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LISTA 2 DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
Prof. Rodrigo Neves
1) Dada a tabela a seguir:
a) Obter a fórmula do Pol. Interp. de Newton-Gregory; b) Determinar o valor aproximado de f (5).
2) Determine o polinômio P(x) que assume os valores y0 =1, y1 = 4, y2 =15, y3 = 40, para os
valores x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, e calcular o valor numérico de P(2,25).
3) Usando a forma de Interpolação de Lagrange, determine o valor interpolado de x = 2, utili-zando os pares da tabela abaixo e seguindo as regras,
xn -3 0 1 4 6
yn 5 1 -4 1 9
a) Determine L0, L1, L2, L3, L4, sem desenvolver os produtos.
b)Calcule cada um deles jogando x = 2 e simplificando o resultado numérico
c) Jogue na forma da interpolação de Lagrange y = y0.L0 + y1.L1 + y2.L2 + y3.L3 + y4.L4
4) Dada a tabela:
x 0 2 4 6 8 10
f (x) -5 -11 191 1513 5635 15005
Determine, usando os pontos que achar necessários, P(x) e calcule P(5) utilizando: a) A fórmula de Lagrange.
b) Obter a fórmula do Pol. Interp. de Newton-Gregory; c) A fórmula de do Polinomio interpolador
5) Dada a tabela:
x 1 4 6 7 9 15
f (x) -39 -1704 -4664 -5601 1 325477
Determine:
a) A expressão do polinômio interpolador de Lagrange. b) Obter a fórmula do Pol. Interp. de Newton-Gregory; c) Detemine o valor de P(5) para ambos os polinômios .
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6) Calcular o seno de 0,390736 pelo método de Gregory-Newton sendo dados:
x 0,390 0,391 0,392 0,393 0,394
sen x 0,380188 0,381113 0,382037 0,382961 0,383885
7) Dada a tabela determine, usando uma aritmética de ponto flutuante com 6 dígitos e usando o método de Lagrange para obter o polinômio interpolador, calcule x, tal que f(x) = -2.
8) A seguinte tabela informa o número de carros que passam por um determinado pedágio em um determinado dia:
Horário 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 Número (em mil) 2.69 1.64 1.09 1.04 1.49 2.44
a) Faça um gráfico de horário vs. número de carros para verificar qual a tendência da curva.
b) Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10, usando a forma de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador p(x) que estima o número de carros em função do tempo. Use uma reta como função interpoladora.
c) Agora, faça a mesma estimativa, mas utilizando uma parábola como polinômio interpolador.
9) Na fabricação de determinadas cerâmicas é muito importante saber as condições de temperatura em que o produto foi assado no forno. Como não é possível medir a temperatura do forno a todo instante, ela é medida em intervalos periódicos de tempo e esses dados são
interpolados para o instante em que cada peça foi queimada a fim de se conhecer a temperatura
do forno nesse instante. Em um dia de funcionamento do forno, os seguintes dados foram coletados:
Horário 7:00 10:00 13:00 16:00 19:00 21:00 Temperatura (102oC) 2.32 2.51 2.63 2.55 2.41 2.28
a) Construa a tabela de diferenças divididas para esses pontos.
b) Estime a temperatura do forno ás 14:30 usando a forma de Newton para apenas dois pontos.
c) Faça essa estimativa novamente, desta vez usando 3 pontos.
3
x 2 4 6 8
f (x) 0,6931 1,3863 1,7918 2,0794
11) Dada a tabela
Determine o polinômio de grau 3, g3(x), que interpola a tabela pelo método
a) Resolução de sistema; b) De Lagrange
c) De Newton-Gregory.
12) Considere a tabela:
Determine o polinômio de grau 2 que interpola a função f(x), usando o método de Lagrange e o de interpolação de polinômios.
a) Considere inicialmente x0 =2, faça os cálculos.
b)Considere agora x0 = 2,5, refaça os cálculos.
c) Qual é o erro cometido em cada caso?
13) Use uma calculadora para determinar f(1,3), f(1,4), f(1,5), f(1,6), sendo f(x) = ex, usando uma
aritmética de ponto flutuante com 5 dígitos.
a) Determine um polinômio de 3º grau que interpola f(x). b) calcule, usando o polinômio, f(1,46).
c) calcule, usando uma calculadora, f(1,46). d) Qual foi o erro absoluto cometido? e) Qual foi o erro relativo cometido?
14) Consulte uma tabela das funções trigonométrica ou use a calculadora e, usando uma aritmética de ponto flutuante com 3 dígitos, construa tabela x, f(x) = sen x para x = 5º, x = 10º, x = 15º, x = 20º.
Determine, pelos métodos
a) resolução de sistema, polinômio de grau 4 b) de Newton-Gregory, polinômio de grau 3 c) de Lagrange, polinômio de grau 3
