SINAIS, SISTEMAS E SIMULAÇ Ã O Laborató rio 4 – Transformada de Fourier
“ Sinais; Transformada de Fourier”
Cursos de LEACI (3º Sem) e LEII (5º Sem)
Realizado em Novembro / 2006 por João Nabais e Rogério Largo.
Objectivos
O presente laboratório apresenta-se no seguimento dos laboratórios anteriores de
introduçã o ao Matlab e Simulink. Pretende-se dar a conhecer ao aluno a possibilidade de criar e personalizar blocos de simulink, sejam eles sobre a implementaçã o de sistemas físicos ou simples manipulações de sinais.
Dado os recursos disponíveis no Matlab é igualmente feita uma breve introduçã o sobre a ferramenta alfanumérica do Matlab, que entre outras vantagens permitirá no âmbito deste disciplina realizar operações complexas, como a transformada de Fourier e de Laplace.
Após a realizaçã o do laboratório o aluno deve saber,
• Criar as suas bibliotecas em Simulink
• Criar subsistemas de modelos em simulink e parametriza-los via interface de diálogo
• Utilizar a ferramenta de alfanumérica do Matlab
• Resolver problemas de Transformadas de Fourier via Matlab
Nota - Todo o código, modelos incluídos, deverão ser entregues no final do laboratório compactados num único ficheiro identificado seguindo o padrão:
”LabSinaisST_Curso_numero1_numero2”.
A. Biblioteca de Sinais em Simulink
Considere que no seu trabalho de análise das características de sistemas físicos tem de utilizar os seguintes sinais de excitação:
Infelizmente não estão disponíveis no Simulink. Os sinais, como se verifica por inspecçã o gráfica, podem ser parametrizados por um único parâmetro. Dado os teus conhecimentos de Simulink vais desenvolver uma Biblioteca pessoal onde implementas estes sinais com possibilidade de os definir via parâmetro a.
A1. Composiç ão analítica dos sinais
Constrói analiticamente os sinais indicados com base nas funções elementares,
• Degrau unitário,
• Rampa Unitária.
Em Simulink estã o disponíveis estes sinais.
Nota: pode ser útil considerar os sinais anteriores activados em instantes de tempo t≠0s.
2a
2a 2a
2a 3a a
Sinal A Sinal B
Curso: ____ Turma:______ Grupo: ___
[R – Preparaç ão em Casa]
A2. Criaç ão da Biblioteca
Abre um novo ficheiro de Simulink, mas neste caso uma biblioteca. Aproveita e grava já a tua biblioteca. Utiliza o seguinte padrão “Biblio_curso_numero1_numero2”. Introduz dois subsistemas na janela da tua biblioteca. Dentro de cada subsistema vais introduzir os blocos necessários para implementar os sinais desejados. Dado que se pretende implementar sinais (fontes) os blocos apenas terão uma saída e nenhuma entrada.
[R]
A realizar na biblioteca de Simulink.
Será intuitivo para um outro utilizador a implementaçã o desta funçã o?
[R]
A3. Parametrizaç ão da funç ão
Sobre o bloco que implementa o primeiro sinal clica no rato com o botão do lado direito.
Selecciona Mask Subsistema. Agora tens acesso à ediçã o de quatro campos: Ícon, Parâmetros, Inicializaçã o e Documentação.
Na documentaç ão:
Introduz a informação
• Mask Type: “Sinal A”
• Mask Description: “Triângulo simétrico com início em t=0[s] e valor final em t=2a[s] com pico de amplitude 2a.”
• Adapta de modo coerente para o sinal B Nos Parâmetros:
Clica no botão de introduçã o de parâmetros. Dos quatro campos a preencher segue as indicações,
• Prompt: “Escalar a:”
• Type: edit
• Variable: a (designaçã o correspondente ao valor utilizado nos blocos interiores) Fecha e abre o sinal. Considera a informaçã o suficiente para um utilizador visitante?
[R]
Para que seja possível a rápida compreensã o do tipo de sinal implementado é conveniente, à semelhança dos sinais existentes por defeito no Simulink, a existência de um esboço. Botã o do lado direito sobre o bloco e selecciona “Edit Mask”. Na janela referente a icon introduz o código (deves ignorar os comentários),
plot([1 9],[1 1]) % linha do eixo x plot([1 1],[1 9]) % linha do eixo y
plot([1 4],[1 8]) % linha ascendente plot([4 8],[8 1]) % linha descendente A4. Sinal B
Procede de modo idêntico para o sinal B. Não te preocupes com o desenho do Icon.
Grava a versã o final da biblioteca. Toma atençã o ao valor que está por defeito nos sinais pois será utilizado para a construçã o do sinal quando se retira o bloco da biblioteca. Deves utilizar um valor diferente de zero. Procede ao ajuste da dimensão da janela antes de gravar, o aspecto final será o aspecto com que será aberta a biblioteca.
A5. Verificaç ão dos Sinais Implementados
Cria um modelo em Simulink para teste de ambos os sinais implementados na Biblioteca.
[R]
A realizar num modelo de Simulink.
Nota - Caso pretendas que a tua biblioteca seja acedida via navegador do Simulink apenas tens de: (não fazer no Laboratório)
• Criar uma pasta com a biblioteca no seu interior
• Colocar a pasta dentro de Matlab\Toolbox
• Introduzir um ficheiro de designaçã o sdblocks (sugestão: Pode copiar o bloco existente noutra toolbox e adaptar o seu conteúdo à biblioteca).
• Actualizar a base de dados de directórios de busca do Matlab.
B. Séries de Fourier
Para sinais periódicos, de período T, definindo frequência angular ω pela expressã o ω = 2π /T pode representar-se o sinal pela série, designada de série de Fourier associada ao sinal.
Crie uma janela nova no SIMULINK.
b.1. Construa um diagrama de blocos que represente a seguinte soma de sinusóides:
sin(t) + sin(3t)/3 + sin(5t)/5
(1)Utilize 3 geradores de sinais sinusoidais e um bloco de soma (
linear → sum
).Mostre o resultado da soma num gráfico e as 3 sinusóides noutro gráfico.
Comente o que observa:
[R]
b.2. Aproveitando o diagrama anterior, adapte-o de modo a construir também a seguinte soma:
sin(t) + sin(3t)/3 + sin(5t)/5 + sin(7t)/7 + sin(9t)/9 (2) Visualize os dois sinais obtidos no mesmo gráfico.
Comente o que observa ao aumentar o número de termos da soma:
[R]
b.3. Construa agora o seguinte sinal:
cos(t) - cos(3t)/3 + cos(5t)/5 - cos(7t)/7 + cos(9t)/9
(3) Compare os sinais obtidos nas expressões (2) e (3), e justifique o facto de um sinal ser par e o outro ser ímpar:[R]
b.4.
Caso continuasse a adicionar termos às expressões (2) e (3) que sinal (tipo de onda)esperaria obter? Desenhe essas ondas em gráficos (seja cuidadoso com os eixos):
[R]
(2) (3)
C. Transformada de Fourier
Vamos proceder ao estudo da Transformada de Fourier.
C1. Transformada Analítica
Considera o sinal definido como onda rectangular,
>
= <
1 1
|
| 0
|
| ) 1
( t T
T t t
x
[R – Preparaç ão em Casa] Realiza a Transformada de Fourier deste sinal.
C.2. Utilizaç ão da Toolbox Simbólica
Todo o código deve ser implementado em Script.
Iremos agora proceder ao uso da ferramenta alfa numérica. Podes aceder à listagem das funções incluídas nesta toolbox fazendo na Prompt do Matlab,
>> help symbolic
Para introduçã o iremos realizar o integral:
∫
−
1 −
1
T
T t
j
dt
e
ωProcede à definiçã o de variáveis simbólicas no Matlab:
Syms omega, t, T1
Para a resoluçã o do integral consulta a funçã o “int”.
Consegues validar o resultado da operaçã o realizada pelo Matlab?
[R]
Sugestã o força a simplificaçã o do resultado através do comando simple.
Dado que a funçã o permite o parâmetro T1 vamos considerar este parâmetro unitário, utiliza a funçã o subs para realizar essa operaçã o.
Já onsegues validar o resultado obtido?
[R]
Agora que já se tem apenas uma variável pode-se facilmente realizar o gráfico da funçã o obtida. Dado tratar-se de uma funçã o definida simbólica utiliza ezplot.
O que acabaste de realizar ao resolver o integral indicado?
[R]
C3. Transformada de Fourier de várias funç ões
Através da funçã o Fourier calcula vamos verificar algumas transformadas incluídas na Tabela de transformadas de Fourier. Realiza um pequeno script para conter todas as operações realizadas.
Para implementar o degrau unitário simbólico utiliza:
Sym(‘Heaviside(t)’)
Nã o te esqueças que qualquer parâmetro das funções deve ser declarado como um variável simbólica.
x(t) = u(t) x(t) = te-atu(t) x(t) = δ(t) x(t) = δ(t-t0) x(t) = sin(ωt) x(t) = cos(ωt) x(t) = ejωt
Podes igualmente realizar a Transformada de Fourier Inversa ifourier.
D. Autoavaliaç ão
Consideras que após a realizaçã o das tarefas enunciadas no guia e com o seu apoio atingistes (ou podes atingir) os objectivos esperados?
[R]
