Questões
1. (Unicamp 2003) Considere dois triângulos retângulos T1 e T2, cada um deles com sua hipotenusa medindo 1 cm. Seja α a medida de um dos ângulos agudos de T1 e 2α a medida de um dos ângulos agudos de T2.
a) Calcule a área de T2 para α = 22,5°.
b) Para que valores de α a área de T1 é menor que a área de T2?
2. (Ita 2003) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do segmento CD e F um ponto sobre o segmento CE tal que m(BC) + m(CF) = m(AF). Prove que cos α = cos 2β, sendo os ângulos α = BÂF e β = EÂD.
3. (Unesp 2003) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo α, conforme a figura:
a) Admitindo-se que sen(α) = 3
5, calcule a distância x.
b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo α passou exatamente para 2α, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol.
4. (UFSCar 2003) Sendo sen α + cos α = 1/5, a) determine sen α e cos α.
b) represente no círculo trigonométrico todos os ângulos α que satisfazem a igualdade dada.
Matemática Avançada 3os anos João maio/11 Matemática
5. (UFPE 2004) Quantas soluções a equação sen2x + [(sen4x)/2] + [(sen6x)/4] + ... = 2, cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo sen2x e razão (sen2x)/2, admite, no intervalo [0, 20π]?
6. (Fuvest 2004) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
7. (Unesp 2004) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é α = 30°, a medida do ângulo AED é β e x = BE. Determine:
a) a área do triângulo BDE, em função de x. b) o valor de x, quando β = 75°.
8. (Unesp 2004) Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão
h(t) = 11,5 + 10 sem [(π/12) . (t - 26)],
em que o tempo t é dado em segundos e a medida angular em radianos.
a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = 0). b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo alcança e o tempo gasto em
9. (Unifesp 2004) Os triângulos que aparecem na figura da esquerda são retângulos e os catetos OA1, A1A2, A2A3, A3A4, A4A5,..., A9A10 têm comprimento igual a 1.
a) Calcule os comprimentos das hipotenusas OA2, OA3, OA4 e OA10.
b) Denotando por θn o ângulo (AnÔAn+1), conforme figura da direita, descreva os elementos a1, a2, a3 e a9 da sequência (a1, a2, a3, ..., a8, a9), sendo an = sen(θn).
10. (UFRN 2004) A figura a seguir é formada por três triângulos retângulos. As medidas dos catetos do primeiro triângulo são iguais a 1. Nos demais triângulos, um dos catetos é igual à hipotenusa do triângulo anterior e o outro cateto tem medida igual a 1.
Considerando os ângulos α, β e γ na figura abaixo, atenda às solicitações seguintes.
a) Calcule tg α, tg β e tg γ. b) Calcule os valores de α e γ.
11. (UFSC 2005) Sejam a e b os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AN e AM na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura 2, a seguir. Determine o valor de y = 15x4, sabendo que a + b =
2 π
.
12. (UFG 2005) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos?
13. (Unicamp 2005) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir.
a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB.
14. (UERJ 2004) A temperatura média diária (T) para um determinado ano, em uma cidade próxima ao polo norte, é expressa pela função abaixo.
T = 50sen [ (2π/365) (t - 101) ] + 7
Nessa função, t é dado em dias, t = 0 corresponde ao dia 1º de janeiro e T é medida na escala Fahrenheit. A relação entre as temperaturas medidas na escala Fahrenheit (F) e as temperaturas medidas na escala Celsius (C), obedece, por sua vez, à seguinte equação:
C = (5/9) (F – 32)
Em relação a esse determinado ano, estabeleça: a) o dia no qual a temperatura será a menor possível;
b) o número total de dias em que se esperam temperaturas abaixo de 0°C.
15. (UFRJ 2004) A equação x2 - 2xcosθ + sen2θ = 0 possui raízes reais iguais. Determine θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.
16. (Fuvest 2005) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação cos2 2x = (1/2) - sen2 x.
17. (FGV 2005) Num triângulo isósceles ABC, em que AB = AC, o ângulo  mede o dobro da soma dos outros dois. O lado BC mede 10 cm.
a) Obtenha o perímetro desse triângulo.
b) Considerando que sen x + cos x = k, calcule, em função de k, o valor da expressão sen3x + cos3 x.
18. (Unesp 2005) A temperatura, em graus Celsius (°C), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, da 0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função: f(t) = cos 12 π t – cos 6 π t, 0 ≤ t ≤ 24, com t em horas. Determine:
a) a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às 9 horas (use as aproximações
2= 1,4 e 3= 1,7).
b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0°C.
19. (ITA 2006) Determine para quais valores de x , 2 2 π π vale a desigualdade (4sen²(x) – 1) – (4 – sec²(x)) > 2.
20. (UFRJ 2007) Uma semiesfera de vidro, de raio interno R, é posta sobre uma mesa plana, conforme a figura. Entre as duas, é colocada ainda uma bola de raio R
2 .
No espaço remanescente (entre a semiesfera, a mesa e a bola), colocam-se bolas de raio r, de modo que r seja o maior possível.
a) Calcule r.
b) É possível colocar 8 bolas de raio r no espaço entre a semiesfera, a bola de raio R
2 e
21. (CEFET–CE 2005) Sabendo que x é do 4º quadrante e que cos x = 1/3, calcule o valor da expressão y = (1 + sen x)/(1 + cos x).
22. (CEFET–CE 2006) Prove que a expressão (1 + cos x - 2 cos2 x)/(1 - cos2x) é igual a (1 + 2 cos x)/(1 + cos x).
23. (UFC 2007) Seja f : IRIR a função dada por f(x) = 2sen x + cos (2x). Calcule os valores máximo e mínimo de f, bem como os números reais x para os quais f assume tais valores.
24. (UFG 2007) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60°, conforme a figura a seguir.
Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo.
25. (UFG 2007) A figura a seguir representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m.
Nessas condições,
a) expresse a área da quadra em função do ângulo θ;
26. (Unesp 2007) Podemos supor que um atleta, enquanto corre, balança cada um de seus braços ritmicamente (para frente e para trás) segundo a equação
y = f(t) = (π/9) sen {(8π/3)[t - (3/4)]},
em que y é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical (-π/9 ≤ y ≤ π/9) e t é o tempo medido em segundos, t ≥ 0. Com base nessa equação, determine quantas oscilações completas (para frente e para trás) o atleta faz com o braço em 6 segundos.
27. (UFJF 2007) Considere a função f : [0, 2π]IR definida por f(x) = 2 + cos x. a) Determine todos os valores do domínio da função f para os quais f(x) ≥ 3/2.
b) Seja g : [0, π]IR a função definida por g(x) = 2x. Determine a função composta h = fog, explicitando sua lei de formação, seu domínio e contradomínio.
c) Verifique que a lei da função composta h pode ser escrita na forma h(x) = 3 - 2sen2x.
28. (CEFET–CE 2007) Na figura a seguir, determine o valor de x e o perímetro do triângulo.
29. (CEFET–CE 2007) Em um triângulo ABC, 3 sen A + 4 cos B = 6 e 4 sen B + 3 cos A = 1. Determine sen (A + B).
30. (UFC 2008) Calcule o valor numérico da expressão: log [tg (π/5)] + log[tg (3π/10)],
em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente do ângulo.
31. (Unifesp 2008) Considere a função y = f(x) = 1 + sen [(2πx - (π/2)] definida para todo x real.
a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.
32. (ITA 2008) Determine todos os valores α ] - 2 π , 2 π
[ tais que a equação (em x) x4 – 2 43 x2 + tg α = 0 admita apenas raízes reais e simples.
33. (Unicamp 2006) Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente.
a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO.
b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F.
34. (Fuvest 2006) Na figura a seguir, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60° e sen α =( 3 )
4 .
a) Determine sen OAB em função de AB. b) Calcule AB.
35. (Fuvest 2007) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5 cos 2x + 3 sen x = 4. Determine os valores de sen x e cos x. 36. (Unicamp 2007) Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de
uma estrutura, composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura a seguir.
Resolva as questões a seguir supondo que α = 15°. Despreze a espessura das barras de madeira e não use aproximações nos seus cálculos.
a) Calcule os comprimentos b e c em função de a, que corresponde ao comprimento da barra da base da estrutura.
b) Assumindo, agora, que a = 10 m, determine o comprimento total da madeira necessária para construir a estrutura.
37. (UFMG 2007) Nesta figura, está representado o trapézio isósceles ABCD:
Sabe-se que
– os segmentos AC e AD têm o mesmo comprimento; – o segmento BE é perpendicular ao segmento AD; e – os segmentos BC e BE medem, cada um, 1 cm.
a) Calcule o comprimento do segmento AE. b) Calcule a tangente do ângulo θ.
38. (UFPR 2007) O retângulo a seguir está inscrito em uma circunferência de raio r = 1, com os lados paralelos aos eixos coordenados.
a) Encontre a área e o perímetro do retângulo em função do ângulo θ 0
2 π θ .
b) Determine θ para que a área do retângulo seja máxima. c) Determine θ para que o perímetro do retângulo seja máximo.
39. (UFSCar 2004) O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função f(x) = 2,1 + 1,6 sen (πx/6), onde x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x (em milhares).
a) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas. b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que x [1, 12], e determine a diferença
40. (Fuvest 2008) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π/2 < x < π e verifica a equação sen x + sen 2x + sen 3x = 0.
Assim, a) determine x.
b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x.
41. (Unicamp 2008) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme mostra a figura a seguir.
Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões a seguir.
a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1° equivale a 30 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5 m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada?
b) Se α = 75°, quanto mede AB?
42. (Fuvest 2009) Seja x no intervalo 0, 2 π satisfazendo a equação tg x + 2 5 sec x= 3 2 .
Assim calcule o valor de: a) sec x. b) sen x . 4 π
43. (UFF 2010) Nos itens a seguir, arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0,π ] e arctg denota a função inversa da função tangente restrita ao intervalo ( , ). 2 2 π π a) Calcule arccos(cos( 5 π )). b) Calcule sen(arctg(- 1)).
c) Verifique que sen(arccos(x)) = 2
1 x para todo x [−1,1].
44. (ITA 2010) Considere a equação
2 2x x (3 2cos x) 1 tg 6tg 0. 2 2
a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, π[. b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x.
45. (UFBA 2010) Dadas as funções reais
senx,0 x 2
f x 2 , 2 x 0 f x e g x , 1 cos x, x 1 f x ,0 x 2 2 2 determine x, pertencente ao intervalo 0, 2 tal que
2 7 f x g x 0. 4 46. (UFSCar 2010) Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e raio R. Na figura, está representado o planeta Terra e uma nave espacial N. A fração visível da superfície da Terra por um astronauta na nave N é dada em função do ângulo θ, mostrado na figura, pela expressão:
1 sen f2 θ θ
a) Determine o ângulo , em graus, para o qual é visível da nave a quarta parte da superfície da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a aproximação R = 6.400 km.)
b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da Terra, avista a superfície da Terra com ângulo = 15°, determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as aproximações 21,4 e 6 2,4.)
47. (Unicamp 2011) Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r
e ângulo interno .
a) Se o engenheiro adotar 45 , o segmento central medirá xd 22r( 2 1). Nesse caso, supondo que d72 m, e r36 m, determine a distância y entre as extremidades dos trechos a serem interligados.
b) Supondo, agora, que 60 , r36 m e d90 m, determine o valor de x.
48. (UFBA 2011) Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as soluções da equação 4 cos2 cos x.se x cos x
7
sen 11 04 2 2 π π π π que pertencem ao intervalo [−6, 8].
Gabarito
Resposta da questão 1: a) 1/4
b) 0° < α < 30°
Resposta da questão 2:
Sendo ℓ a medida de cada lado do quadrado ABCD e x a medida do segmento GB, no triângulo retângulo GAF, tem-se:
1º) (AF)2 = (AG)2 + (GF)2 ⇔ (ℓ + x)2 = (ℓ - x)2 + ℓ2 ⇔ 4ℓ x = ℓ2 ⇔ x = ℓ/4
2º) cos α = AG/AF ⇔ cos α = (ℓ - x)/(ℓ + x) ⇔ cos α = (ℓ - ℓ/4)/(ℓ + ℓ/4) ⇔ cos α = (3ℓ/4)/(5ℓ/4) ⇔ cos α = (I) No triângulo retângulo DAE, têm-se:
1º) (AE)2 = (AD)2 + (DE)2 ⇔ (AE)2 = ℓ2 + (ℓ/2)2 ⇔ AE = ℓ 5 2 2º) cos β = AD/AE ⇔ cos β = ℓ/(ℓ 5
2 ) ⇔ cos β = 2/ 5 3º) cos 2 β = 2 cos2 β - 1
Assim: cos 2 βb = 2 . (2/ 5)2 - 1 ⇔ cos 2 β = 3/5 (II) De (I) e (II) tem-se, finalmente: cos α = cos 2 β Resposta da questão 3: a) x = 48m b) x' = 10,5m. Resposta da questão 4: a) sen α = 4/5 e cos α = -3/5 ou sen α = -3/5 e cos α = 4/5 b) Resposta da questão 5: 20 Resposta da questão 6: MN = 11/30 unidades de comprimento
Resposta da questão 7: a) 3x 2 cm2 b) 6[( 3) -1] cm Resposta da questão 8: a) 6,5 m
b) período: 24 segundos; altura mínima: 1,5 m; altura máxima: 21,5 m
Resposta da questão 9:
a) OA2 = 2u. c., OA3= 3u.c., OA4= 4= 2 u.c. e OA10 = 10u.c. b) a1 = ( 2) 2 , a2= ( 3 ) 3 , a3 = ( 4 ) 4 = 1 2 e a9= ( 10 ) 10 Resposta da questão 10: a) tg α =1, tg β = 2 2 e tg γ = 3 3 b) Como 0° < α, β, γ < 90°, temos: tg α = 1 tg α = tg 45° α = 45° tg γ = 3 3 tg γ = tg 30° γ = 30°
c) Pelo item (a) sabemos que tg γ < tg β < tg α. E como estes ângulos são todos agudos, conclui-se que: γ < β < α 30° < β < 45°.
Adicionando-se 75° a todos os termos da desigualdade, obtém-se 105° < 45° + β + 30° < 120° 105° < α + β + γ < 120°. c.q.d. Resposta da questão 11: y = 15x4 = 60 Resposta da questão 12: AB = ( 1,49 - 1,4 . cos 36°) m Resposta da questão 13: a) 1 km b) 2km Resposta da questão 14: a) 10 de janeiro b) 243 dias Resposta da questão 15: θ = π/4 ou 3π/4 ou 5π/4 ou 7π/4 Resposta da questão 16: S = { π/6, π/4, 3π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 7π/4, 11π/6 }
Resposta da questão 17: a) {10 + 20 3 3 } cm b) (3k - k3)/2 Resposta da questão 18: a) f(2) = 0,35°C; f(9) = - 0,7°C b) 0h, 8h, 16h e 24h Resposta da questão 19: S =
xR |π4 x π6ou π6 x π4
Resposta da questão 20: a) R 4 b) Sim Resposta da questão 21: y = (3 - 2 2 )/4 Resposta da questão 22:(1 + cos x - 2 cos2 x)/(1 - cos2x) = [(1 - cos x) (1 + 2 cos x)]/[(1 + cos x) (1 - cos x)] = (1 + 2 cos x)/(1 + cos x). Resposta da questão 23:
O valor máximo de f é 3/2, quando x = (π/2) ± (π/3) + 2kπ, com k Z. O valor mínimo de f é -3, quando x = (3π/2) + 2kπ, com k Z.
Resposta da questão 24: 6 + 4 3m Resposta da questão 25: a) 100 sen 2θ b) 10 2m e 5 2m Resposta da questão 26: 8 Resposta da questão 27: a) {xIR I 0 ≤ x ≤ 2π/3 ou 4π/3 ≤ x ≤ 2π} b) h : [0, π] IR onde h(x) = 2 + cos (2x)
c) h(x) = 2 + cos 2x = 2 + (cos2 x - sen2 x) = 2 + (1 - 2sen2 x) = 3 - 2sen2 x Resposta da questão 28: x = 3 2 2 P = 7,5 cm Resposta da questão 29: 1/2 Resposta da questão 30: 0
Resposta da questão 31: a) P = 1; Im = [0; 2] b) {1/4, 3/4} Resposta da questão 32: 0 < α < π/3 Resposta da questão 33: a) DO = 5 cm, EO = 7 cm e FO = 7 cm b) DE = 2 29cm, DF = 130 cm e EF = 7 2 cm Resposta da questão 34: a) sen OAB =
4 AB( 3 )
b) AB = [( 13) 1] 6 Resposta da questão 35: sen x = - 1/5 e cos x = - (2 6 )/5 Resposta da questão 36: a) b = a . ( 6 2) 2 c = a . (2 3 ) 4 b) 5 . [6 3( 6) 3( 2) 2( 3)]m Resposta da questão 37: a) 1 3cm b) 1 7 Resposta da questão 38:a) A = 2 sen 2θ; 2P = 4 (sen θ + cos θ)
b) θ = 4 π rad c) θ = 4 π rad Resposta da questão 39: a) julho e novembro. b) 3.200 turistas.
Resposta da questão 40: a) 2π/3. b) 0. Resposta da questão 41: a) 15 minutos. b) 25[2 ( 2 3)]m. Resposta da questão 42: a) 5 2 b) 3 10 10 Resposta da questão 43: arccos(cos( 5 π )) = 5 π sen(arctg(- 1)). = sen 4 = 2 2
sen2a + cos2a = 1 sen2a + x2 = 1 sena = 1 x 2 , considerando [0,π ] para o cosseno temos:
sena = 1 x 2 Resposta da questão 44: a) (3 – 2cos2x).(1 + tg2 ) 2 (x = 6.tg ) 2 (x (3 – 2cos2x) 2 cos 2 . 6 2 cos 1 2 x x sen x (3 – 2cos2x) = 6.sen 2 x .cos 2 x
3 – 2(1 – sen2 x) = 3.senx 2sen2 x - 3.senx + 1 = 0
Senx = 1 x = 2 senx = ½ x = 6 ou x = 6 5 S = { 6 , 2 , 6 5 } b) 0 cotg 2 cotg , 3 6 cotg 6 5 = 3 Resposta da questão 45: Cálculo de g(x).
Escrevendo a equação temos:
2 2 7 sen x 1 1 cos x 0 2 4 7sen x 2 senx 0 multiplicando por 4 4 4sen2x – 4senx + 1 = 0
Resolvendo, temos senx = 1 x
2 6
.
Resposta da questão 46: a) Como é agudo, segue que:
1 1 sen 1
sen 30 .
4 2 2
Do triângulo NAC, vem:
R 6400
sen sen30 d 12800 6400 6.400km.
R d 6400 d
b) Para 15 , segue que f(15 ) 1 sen15 . 2
Mas
sen15 sen(45 30 )
sen 45 cos 30 sen30 cos 45
2 3 1 2 2 2 2 2 6 2 4 2,4 1,4 4 1 . 4 Portanto, 1 1 3 4 f(15 ) . 2 8 Resposta da questão 47: a) Para d72 m e r36 m, vem: x72 2 2 36 ( 2 1) 72 m. Queremos calcular yBC CG GH.
Como os triângulos ABC e DEF são congruentes, FEBC. Além disso, FEGH, pois FE GH. Portanto, y 2 BC CG 2 r sen x cos 2 36 sen 45 72 cos 45 2 2 72 72 2 2 72 2 m.
b) Para 60 e r36 m, temos: 1 HI JE DJ DE r r cos60 36 36 18 m. 2 Do triângulo CFG, vem: 3 FG HE x sen x sen60 x. 2
Portanto, para d90 m, segue que 3
d 2 JE HE 90 2 18 x x 36 3 m. 2
Resposta da questão 48:
Escrevendo uma equação equivalente, temos: 2
2 2
4. .cos x.cos x ( cos x) ( 1) 0 2 2 cos x cos x 1 0
Resolvendo a equação na incógnita cosx, temos: 1 cos x ou cos x 1 2 Logo, x k.2 ou x k.2 3 Fazendo : 11 13
k -2 x (não convém), x (não convém) , x -3 (não convém)
3 3 5 7 k -1 x , x (não convém) , x -3 3 k 0 x , x - , x 3 3 7 k 1 x , x 3 π π π π π π π π π π π π π π 5 , x 3 (não convém) 3 13 11
k 2 x (não convém), x (não convém) , x 5 (não convém)
3 3 π π π π π
Portanto, as soluções da equação que pertencem ao intervalo dado são:
5 5 7 , , , , , e . 3 3 3 3 3 π π π π π π π