Funções Exponenciais e Logarítmicas

Funções Exponenciais e Logarítmicas

Objetivos do Módulo

1. Definir funções exponenciais e logarítmicas

2. Traçar o gráfico de funções exponenciais e logarítmicas

3. Aplicar as regras de exponenciais e logaritmos na resolução de problemas científicos 4. Resolver expressões exponenciais e logarítmicas numericamente e simbolicamente

Funções em Maple usadas neste módulo

^ Operador exponencial: a^b = a^b em Maple.

assume (x>0) Limita o domínio de x ao conjunto dos números reais positivos.

combine Aplica a regra das "associações" a exponenciais e logaritmos.

exp(x) Forma de se escrever e^x em Maple.

evalf Faz conversão para valores decimais.

ifactor Encontra os fatores primos de um número inteiro.

ln(x), log(x), log[b](x), log[10](x) Várias formas de se escrever um logaritmo em Maple

plot Comando plot, usado para visualizar exponenciais e logaritmos.

I. Lúdico Interativo

II. Texto Interativo

 Funções Exponenciais

 Funções Logarítimas

III. Lápis e Papel

IV. Laboratório Maple V. Perguntas e Respostas VI. Exercícios

VII. Testes

LÚDICO INTERATIVO

TEXTO INTERATIVO

Funções Exponenciais

A idéia de se elevar um número a determinado expoente inteiro positivo nos leva naturalmente ao conceito mais geral de exponencial. A idéia de logaritmo surgiu a partir da definição da função inversa de uma exponencial. As relações entre estas funções podem ser deduzidas a partir do estudo de suas propriedades básicas.

Quando elevamos um número ao quadrado, quer dizer que estamos multiplicando este número por ele mesmo. Quando elevamos um número ao cubo, estamos multiplicando este número por ele mesmo três vezes. Sabemos que x² é a área de um quadrado de lado x e x³ é o volume de um cubo de lado x.

Portanto, estas funções podem resultar em um gráfico. Porém, não podemos traçar um gráfico para x⁴ e nem existe um nome especial para esta quantidade, nem para x⁵, x⁶, x⁷, e assim por diante. No entanto, existe uma forma geral para expressarmos este conceito. Dizemos que "x está elevado à potência n", onde n é 2, 3, 4, 5.... O número x, que é multiplicado por ele mesmo um certo número de vezes, é chamado base. O número n, que conta quantos x's devem ser multiplicados é chamado expoente. Com um pouco de estudo, podemos observar que, se x é maior que 1, xⁿ cresce rapidamente à medida que n aumenta. Já que o Maple pode trabalhar com números grandes, podemos facilmente testar este conceito, como mostra o exemplo a seguir. Faremos x = 7.

> x := 7; x^0, x^1, x^2, x^3, x^4, x^5, x^6, x^7, x^8, x^9, x^10;

x := 7

1,7,49,343,2401,16807,117649,823543,5764801,40353607,282475249

Na linha de comando do Maple, atribuímos um nome ao número 7 escrevendo x := 7. Em outras palavras, definimos x possuindo o valor 7. Depois, fizemos com que o Maple calculasse as potências de 7. Estas potências são números inteiros de 0 a 10. Note que 7⁰ é igual a 1. Este resultado requer um cuidado especial, pois o significado de 7⁰ ainda precisa ser definido. O que significa multiplicar 7 por ele mesmo 0 vezes? Da forma como foi colocada, esta pergunta não faz nenhum sentido. O próximo resultado, 7¹ = 7, é mais compreensível, pois “7 multiplicado por ele mesmo 1 vez” é igual a 7. Estes dois primeiros expoentes são um pouco confusos, mas os outros são bastante óbvios. Sabemos que 7 ao quadrado é 49, e podemos utilizar uma calculadora para verificar os outros resultados, independente do Maple. (Tente resolver 7⁵⁶⁷ ou 7⁵⁶⁷⁸ pela calculadora. Estes resultados são muito grandes para a calculadora, podendo

resultar em alguma mensagem de erro de “Overflow”. Convertemos estes valores para números de 10 dígitos, no Maple, através do comando evalf(7^567) ou evalf(7^5678). Verificamos que 7^5678 é um número com 4.799 dígitos! (Podemos conferir este resultado pelo Maple. É um número que ocupa 4 telas.)

O conceito de se elevar um número a um certo expoente pode ser estendido para qualquer base. Abaixo, apresentamos alguns exemplos:

> 2/3^2, (2/3)^2, 1.414^3;

Analise cuidadosamente a diferença entre 2/3^2 e (2/3)^2. A primeira expressão significa 2 dividido por 3² e a segunda é (2/3)². Sempre usamos frações entre parênteses, quando elevadas a algum expoente.

Este mesmo cuidado deve ser tomado ao utilizarmos calculadoras. Quando tentamos calcular 2/3^2 na calculadora obtemos .222222, ao passo que se usarmos (2/3)^2 chegamos a .444444.

Queremos deduzir algumas relações que serão úteis na simplificação de expressões com exponenciais.

Para isso, precisamos saber o que acontece ao aplicarmos as quatro operações fundamentais – adição, subtração, multiplicação e divisão – a termos contendo exponenciais. Também devemos saber o que acontece quando aplicamos a propriedade da exponenciação a termos exponenciais.

Quando adicionamos dois termos contendo exponenciais, existem duas possibilidades: os expoentes podem ser iguais ou diferentes. Vejamos o que podemos observar através de um exemplo numérico:

> 2^3 + 3^2, 5^2 + 5^3;

17, 150

O fato de que 2³ + 3² é igual a 17 já nos diz alguma coisa, pois 17 é um número primo: não pode ser fatorado. Isto nos leva a suspeitar de que não há uma regra geral para a soma aⁿ + b^m, onde a e b são números diferentes. Por outro lado, o número 150 pode ser fatorado em 2, 3 e 5². Tornando a observar a expressão exponencial 5² + 5³, notamos que o termo de menor expoente é fator desta expressão. Portanto, podemos expressar 5² + 5³ em termos do menor expoente: 5² + 5³ = 5² (1 + 5). Chegamos à conclusão de que (a) no caso de bases diferentes, não existe uma regra simples para a resolução da expressão exponencial e (b) no caso de mesma base, a expressão pode ser fatorada em relação ao termo de menor expoente. Essas regras não são muito estimulantes, mas podem nos ensinar que não devemos aplicar estas mesmas regras para o produto de somas! Quando sabemos que não existem regras, estamos menos tentados a inventar uma incorreta.

Agora, precisamos descobrir a regra para o produto de exponenciais. Novamente, tomaremos um exemplo numérico. Calcularemos 3²  3³ e 17²  17⁵.

> 3^2*3^3, 17^2*17^5;

243, 410338673

A maioria das pessoas têm dificuldades em fatorar números muito grandes, como os que obtivemos no resultado acima. Portanto, utilizaremos o Maple para fatorar estes números. O comando usado é ifactor, que encontra os fatores inteiros de um número:

> ifactor(3^2*3^3), ifacotor(17^2*17^5);

  ^{3 , 17}

 

Podemos notar que os expoentes do resultado acima são a soma dos expoentes do produto original. Esta regra é válida para qualquer expoente inteiro. Verificamos este fato tomando uma base a de expoentes m e n.

a^ma^m = (a • a • a ... { m vezes} • a • a • a ... {n vezes} = a^{(m + n}}

Como descobrimos uma regra para o produto de exponenciais, é possível que também exista uma regra para a divisão. Dividindo 17⁵ por 17², obtemos:

> 17^5 / 17^2;

4913

> ifactor (17^5 / 17^2);

(17)³

Ao fatorarmos o resultado, notamos que este expoente é simplesmente a diferença entre os dois expoentes do problema inicial.

Quando ambos os expoentes forem iguais, como

5 5

17

17 , o resultado deve ser igual a 1.

> 17^5 / 17^5;

1

Subtraindo os dois expoentes, chegamos a zero. Agora podemos generalizar uma definição para aⁿ. Como _n 1

n

a

a e a^{ } a⁰ a

a _{n m}

n n



 ^ , definimos a⁰ 1. Obviamente, a deve ser diferente de 0.

Resolvendo ₅

2

17

17 , obtemos:

> 17^2 / 17^5;

1 4913

> ifactor (17^2 / 17^5);

 

1 17

Neste caso, o resultado é menor que 1, mas ainda pode ser expresso por notação exponencial. Como queremos usar uma regra geral, definimos expoentes negativos de forma que ³ ₃

17 17^  1 .

Agora podemos resumir os fatos principais sobre exponenciais. Temos as seguintes regras:

m n

m n

a a a ^{ (1)}

0 1, 1

a  a a ⁽²⁾

 

n n m

m

a a

a

 

(3)

n 1 a n

a

  ⁽⁴⁾

Gráfico da Função Exponencial: Temos os seguintes casos: a base b pode ser maior que 1, menor que ou igual a 1. Se b for igual a 1, o gráfico resultante será uma reta horizontal, pois 1^x = 1. O gráfico da função é estritamente crescente se b > 1, e estritamente decrescente se b < 1. Podemos escolher alguns valores numéricos para b, utilizando o comando plot. Se tomarmos com valores b = 1,2 e b = 0,8 teremos o gráfico de duas função, que podem ser vistas na Figura 10-1.

> plot ( {1.2^x, 0.8^x}, x = –10 .. 10);

Figura 1: Gráfico das Funções Exponenciais y = 1,2^x e y = 0,8^x

Funções Logarítmicas

 Identidade Logarítimas

 1ª Regra

 2ª Regra

 3ª Regra

 4ª Regra

 5ª Regra

Existe uma outra forma de observarmos a função y = b^x. Se nos concentrarmos no conceito de exponencial, dizemos que y é igual à base b elevada ao expoente x. Ou seja, se conhecemos x, podemos calcular y. Mas se nos concentrarmos no número y, assumindo que y e b são conhecidos, precisamos saber qual valor de x satisfaz à equação. Este é o problema inverso ao anterior, onde se procura por y. Já que nos casos mais simples encontramos y multiplicando b por ele mesmo x vezes, poderemos encontrar y se soubermos quantas vezes precisamos multiplicar b para chegarmos a y. Quando o problema é visto por esta maneira, o número x recebe um nome especial, chama-se logaritmo de y na base b, e escrevemos da seguinte forma:

 

log_b

x y ⁽¹⁾

Assim, o logaritmo satisfaz à equação

log_b y

y b ⁽²⁾

Eq. 2 para logb(y) mostra um importante identidade de logb(y). Esta identidade é muito útil na manipulação de equações exponenciais e logarítmicas.

Definimos a função logarítmica como o inverso da função exponencial. Portanto, as duas equações

y b xe x^logb

 

são equivalentes, mas uma está escrita na forma exponencial e a outra na forma logarítmica.

Exercício Mental: Calcule logb(b). Para resolver este problema, é preciso aplicar a definição de logaritmo. Pela Eq. 2, y deve ser igual a b.

log_b b

b b ⁽⁴⁾

Não mostraremos aqui uma prova formal; mas podemos nos perguntar “A que expoente devemos elevar b para chegarmos novamente a b?” A resposta é 1, pois b = b¹. Assim, o logaritmo de um número, usando este número como base, deve ser igual a 1. Portanto, logb(b) = 1.

As propriedades da função logarítmica podem ser deduzidas a partir do estudo das equações exponenciais correspondentes. Começamos pela função logarítmica que, em seguida, é convertida na forma exponencial. Desta forma, podemos utilizar as leis dos expoentes para reagrupar a expressão. Para finalizarmos a dedução, novamente convertemos o resultado na forma logarítmica. Estes resultados são mostrados nas Eqs. 6 e 10.

Duas bases logarítmicas exigem uma atenção especial. A base 10 foi a primeira a ser usada. A equação y

= 10^x implica em x = log10(y). A base 10 é uma escolha óbvia, pois freqüentemente utilizamos o sistema de numeração decimal. Por enquanto, não há necessidade de que a base do logaritmo seja qualquer outro número. Podemos notar que a equação exponencial equivalente aceita qualquer número real positivo.

Uma outra base, desde o início utilizada, é chamada de logaritmo para o sistema de base e, ou logaritmo natural. É a base mais comum nas ciências e engenharia. O número e não é um inteiro, e nem uma fração. É um número real, aproximadamente igual a 3. O Maple poderá fornecer um valor mais preciso.

Porém, é preciso lembrar–nos de que:

> evalf(e, 50), evalf(E, 50); (Na versão 4, o Maple não conhece o valor de E!) e, E

> evalf(exp(1); (Poderá ser usada a função exponencial, exp, para encontrar e^x.)

2.7182818284590452353602874713526624977572470937

Maple V3 aceita a letra maiúscula E como sinônimo de exp, portanto, pode-se escrever E² para exp(2) ou e². Mas é sempre melhor utilizar a notação de função exponencial.

As funções logarítmica e exponencial equivalentes para a base e são:

y = e^x, loge(y) = x = ln(y) (5)

Os logaritmos de base e são chamados de logaritmos naturais. São tão comuns em trabalhos científicos, que se apoderaram da nomenclatura log. Podemos encontrar log como sinônimo de ln em muitos livros;

portanto, antes de tudo, é preciso observar qual tipo de logaritmo está sendo empregado. Calculadoras científicas possuem botões tanto para LOG como para LN. O Maple nos permite especificar logaritmos para qualquer base. A nomenclatura utilizada pelo Maple para o logaritmo natural é ln; ainda assim, o Maple interpreta log como logaritmo natural. Para trabalhar com logaritmos de base 10 é preciso escrever log[10]. A base deve ser especificada entre colchetes. O Maple sempre trabalha em termos do logaritmo natural, convertendo automaticamente logaritmos de qualquer outra base para a base e. Isto é possível devido às relações entre os logaritmos das várias bases.

Gráfico da Função Logarítmica: Como a função logarítmica é o inverso (e não recíproca!) da função exponencial, presume-se haver alguma similaridade entre os dois gráficos. A função logarítmica e a função exponencial são imagens espelho, considerando que o espelho seja a linha y = x.

Pelo comando seguinte, podemos traçar o gráfico da função logarítmica natural para valores de x de –10 a 10. Observemos cuidadosamente o resultado.

> plot (ln(x), x = –10 .. 10, –2 .. 2);

Note (na Figura 10.2) que, mesmo tendo solicitado um gráfico para valores de x entre –10 e 10, o Maple mostra apenas o gráfico para os valores positivos de x. Isto se deve ao fato de não existirem valores reais para ln(x) quando x é negativo. Observando novamente o gráfico da função exponencial (Figura 10.1), verificamos que esta função nunca é negativa e, portanto, ln(x) não pode ser calculada para x negativo.

Figura 2: Gráfico da Função Logarítmica y = ln(x)

Identidades Logarítmicas

Ilustraremos as identidades logarítmicas básicas, incluindo a fórmula para a mudança de bases, de acordo com as regras a seguir. Sabendo que o domínio de x está restrito a valores reais positivos, utilizaremos o comando assume para informar este fato ao Maple.

> assume (x>0); assume (y>0);

1ª Regra: Soma de Dois Logaritmos

Assumindo u = logb(x) e v = logb(y), temos as formas exponenciais equivalentes b^u = x e b^v = y.

Desenvolvemos o produto xy = b^u b^v = b^(u+v). Convertendo o resultado para a forma logarítmica, temos:

logb (xy) = u + v. Finalmente, substituímos u e v, obtendo logb (xy) = logb (x) + logb (y).

logb (x) + logb (y) = logb (xy) (6)

> combine (ln(x) + ln(y));

 

ln

2ª Regra: Diferença entre Dois Logaritmos

Utilizando as mesmas definições da 1ª regra, desenvolvemos a razão entre x e y: _v ^{u v}

u

b b b y

x 



 .

Convertendo para a forma logarítmica, obtemos _







 

 y

v x

u log_b , e substituímos u e v como fizemos acima.

   

log_b log_b log_b x

x y

y

 

   

 

(7)

> combine (ln(x) – ln(y), ln);

ln

 

 

 

3ª Regra: Logaritmo da enésima potência de um número

 

 

   

log

log log

n u n nu

n b

n

b b

x b b

nu x

n x x

 



 ₍₈₎

O último resultado é muito útil na combinação de expressões logarítmicas.

> ln(x^n) = expand (ln(x^n));

  ^{ }

ln

ln

4ª Regra: Três Relações Especiais

Sabendo que b⁰ = 1, b = b¹ e logb (bⁿ) = n logb (b), temos, para qualquer base b,

     

log 1_b 0, log_b b 1, log_b bⁿ n ⁽¹⁰⁾

> log[b](1), log[b](b), expand(log[b](b^n));

0, 1, n

5ª Regra: Mudança de Base

Encontrar a relação entre duas bases é uma tarefa simples, se aplicarmos cuidadosamente as regras de 1 a 4. Sendo u = logb (x) ou b^u = x, queremos calcular o logaritmo da última equação na base a. Obtemos

  ^{ }

   

 

 

log log

log log

log log

u

a a

a a

a a

b x

u b x

u x

b







Como u = logb (x), chegamos ao resultado:

   

 

log log

log

a b

a

x x

 b ⁽¹¹⁾

Este resultado é especialmente importante para usuários do Maple, pois através desta fórmula podemos relacionar logaritmos de qualquer base a logaritmos de base e. Fazendo a = e em Eq. 10-12:

   

 

log log

log

e b

e

x x

 b

(12)

> log[b](x);

 

 

ln ln

x b

Note que o Maple automaticamente converte logaritmos de base 10 para a forma de logaritmo natural.

> log[10](z);

 

 

ln ln 10

z

Já vimos alguns exemplos da sintaxe do Maple para logaritmos e exponenciais. Estude-as e experimente-as por você mesmo. Depois de um pouco de prática, já podemos desenvolver uma certa

“percepção” em relação a estes comandos.

Exemplo 1. Encontrar o fator de conversão entre a base 10 e a base e.

> evalf (log[10](a));

.

4342944819ln  

log10 (a) = 0,43329 ln(a) ln(a) = 2,3026 log10 (a)

Exemplo 2: Equações Exponenciais e Logarítmicas. Como primeiro passo para a análise de equações exponenciais e logarítmicas, deve-se traçar em um mesmo gráfico ambos os lados destas equações. Isso não só dá uma idéia da natureza do problema, como também fornece uma solução aproximada.

Mostraremos aqui um exemplo simples que ilustre este método (ver Figura 10.3). A seção seguinte oferece mais exemplos.

Resolver 3^1–x = 6,03^2–3x

> plot ({3^(1-x), 6.02^(2-3*x)}, x = 0.5 .. 1);

Na solução analítica, é preciso resolver os logaritmos de ambos os lados. Utilizaremos logaritmos naturais.

3^1–x = 6,03^2–3x

(1 – x) ln(3) = (2 – 3x) ln(6,02) (1 – x)

∙

∙

Figura 3: Resolução Gráfica de uma Equação Exponencial

1,0986 1,0986 3,590 5,3853 4, 2867 2, 4914

2, 4914

0,5812 4, 2867

x x

x x

  



 

O Maple pode resolver este problema em um único passo, através do comando:

> solve (3^(1–x) = 6.02^(2–3 x), x);

.5812376860

Exemplo 3: Grãos de Trigo no Problema de um Tabuleiro de Xadrez. Uma história antiga conta sobre o astucioso cortesão que pediu uma recompensa ao rei. Ele disse, com efeito, “Oh rei, imagine um mero grão de trigo posicionado no canto direito mais abaixo de um tabuleiro de xadrez. Coloque mais dois grãos no quadrado adjacente e imagine que, para preencher cada quadrado do tabuleiro de xadrez, deve-se continuar dobrando o número de grãos de trigo. Apenas alguns grãos, contados de acordo com esta regra simples, é tudo o que peço, majestade!”

Porém, o rei não era tão ingênuo. Ele consultou o matemático da corte, que argumentou o seguinte: “A seqüência deve começar por 1, 2, 4, 16, ..., seguindo o padrão 2ⁿ. Ah ha! Isto é uma exponencial! Só é preciso calcular 2⁶⁴ e o rei saberá quantos grãos de trigo serão necessários para preencher o tabuleiro.

Assim, ele poderá decidir se deve ou não atender ao desejo do astuto cortesão.”

Com o Maple, podemos repetir os cálculos do Matemático da corte.

> 2^64;

18446744073709551616

Isto corresponde a muitos grãos de trigo! Convertendo o número para a notação científica:

> evalf( 2^64);

.1844674407 10

Definitivamente, são muitos grãos de trigo! Cada grão pesa cerca de um miligrama. Há aproximadamente 453.592 miligramas em uma libra. Portanto, podemos assumir que há 453.592 grãos de trigo em uma libra. O número de libras de trigo seria, no mínimo, igual a:

> p := evalf( 2^64/453592);

: .4066814246 10

P 

Isto equivale a 4  10¹⁰. Em toneladas (sabendo que há 2.000 libras em uma tonelada):

> t := p/2000;

: .2033407123 10

t 

É um número próximo a 2  10¹⁰, que corresponde a 20 bilhões de toneladas de trigo. Agora é possível decidir se o pedido do cortesão é razoável, já que foi calculado o que realmente representa este pedido.

Verificação: Para saber por que o matemático usou 2⁶⁴ em vez de 1 + 2 + 4 + ... + 2⁶³, forma como os grãos estavam supostamente arrumados no tabuleiro de xadrez, adicionaremos estes números através do Maple.

> Sum(2^‘j’, ‘j’ = 0 .. 63) = sum(2^‘j’, ‘j’= 0 .. 63);

63 0

2

18446744073709551615

j



Obtivemos a mesma resposta! A partir daí, podemos concluir que a soma das n primeiras potências de 2 é igual a 2^{n + 1}. Faça esta experiência para valores diferentes de n, utilizando os comandos do Maple para testar esta hipótese.

Exemplo 4: A escala decibel. A altura do som é medida em decibéis (dB). A escala decibel compara a intensidade do som a ser medido (I) com uma intensidade padrão (I0) através da fórmula

0

10 log I

dB I

 

  

 

(a) Um lugar silencioso possui um nível sonoro de 50 dB e um lugar barulhento possui 100 dB. Como I é uma medida de potência (por centímetro quadrado), qual a potência de um som de 100 dB se comparado a um som de 50 dB?

Solução: Definir as equações:

> e1 := 100 = 10*log[10](In100/In0); e2 := 50 = 10*log[10](In50/In0);

 

 

ln 100 1: 100 10 0

ln 10 ln 50 2 : 50 10 0

ln 10

In e In

 

 

 

 

 

 

 

 

Subtrair a primeira equação da segunda,

> e3 := e1 – e2;

   

100 50

ln ln

0 0

3: 50 10 10

ln 10 ln 10

In In

In In

e

   

   

   

  

Simplificar o resultado. Primeiro, reduz-se tudo a um denominador comum.

> e4 := normal(e3)/10;

 

100 50

ln ln

0 0

4 : 5

ln 10

In In

In In

e

   

   

   

 

Pelo comando combine, divide-se os termos logarítmicos do numerador e multiplica-se ambos os lados da equação por ln(10).

> e5 := ln(10)*lhs(e4) = ln(10)*combine(rhs(e4), ln);

  ¹⁰⁰

5 : 5 ln 10 ln

50

In

 

   

 

Calcula-se a exponencial, de base e, de ambos os lados da equação.

> e6 := exp(lhs(e5)) = exp(rhs(e5));

6 : 100000 100

50

  In

A intensidade de 100 dB é 10⁵ vezes mais potente que a intensidade de 50 dB. Pode-se ouvir sons de até 1 dB sob certas condições, assim como também é possível ouvir sons de até 120 dB, embora possam causar danos aos nossos tímpanos depois de um certo tempo. O ouvido humano pode perceber sons que diferem em potência (ou energia) por um fator de, no mínimo, 10 bilhões, aproximadamente a mesma quantidade do número total de toneladas de trigo de que falamos no exemplo anterior.

Este exemplo mostra que pode ser necessário um certo esforço para fazer com que o Maple resolva por completo problemas envolvendo equações logarítmicas. Não é indispensável que o Maple desenvolva todo o problema. Quando já é possível perceber o resultado, não é conveniente forçar para que o Maple chegue ao mesmo resultado aplicando comandos de simplificação um atrás do outro, até que se obtenha a resposta desejada. Com a certeza de que o exercício desenvolvido manualmente está correto, basta utilizá-lo para poder continuar. Algumas partes do problema (talvez todas!) podem ser resolvidas mais

rapidamente quando feitas manualmente. No entanto, agora já se sabe como utilizar o Maple em problemas similares, ou até mais complicados, quando o método manual se tornar ineficiente.

(b) Um som aumenta de 1 decibel. Qual o fator de crescimento?

Solução: A fórmula do decibel relaciona razões entre intensidades. Porém, a equação que deve ser resolvida é:

> e7 := 1 = 10*log[10](In1/In0);

 

ln 1 7 : 1 10 0

ln 10

 

 

 

 

Dividindo ambos os lados da equação por 10 ln(10):

> e8 := e7*ln(10)/10;

1   1

8 : ln 10 ln

10 0

e In

In

 

   

 

Calculando a exponencial de cada lado da equação:

> exp(lhs(e8)) = exp(rhs(e8));

110

1

10 0

In

In

Convertendo o lado esquerdo para a forma decimal:

> evalf (exp(lhs(e8))) = exp(rhs(e8));

1.258925412 1 0

In

Um aumento de 1 dB aumenta a potência do som cerca de 26%.

Exemplo 5: O número e de Euler. O número e é escrito em Maple como E (apenas na Versão #3 do Maple) ou exp(1), em Maple V4.

> evalf(E), evalf(exp(1)); (Utilize evalf(exp(1)); como notação preferencial.)

2.718181818, 1.718281828

O matemático suíço, Leonhard Euler, calculou o número e depois de uma pesquisa sobre a expressão d = (1 + 1/n)ⁿ. Calcule o valor desta expressão para alguns valores de n.

Verificação: Para n = 1, d é igual a 1. Qual o valor de d para os valores n = 2, 3, 4?

Definindo d pela notação de funções:

> d := n -> (1 + 1/n)^n;

: 1

n

d n q

n

 

    

 

Calculando d para os dados valores de n:

> d(2), d(3), d(4);

9 64 625 , , 4 27 256

Queremos chegar à aproximação decimal neste caso, e não ao valor exato da expressão.

> evalf(d(2)), evalf(d(3)), evalf(d(4));

2.250000000, 2.370370370, 2.441406250

Os números parecem convergir em direção a e. Experimente n = 100, 200, 300:

> evalf(d(100)), evaf(d(200)), evalf(d(300));

2.704813829, 2.711517123, 2.713765158

O último número se aproxima de e por 2 casas decimais. Esta fórmula não é a melhor maneira de se calcular o número e, pois

> evalf(d(10000));

2.718145927 Esta resposta possui precisão de apenas três casas decimais.

Lápis e Papel

 LP-1

 LP-2

 LP-3

 LP-4

 LP-5

 LP-6

LP-1

Calcule os logaritmos de base 10. Também é mostrada a expressão em logaritmos naturais equivalente.

Algumas respostas são fornecidas para que se possa verificar as respostas mais rapidamente.

(a) log(87) (ln(87)/ln(10)) Resposta: 1,939

(b) log(99) (ln(99)/ln(10)) Resposta: _______________________________

(c) log(67) (ln(67)/ln(10)) Resposta: 1,826

(d) log(10) (1) Resposta: _______________________________

(e) log(74) (ln(74)/ln(10)) Resposta: 1,869

(f) log(82) (ln(82)/ln(10)) Resposta: _______________________________

(g) log(75) (ln(75)/ln(10)) Resposta: 1,875

(h) log(67) (ln(67)/ln(10)) Resposta: _______________________________

(i) log(74) (ln(74)/ln(10)) Resposta: 1,869

(j) log(43) (ln(43)/ln(10)) Resposta: _______________________________

LP-2

Calcule os logaritmos naturais abaixo:

(a) ln(48/25) Resposta: ,6523

(b) ln(3/2) Resposta: _______________________________

(c) – ln(5) Resposta: – 1,609

(d) ln(61/50) Resposta: _______________________________

(e) ln(83/50) Resposta: ,5068

(f) ln(93/50) Resposta: _______________________________

(g) ln(7/25) Resposta: – 1,273

(h) ln(39/25) Resposta: _______________________________

(i) ln(1) Resposta: 0

(j) ln(18/25) Resposta: _______________________________

LP-3

Calcule os logaritmos naturais dos números dados. Verifique se as respostas estão corretas.

(a) ln(1,900) Resposta: ,6419

(b) ln(,5800) Resposta: _______________________________

(c) – ln(,3200) Resposta: – 1,139

(d) ln(1,120) Resposta: _______________________________

(e) ln(,1600) Resposta: – 1,833

(f) ln(1,040) Resposta: _______________________________

(g) ln(1,260) Resposta: ,2311

(h) ln(1,960) Resposta: _______________________________

(i) ln(1,780) Resposta: ,5766

(j) n(,8600) Resposta: _______________________________

LP-4

Eleve e à potência indicada:

(a) exp(1,540) Resposta: 4,665

(b) exp(,5800) Resposta: _______________________________

(c) exp(,2000e-1) Resposta: 1,020

(d) exp(1,640) Resposta: _______________________________

(e) exp(–1,660) Resposta: ,1901

(f) exp(–1,440) Resposta: _______________________________

(g) exp((,8000e-1) Resposta: 1,083

(h) exp(1,600) Resposta: _______________________________

(i) exp(,5600) Resposta: 1,751

(j) exp(–1,800) Resposta: _______________________________

LP-5

Calcule:

(a) e¹ Resposta: _______________________________

(b) e^0,1 Resposta: _______________________________

(c) e^0,01 Resposta: _______________________________

(d) e^0,001 Resposta: _______________________________

(e) À medida que o expoente diminui, de que número se aproxima a resposta?

Resposta: ____________________________________________________________________________

LP-6

Calcule xⁿ e x^1/n para x = 0.5, 1.0 e 1.5 e n = 1, 2, 3, ... 20. Preencha a tabela abaixo. Que conclusões podemos tirar a respeito do comportamento de xⁿ e x^1/n?

N x = 0,5 x = 1,0 x = 1,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Resposta: ____________________________________________________________________________

Laboratório Maple









Começaremos a parte de laboratório definindo o número complexo i:

> alias (I=I, i = sqrt(–1));

LM-1: Valores da Função Exponencial

(a) Calcule na forma decimal o valor de exp(x) para x = 1, 0.1, 0.01, 0.001 e 0.0001.

> ; (Insira aqui os comandos em Maple.)

À medida que x diminui, em direção a 0, de que número exp(x) se aproxima?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Calcule na forma decimal o valor de exp(x) para x = –1, –2, –4, –8 e –16.

> ; (Insira aqui os comandos em Maple.)

À medida que x se torna cada vez menor (i.e, cresce na direção negativa), de que número exp(x) se aproxima?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Calcule log(1), log(0.1), log(0.01) e log(0.001). À medida que o valor de x diminui, em direção a 0, de que número log(x) se aproxima?

> ; (Insira aqui os comandos em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) Qual é o logaritmo de –1? Utilize o Maple para encontrá-lo.

> ; (Insira aqui os comandos em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(e) De que tipo é o número encontrado em (d)? Real, complexo ou imaginário?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(f) Calcule exp(i), onde i é a unidade imaginária. Mostre a resposta, indicando se é um número real ou complexo.

Resposta: ____________________________________________________________________________

Conclusão: As funções logarítmicas e exponenciais são definidas tanto para números reais como para números complexos. As propriedades destas funções no domínio complexo não foram exploradas neste livro, mas é preciso saber que elas existem. O Maple trabalha no domínio dos números complexos.

(Caso contrário, não poderia resolver equações simples, como x² – 1 = 0.). O problema (d) mostra que podemos obter números complexos como resposta.

(g) Compare as expressões xⁿ e x^1/n, calculando-as para x = 1.5, 1.0 e 1.5, e n = 1, 2, ..., 20.

> x := 0.5: for j from 1 to 20 do evalf(x^j), evalf(x^(1/j)) od;

> ; (Escreva aqui o segundo comando [para x = 1.0].)

> ; (Escreva aqui o terceiro comando [para x = 1.5].)

Quando x = 0.5, o que acontece com x^n e x^(1/n) à medida que n cresce?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(h) Quando x = 10.5, o que acontece com x^n e x^(1/n) à medida que n cresce?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(i) Calcule o valor exato de exp(log(x)) e log(exp(x)). (Pode ser necessário simplificar uma destas expressões. Como já foi atribuído um valor à variável x no último problema, é preciso usar o comando x := ‘x’; para que esta variável possa ser utilizada novamente.)

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Escreva abaixo tanto o comando em Maple como a resposta obtida:

Resposta: ____________________________________________________________________________

(j) Calcule os valores de 10^log[10](x) e log[10](10^x).

(i) Forneça estas expressões ao Maple da mesma forma como aparecem acima.

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(ii) Qual deve ser a resposta? Utilize o comando simplify nas expressões.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(iii) Agora calcule 3^log[3](x) e log[3](3^x). Como foi feito antes, digite estas expressões no Maple da mesma forma como aparecem aqui e verifique as respostas. Em seguida, utilize o comando simplify.

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(iv) A que conclusões podemos chegar sobre os valores de n^log[n](x) e log[n](n^x)? O que acontece quando simplificamos estas duas expressões?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

LM-2: Forma Exponencial de um Número Complexo

Existe uma relação surpreendente entre funções trigonométricas e exponenciais. Esta relação pode ser determinada ao definirmos uma variável z como uma exponencial complexa e, em seguida, convertendo-a para a forma trigonométrica.

Expressar o número complexo

> z := exp(i*theta);

na forma trigonométrica e na forma de a + ib.

(a) Utilize o comando do Maple

> z = convert(z, trig);

e escreva o resultado. Note que a variável z foi redefinida através deste comando.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Quanto vale exp(i*theta)? Encontre o valor absoluto de ambos os lados da equação em (i). É preciso informar ao Maple que theta é um número real, usando o comando:

> assume (theta, real);

Também será necessário simplificar a expressão trigonométrica convertida.

Escreva aqui os valores absolutos:

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) A relação

> z := A*exp(i*theta);

é a forma exponencial de um número complexo. Converta esta expressão para a forma trigonométrica usando convert(z, trig).

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) A conversão da forma trigonométrica (ou retangular) para a forma exponencial requer que se comece pela forma polar de um número complexo. Defina z1 como

> z1 := 10*(1 + i);

Converta z1 para a forma polar, chamando o resultado de z2:

> z2 := convert(z1, polar);

O Maple escreve o resultado como polar(m,n), onde m é o módulo do número complexo e n é o ângulo.

Pode-se separar as duas partes do resultado (o módulo e o ângulo) através do comando op:

> m := op(1, z2); (m é o módulo do número complexo.)

> n := op(2, z2); (n é o ângulo que o vetor forma com a horizontal.)

Sem usar o Maple, escreva z2 como um número complexo na forma exponencial.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(e) Agora utilize o Maple para formar a expressão exponencial.

> z3 := op(1, z2)*exp(i*op(2, z2));

O resultado aparece na forma exponencial? Escreva abaixo o resultado.

Resposta: ____________________________________________________________________________

Conclusão: O Maple tenta converter números complexos para a forma retangular em muitos casos e realiza a simplificação automática de números escritos na forma exponencial na maioria das vezes.

LM-3: Divisão Celular

Em um ambiente hospitaleiro, uma certa célula se divide em duas a cada hora. Imagine que uma única célula é colocada em um “oceano” de nutrientes ilimitados.

(a) Quantas células existirão depois de um dia?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Cada célula pesa um milionésimo de grama. Quanto pesarão as células encontradas em (a)?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Quanto tempo levará para que a massa das células chegue a um quilograma?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) Quantos dias isto levará?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

Conclusão: Este problema mostra que o termo “explosão populacional” é justificado quando aplicado a um crescimento exponencial. Uma população que dobra a cada hora é certamente um caso de crescimento exponencial.

Explorando mais: Começando com um “par primitivo”, quantos séculos serão necessários para que a população desta espécie chegue a 10 bilhões, sabendo que a população dobra a cada século?

LM-4

(a) Se quiséssemos saber qual a soma dos logaritmos naturais (logaritmos de base e) dos 100 primeiros números, como poderíamos simplificar o problema para obtermos uma solução aproximada, quase de imediato?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Radioatividade: Uma certa quantidade (55 miligramas) de rádio, um elemento radioativo, decompõe- se, de forma que haverá Ra miligramas deste elemento depois de t anos. A equação que relaciona Ra e t é

> t := 2350*(log(55) – log(Ra));

Encontre a quantidade restante de rádio depois de 225 anos.

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Finanças: Se uma quantia de P dólares (principal) é investida a um juro anual r, a quantia A do investimento acumulado, sabendo que o juro é composto e rende n vezes por ano, será:

> t := ‘t’: (Como t já havia sido definido no último problema, é preciso redefini-lo.)

> A := P*(1 + r/n)^(n*t);

r é, de fato, a taxa de juro anual? Calcule quanto terá rendido um investimento de R$1 no final de um ano (t = 1) se o juro for composto, rendendo 4 vezes por ano e a taxa de juros, r, for igual a 10%. Estabeleça a taxa de juro anual efetiva de acordo com o rendimento do investimento de R$1.

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) O dinheiro poderia render mais se os juros compostos fossem aplicados mais vezes? Para descobrir a resposta, mude n para 12 (juros mensais) e calcule a nova taxa de juros.

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(e) Se os juros compostos fossem aplicados diariamente (n = 365), qual seria a taxa de juros efetiva?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(f) Se a taxa de juros compostos fosse aplicada por hora (n = 365  24), qual seria a taxa de juros efetiva?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(g) Imagine que os juros compostos fossem aplicados a cada instante. Qual deveria ser a fórmula para os juros? Qual a taxa de juros neste caso?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(h) A corrente em um circuito elétrico é dada pela equação

> I := 2,5*(1 – exp(–377*t));

Qual a corrente quando t = 3 milisegundos (ms)?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(i) Traçar o gráfico da expressão em (h). Quanto tempo leva para que a corrente alcance 63% de seu valor final?

> ; (Escreva aqui o comando em Maple.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

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