Tabela geral de derivadas Resumo informal tabelado para os principais teoremas e regras gerais de diferenciação

(1)

8/6/2010 – CDI 1 – Cálculo diferencial e integral

Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. Omitimos as notas históricas.

Tabela geral de derivadas

Resumo informal tabelado para os principais teoremas e regras gerais de diferenciação

y = f x

^` ^a

, y . = f .

^`

x

^a

; (t, u, v) funções deriváveis de x ; (a, b, c) constantes ; e ≈ 2,7182 , ln u = log

_e

u

#

y y'

1

c 0

2

x 1

3

a.u a.u'

4

u + v u' + v'

5

u.v u'.v + u.v'

6

u

v

ffff u. A v @ u A v .

v

²

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

7

u

^a

, a ≠ 0 a A u

^a^@¹

A u .

8

a

^u

, 0 < a ≠ 1 _u _{. A} _a

^u

_A _{ln a}

9

e

^u

e

^u

A u .

10

log

_a

u u .

u

fffffffffffff A log

_a

e

11

ln u u .

u

fffffffffffff

12

t

^u

, t > 0 u A t

^u^@¹

A t . + u . A t

^u

A ln t

^#

y y'

13

sen u cos u . u'

²⁵

senh u cosh u . u'

14

cos u – sen u . u'

²⁶

cosh u senh u . u'

15

tg u sec

²

u A u .

²⁷

^{tgh u} sech

²

u A u .

16

cotg u @ cosec

²

u A u .

²⁸

^{cotgh u} @ cosech

²

u A u .

17

sec v sec v . tg v . v'

²⁹

sech v – sech v . tgh v . v'

18

cosec v – cosec v . cotg v . v'

³⁰

cosech v – cosech v . cotgh v . v'

19

arc sen u

u . 1 @ u

²

qfffffffffffffffffffffffffffwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

₃₁

arg senh u

u . 1 + u

²

qfffffffffffffffffffffffffffwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

20

arc cos u @ u .

1 @ u

²

32

arg cosh u

u . u

²

@ 1

, u > 1

21

arc tg u u.

1 + u

²

ffffffffffffffffff ₃₃

arg tgh u u.

1 @ u

²

fffffffffffffffffff

, | u | < 1

22

arc cotg u @ u .

1 + u

²

ffffffffffffffffff ₃₄

arg cotgh u u . 1 @ u

²

fffffffffffffffffff

, | u | > 1

23

arc sec v , | v | ≥ 1

v .

L

v

L M

M^q

v

²

@ 1

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

, | v | > 1

₃₅

arg sech v

@ v . v

^q

1 @ v

²

fffffffffffffffffffffffffffffffff

, 0 < v < 1

24

arc cosec v , | v | ≥ 1 ^@ v .

L

v

L M

M^q

v

²

@ 1

, | v | > 1

₃₆

arg cosech v @ v .

| v |

^q

1 + v

²

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

, v ≠ 0

* Tabela de derivadas elementares considerando a regra da cadeia.

(2)

Legenda: D = Definição, P = Proposição ou Propriedade, F = Fundamental / Elementar, T = Teórico / Teorema, R = Regra

Leg. Notação Descrição e demonstração se possível.

!!!

*

Um dos problemas ao se estudar a derivada, é que todo o estudo se fundamenta em conceitos de limites, então seu conhecimento é necessário. Recomendamos também uma breve revisão, utilize a Tabela de Limites e quando houver duvidas quanto aos símbolos use o arquivo Notação Matemática. Feito isso, novos símbolos serão introduzidos, fique atento. Faremos o máximo possível para alerta-lo das diferenças entre os símbolos que parecem ter o mesmo significado, porém ficam só de aparência e na verdade são completamente diferentes.

Recomendamos utilizar esta tabela acompanhada de um livro para auxilia-lo nos estudos.

F0

m = tg α = y

₂

@ y

₁

x

₂

@ x

₁

fffffffffffffffff = ∆ y

∆ x

fffffff

Inclinação da reta secante, definição:

Sejam A x ^`

₁

,y

₁

^a e B x ^`

₂

,y

₂

^a dois pontos quaisquer distindos no plano cartesiano, então o segmento AB defini uma reta, tal que a inclinação da reta ( m ) relativa ao eixo x é dado pelo quociente ∆y

sobre ∆ x .

∆y = y

₂

@ y

₁

∆ x = x

₂

@ x

₁

* Se AB

ffffffffff

for paralelo ao eixo y , então não existe m .

Em Diferenciais, entraremos numa nova definição.

F1

lim

∆xQ0

f x

^`

+ ∆x

^a

@ f x

^{` a}

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

∆x

Derivada, definição:

Ainda em F0, admita que os dois pontos A e B fazem parte de uma função f (uma curva por exemplo), então se fizermos B se aproximar a A de maneira que a inclinação da reta AB tenda a um valor limite constante, chamamos este valor de inclinação da reta tangente no ponto P (

m

p). Assim defini-se a derivada quando este limite existe e denota-se por f’ . Portanto geometricamente, a derivada é a inclinação da reta tangente à curva no ponto P.

Demonstração:

m

x₁

= lim

BQA

∆ y

∆x ^fffffff =

_x

lim

2Qx₁

y

₂

@ y

₁

x

₂

@ x

₁

fffffffffffffffff = f x ^`

₂

^a @ f x ^`

₁

^a x

₂

@ x

₁

fffffffffffffffffffffffffffffff

mas x

₂

= x

₁

+ ∆ x e se x

₂

Q x

₁

, ∆x Q 0

então m

x₁

= lim

∆xQ0

f x ^b

₁

+ ∆x ^c @ f x ^`

₁

^a

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ∆x

O processo para se encontrar

m

p (a derivada) é chamado derivação ou diferenciação.

Logo a fórmula à esquerda é a generalização para um ponto qualquer, de uma função qualquer desde que satisfaça os critérios dados.

f x^` + ∆x^a@f x^{` a}

∆x

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff é por homenagem chamado de Quociente de Newton.

(3)

*

Se 8 x 2 ao D f 9 f.

, então dizemos que f é derivável .

*

Se m

p // ao eixo y então

9

+

f .

^.

*

Se m

p // ao eixo x então f’ = 0

# se f é constante f . = 0

.

F2

dy

dx

fffffff = f. ^{` a} x

Notação: à esquerda estão os síbolos usados para representar (F1) a derivada de uma função. Também podemos encontrar notações extras dependendo do livro, as mais comuns são:

d dx

fffffff

Operador de derivação: Isto não é um quociente e deve ser visto como um todo. Indica que o que estiver a sua direita deve ser diferenciado em relação a x ( x uma variável qualquer).

dy dx

fffffff

Lê-se: A derivada de y em relação à x . Também fala-se dy dx como se escreve.

f .

^{` a}

x

Lê-se: f linha de x . Veja que

f . ^{` a} x ≠ f x ^{` a}

, Mas

f . ^{` a} x = y .

D

x

f x

^{` a} Lê-se: A derivada de f de x “ f (x) ” em relação a x .

D

x

y

Lê-se: A derivada de y em relação a x .

* Todas essas notações podem ser aplicadas as regras da tabela de derivadas elementares.

F3

^` α ^a y @ y

₁

= m x ^` @ x

₁

^a

Com base em F0 e F1, definimos após a derivada, a equação da reta tangente.

A fórmula pode variar:

sabemos que: y

₁

= f x

^` ₁^a

então:

b c

β

y @ f x

^` ₁^a

= m x

^`

@ x

₁^a

α e β são todas equações da reta tangente.

F4

r // s

Condição de paralelismo.

Duas retas são paralelas quando seus coeficientes angulares (as derivadas) são iguais.

r // s

^ m

r

= m

s.

F5

r ? s

Condição de perpendicularismo ou condição de ortogonalidade.

m

r

A m

s

=@ 1

Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares for igual à um negativo:

r ? s ^ m

r

A m

s

= @ 1

Os exercícios costumam dizer “dada uma reta r normal a s...”, ou vice e versa. Isto nos diz que as retas são perpendiculares entre si (formando um ângulo de 90º).

*O ângulo de 90º é conhecido como o ângulo reto.

T1 * A equação da reta normal à curva no ponto.

Seja f (x) uma curva continua e derivável. Logo esta tem n retas tangentes, e portanto n retas normais.

(4)

Num ponto de uma curva, pode-se determinar uma reta normal a esta, desde que determine-se préviamente a derivada neste ponto.

T2 * Continuidade da função.

Uma função é continua num ponto

x

₁ se atender simultaneamente a três condições, e são elas:

1 ^a 9 f x ^`

₁

^a 2 ^a 9

_x

lim

Qx₁

f x ^`

₁

^a 3 ^a

_x

lim

Qx₁

f x ^`

₁

^a = f x ^`

₁

^a

T3 * Continuidade de funções deriváveis.

A continuidade de uma função num ponto não implica na existência da derivada dessa função

nesse mesmo ponto.

Porém, toda função derivavel num ponto é continua nesse mesmo ponto.

* A demonstração foi omitida.

T4

Derivadas Laterais

f

_@^,

e f

₊^,

Seja a função f definida num ponto a então:

f

_@^,

^{` a} a = lim

∆xQa^@

f a ^` + ∆x ^a @ f a ^{` a}

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ∆x

Isto é, a derivada à esquerda de f, é o limite para quando ∆x tende à a por valores menores que a.

f

₊^,

^{` a} a = lim

∆xQa⁺

f a ^` + ∆x ^a @ f a ^{` a}

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ∆x

Isto é, a deriva à direita de f, é o limite para quando ∆x tende à a por valores maiores que a.

Se tiver dificuldades, estude primeiro limites laterais.

T4*

Derivadas Laterais, conclusão:

f

_@^,

= f

₊^,

Conclui-se a partir de T4 que a derivada de uma função num ponto a, existe se, e somente se as derivadas laterais existirem e forem iguais, isto é:

f

^,

9 ^ ^f

₊^,

= f

_@^,

Quando as derivadas laterais existirem mas forem diferentes, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função. Portanto a derivada de f neste caso não existe.

f

^,

9 + se f

₊^,

≠ f

_@^,

T5

A derivada da função inversa

f

^@¹

b c

. = 1 f .

fffff

Lembre-se:

f

^@¹

≠ 1 f

fffff

f

^@¹ é a notação para a inversa da função f, e não o inverso do símbolo de função f.

Se tiver dúvidas, estude a determinação da inversa de uma função (funções inversas).

Erro comum entre alunos: Se por um instante você acreditar que f^@¹=1 f

ffffff e por

isso ^bf^@¹^c. = 1 f.

ffffffff , então você não entendeu nada.

Notações, indicação da derivada da inversa:

(5)

f

^@¹

b c

. , ^b y

^@¹

^c . , d dx

fffffff ^b f

^@¹

^{` a} x ^c

I) Seja f uma função definida (contínua) num intervalo (a, b) ;

II) Suponhamos que f admita inversa ^b

f

^@¹^c . Então por (I)

f

^@¹^{também é}

contínua.

III) Se a derivada de f existe e é diferente de zero para qualquer x pertencente ao intervalo dado, então a derivada da inversa é igual ao inverso da derivada de f .

f

^@¹

b c

. = 1 f.

fffff

se, e somente se, I, II e III forem satisfeistas.

Em linguagem matemática podemos resumir tudo isso como:

Se f x ^{` a} 9 8 x 2 ^b a, b ^c e 9 f . ^{` a} x | f . ^{` a} x ≠ 0 8 x 2 ^b a, b ^c Então 9 ^b f

^@¹

^c . = 1

f.

fffff = ^b f. ^c

^@

1

Se pudessemos resumir mais ainda (mas se fazendo valer I, II e III), dizemos que:

A derivada da inversa é igual ao inverso da derivada.

* Este teorema é importante para a definição das derivadas de funções trigonométricas inversas, por isso deve ser compreendido.

* Este teorema foi resumido, no caso de obscuridade procure a demonstração em um dos livros citados na ultima página.

R# Regras de derivação

Agora já podemos seguir para as regras de derivação, e serão enunciadas a baixo, onde # indica a ordem na tabela geral de derivadas elementares que pode ser vista na pg. 01. As regras de derivação existem com o único objetivo de tornar o método de diferenciação mais eficiente, visto que o uso da definição é extenso e desnecessário para os próximos casos.

R0 Derivada da função composta:

A regra da cadeia

Se f(x) e g(x) são funções deriváveis, e f(g(x)) = fog(x) está definida, então a derivada de fog(x) é dada por:

.

b

fog

c

.

^{` a}

x = f .

^b

g x

^{` a}^c

A g .

^{` a}

x

.

Para esta regra utiliza-se a notação definida em F2:

dy dx

ffffffff = dy du

ffffffff A du dx

ffffffff

Exemplo: Derive a função

y = ln x

^b ²

+ 1

^c :

Solução: Veja primeiro a R11, a derivada da função logaritmo natural.

.

Fazendo u=x²+1 , temos y=ln u^{` a} , então:

y. =dy du

ffffffffff=1 u

fffff , u. =du dx ffffffffff=2x

Aplicando a regra dy dx

fffffffff=dy du

ffffffffffAdu dx fffffffffftemos:

dy dx

fffffffff=1 u

fffffA2x=2x u

ffffffff, como u=x²+1 , então:

dy dx

fffffffff= 2x x²+1

fffffffffffffffffff

(6)

* Não precisamos dar nomes as funções como fizemos, a importância da regra é quanto a cadeia, ou seja, quando tratamos de funções compostas: a derivação começa com a aplicação das regras externamente em direção as funções internas, e por isso o nome. A demonstração foi omitida.

R1 Derivada de uma constante

A derivada da função constante é zero. Por dedução: Isto por que a a reta tangente à curva é paralela ao eixo x, logo não existe inclinação, e se a derivada é a inclinação, então não existe a derivada.

R2 Derivada de x

A derivada de uma variavel independente qualquer com expoente um, é um. Ex: se x, y, z são variaveis independentes então suas derivadas são um, respectivamente.

A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f(x) = x .

R3 Derivada do produto por uma constante

A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f(x) = c.x . Por aplicação de propriedade de limites, enunciamos:

A derivada de um produto de f(x) por uma constante, é a constante vezes a derivada de f(x).

R4 Derivada da soma A derivada da soma é a soma das derivadas.

R5 Derivada do produto DEB. Demonstração em breve.

R6 Derivada do quociente DEB.

R7 Derivada da função exponecial:

Expoente constante ^DEB.

R8 Derivada da função exponencial:

Base constante, expoente função ^DEB.

R9 Derivada da função exponencial:

Base número e , expoente função ^DEB.

R10 Derivada da função logaritmica:

base a ^DEB.

R11 Derivada da função logaritmica:

base e

Derivada da função logaritmo natural ou logaritmo de base e, ou também logaritmo neperiano.

DEB.

R12 Derivada da função exponecial

composta ^DEB.

R13 Derivada da função seno A regra 13 diz que para y=sen u [ y. =u. Acos u levando em consideração R0.

Logo a prova para a derivada de

y = sen x

é dada por:

(7)

y . = lim

∆xQ0

f x

^`

+ ∆x

^a

@ f x

^{` a}

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ∆x = sin x

^`

+ ∆x

^a

@ sin x

^{` a}

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ∆x mas: sin x

^`

+ ∆x

^a

= sin x A cos∆x + sin ∆x A cos x

y. = lim

∆xQ0

sin x A cos ∆ x + sin ∆ x A cos x @ sin x

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ∆x

y. = lim

∆xQ0

sin x cos

^`

∆ x @ 1

^a

A + sin ∆ x A cos x

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

∆x

` a

S

y . = lim

∆xQ0

sin x A lim

∆xQ0

cos∆x @ 1

fffffffffffffffffffffffffffffff

∆x + lim

∆xQ0

sin ∆x

fffffffffffffffff

∆x A lim

∆xQ0

cos x y . = sin x A 0 + 1 A cos

# y . = cos x

(S) Simplificação: Para este ponto em diante utilizou-se as propriedades de limites junto com a aplicação de limites fundamentais.

R14 ...

R18

Derivadas de funções

trigonométricas (X) As demonstrações foram omitidas, siga as regras na tabela da pg. 01 .

R19 Derivada da função arco seno

A função f(x) = arc sen x é definida no intervalo D: [-1 , 1] em IM: [-π/2 , π/2] . Então y = f(x) é derivavel em (-1 , 1) e

y . = 1

1 @ x

²

qfffffffffffffffffffffffffffwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww_.

A demonstração é trivial, por aplicação do teorema da inversa T5:

Se y = arcsin x então:

α

` a

x = sin y , procuramos pela derivada da inversa, então por T5:

x

^@¹

b c

. = 1 sin y

b c

.

ffffffffffffffffffffff

[

^{b c}

β

^b

x

^@¹^c

. = 1 cos y

fffffffffffffff

sin

²

y + cos

²

y = 1

cos

²

y = 1 @ sin

²

y [

^{` a}

γ cos y =

^q

1 @ sin

²

y

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

por

^`

α

^a

temos: x = sin y [ x

²

= sin

²

y substituindo em

^{` a}

γ :

cos y =

^q

1 @ x

²

substituindo em

^{b c}

β : x

^@¹

b c

. = y. = 1 1 @ x

²

*

Neste caso x

^@¹

≠ 1 x

ffff , x

^@¹

e está indicando a inversa da função A

R18 ...

R24

Derivadas de funções trigonométricas inversas

A determinação das derivadas de funções trigonométricas inversas, levam em conta T5, o teorema da derivada da função inversa.

(X)

(8)

R25 ...

R30

Derivadas de funções hiperbólicas ^(X)

As derivadas das funções hiperbólicas, são as derivadas de suas respectivas funções exponenciais.

R31 ...

R36

Derivada de funções hiperbólicas inversas

(X)

As derivadas de funções hiperbólicas inversas, são as derivadas dos agumentos das funções hiperbólicas.

T6

Derivadas Sucessivas ou Derivadas de ordem superior

f . , f . , f / …

Seja f uma função derivável, e se a própria derivada de f for derivável, então chamamos esta de derivada segunda. Se a derivada segunda for derivával, esta se chamará derivada terceira, e assim sucessivamente.

Notações extra:

y . = f .

^{` a}

x [ dy dx

ffffffff

= d dx

ffffffff^B

f x

^{` a}^C

y . = f .

^{` a}

x [ d

²

y dx

²

ffffffffffff

= d dx

ffffffff

d dx

ffffffff^B

f x

^{` a}^C

V W

= d

²

dx

²

fffffffffff^B

f x

^{` a}^C

y / = f /

^{` a}

x [ d

³

y dx

³

ffffffffffff

= d dx

ffffffff

d

²

dx

²

fffffffffff^B

f x

^{` a}^C

X

\ Z

Y ] [

= d

³

dx

³

fffffffffff^B

f x

^{` a}^C

(

Em geral isto pode ser resumido como:

y

^`ⁿ^a

= f

^`ⁿ^a

^{` a} x [ d

ⁿ

y dx

ⁿ

ffffffffff = d

ⁿ

dx

ⁿ

fffffffff ^B f x ^{` a} ^C

Lê-se: A derivada n-ésima de y = a derivada n-ésima de f (x).

Por razões de interpretação, para n > III , utiliza-se números (N*) dentro de parênteses:

f . , f . , f / , f

⁴

` a

, f

⁵

` a

, f

⁶

` a

, f

⁷

` a

, f

ⁿ

` a

…

T7

A derivada num ponto

ou

A esquerda esta a notação para a derivada de uma função num ponto, a partir da notação de Leibnitz. Neste caso k sendo uma constante, que seria substituida na variavel x da função y já derivada. Assim obtendo o valor da derivada neste ponto.

Esta notação é uma variação da notação convencional, isto é:

= y . ^{` a} x = f . ^{` a} x

para x = k

.

Isto será muito aplicado na derivada na forma paramétrica, na forma implicita e

principalmente na taxa de variação e taxas relacionadas, com o intuito de aliviar a notação.

T8 Acrécimos

Acrécimos ou Incremento:

Seja f (x) uma função, então sempre podemos considerar uma variação de x . Se fizermos x variar de x₁ até x₂ , definimos o acrécimo de x e denotamos por

∆x.

∆x = x

₂

@ x

₁

A variação de x origina uma correspondente variação de y , denotada

por:

(9)

∆y = y

₂

@ y

₁

= f x

^` ₂^a

@ f x

^` ₁^a

Mas x

₂

= x

₁

+ ∆x

Então, substituindo em ∆ y:

∆ y = f x

^b ₁

+ ∆ x

^c

@ f x

^` ₁^a

T9 Diferencial

Com base em T8, entraremos na definição de diferencial.

Seja y = f (x) uma função derivável, e ∆x um acrécimo de x, então:

I) A diferencial de x (variável independente), denota-se por:

dx = ∆ x

II) Já a diferencial de y é dependente, é só existe devido a derivada, denota-se por:

dy = f .

^{` a}

x A ∆x

ou

dy = f .

^{` a}

x A dx

III) Então com base em F1 e F2, redefimos a derivada como o quociente entre duas diferenciais:

dy

∆x ^fffffffff = dy dx

ffffffff = f .

^{` a}

x

*Importante: o significado geométricos.

O acrécimo

dx = ∆x

, ocorre no eixo das abcissas (eixo x).

dy ≠ ∆ y mas dy ≈ ∆ y

se ∆x for considerado um valor pequeno.

O acrécimo

∆ y

, ocorre no eixo das ordenadas (eixo y);

Mas o acrécimo dy é um produto, e ocorre devido a variação da reta tangente (isto é de sua inclinação).

∆ y

∆ x

fffffffff

não é a derivada em si (

∆ y

∆ x

fffffffff ≠ dy dx

ffffffff

). Mas pode ser interpretado

geometricamente como a inclinação da reta secante definida pelos dois pontos.

E por último:

dy dx

ffffffff = lim

∆xQ0

∆x ∆y ^fffffffff = lim

∆xQ0

f x

^b ₁

+ ∆x

^c

@ f x

^` ₁^a

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ∆x

Portanto a derivada é o limite do quociente ∆y / ∆x , quando ∆x tende a zero.

T10 Diferenciais sucessivas ou Diferencial de ordem superior

Com base em T9 (II), seja

y = f x

^{` a} temos que

dy = f .

^{` a}

x A dx

, então se a diferencial da função y for diferenciavel, temos

d

²

y = f .

^{` a}

x A dx

² e esta se chamará a diferencial segunda, se novamente for diferenciavel teremos a diferencial terceira dada por

d

³

y = f /

^{` a}

x A dx

³ , e assim sucessivamente. A diferencial n-ésima de y é dada por:

d

ⁿ

y = f

ⁿ

` a

x A dx

ⁿ .

.

Veja que isso esta baseado na manipulação algébrica da derivada de ordem superior, isto é, para a função

y = f x

^{` a} , seja o a ordem da operação, temos:

.

o As derivadas sucessivas: As diferenciais sucessivas:

1

dy

dx

ffffffff = f .

^{` a}

x dy = f .

^{` a}

x A dx

(10)

2

d

²

y dx

²

ffffffffffff = f .

^{` a}

x d

²

y = f .

^{` a}

x A dx

²

3

d

³

y dx

³

ffffffffffff = f /

^{` a}

x d

³

y = f /

^{` a}

x A dx

³

n

d

ⁿ

y dx

ⁿ

fffffffffffff = f

ⁿ

` a

x

d

ⁿ

y = f

ⁿ

` a

x A dx

ⁿ

T11

Aproximação Linear Local f x^b ₁+ ∆x^c≈f.^`x₁^aA∆x+f x^` ₁^a

A partir de F3, definimos a aproximação linear local. Intuitivamente esta é uma ferramenta que nos dará a partir de dados conhecidos, valores próximos a estes. Para uso por exemplo na resolução de problemas como: q³wwwwwwwwwwwwwwww65,5wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

, tan 45º4.^` 30.^a^{, etc.}

Partindo de F3 (a equação da reta tangente), saímos de α e seguimos:

α

` a

y @ y

₁

= m x

^`

@ x

₁^a

b c

β

y @ f x

^` ₁^a

= m x

^`

@ x

₁^a

mas: x @ x

₁

= ∆x , y = f x

^{` a}

e m = f .

^`

x

₁^a

então:

^{` a}

γ f x

^{` a}

@ f x

^` ₁^a

= f .

^`

x

₁^a

A ∆x

logo:

^{` a}

δ f x

^{` a}

= f .

^`

x

₁^a

A ∆x + f x

^` ₁^a

novamente: x @ x

₁

= ∆x [ x = x

₁

+ ∆x

Agora substituindo em δ , chegamos exatamente aonde queremos, ou seja:

ε

` a

f x

^b ₁

+ ∆x

^c

≈ f .

^`

x

₁^a

A ∆x + f x

^` ₁^a

Veja que o sinal de igualdade muda, por estarmos tratando de uma aproximação, por que:

y = f x

^{` a} somente para valores próximos de

x

₁ , e é a melhor medida que podemos obter apartir de

x

₁.

A interpretação de εεεε ::::

Dado um valor conhecido

x

₁ , então se estivermos buscando por um valor x próximo de

x

₁ , isto é

x = x

₁

+ ∆x

, então podemos utilizar (

ε

) a aproximação linar local para determina-lo, visto que temos

x

₁ e a aproximação

∆ x

.

T12 Taxa de Variação

Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y = f(x) , quando a variavel independente varia de x à x + ∆x , existe uma correspondente variação de y dada por ∆y = f(x+∆x) – f(x) .

∆y que definimos em F0 e por equivalência chegou a esta última forma. Com isto definimos genericamente:

I - A Taxa de Variação Média:

∆y

∆x

^fffffffff

= f x

^`

+ ∆x

^a

@ f x

^{` a}

∆x

* Interpretação informal:

∆ y

∆x ^fffffff = variação de y variação de x

ffffffffffffffffffffffffffffffffff = y

_final

@ y

_inicial

x

_final

@ x

_inicial

fffffffffffffffffffffffffffffff

Isto é, com esse quociente podemos definir a média da variação de alguma coisa em relação a outra variação, independente do que seja. Veja a interpretação mecânica.

(11)

II - A Taxa de Variação Instantânea ou simplesmente Taxa de Variação, que é a própria derivada:

f .

^{` a}

x = lim

∆xQ0

∆y

∆ x

fffffffff

= lim

∆xQ0

f x

^`

+ ∆x

^a

@ f x

^{` a}

∆ x

A interpretação mecânica:

* Velocidade média: podemos definir com um exemplo prático. Se a distância de um ponto A até outro B é 80Km, e uma particula viajou de A para B, em uma hora, então sua velocidade média é 80 Km/h (lê-se quilômetros por hora), mesmo que durante o percurso ela tenha acelerado ou freiado.

* Velocidade instantânea: é o que vemos no painel de um automóvel por exemplo, é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo (este medido num intervalo muito curto, por isso emprega-se o limite da função para ∆x tendendo a zero, ∆x é a variação do tempo.

As demais são definidas análogamente à velocidade, isto é, podemos calcular a taxa média, e a taxa instântanea.

* A Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.

Taxa de variação, alguns nomes nomes especiais:

* A Densidade Linear, em fios elétricos por exemplo, é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento do fio.

* A Vazão, de uma torneira por exemplo, é a taxa de variação do volume de água despejado em relação ao tempo.

A aplicação se extende em diversas áreas.

Fontes de pesquisa e estudo:

Diva Marilia Flemming - Cálculo A (5ª edição) ; Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ; Louis Leithold – O cálculo com geometria analítica Vol.1 ; W.A. Granville – Elementos de Cálculo Diferencial e Integral ; Apostila/Livro de CDI- 1 UDESC 2010-1.

* Encontrou algum erro, faça sua sugestão pelo site www.guidg.com

Tabela geral de derivadas Resumo informal tabelado para os principais teoremas e regras gerais de diferenciação

8/6/2010 – CDI 1 – Cálculo diferencial e integral