza

sobre o futuro.

Analogamente ao problema de dois est´ agios, uma decis˜ ao inicial x

´ e tomada sem que seja revelada qualquer informa¸c˜ ao sobre ω. Em seguida, torna-se conhecido ω

e deve-se tomar a decis˜ ao x

do segundo est´ agio. Este processo em que se alternam decis˜ oes x

e observa¸c˜ oes de ω

se repete at´ e o est´ agio T , que representa o final do horizonte de decis˜ oes,

x

−→ ω

−→ x

−→ . . . −→ ω

−→ x

.

O vetor aleat´ orio ω = (ω

, . . . , ω

) ´ e definido sobre (Ω, F , P ), onde Ω = Ω

× . . . × Ω

e F

⊂ F

⊂ . . . ⊂ F

⊆ F ´ e uma sequˆ encia de σ-´ algebras, tal que cada F

, t = 1, . . . , T , ´ e a σ-´ algebra gerada pelas observa¸c˜ oes ω

, . . . , ω

. A σ-´ algebra F

representa toda a hist´ oria do processo ou toda a informa¸c˜ ao dispon´ıvel at´ e t. Neste sentido, como cada decis˜ ao x

, com t = 1, . . . , T , depende apenas das observa¸c˜ oes realizadas at´ e t, x

´ e dita F

-adaptada.

O problema 2.3 pode, ent˜ ao, ser generalizado, para o caso em que s˜ ao considerados (T +1) est´ agios correspondentes a instantes de t = 0 at´ e t = T , e considerando-se restri¸c˜ oes lineares e dependentes, no m´ aximo, de decis˜ oes tomadas no est´ agio anterior como

min f(x

) + E

"

min

x1∈Rⁿ₊¹

q

(x

, ω

) + ... + E

"

min

xT∈R^nT₊

q

(x

, ω

)

# ...

#

, (2.8)

sujeito a

W

· x

= h

,

T

(ω

) · x

+ W

(ω

) · x

= h

(ω

), t = 1, ..., T, x

∈ R

,

onde x

´ e a vari´ avel de decis˜ ao do primeiro est´ agio e x

, com t = 1, . . . , T , representa a vari´ avel de recurso do (t + 1)-´ esimo est´ agio.

Note que o problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica multiest´ agio (2.8) apresenta, para cada t > 0, um problema de recurso condicionado ` a informa¸c˜ ao dispon´ıvel at´ e t, com fun¸c˜ ao custo q

(x

, ω

) e parˆ ametros {T

(ω

), W

(ω

), h

(ω

) | ω

∈ Ω

}.

Caso a fun¸c˜ ao custo de primeiro est´ agio e todas as fun¸c˜ oes custo de recurso de um

problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica multiest´ agio (2.8) sejam lineares, o problema ser´ a

dito um problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica multiest´ agio linear. Esta classe de proble-

mas ´ e muito importante, principalmente no caso em que Ω ´ e um conjunto finito, dada sua

possibilidade de tratamento computacional e extensa aplica¸c˜ ao pr´ atica.

Forma determin´ıstica equivalente

Como nos modelos de recurso com dois est´ agios, caso a vari´ avel aleat´ oria ω tenha distribui¸c˜ ao discreta, a forma geral (2.8) pode ser escrita numa forma mais simples, em que os valores esperados s˜ ao escritos como somat´ orios.

Seja o cojunto Ω tal que Ω = Ω

× . . . × Ω

, com cada um dos conjuntos Ω

finitos, Ω

= {ω

, . . . , ω

}, com t = 1, . . . , T .

Um cen´ ario ser´ a definido como um vetor (ω

, . . . , ω

), em que cada um de seus compontentes ω

∈ Ω

´ e dito um estado de instante t. De modo an´ alogo, um vetor (ω

, . . . , ω

), composto por uma sequˆ encia de estados de instantes 1 at´ e t, ser´ a chamado de cen´ ario de instante t.

Para que a formula¸c˜ ao do problema se torne mais simples, o conjunto de poss´ıveis cen´ arios ser´ a tomado de modo que um dado estado ω

, de instante t, tem apenas um poss´ıvel estado antecessor em t − 1, denotado por ω

.

A probabilidade de ocorrˆ encia de ω

, i-´ esimo poss´ıvel estado de instante t, ser´ a de- notada por p

e ser´ a tal que

p

= P (ω

= ω

), com

p

≥ 0

e

X

i=1

p

= 1,

com t = 1, . . . , T e i = 1, . . . , N

e onde ω

corresponde ao t-´ esimo componente do vetor aleat´ orio ω = (ω

, . . . , ω

, . . . , ω

).

De forma semelhante ao modelo de recurso com dois est´ agios, para cada realiza¸c˜ ao de cen´ ario de instante t, (ω

, . . . , ω

) ∈ Ω

× . . . × Ω

, uma decis˜ ao, de instante t, x

diferente ´ e tomada. Desse modo, o problema (2.8) pode ser escrito em sua forma determin´ıstica equivalente como

min f (x

) +

"

1

X

i1=1

p

q(x

, ω

)

#

+ . . . +

"

T

X

iT=1

p

q(x

, ω

)

#

, (2.9)

sujeito a

W

· x

= h

,

T (ω

) · x

+ W (ω

) · x

= h(ω

), ∀ω

∈ Ω

T (ω

) · x

+ W (ω

) · x

= h(ω

), ∀ω

∈ Ω

.. .

T (ω

) · x

+ W (ω

) · x

= h(ω

), ∀ω

∈ Ω

e sujeito ` as restri¸c˜ oes de sinal

x

∈ R

x

∈ R

, i

= 1, . . . , N

.. .

x

∈ R

, i

= 1, . . . , N

,

onde x

denota a decis˜ ao tomada no estado antecessor ao estado ω

.

No problema (2.9) as restri¸c˜ oes de implementabilidade ou n˜ ao-antecipa¸c˜ ao est˜ ao impl´ıcitas. Tais restri¸c˜ oes imp˜ oem que cen´ arios com mesma sequˆ encia de estados do instante inicial at´ e t devem estar associados a um mesmo conjunto de informa¸c˜ oes e, por isso, as decis˜ oes at´ e t nestes cen´ arios, x

, . . . , x

, devem ser as mesmas.

Note que o problema (2.8) quando escrito em sua forma determin´ıstica equivalente (2.9), para um conjunto Ω finito, deixa de ser um problema estoc´ astico e toma a forma de um problema determin´ıstico e no caso em que a fun¸c˜ ao objetivo ´ e linear, torna-se um problema de programa¸c˜ ao linear.

Dupaˇ cov´ a; Consigli; Wallace (2000) fazem coment´ arios sobre a complexidade de pro-

blemas de programa¸c˜ ao estoc´ astica linear e destacam que, dada a disponibilidade de

ferramentas computacionais (CPLEX, MSLiP-OSL, OSL-SP, etc.) capazes de resolver

problemas multiest´ agio com restri¸c˜ oes lineares e fun¸c˜ oes objetivos n˜ ao-lineares, as etapas

mais trabalhosas entre a formula¸c˜ ao e solu¸c˜ ao de um problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica

linear s˜ ao as etapas de modelagem do problema e de gera¸c˜ ao de cen´ arios.

3 Formula¸ c˜ ao do problema de ALM para um fundo de pens˜ ao

Neste cap´ıtulo o problema da tomada de decis˜ ao de investimento em um fundo de pens˜ ao ´ e formulado em termos de um problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica multiest´ agio linear.

A gest˜ ao do fundo pode ser facilmente definida em termos de um problema de pro- grama¸c˜ ao matem´ atica, pois trata-se de um problema do qual emergem naturalmente uma s´ erie de restri¸c˜ oes e em que se est´ a interessado em otimizar alguma quantidade como maxi- mizar a capacidade do fundo em honrar suas obriga¸c˜ oes. As restri¸c˜ oes que ser˜ ao adotadas s˜ ao as geralmente utilizadas na literatura da ´ area, sendo semelhantes ` as adotadas nos trabalhos de Consigli; Dempster (1998), Kouwenberg; Zenios (2006), Hilli et al. (2007) e Vallad˜ ao (2008).

A necessidade de um enfoque via programa¸c˜ ao estoc´ astica se d´ a pelo car´ ater n˜ ao- determin´ıstico das vari´ aveis econˆ omicas e atuariais envolvidas no problema. Essas vari´ aveis definem os poss´ıveis cen´ arios para o ativo e passivo do fundo em datas futuras e, por isso, tˆ em comportamento estoc´ astico.

Bradley; Crane (1972) estudaram a gest˜ ao multiper´ıodo de uma carteira de t´ıtulos,

bonds, por uma abordagem via programa¸c˜ ao estoc´ astica. Este trabalho ´ e tido como

uma contribui¸c˜ ao fundamental para a abordagem de problemas de gest˜ ao de carteiras

utilizando-se de programa¸c˜ ao estoc´ astica. A partir deste trabalho pioneiro, muito foi feito

e revis˜ oes detalhadas dos trabalhos realizados de aplica¸c˜ oes de programa¸c˜ ao estoc´ astica

aos problemas da gest˜ ao de fundos de pens˜ ao e empresas de seguro foram efetuadas por

Silva (2001) e Kouwenberg; Zenios (2006).

3.1 Restri¸ c˜ oes na tomada de decis˜ ao de investimento

Nesta se¸c˜ ao s˜ ao elencadas as restri¸c˜ oes que se aplicam ` a gest˜ ao de um fundo de pens˜ ao.

Na se¸c˜ ao 3.2 ´ e proposta uma fun¸c˜ ao objetivo para o problema de otimiza¸c˜ ao e por ´ ultimo, de posse da defini¸c˜ ao de um problema de programa¸c˜ ao estoc´ astica linear apresentada na se¸c˜ ao 2.2, na se¸c˜ ao 3.3 o problema de tomada de decis˜ ao de investimento em um fundo de pens˜ ao ´ e formulado.

As restri¸c˜ oes aplicadas ` a gest˜ ao de um fundo de pens˜ ao podem ser divididas em qua- tro categorias: restri¸c˜ oes de balan¸co, restri¸c˜ oes de invent´ ario, restri¸c˜ oes de aloca¸c˜ ao e restri¸c˜ oes de liquidez.

As restri¸c˜ oes de balan¸co e de invent´ ario surgem da necessidade de se estabelecer um coerente fluxo financeiro para o fundo. J´ a as restri¸c˜ oes de aloca¸c˜ ao s˜ ao frutos de imposi¸c˜ oes legais e da pol´ıtica de uso do risco adotada pelo gestor e estabelecem limites de aloca¸c˜ ao por classe de ativos na carteira do fundo. Por ´ ultimo, as restri¸c˜ oes de liquidez garantem que os valores financeiros de ativos negociados pelo fundo sejam inferiores a certos limites estabelecidos pela liquidez de seus respectivos mercados.

Seja I

= {0, 1, . . . , n} o conjunto de ´ındices dos n + 1 ativos dispon´ıveis para inves- timento. O ´ındice i = 0 representa o caixa do fundo, ou seja, um ativo de renda fixa e liquidez imediata. Os demais ´ındices, i = 1, . . . , n, representam n diferentes ativos de risco como a¸c˜ oes, contratos derivativos, investimentos estruturados, im´ oveis, empr´ estimos a participantes e assistidos, etc. O subconjunto de I

que cont´ em todos os ativos exceto o caixa ser´ a denotado por I = {1, . . . , n} ⊂ I

.

A principal fun¸c˜ ao do gestor ´ e definir como alocar os recursos financeiros do fundo entre esses (n + 1) diferentes ativos dispon´ıveis para investimento, de modo que a car- teira do fundo tenha uma rela¸c˜ ao de risco e retorno adequada sob todos os poss´ıveis cen´ arios futuros. Suas vari´ aveis de decis˜ ao s˜ ao, portanto, a compra ou venda de ativos em cada instante de tempo e por meio delas ele, baseado nas informa¸c˜ oes dispon´ıveis e nas perspectivas econˆ omicas e atuariais futuras, estabelece a aloca¸c˜ ao da carteira do fundo.

Esse processo se d´ a de maneira sequencial, sendo que ap´ os uma decis˜ ao de aloca¸c˜ ao,

com o passar do tempo, s˜ ao observadas mudan¸cas nas vari´ aveis econˆ omicas e atuarias

que influenciam a atividade do fundo de pens˜ ao, tornando necess´ aria uma nova decis˜ ao

de investimento que realoque a carteira do fundo de modo a aproveitar as informa¸c˜ oes

dispon´ıveis. Este processo se repete ao longo do tempo, de modo que a aloca¸c˜ ao da

carteira sempre reflita as informa¸c˜ oes conhecidas e as perspectivas futuras.

A incerteza sobre as vari´ aveis econˆ omicas e atuariais envolvidas no problema ser´ a modelada pela vari´ avel aleat´ oria ω = (ω

, ..., ω

) ∈ Ω, com Ω = Ω

× . . . × Ω

, definida no espa¸co de probabilidade (Ω, F , P ). O processo sequencial de tomada de decis˜ ao de investimento pode, ent˜ ao, ser representado esquematicamente como

aloca¸c˜ ao inicial −→ ω

−→ realoca¸c˜ ao −→ ω

−→ realoca¸c˜ ao . . . O valor financeiro alocado no i-´ esimo ativo, antes da primeira tomada de decis˜ ao de investimento, ser´ a denotado por a

. A primeira decis˜ ao de investimento ou decis˜ ao inicial

´ e tomada e a aloca¸c˜ ao neste ativo passa, ent˜ ao, a ser a

(ω

). A vari´ avel ω

denota o estado atual da economia definido pelo valor das vari´ aveis econˆ omicas e atuarias de interesse.

Seguindo o processo de tomada de decis˜ ao j´ a descrito, no instante seguinte, o estado da economia passa a ser ω

e uma nova aloca¸c˜ ao a

(ω

) no i-´ esimo ativo ´ e feita. Esta sequˆ encia de observa¸c˜ oes da economia e de novas aloca¸c˜ oes se repete,

a

−→ a

(ω

) −→ ω

−→ a

(ω

) −→ ω

−→ a

(ω

) . . . Com a nota¸c˜ ao apresentada, o valor financeiro alocado no i-´ esimo ativo no instante t ´ e simbolizado por a

(ω

) e seguindo este padr˜ ao, a rentabilidade do i-´ esimo ativo realizada na transi¸c˜ ao entre os instantes t − 1 e t ´ e denotada por r

(ω

). Essas vari´ aveis s˜ ao escritas como fun¸c˜ oes de ω

, de modo a explicitar sua dependˆ encia com as informa¸c˜ oes dispon´ıveis at´ e t.

Como j´ a foi dito, as vari´ aveis sobre as quais o gestor do fundo pode atuar s˜ ao a compra e a venda de ativos em cada instante t, que ser˜ ao denotadas, respectivamente, por c

(ω

) e v

(ω

), para todos os ativos, i = 0, ..., n, e para os instantes t = 0, ..., T − 1. As restri¸c˜ oes de balan¸co e invent´ ario definem como as aloca¸c˜ oes a

(ω

) se relacionam com c

(ω

) e v

(ω

).

Em t = T , instante de tempo correspondente ao t´ ermino do horizonte de planejamento de investimento, n˜ ao s˜ ao tomadas decis˜ oes de investimento e ocorre a an´ alise dos resultados da gest˜ ao do fundo. Por isso, as compras e vendas de ativos s˜ ao definidas para os instante de t = 0 at´ e t = T − 1.

Vale destacar que a decis˜ ao de investimento mais importante ´ e aquela correspondente

ao instante t = 0, que representa o instante atual ou presente. Esta decis˜ ao ´ e a ´ unica

que pode ser imediatamente implementada, uma vez que as demais se referem a instantes

futuros. Al´ em disso, no instante seguinte, pode-se reformular o problema e resolvˆ e-lo nova-

mente, adotando o instante seguinte como instante presente (t = 0), adicionando as novas

informa¸c˜ oes sobre o estado atual da economia e atualizando as perspectivas sobre o futuro.

Por isso, o foco deste trabalho estar´ a nas decis˜ oes, c

(ω

), . . . , c

(ω

), v

(ω

), . . . , v

(ω

), e aloca¸c˜ oes, a

(ω

), . . . , a

(ω

), de primeiro est´ agio, sendo que as decis˜ oes dos demais est´ agios ser˜ ao ´ uteis apenas para a an´ alise do resultado das decis˜ oes iniciais e da pol´ıtica de investimento ao t´ ermino do horizonte de planejamento em t = T .

Na modelagem que ser´ a apresentada, a incerteza sobre o futuro recair´ a apenas sobre os retornos dos diferentes ativos e n˜ ao ser˜ ao consideradas incertezas sobre as vari´ aveis atuariais. No cap´ıtulo 4 ser´ a feita uma discuss˜ ao sobre como modelar cen´ arios futuros para um problema de tomada de decis˜ ao de investimento em um fundo de pens˜ ao, abordando tanto a quest˜ ao dos retornos dos ativos quanto a das vari´ aveis atuariais.

3.1.1 Restri¸ c˜ oes de balan¸ co

A varia¸c˜ ao do valor total dos ativos do fundo entre dois instantes consecutivos t − 1 e t ´ e dada pela rentabilidade dos ativos no per´ıodo, descontados os custos das transa¸c˜ oes (compras e vendas) de ativos em t, somadas as contribui¸c˜ oes realizadas pelos participantes e subtra´ıdos os benef´ıcios pagos no per´ıodo.

Desse modo, pode-se escrever, para cada instante t, uma express˜ ao para o valor total dos ativos do fundo. Essas express˜ oes s˜ ao, ent˜ ao, incorporadas ao problema de otimiza¸c˜ ao como restri¸c˜ oes de igualdade e s˜ ao chamadas de restri¸c˜ oes de balan¸co.

Como j´ a mencionado, o instante t = 0 representa o instante de tempo atual e ´ e neste instante em que a primeira - e mais importante - decis˜ ao de investimento ´ e to- mada. As demais decis˜ oes correspondem a datas futuras, t = 1, ..., T − 1. Como t = 0 representa o presente, o estado da economia ω

´ e completamente conhecido e todas as informa¸c˜ oes econˆ omicas e atuariais est˜ ao dispon´ıveis. Al´ em disso, convenciona-se que os valores alocados antes da primeira decis˜ ao de investimento a

, i = 0, ..., n, j´ a incorporam as rentabilidades obtidas at´ e t = 0.

Assim, no instante inicial, t = 0, o valor total dos ativos ´ e dado pelo valor total dos ativos antes da primeira decis˜ ao de investimento, descontados os custos das transa¸c˜ oes realizadas no instante inicial e o saldo resultante da diferen¸ca entre benef´ıcios pagos e contribui¸c˜ oes recebidas pelo fundo, ψ(ω

), no per´ıodo. Desse modo,

n

X

i=0

a

(ω

) =

n

X

i=0

a

−

n

X

i=1

{κ

[c

(ω

) + v

(ω

)]} − ψ(ω

), (3.1)

onde κ

denota o custo de transa¸c˜ ao do i-´ esimo ativo.

Vale lembrar que o ativo de ´ındice i = 0 representa o caixa do fundo e, por isso, todos os valores recebidos ou pagos implicam em movimenta¸c˜ oes nos recursos alocados neste ativo e sobre essas transa¸c˜ oes n˜ ao incorre nenhum custo transacional.

Para os instantes seguintes, 0 < t < T , s˜ ao consideradas, al´ em das aloca¸c˜ oes no instante anterior, tamb´ em as rentabilidades dos diferentes ativos no per´ıodo entre t − 1 e t, de modo que

n

X

i=0

a

(ω

) =

n

X

i=0

{[1 + r

(ω

)] a

(ω

)} −

n

X

i=1

{κ

[c

(ω

) + v

(ω

)]} − ψ(ω

), (3.2)

onde r

(ω

) representa a rentabilidade do i-´ esimo ativo e ψ(ω

) representa o saldo resul- tante da diferen¸ca entre benef´ıcios pagos e contribui¸c˜ oes recebidas pelo fundo entre os instantes t − 1 e t.

No ´ ultimo est´ agio, t = T , n˜ ao s˜ ao consideradas tomadas de decis˜ oes de investimento (compra e venda de ativos) e ocorre a an´ alise da sa´ ude financeira do fundo. A restri¸c˜ ao de balan¸co no ´ ultimo est´ agio, t = T , ´ e escrita como

n

X

i=0

a

(ω

) =

n

X

i=0

{[1 + r

(ω

)] a

(ω

)} − ψ(ω

) (3.3)

e dela pode-se obter

V (ω

) =

n

X

i=0

a

(ω

),

onde V (ω

) representa o valor total dos ativos do fundo ao t´ ermino do horizonte de planejamento.

3.1.2 Restri¸ c˜ oes de invent´ ario

A aloca¸c˜ ao de cada um dos ativos com exce¸c˜ ao do caixa, em um dado instante t, ´ e dada pela aloca¸c˜ ao no instante anterior t − 1 rentabilizada, somada ` as compras e descontadas as vendas desse ativo em t. H´ a, ent˜ ao, para cada instante t uma express˜ ao para o valor alocado em cada um dos ativos de risco. Essas express˜ oes s˜ ao incorporadas ao problema de otimiza¸c˜ ao como restri¸c˜ oes de igualdade chamadas de restri¸c˜ oes de invent´ ario.

No instante inicial, t = 0, de maneira an´ aloga ao realizado para as restri¸c˜ oes de

balan¸co, n˜ ao s˜ ao levadas em conta as rentabilidades dos ativos. Desse modo, a aloca¸c˜ ao

do i-´ esimo ativo, no instante inicial, ´ e dada pela soma da aloca¸c˜ ao anterior ` a primeira

tomada de decis˜ ao a

com o saldo dos valores comprados e vendidos desse ativo, ou seja, a

(ω

) = a

+ c

(ω

) − v

(ω

). (3.4) J´ a nos instantes seguintes, tais que 0 < t < T , s˜ ao consideradas tamb´ em as ren- tabilidades dos ativos, de modo que o valor alocado no i-´ esimo ativo pode ser escrito como

a

(ω

) = [1 + r

(ω

)] · a

(ω

) + c

(ω

) − v

(ω

). (3.5) No ´ ultimo est´ agio, t = T , n˜ ao ocorre compra nem venda de ativos e, por isso, considera- se apenas a rentabilidade obtida entre os instantes T − 1 e T , ou seja,

a

(ω

) = [1 + r

(ω

)] · a

(ω

). (3.6) Nota-se facilmente que, tendo em vista as restri¸c˜ oes de invent´ ario, as restri¸c˜ oes de balan¸co podem ser escritas numa forma mais simples.

De (3.1) e (3.4) a restri¸c˜ ao de balan¸co para t = 0 pode ser reescrita como

a

(ω

) = a

−

n

X

i=1

{c

(ω

) [1 + κ

] + v

(ω

) [−1 + κ

]} − ψ(ω

), (3.7)

de (3.2) e (3.5) a restri¸c˜ ao de balan¸co para 0 < t < T torna-se

a

(ω

) = [1 + r

(ω

)] a

(ω

) −

n

X

i=1

{c

(ω

) [1 + κ

] + v

(ω

) [−1 + κ

]} − ψ(ω

), (3.8)

e de (3.3) e (3.6) ´ e obtida a restri¸c˜ ao de balan¸co para t = T ,

a

(ω

) = [1 + r

(ω

)] a

(ω

) − ψ(ω

). (3.9)

Estas formas alternativas de se escrever as restri¸c˜ oes de balan¸co, (3.7), (3.8) e (3.9),

s˜ ao interessantes, pois, al´ em de serem mais simples, evidenciam o valor alocado no caixa

do fundo em cada instante.

3.1.3 Restri¸ c˜ oes de aloca¸ c˜ ao

Por imposi¸c˜ oes legais

, a aloca¸c˜ ao em algumas classes de ativos n˜ ao deve ultrapassar certos limites na carteira de um fundo de pens˜ ao. Entre os t´ıtulos de renda fixa, por exemplo, a legisla¸c˜ ao vigente limita os investimentos em certificados e recibos de dep´ osito banc´ ario a 80% do valor total da carteira. J´ a no caso de ativos de renda vari´ avel, um exemplo ´ e o investimento em a¸c˜ oes de companhias abertas negociadas nos moldes do Novo Mercado da Bovespa, que ´ e limitado a 50% do valor total da carteira.

Al´ em das limita¸c˜ oes por imposi¸c˜ oes legais, o pr´ oprio gestor do fundo pode, visando controlar o risco financeiro a que o fundo est´ a exposto, estabelecer limites para a aloca¸c˜ ao em certas classes de ativos. Surgem, assim, as chamadas restri¸c˜ oes de aloca¸c˜ ao, que podem ser escritas, para o instante t, como

a

(ω

) ≤ ϕ

·

n

X

i=0

a

(ω

), t = 0, . . . , T − 1, (3.10)

onde ϕ

representa o percentual m´ aximo de aloca¸c˜ ao do i-´ esimo ativo na carteira do fundo.

A formula¸c˜ ao para as restri¸c˜ oes de aloca¸c˜ ao apresentada em (3.10) ´ e v´ alida desde que todos os ativos sejam de natureza diferente. Caso alguns dos ativos perten¸cam a uma mesma classe de ativos, o valor total alocado nesta classe deve respeitar os limites expressos no parˆ ametro ϕ e deve ser escrita uma restri¸c˜ ao para cada classe de ativo e n˜ ao uma para cada ativo.

As restri¸c˜ oes de aloca¸c˜ ao est˜ ao na forma de desigualdades. Uma poss´ıvel aborda- gem seria escrevˆ e-las na forma de restri¸c˜ oes do tipo igualdade fazendo uso, para isso, de vari´ aveis de folga. Esta abordagem n˜ ao ser´ a adotada neste trabalho, de modo a limitar o n´ umero de vari´ aveis envolvidas.

3.1.4 Restri¸ c˜ oes de liquidez

O ´ ultimo tipo de restri¸c˜ ao a que est´ a submetida a gest˜ ao do fundo ´ e a chamada restri¸c˜ ao de liquidez, impondo que a compra c

(ω

) e venda v

(ω

) do i-´ esimo ativo no instante t n˜ ao superem certos volumes financeiros impostos pela liquidez do mercado em

1

No Brasil vigora a resolu¸ c˜ ao CMN n

3.456, de 1

de junho de 2007 que disp˜ oe sobre as diretrizes de

aplica¸ c˜ ao dos recursos garantidores dos planos de benef´ıcios administrados pelas entidades fechadas de

previdˆ encia complementar.

que este ativo ´ e negociado. Essas restri¸c˜ oes podem ser escritas, para o instante t, como c

(ω

) ≤ γ

(ω

), t = 0, . . . , T − 1, (3.11) e

v

(ω

) ≤ β

(ω

), t = 0, . . . , T − 1, (3.12) onde γ

(ω

) representa o volume financeiro m´ aximo para a compra e β

(ω

) o volume financeiro m´ aximo para a venda do i-´ esimo ativo no instante t.

3.2 Fun¸ c˜ ao objetivo

A tomada de decis˜ ao de investimento em um fundo de pens˜ ao tem como premissa garantir que, ao final do horizonte de planejamento, t = T , o fundo tenha recursos dis- pon´ıveis para honrar suas obriga¸c˜ oes expressas na reserva matem´ atica Ψ(ω

). Assim, a sa´ ude financeira do fundo, em t = T , pode ser avaliada comparando-se o total dos ati- vos dispon´ıveis V (ω

) com a reserva matem´ atica Ψ(ω

) por meio do chamado resultado t´ ecnico do fundo RT (ω

) dado por

RT (ω

) = V (ω

) − Ψ(ω

) =

n

X

i=0

a

(ω

) − Ψ(ω

).

Nesse sentido, o objetivo da gest˜ ao do fundo deve ser maximizar o valor esperado de RT (ω

), tomado sobre todos os poss´ıveis cen´ arios e considerando-se um dado n´ıvel de risco a que o fundo esteja disposto a incorrer, de modo que a probabilidade de ocorrˆ encia de RT (ω

) < 0, chamada probabilidade de insolvˆ encia, seja minimizada.

Al´ em disso, o problema da tomada de decis˜ ao de investimento em um fundo de pens˜ ao deve ser escrito em termos de uma fun¸c˜ ao objetivo (utilidade) cˆ oncava, de modo a refletir a avers˜ ao ao risco t´ıpica dessa classe de fundos.

Seguindo a abordagem proposta por Vallad˜ ao (2008), pode-se adotar uma fun¸c˜ ao objetivo linear por partes, que pode ser expressa como

z(ω) =







f

· RT (ω

), se RT (ω

) ≥ 0

−f

· RT (ω

), caso contr´ ario,

em que f

e f

representam, respectivamente, uma bonifica¸c˜ ao no caso de total de

ativos maior que o requisito de capital e uma penaliza¸c˜ ao no caso contr´ ario.

A raz˜ ao entre os parˆ ametros f

e f

pode ser entendida como uma medida de avers˜ ao ao risco. Quanto maior o valor dessa raz˜ ao, mais conservadora ser´ a a gest˜ ao adotada para o fundo e quanto menor o valor dessa raz˜ ao, mais arrojada ser´ a a gest˜ ao.

Uma outra maneira de interpretar os parˆ ametros f

e f

´ e pens´ a-los, respectiva- mente, como constantes proporcionais ao custo de capta¸c˜ ao e ao retorno de uma aplica¸c˜ ao financeira em t = T . Caso o fundo, ao final do horizonte de planejamento, n˜ ao tenha pa- trimˆ onio suficiente para honrar suas obriga¸c˜ oes, ter´ a que captar recursos a um custo proporcional a f

· RT (ω

) e no caso em que tiver recursos em excesso, poder´ a aplic´ a-los tendo um ganho financeiro proporcional a f

· RT (ω

).

Visando escrever a fun¸c˜ ao objetivo z(ω) como uma fun¸c˜ ao linear, conv´ em definir vari´ aveis auxiliares u(ω

) e w(ω

), tais que

u(ω

) =







RT (ω

), se RT (ω

) ≥ 0 0, caso contr´ ario e

w(ω

) =







−RT (ω

), se RT (ω

) < 0 0, caso contr´ ario.

e, portanto,

RT (ω

) = u(ω

) − w(ω

)

e

X

i=0

a

(ω

) − Ψ(ω

) = u(ω

) − w(ω

). (3.13) Como em t = T ocorre apenas a verifica¸c˜ ao da sa´ ude financeira do fundo, as restri¸c˜ oes de aloca¸c˜ ao e liquidez n˜ ao s˜ ao aplicadas e a equa¸c˜ ao (3.13) pode ser utilizada no lugar das restri¸c˜ oes de balan¸co e invent´ ario. Al´ em disso, fazendo uso das vari´ aveis auxiliares apresentadas, a fun¸c˜ ao objetivo z(ω) pode ser escrita como uma fun¸c˜ ao linear dada por

z(ω) = {f

· u(ω

) − f

· w(ω

)}. (3.14)

A fun¸c˜ ao objetivo z(ω) definida em (3.14) tem como m´ eritos ser extremamente simples

e incorporar em sua formula¸c˜ ao o fato mais importante em rela¸c˜ ao a um fundo de pens˜ ao

que ´ e sua solvˆ encia.

Vale lembrar que a modelagem apresentada considera que o objetivo da gest˜ ao ´ e alocar a carteira do fundo de modo a maximizar o valor esperado de z(ω) sobre todos os poss´ıveis cen´ arios e que o gestor tem poder de decis˜ ao sobre a composi¸c˜ ao da carteira do fundo, mas n˜ ao tem controle do planejamento atuarial, que define o fluxo de caixa do passivo e a reserva matem´ atica do fundo.

Numa modelagem alternativa, o problema de otimiza¸c˜ ao poderia incorporar tamb´ em objetivos referentes ao passivo do fundo. A abordagem proposta por Drijver (2005), por exemplo, considera na fun¸c˜ ao objetivo do problema termos referentes ao valor total das contribui¸c˜ oes, taxa de varia¸c˜ ao das contribui¸c˜ oes e contribui¸c˜ oes extraordin´ arias.

Conforme Kouwenberg; Zenios (2006), a cria¸c˜ ao de uma fun¸c˜ ao objetivo para in- vestidores como fundos de pens˜ ao n˜ ao ´ e uma tarefa trivial. Neste sentido, considerar negocia¸c˜ oes de curto prazo que sejam coerentes com os objetivos de longo prazo do fundo e as incertezas inerentes a longos per´ıodos de tempo s˜ ao as maiores dificuldades. Al´ em disso, ´ e importante conciliar a escolha de uma fun¸c˜ ao objetivo com as teorias aceitas sobre as preferˆ encias dos investidores e fun¸c˜ oes utilidade.

3.3 Problema de ALM para um fundo de pens˜ ao

3.3.1 Defini¸ c˜ ao do problema

As diversas restri¸c˜ oes aplicadas ` a gest˜ ao de um fundo de pens˜ ao - restri¸c˜ oes de balan¸co, invent´ ario, aloca¸c˜ ao e liquidez - podem ser escritas de maneira compacta por meio de sua representa¸c˜ ao matricial.

Seja o vetor coluna x

(ω

), tal que, para t = 0, . . . , T − 1,

x

(ω

) =







 a(ω

) c(ω

) v(ω

)







 ,

e para t = T ,

x

(ω

) =





u(ω

) w(ω

)



 ,

onde

a(ω

) =









a

(ω

) .. . a

(ω

)









, c(ω

) =









c

(ω

) .. . c

(ω

)









e v(ω

) =









v

(ω

) .. . v

(ω

)







 .

Seja ainda o vetor coluna f dos coeficientes da fun¸c˜ ao objetivo, dado por

f =



 f

−f





e que

f

= h

f

−f

i

denote o transposto de f.

Como as restri¸c˜ oes do problema de otimiza¸c˜ ao s˜ ao todas lineares e dependentes, no m´ aximo, das vari´ aveis referentes ao instante anterior, podem ser escritas como

W

· x

(ω

) = h

, (3.15)

T (ω

) · x

(ω

) + W (ω

) · x

(ω

) = h(ω

), t = 1, . . . , T, (3.16) W

(ω

) · x

(ω

) ≤ h

(ω

), t = 0, . . . , T − 1, (3.17) e as restri¸c˜ oes de sinal como

x

(ω

) ≥ 0, x

(ω

) ≥ 0, . . . , x

(ω

) ≥ 0, (3.18)

onde W

e h

s˜ ao definidos de modo que (3.15) seja equivalente a um sistema de equa¸c˜ oes

composto por (3.4) e (3.7), T (ω

), W (ω

) e h(ω

) s˜ ao definidos de modo que (3.16) seja

equivalente, para t = 1, . . . , T − 1, a (3.5) e (3.8) e para t = T seja equivalente a (3.13)

e W

(ω

) e h

(ω

) s˜ ao definidos de modo que (3.17) seja equivalente a um sistema de

inequa¸c˜ oes formado por (3.10), (3.11) e (3.12), sendo que as desigualdades em (3.17)

devem ser entendidas componente a componente. Desse modo, as equa¸c˜ oes (3.15) e (3.16)

denotam as restri¸c˜ oes de balan¸co e invent´ ario e a equa¸c˜ ao (3.17) representa as restri¸c˜ oes

de aloca¸c˜ ao e liquidez. As restri¸c˜ oes (3.18) s˜ ao chamadas restri¸c˜ oes de sinal e tamb´ em

devem ser tomadas componente a componente.