A ONDA a onda anda aonde anda a onda? a onda ainda ainda onda ainda anda aonde? aonde? a onda a onda.

Hélio Magalhães de Oliveira, [email protected] Foto: Rafaël de Oliveira

Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária

Caixa Postal 7.800 CEP 50.711-970 Recife - PE

URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/deOliveira.html

A onda.

Manuel Bandeira, in: Estrela da Tarde.

A ONDA a onda anda aonde anda a onda? a onda ainda ainda onda ainda anda aonde? aonde? a onda a onda.

Extrato do livro: H.M. de Oliveira, Análise de Sinais para

1

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CAPÍTULO 1

Wavelets: Uma Evolução na Representação de Sinais

1.1 Introdução

A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas mais poderosas e mais utilizadas no estudo e processamento, tanto de sinais determinísticos quanto de sinais estocásticos. Uma teoria muito mais potente e geral foi introduzida nos meados dos anos 80 [e.g. GOU et al. 1984, GRO&MOR 1984], a qual evoluiu muito rapidamente para uma área própria. A Transformada de Wavelet constitui uma ferramenta moderna que permite a unificação de um grande número de técnicas de análise e processamento, como análise de imagens, codificação em sub-bandas, análise multirresolução para visão artificial em computadores e modelagem de sistemas variantes no espaço-tempo [RIO&VET 1991], [BRU et al. 1996]. Ela inclui a Série de Fourier, a Transformada de Fourier, a Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas, por exemplo, como casos particulares, permitindo a análise de sinais não-estacionários, incluindo sinais banda larga. Wavelets constituem hoje uma das ferramentas mais potentes do Processamento digital de sinais (PDS).

As Transformadas de Wavelets foram introduzidas pela Escola Francesa (Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.), originária de estudos de curta duração associada a pacotes de ondas acústicas sísmicas. O procedimento de análise adota uma função protótipo Wavelet, chamada de Wavelet analisadora ou wavelet-mãe. O termo cunhado originariamente era ondelettes, que significa algo como "ondinhas" e Wavelets corresponde a uma versão anglofônica. Qualitativamente, duas características são exigidas para uma função ψ(.), chamada de

Wavelet mãe: Oscilação (associada ao termo ondas); e decaimento rápido no tempo  curta duração (associado ao diminutivo ondinhas). Todas as funções usadas como "núcleo da transformação" correspondem a versões comprimidas/expandida de uma mesma onda mãe. Uma larga variedade de Wavelets podem ser usadas, cada uma delas apresentando diferentes compromissos entre o grau de compacticidade da "base" de funções e o grau de suavidade das formas de onda.

wavelets1 quando analisavam sinais geofísicos destinados a exploração de petróleo e gás e constataram que, durante as repentinas variações do sinal, a análise de Fourier não estava sendo eficiente (Morlet recebeu o prêmio Reginald Fessenden Award 1997). Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta teoria com o processamento digital de sinais, particularmente com os filtros espelhados em quadratura, algoritmos piramidais. Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não triviais, continuamente diferenciáveis (embora não fossem de suporte compacto). Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais usado conjunto de wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada).

Figura 1. Jean Morlet.

A descrição matemática para a teoria de wavelets discretas foi construída no final da década de 80 [particularmente por Daubechies, Mallat, Meyer]. Um resumo (tutorial) particularmente lúcido pode ser encontrado em [BULT 1995].

As wavelets se desenvolveram nos campos da Matemática, Engenharia, na Física Quântica e hoje vem sendo incluídas em uma larga gama de aplicações: geologia sísmica, visão computacional e humana, radar e sonar, computação gráfica, predição de terremotos e maremotos, turbulência, fractais, bancos de filtros, distinção celular (células normais vs patológicas), modelos para trato auditivo, compressão de imagens (e.g. o padrão

JPEG2000 Still image Compression é baseado em wavelets, vide

http://www.jpeg2000.org; o padrão do FBI para armazenamento de impressões digitais, (The FBI Wavelet/Scalar Quantization Fingerprint Image Compression Standard http://www.c3.lanl.gov/~brislawn/FBI/FBI.html), descontaminação de sinais (denoising), detecção de rupturas e bordas, análise de tons musicais, neurofisiologia, detecção de curtos eventos patológicos (e.g. crises epilépticas) e análise de sinais médicos (eletrocardiogramas, mamografias, eletroencefalogramas etc.), espalhamento em banda larga, modelagem de sistemas lineares, óptica, modelagem geométrica, caracterização de sinais acústicos, reconhecimento de alvos, análise de transitório e falhas em linhas de potência, Metalurgia (rugosidade de superfícies), visualização volumétrica, Telecomunicações (incluindo espalhamento espectral), previsão de comportamento de mercados financeiros, Estatística, solução de equações diferenciais ordinárias e parciais, não sendo esta lista nem de longe exaustiva.

A principal ferramenta no estudo de ondas foi inventada com outro propósito: Aprender sobre o calor. Jean-Baptiste-Joseph Fourier descobriu no início do século XIX, na sua monografia de 1822 "La Théorie Analytique de la Chaleur", que as ondas (senoidais) constituem os elementos fundamentais de vibrações e ondas periódicas  verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo [BAE 1999].

A análise de Fourier implica no fato que muitos sinais irregulares podem ser "dissecados" numa superposição de muitos ritmos regulares, com várias amplitudes e freqüências. Em Música, ela descreve como cada som pode ser analisado como uma mistura de tons puros; em Óptica, a luz em qualquer matiz pode ser sintetizada a partir das cores fundamentais do arco-íris.

Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no domínio da freqüência. A decomposição em série evoluiu para a representação via transformada de Fourier e a maior parte dos estudos envolvendo sinais incorporaram esta ferramenta.

Definição (ANÁLISE DE FOURIER):

A transformada de Fourier de um sinal f(t) -∞< t < +∞ é

∫

+∞

∞ − − = f t e dt w F( ): ( ) jwt , denotada algumas vezes ℑ[f(t)], se a integral imprópria existe. o

Conhecendo-se o espectro F(w) de um sinal, é possível re-obtê-lo no domínio temporal utilizando a transformada inversa (SÍNTESE DE FOURIER):

∫

−+∞∞ = F w e dw t f ( ) jwt 2 1 ) ( π . oo

A notação clássica, adotada neste texto, denota a transformada de Fourier de um sinal f(t) por F(w). A unicidade (quase em toda parte) de um sinal com seu espectro é explicitada pelo par transformada: f(t) ↔ F(w).

A Transformada de Fourier verifica importantes propriedades de isomeria, resumidas nos dois teoremas enunciados abaixo (aqui, para simplificar, usa-se w=2πf):

TEOREMA DE PARSEVAL.

Seja f(t) ↔ F(w) um sinal real, de energia finita. Então a energia do sinal pode ser

calculada em qualquer dos domínios, i.e,

∫

∫

+∞ ∞ − +∞ ∞ − f t dt= F f df 2 2 | ) ( | ) ( _{. o}

Este resultado é generalizado através do

TEOREMA DA ENERGIA DE RAYLEIGH (ou Teorema de Parseval-Plancherel). Seja f(t) ↔ F(w) e g(t) ↔ G(w) sinais reais, de energia finita. Então

∫

∫

−+∞∞

+∞ ∞

− f(t)g(t)dt = F(f)G*(f)df . o

Como corolário, tem-se o Teorema de Parseval, assumindo que g(t)=f(t).

Por que wavelets? Em que esta ferramenta pode ser mais potente que a análise espectral clássica de Fourier? De onde surgiram as wavelets? Há vantagens no uso da análise wavelet ao invés da análise de Fourier, por exemplo, em situações em que os sinais contém descontinuidades e/ou variações abruptas e curtas (e.g., tipo centelhamento). Uma das características centrais é ser bem adaptada a sinais de curta duração e com variações muito rápidas, tais como sinais transitórios, sísmicos, de voz, et caetera.

1.2 Análise Espectral Para Sinais Não-Estacionários

A questão fundamental é: "como apresentar aos principiantes, noções sobre a

análise espectral de sinais não estacionários?". A discussão a seguir, pouco rigorosa,

procura apenas despertar interesse e introduzir conceitos.

A abordagem de Fourier desempenhou um papel fundamental na evolução da idéia que se tinha sobre funções: Ele abriu as portas para um novo universo funcional. Entretanto, a Transformada (Clássica) de Fourier inclui implicitamente uma hipótese sobre a estacionaridade dos sinais. Uma análise espectral adequada aos sinais não estacionários requer mais do que a transformada ℑ e requer a introdução de uma dependência no tempo na análise de Fourier, se possível, preservando a linearidade. Os sinais devem ser tratados não no domínio t ou domínio f, mas em ambos (espaço conjunto tempo-freqüência)!

1.2.2 Conceito de estacionaridade - Introduzindo a idéia sem formalismo Uma das deficiências da análise via Transformada de Fourier é que ela não apresenta um caráter local. Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim dos tempos (+∞) é levado em consideração. A transformada de Fourier representa um "comportamento global médio" do sinal. Vejamos a análise aplicada a dois sinais mostrados abaixo.

(a)

(b) Figura 2. (a) Ilustração de um trecho de um sinal (possivelmente) estacionário,

A transformada de Fourier analisa a contribuição de cada componente harmônica no sinal como um todo. Imagine um sinal com uma linha de base por quase todo o tempo e apenas uma flutuação (de natureza diferente) num curto espaço de tempo, localizada. O comportamento do espectro de Fourier é praticamente "comandado" pelo sinal da linha de base. Os efeitos de tal variação não são bem detectados pela transformada de Fourier. Em contraste, o sinal da Fig.3a apresenta um comportamento "mais ou menos" semelhante em qualquer trecho analisado (sinal estacionário). Esta abordagem pouco formal não define claramente o que é estacionaridade de sinais determinísticos, mas é o suficiente para os propósitos aqui discutidos.

Figura 3. (a) Sinal com linha de base, (b) Trecho de sinal sísmico.

Imagine agora a introdução de uma evolução na TF clássica, considerando a (STFT) Transformada de Gabor, ou transformada de janela (transformada de Fourier de tempo curto). Esta transformada introduz um caráter local e passa a depender fortemente do instante de tempo analisado. Ela se torna mais complexa que Fourier, porém é mais poderosa. Este é o primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um caráter local, que tem haver com o parâmetro b, deslocamento. Tudo se passa como se o sinal fosse "fatiado" em vários trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral fosse analisada, resultando em um espectro local. Observe que agora tem-se uma seqüência de "fotos" do espectro

... F(w,t-1), F(w, t0), F(w,t1), F(w,t2) .... evoluindo temporalmente.

A classe de sinais, cujo espectro permanece relativamente independente no tempo, são referidos como sinais estacionários. Já os sinais não-estacionários trazem variações substanciais e significativas de padrão e comportamento, dependendo do instante de tempo considerado. É como se "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3×4 de fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal completamente diferente (e.g., girafa). Eleger uma foto média não tem lá tanto significado quanto no caso anterior - se bem que tem algum. Veja os diferentes níveis de "estacionaridade": seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempos; seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de uma mesma raça (origem); seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de origens diferentes; seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes (levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu); seqüência de fotos arbitrárias diferentes em tempos diferentes, incluindo objetos, paisagens etc. No primeiro caso, há algum sentido em armazenar um padrão único (uma foto representativa do indivíduo). No segundo caso, imagine um mecanismo de extrair "algo" médio, "quase" comum, e eleger uma única foto de um representante típico da raça (e.g. foto típica de um caucasiano). Quanto mais variante a seqüência e com propriedades mais diferentes, menor o sentido de uma "foto única". Cada vez perde-se mais detalhes: Uma única foto de um homem, para representar a raça humana... De forma similar, o espectro de Fourier passa gradativamente a ter "menos sentido e interpretação", a medida que o sinal torna-se mais não-estacionário. Uma única foto representativa pode ter alguma valia, dependendo do que se quer fazer e dos compromisso com complexidade etc..

Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido? O problema é similar àquele da representação por uma foto única. A resposta não é fechada. Depende do que se deseja e quanto se pode "pagar". Esta abordagem, embora muito grosseira, é o suficiente para os propósitos aqui discutidos.

1.2.3 A Transformada de Gabor (Transformada de Fourier de tempo curto) Como mencionado, uma das grandes desvantagens da análise de Fourier (espectro) provém do fato que ela apresenta apenas resolução na freqüência e não no tempo. Isto significa que, embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem. A teoria por trás da análise de Fourier diz que um sinal pode ser representado por uma soma infinita de termos em seno e cossenos, mais conhecida como a expansão de Fourier. A Transformada de Fourier (T.F.) tem suas grandes vantagens e também as suas desvantagens. A maior destas é o fato da T.F. poder determinar todas as freqüências presentes no sinal, porém sua relação com o domínio temporal é inexistente. A transformada de Fourier não fornece uma análise temporal, apenas freqüencial [FOU 1995, GOM et al. 1987, BULT 1995].

Para superar este problema, várias alternativas foram propostas objetivando ter uma análise, ao mesmo tempo, temporal e freqüêncial de sinais não estacionários [DAU 1990]. A primeira delas foi a Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT – Short

Time Fourier Transform) ou também conhecida como a Transformada de Gabor [GAB

A idéia da Transformada de Fourier de Tempo curto STFT (ou Transformada de Gabor) é introduzir um parâmetro de freqüência local (local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece aproximadamente estacionário.

A transformada local observa f(t) "através" de uma janela W(t) centrada no instante de tempo τ e de extensão "limitada", antes do cálculo do espectro. Formalmente,

dt ô) e (t t)W f( STFT(w +∞ * −jwt ∞ − − =

_∫

: ) ,τ .

Necessita-se agora de uma representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo. Existem diversas escolhas para a janela, sendo a mais comum uma janela Gaussiana. O detalhe mais importante é que uma vez fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo e na freqüência f e t permanece constante em todo o plano t-f.

f t f 1 f 2 f f 1 f 2 t 1

Figura 4. Análise espectral com Transformada de Fourier clássica e em tempo curto. Uma situação onde há dificuldade da análise de Fourier ocorre, por exemplo, no estudo de sinais sísmicos. Grande parte do tempo, o sismógrafo registra um sinal "de base", e somente na ocorrência de terremotos, um sinal rápido, curto, de freqüência mais elevada aparece. Analisar estes sinais em tempo real, monitorando via Transformada de Fourier, não é tão eficaz. A próxima pergunta é: por que a STFT não é suficiente? O que seria mais apropriado, além de um transformada local (as wavelets são também transformadas locais)? A necessidade da segunda operação básica das wavelets, o escalonamento, também pode ser entendida neste contexto. Imagine que o espectro "local" é analisado com um banco de filtros BPF (a definição operacional da transformada de Fourier).

1.2.4 A Guisa de uma Análise de Wavelets

Uma outra alternativa para abordar o problema no plano conjunto

tempo-freqüência consiste em permitir uma resolução variável no tempo. Intuitivamente, quando

a análise é visualizada como um banco de filtros, a resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou ∆f/f=cte, realizar a análise em banco

de filtros compostos por passa-faixas com banda passante relativa constante (ou fator de qualidade Q constante). Agora, para Q constante, vê-se que as resoluções t e f mudam com a freqüência central, satisfazendo ainda o princípio da Incerteza de Gabor-Heisenberg, o qual estabelece que a área de um retângulo no plano nunca podem ser inferior a um dado valor (célula básica). A resolução no tempo torna-se arbitrariamente boa para altas freqüências, enquanto que a resolução em freqüência torna-se arbitrariamente boa em baixas freqüências. A figura abaixo explicita este comportamento [RIO&VET 1991], [MEY et al. 1987].

(a) (b)

Figura 5. Resolução no plano tempo × freqüência: (a) FT e (b) WT.

As wavelets constituem também transformadas lineares, o que é bastante atrativo do ponto de vista prático e de manipulação matemática. De volta ao exemplo das fotografias: O problema da escala pode ser interpretado no contexto das fotos.

Deve-se usar uma representação para um indivíduo de meia-idade com uma meia dúzia de fotos (0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos). Ao invés de tomar-se uma foto a cada 5 anos, um modelo mais interessante pode levar em conta o fato que as mudanças ocorridas nos 10 primeiros anos são mais significativas que aquelas para o mesmo intervalo, porém com maior faixa etária. Talvez fosse mais interessante considerar um conjunto de seis fotos tomadas a 1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos. Isto leva em conta que as diferenças entre as fotografias aos 20 e 25 anos são praticamente idênticas, pouco adicionando ao conhecimento.

O comportamento das respostas ao impulso dos filtros de análise, oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas", é visualizado nas figuras abaixo.

As wavelets podem ser interpretadas como as transformadas lineares locais geradas por um banco de filtros de fator de qualidade constante.

F(w0) ..., F(w0, t-1), F(w0, t0), F(w0, t1), ...

F(w1) ..., F(w1, t-1), F(w1, t0), F(w1, t1), ...

F(w2) ..., F(w2, t-1), F(w2, t0), F(w2, t1), ...

F(wN) ..., F(wN, t-1), F(wN, t0), F(wN, t1), ...

(a) (b)

Figura 7. Análise em escala linear: (a) Fourier e (b) STFT: wn=nw0 e Bn=cte.

..., WT(w0, t-1), WT(w0, t0), WT(w0, t1), ... ..., WT(w1, t-1), WT(w1, t0), WT(w1, t1), ... ..., WT(w2, t-1), WT(w2, t0), WT(w2, t1), ... . ... ... . ..., WT(wN, t-1), WT(wN, t0), WT(wN, t1), ...

Figura 8. Análise em escala logarítmica: wm=w0m (i.e., log2wm=m log2w0) e Bm=mB0.

Ao invés de interpretar os parâmetros nos domínios tempo e freqüência (f × t), costuma-se utilizar os domínios escala e deslocamento (a × b). Uma interpretação interessante está associada a lidar com imagens tipo "mapas". Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior, ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global. Esse conceito deriva de um tipo de Princípio da Incerteza "Gabor-Heisenberg". O parâmetro de deslocamento permite deslocar (parâmetro local) o foco da atenção para uma outra parte do mapa. Numa escala 1: 15.000.000 é possível ter uma idéia do Brasil como um todo (mapa do Brasil), porém já numa escala 1: 3.500.000, pode-se analisar f(t)

globalmente o estado de Pernambuco, perdendo-se a noção do Brasil como um todo. O que é melhor? Quem já usou mapas sabe que depende fundamentalmente do que se quer investigar! A análise via wavelets permite, por assim dizer, visualizar tanto a floresta quanto as árvores.

Na Transformada Contínua de Wavelet CWT, todas as respostas ao impulso no

banco de filtros são versões escalonadas (expandidas ou comprimidas) de uma mesma

ψ_{(t), chamada de Wavelet básica. Assim,}

t a t t f a a, ): 1 ( ) ( )d CWT(

∫

+∞ * ∞ − − = ψ τ τ _{. o}

É facilmente reconhecido que esta transformação enquadra-se no rol das

Transformadas Lineares, o que é extremamente atrativo do ponto de vista de

manipulação matemática.

A função ψ(t) é conhecida como wavelet mãe. A partir dela geram-se versões modificas no decorrer da transformada. O termo mãe vem do fato que funções com diferentes tamanhos são usadas no processo da transformada e todas são originadas de uma wavelet principal, a wavelet mãe. Ela é um protótipo para a geração de outras funções janela. Todas as janelas a serem utilizadas são de facto versões dilatadas e comprimidas da mesma "wavelet mãe" [GRO&TORR 2001], [BULT 1995].

f f_{0 0 0 0}2f 3f 4f ...

f f 2f 4f 8f ....

0 0 0 0

Banda passante constante (STFT)

Banda passante relativa (Q) constante (WT)

Figura 9. Análise Espectral com banco de Filtros- (a) STFT e (b) WT.

A condição de variação ondulatória rápida para a wavelet básica ψ(t) é facilmente interpretada quando as wavelets são interpretadas como respostas ao impulso de um Banco de filtros BPFs. Primeiramente, todos os filtros são da mesma família (e.g., filtros BPFs Gaussianos, centrados em freqüências distintas, porém todos com o mesmo fator de qualidade Q).

A resposta ao impulso de qualquer dos BPFs tem característica de oscilar em torno da freqüência central do filtro e decair rapidamente. Imaginando-se filtros BPFs ideais, apenas para ilustrar, |H(w)|=

Π

(w-w0)+

Π

(w+w0) ↔ π−1Sa(t/2).cos(w0t) e a resposta

ao impulso seria algo do tipo ψ(t) =Sa(t/2)cos(w0t), i.e., oscilante e amortecida.

O assunto é bem mais profundo do que a visão superficial adotada em todo o corpo deste compêndio. Porém, pode servir como texto introdutório, especialmente para engenheiros e interessados em aplicações da ferramenta.

(a)

2

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CAPÍTULO 2

Wavelets Contínuas

2.1 Introdução a Transformada Contínua de Wavelet

A Transformada de Wavelet foi desenvolvida como uma alternativa à STFT para solucionar o problema da resolução. A análise com wavelets é feita similarmente à análise com STFT, no que diz respeito à multiplicação do sinal por uma função (que neste caso será a wavelet e não mais uma janela, como na STFT). A transformada é calculada separadamente por segmentos diferentes do sinal no domínio do tempo.

O detalhe mais importante é que uma vez fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constante em todo o plano t-f, como mostrado na figura 10 (a). Os problemas na resolução do tempo e da freqüência são resultados de um fenômeno físico conhecido como o Princípio de Gabor-Heisenberg. Este fenômeno é indiferente em relação à transformada usada. A maneira de se analisar um sinal é através de uma forma alternativa chamada de Análise Multirresolucional (AMR). Como o próprio nome diz, ela analisa o sinal em freqüências diferentes com resoluções diferentes, como mostrado na figura 10 (b).

Tem-se uma alta resolução no tempo e baixa na freqüência para freqüências mais altas e uma resolução freqüêncial alta e resolução temporal baixa para freqüências mais baixas. Isto devido ao fato de sinais com componentes em alta freqüência terem rápidas alterações no domínio temporal e sinais com componentes de baixa freqüência terem alterações mais lentas no domínio temporal [GRA 1999].

Freqüência Freqüência

Tempo Tempo

(a) (b)

As wavelets são funções matemáticas que separam dados em suas diferentes componentes freqüênciais, e extraem cada componente com uma resolução adequada à sua escala. Elas têm vantagens em relação a análise de Fourier, pois esta última analisa o sinal como um todo, acarretando numa representação mais pobre para sinais que contêm descontinuidades e variações bruscas [GOM et al. 1987], [FOU 1995], [HER&WEI 1996], [PER&WAL 2000], [MALL 2000].

2.1.1 A Transformada de Wavelet Contínua CWT ψ_{(t) wavelet-mãe} ψ_(t) ∈ _L2₍ℜ_).

∫

+∞ ∞ − (t)dt <+∞ 2 ψ e E_ψ =<ψ,ψ >. Operações: a) escalonamento       = a t a t a ψ ψ | | 1 ) ( , a≠0. b) deslocamento ψ_b(t)=ψ(t−b).

c) deslocamento com escalonamento ψ_a,b(t)=ψ_a(t−b)=       − a b t a|ψ | 1 . o )} ( { )} ( {ψ t → ψ_a,b t (∀a, a≠0) (∀b∈ ℜ).

Em termos matemáticos, dada uma função f(t), a função f(s.t) corresponde a uma versão:

Comprimida, se s>1; Expandida, se s<1.

No caso da transformada de wavelet, o parâmetro escala aparece no denominador. Neste caso teremos uma versão:

Comprimida da wavelet mãe, se a<1; Dilatada da wavelet mãe, se a>1.

O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando garantir a isomeria: todas as ondelettes tem a mesma energia!

2 , 2 || ) ( || || ) ( ||ψ t = ψab t i.e. Eψ =Eψ_a,b.

Constatando este fato:

∫

−+∞∞ = = >= < _{ab ab} E _{ab ab} t dt b a || || ( ) , 2 , 2 , , , ψ _, ψ ψ

ψ _ψ . Substituindo a relação ψ_a,b(t)em termos de

) (t ψ : dt a b t a dt a b t a E b a       − =       − =

∫

₋+_∞∞ 2

∫

₋+_∞∞ 2 | | 1 | | 1 , ψ ψ

ψ . Fazendo a mudança de variável

Portanto, a escolha das wavelets como sendo versões _      − a b t a|ψ | 1 _{garante a}

mesma energia para qualquer wavelet!

Define-se CWT(a,b):=

∫

+∞

∞

− f(t) a,b(t)dt

*

ψ =< f(t),ψa,b>. o

Fazendo agora uma analogia com a decomposição de sinais empregada na análise de Fourier: F(w)=

∫

+∞ ∞ − − dt e t f( ) jwt =< f(t),ejwt>. Produto Interno.

∫

+∞ ∞ − = > < f,g : f(t)g*(t)dt_.

Isto significa que o coeficiente de Fourier F(w), em cada w, pode ser interpretado como a projeção do sinal f(t) na direção das ondas

{ }

ejwt _w∈ℜ que constituem uma "base" do espaço de sinais. Esta "base" de Fourier é composta por sinais oscilatórios perpétuos - traduzindo o fato que Fourier está associado a um comportamento não-local no tempo, mas de -∞ a +∞. A decomposição de wavelets por sua parte, considera a decomposição de f em sinais

{

}

_{∈ℜ ∈ℜ}

+b a b

a, (t) *

ψ que constitui um novo conjunto de análise do espaço de sinais. Esta nova "base" (de fato, este conjunto não é formalmente uma base) é composta por sinais oscilatórios e de "curta duração" - e não sinais ab aeterno (tais ondas não necessitam ter duração estritamente finita, porém devem decair rapidamente). A combinação oscilatório (daí o termo onda) e de curta duração (inha) gera o termo

ondinhas, ondeletas, ondelettes no original, ou de forma já consagrada, wavelets.

Um critério usado para definir se uma função pode ser uma wavelet é provar que ela é oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu valor médio no domínio temporal é nulo. Matematicamente falando, deve-se satisfazer o seguinte critério:

∫

−+∞∞ψ( dtt) =0

A Transformada de Wavelet é uma transformada reversível e aplicável ao Teorema de Parseval, desde que satisfaça a condição de admissibilidade, mostrada a seguir.

Dado o par transformada de Fourier: ψ(t)↔Ψ(ω), ∞ + < Ψ

∫

∞ ∞ − ) ( 2 ω ω ω d e 0 0 2 = Ψ(ω ) ω= . o

A princípio a onda mãe ψ(t) deve ser escolhida tal que: ψ_(t)∈ _L2₍ℜ_{), i.é.,}

∫

+∞

∞

− (t)dt<+∞

2

ψ , o que é interpretado como sinal de energia finita

ψ

Existe o par ψ(t) ↔ Ψ(w) e ≡

∫

Ψ <+∞ ∞ + ∞ − ζ ζ ζ ψ d C | | | ) ( | 2

. Esta última condição implica que 0 ) ( 0 lim Ψ = → ζ

ζ . Se o espectro écontínuo na origem, tem-se que Ψ(0)=0, e portanto,

∫

−+∞∞ψ( dtt) =0. Esta é uma outra característica fundamental das ondelettes. A área total

(Valor principal de Cauchy) sob as wavelets é nula. Isto também está associado ao comportamento típico ondulatório  a wavelet deve oscilar de modo a cancelar as áreas positivas e negativas para anular a integral (área simétrica de -∞ a +∞). Para observar enfim o caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como um banco de filtros, note os seguintes fatos: 0 ) 0 ( = Ψ (pela admissibilidade) 0 ) (±∞ =

Ψ (pois ψ é de energia finita).

Dado ε>0 arbitrário, ∃α,β∈ ℜ, 0 < α < β < +∞ tal que

|Ψ(w)| < ε para |w| < α e |w| > β. o

Assim, existe uma banda de freqüências passa-faixa na qual o espectro Ψ pode ser essencialmente não nulo (vide figura abaixo).

Figura 11. Comportamento de Ψ(w) tipo passa-faixa [GOM et al. 1987].

Apresenta-se a seguir uma ligeira introdução um pouco mais formal a esta classe de Transformadas. O produto interno Hermitiano convencional é usado:

∫

−+∞∞

= >

< f(x),g(x) : f(x)g*(x)dx_.

Considere os seguintes espaços de sinais de energia:

(i) L2₍ℜ_{) espaço das funções f(x) de quadrado integrável segundo}

| f (x)|2

−∞+ ∞

∫

dx< +∞

;

(ii) L2₍ℜ_-{0}× ℜ_{) espaço de funções f(x,y), x}≠_{0 de quadrado integrável segundo}

A Teoria mais formal considera dois parâmetros a e b conhecidos como escala e deslocamento, respectivamente. Para a≠0, define-se:

CWT(a,b):=

∫

+∞ ∞ − − − _dx a b t t f a| ( ) *( ) | 1/2 ψ =<f(t),ψ_a,b>. o

A idéia fundamental da Transformada de Wavelet é que ela é uma transformada pontual e proporcional à escala. Ela analisa o sinal em escalas diferentes e se desloca analisando cada trecho do sinal. O parâmetro translação se relaciona com a localização da “janela”. Analisa-se o sinal aos poucos. Este termo corresponde, obviamente à informação de tempo no domínio da transformada. Processa-se essencialmente o conteúdo que estiver dentro da janela [GOM et al. 1987].

O escalonamento é o processo de compressão e dilatação do sinal. O parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em mapas cartográficos. As altas escalas correspondem a uma visão global do sistema, enquanto que as baixas escalas correspondem a uma visão mais detalhada.

O termo |a|-1/2 _{é um fator de normalização da energia do sinal e} 0 , 1 ) ( ,  ≠      − = a a b t a t b a ψ

ψ é uma transformada afim. Assim, uma wavelet ψ_a,b(t) é

definida por um mapeamento afim unitário. Esta Wavelets são versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a) de uma mesma onda protótipo, chamada wavelet-mãe ψ(t).

Figura 12. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações.

Demonstra-se (seção 2.2) que a condição para uma função ser uma Wavelet mãe

(Condição de admissibilidade), ψ(t) ↔ Ψ(w), =

∫

Ψ <+∞ ∞ + ∞ − _|w| dw | ) w ( | : C 2 ψ . Esta condição

implica que Ψ(0)=0 de modo que

∫

+∞ ∞

− ψ( dtt) =0 (a ondinha tem valor médio nulo).

Uma das primeiras transformadas WT corresponde a Wavelet de Morlet, cuja Wavelet mãe é ψ(t)=exp(-t2/2).exp(jw0t). Note que ela corresponde a um BPF gaussiano.

A versão real da Wavelet de Morlet corresponde a ψ(t)=exp(-t2/2)cos(w0t).

De fato, WT deve ser vista como uma Transformação (mapeamento W_ψ) do espaço de funções definidas de L2(ℜ) em L2(ℜ-{0}× ℜ). Esta transformação é isométrica, i.e., a energia do sinal (métrica) é preservada.

A energia de uma sinal transformável pode ser obtida no domínio do tempo, no domínio da freqüência ou no domínio Wavelets (tempo-freqüência), como

. | ) , ( | 1 | ) ( | ) ( 2 2 ₂ 2

∫

−+∞∞

∫

∫ ∫

∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − = = = a dadb b a CWT C df w F dt t f E_f ψ

Para uma escala arbitrária a≠0, a>0, CWT(a,b)=

∫

+∞

∞ − − − _dt a b t t f a 1/2 ( )ψ*( ) . Portanto CWT(a,0)=

∫

+∞ ∞ − − _dt a t t f

a 1/2 ( )ψ*( ) pode ser desenvolvida em série de Taylor nas proximidades do ponto a=0 resultando2:

CWT(a,0)= _      _{+ + + +} + ₊ + ) ( ! ) 0 ( ... ! 2 ) 0 ( ! 1 ) 0 ( ) 0 ( 1 1 2 ) ( 3 2 ) 2 ( 2 1 ) 1 ( 0 n n n n a a M n f a M f a M f a M f a O , onde

∫

+∞ ∞ − = t t dt M n

n ψ( ) é o momento de ordem n da wavelet-mãe. Note que a condição

de admissibilidade corresponde a M0=0. Observe que Mn= ( )| (0) ) ( 0 ) ( n w n w =Ψ Ψ ₌ .

Freqüentemente as wavelets são classificadas em famílias de acordo com o número de momentos nulos (vanishing moments).

Uma wavelet é dita ser de N momentos nulos se e só se Mn=0 ∀n≤N-1. Este

conceito desempenha um papel importante na construção de wavelets.

2.1.2 A Transformada Inversa (CWT-1) e a Condição de Admissibilidade Sejam f(t)∈ L2₍ℜ_{) e} ψ

a,b(t) ∈ L2(ℜ-{0}× ℜ). Sob que condições é possível "pegar

uma onda"? (catch the wave...)

A condição de admissibilidade implica em escolher uma wavelet protótipo tal que

ψ_(t) ↔ Ψ(w) e =

∫

Ψ <+∞ ∞ + ∞ − ζ ζ ζ ψ d | | | ) ( | C 2 .

∫

∫

−+∞∞ ∞ + ∞ − = ( , ) , ( ) ₂ 1 ) ( a dbda t b a CWT c t f ψ_ab ψ

A recuperação do sinal a partir da transformada de wavelet CWT(a,b) para ψ(t) obedecendo a condição de admissibilidade pode ser feita pela fórmula acima. Observe que usa-se essencialmente o mesmo núcleo da transformada, ψa,b(t), exceto pelo

conjugado complexo. A wavelet utilizada no processo de reconstrução é referida sempre como wavelet dual. Por isso ψ*(t) é chamada de "dual" da wavelet ψ(t). Entretanto, é possível obter uma formula de inversão sob condições menos restritivas.

Definição (Wavelets diádicas). Uma wavelet ψ(t) ∈ L2₍ℜ_), ψ_(t) ↔ Ψ_{(w), é dita ser uma}

wavelet diádica se e somente se satisfaz a condição de estabilidade, i.e.,

∃ _A,B ∈ ℜ  _0<A≤_B<+∞ _{tais que}

∑

∈ − _≤ Ψ ≤ Z m m B w A | (2 )| . o

Mostra-se [FOU 1995] que as wavelets diádicas possuem uma fórmula de reconstrução a partir de uma outra wavelet, ψ~ , uma wavelet dual de ψ. Normalmente não há uma única wavelet dual para uma dada wavelet diádica ψ. Para uma wavelet básica de espectro Ψ(w), a wavelet dual tem espectro que satisfaz a seguinte relação:

1 ) 2 ( ~ ) 2 ( * Ψ = Ψ − ∈ −

∑

w mw Z m m .

Estas wavelets não obedecem a condição de admissibilidade (porém obedecem a condição de estabilidade, menos restringente) e não são wavelets ortogonais3. A recuperação (fórmula de transformada inversa) se faz com o auxílio da wavelet dual.

2.2 Exemplos: Um mar de Wavelets

Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como wavelets mãe. Trata-se de uma apresentação sem maiores pretensões. A idéia é apenas ilustrar a variedade e os formatos de algumas wavelets unidimensionais interessantes, sem apresentar nenhum detalhe formal.

Nome da família de Wavelets 'haar' Haar wavelet.

'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets.

'coif' Coiflets.

'bior' Biorthogonal wavelets. 'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet.

'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 'gaus' Gaussian wavelets.

'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet.

'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets.

'fbsp' Frequency B-Spline wavelets. 'cmor' Complex Morlet wavelets. o

Algumas wavelets interessantes são apresentadas ou rapidamente comentadas a seguir. Em alguns casos, a apresentação envolve a função de escala, relacionada com a

wavelet; detalhes sobre esta função serão apresentados apenas no Capítulo IV. Esta função escala é por vezes referida como Wavelet pai [BULT 1995].

2.2.1. Wavelet de Haar

No caso de alguns sinais tais como imagens contendo fronteiras pronunciadas (mudanças abruptas de contraste) ou outras descontinuidades, a análise e síntese de Fourier não são muito apropriadas para acomodar os termos de alta freqüências, os quais não têm efeitos localizados nesta análise.

Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Nestes casos, bases de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas.

contrário caso 1 t 0 0 t 1 0 2 1 2 1 : ) ( ) ( < ≤ ≤ <        − = t H ψ .

As primeiras oito wavelets para uma decomposição de Haar são esboçadas a seguir [FOU 1995]. Estas são versões do tipo "wavelet digital".

Figura 13. As Wavelets de Haar (decomposição com oito wavelets). Um sinal de teste (constante por partes) é mostrado na figura abaixo.

Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que ( 2 1) 2/2 2 1 ) ( '' t =− t − e−t − π ρ . A função ) ( '' ) (t ρ t

ψ =− é conhecida como wavelet sombrero (chapéu mexicano), por razões óbvias. 3 ) 1 ( 2 ) ( 4 / 1 2 / 2 ) ( 2 π ψ Mhat t e t t − − = .

Figura 15. Wavelet Sombrero. Visualização no Matlab.

2.2.3. Wavelet densidade Gaussiana

Uma wavelet simples derivada4 da função densidade gaussiana (gaus1) é dada por: 4 1 2 2 2 1 _/ / t ) fdG ( te : gaus ) t ( π ψ = = − . 4

10 5 0 5 10 1 0.5 0 0.5 1 0.644 0.644 − ψ( )x 8 8 − x

Figura 16. Wavelet derivada da densidade de probabilidade gaussiana: gaus1 e gaus8.

2.2.4. Wavelet complexa de Morlet

Morlet propôs uma das primeiras wavelet de interesse na análise de sinais. Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo), empregou a wavelet complexa dada abaixo [GOU-GRO&MOR 1984].

t jw t Mor e e t 2/2 0 4 / 1 ) ( 1 ) ( = − − π ψ .

Figura 17. Wavelet complexa de Morlet. (parte real e parte imaginária).

2.2.5. Wavelet de Shannon

A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon, cujo formato é mostrado na figura a seguir.

Espectro da Wavelet real:

∏

∏

      + +       − = Ψ π π π π/2 3 /2 3 ) (w w w , em que contrário caso 2 / 1 | | 0 1 : ) ( <    =

∏

t

t é a função porta (normalizada).

Tomando a transformada inversa:

            = 2 3 cos 2 ) ( ) ( t t Sa t Sha π π ψ . Assumindo t=2x+1, 1 2 ) 2 sen( )) 1 ( 2 sen( 2 ) ( ) ( + − + = x x x x Sha π π π ψ .

(a) (b)

Figura 18. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet complexa de Shannon (Matlab).

Constata-se facilmente que esta wavelet tem suporte infinito (i.é., ∃/M tal que

|ψ(t)|=0 ∀|t|>M). Sinais limitados na freqüência não podem ser limitados no tempo.

2.2.6. Wavelet de Meyer

A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como [MEY 1990]:

         ≤ ≤             ₋ ≤ ≤             ₋ = Ψ contrário. caso 0 /3 8 | w | /3 4 1 4 | | 3 2 cos 2 1 /3 4 | w | /3 2 1 2 | | 3 2 sen 2 1 ) ( /2 2 / π π π υ π π π π π υ π π jw jw e w e w w .

2.2.7. Wavelets de Daubechies

Um dos atrativos da análise de Fourier decorre do fato das ondas usadas na decomposição serem ortogonais. As primeiras wavelets ortogonais obtidas, incluindo wavelet de Meyer e de Battle-Lemarié, não apresentam suporte compacto. Já as wavelets de Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são diferenciáveis (não apresentam suavidade). Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto. A regularidade das wavelets de Daubechies aumenta linearmente com N, porém a preço de aumentar o comprimento do suporte.

Figura 20. Wavelets dbN de Daubechies (N=2,3,4, ...): As Daublets [Fonte: Matlab]. Interessante observar que a wavelet-mãe db2 exibe um formato característico de "cauda

de tubarão".

2.2.8. Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets

Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala φ quanto na wavelet-mãe (t) ψ(t). Elas foram criadas Daubechies sob demanda de R. Coifman em 1989. São também wavelets de suporte compacto.

Figura 22. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é número de momentos nulos. 2.2.9. Wavelet de "de Oliveira"

Nesta seção introduz uma nova família de wavelets ortogonais complexas [deO et al. 2002b] a qual é baseada no critério clássico de Nyquist para eliminação de Interferência Intersimbólica em Sistemas de Comunicação Digital. Mostra-se que as wavelets possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas, porém mantendo a filosofia básica da análise a Q-constante.

A função de escala para uma AMR de Shannon (AMR Sinc) é expressa pela

função amostral: ( ) 2 1 ) (t Sinc t π φ = .

Uma forma de realizar uma AMR ortogonal via característica do cosseno elevado [SHANM 1985] é relembrando a condição central [MEY 1990]:

∑

Φ + = n n w π π 2 1 | ) 2 ( | 2 .

(

)

π α π α π α π α π α α π π ) 1 ( | | ) 1 ( | | ) 1 ( ) 1 ( | | 0 0 ) 1 ( | | 4 1 cos 2 1 2 1 ) ( + > + < ≤ − − < ≤         − − = Φ w w w w w . Note que

∑

Φ + = n n w π π 2 1 | ) 2 (

| 2 , logo a raiz de cosseno elevado permite uma

AMR ortogonal. A característica da função φ(t) no domínio frequencial é mostrada na figura abaixo. É claro que tanto as funções de escala quanto as wavelets derivadas deste processo não são de suporte compacto.

−(1+α)π −(1−α)π (1−α)π (1+α)π

Figura 23. Característica frequencial da AMR ortogonal "de Oliveira" .

A função pulso cossenoidal PCOS desempenha um papel importante na AMR cosseno elevado.

Definição. A função pulso cossenoidal de parâmetros t0, θ0,w0 e B é definida por

(

)

_∏

      − + = B w w wt B w t w PCOS 2 ) cos( : , , , ; 0 0 0 0 0 0 θ θ ,

t0,θ0,w0,B ∈ ℜ, 0<B<w0. o

Ela corresponde a um pulso cossenoidal (no domínio espectral), com freqüência t0

e fase θ0, com duração de 2B rad/s, centrado na freqüência w0. Alguns casos particulares

simples contemplam:

1) A função porta: PCOS

(

w B

)

B w , 0 , 0 , 0 ; 2 =    

∏

2) Uma porta deslocada para w0 PCOS

(

w w B

)

B w w , , 0 , 0 ; 2 0 0 =      −

∏

3) Um pulso cossenoidal perpétuo: cos(wt₀ +θ₀)= PCOS

(

w;t₀,θ₀,0,B→+∞

)

Denotando a transformada inversa por

(

t t w B

)

PCOS

(

w t w B

)

pcos ; ₀,θ₀, ₀, :=ℑ−1 ; ₀,θ₀, ₀, , tem-se o seguinte resultado: Proposição. Fixados os parâmetros t0, θ0,w0 e B de um PCOS, o espectro inverso pcos

O sinal pcos(.) na maioria dos casos é um sinal complexo, quando não há simetria par ou ímpar em PCOS(.). Separando as partes real e imaginária, denota-se

(

t t w B

)

rpc

( )

t j ipc

( )

t

pcos ; ₀,θ₀, ₀, = + . em que

( )

t e

(

pcos

(

t t w B

)

)

rpc :=ℜ ; 0,θ0, 0, e ipc

( )

t :=ℑm

(

pcos

(

t;t0,θ0,w0,B

)

)

.

Vale notar as simetrias rpc(-t) = rpc(t) e ipc(-t) = -ipc(-t). Para determinar a função de escala, basta avaliar a transformada inversa de Fourier de Φ(w). Após uma tediosa manipulação, avaliando-se a transformada inversa dos termos, chega-se a:

{

t t t

}

t t Sa t deO ) 1 ( sen . 4 ) 1 ( cos ) 4 ( 1 1 . 4 . 2 1 ] ) 1 [( ). 1 .( 2 1 ) ( ₂ ) ( _{π α α π α} α π α π π α α π φ + + − − + − − =

Um esboço da função de escala da AMR de "de Oliveira" é mostrado na figura abaixo, considerando um fator de rolamento α=0,3333...

4 2 0 2 4 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 alpha=0.1 alpha=0.2 alpha=0.3 0.435 0.087 − φ(t 0.1, ) φ(t 0.2, ) φ t 1 3 ,    5 5 − t

Figura 24. Função escala de "de Oliveira". (esboço para α=0,1, 0,2 e 0,3).

A função de escala

φ

(deO)

(

t

)

pode ser expressa de um modo mais elegante e compacto com o auxílio das seguintes funções especiais:

Definição. (funções especiais); ν é um número real,

) ( : ) (t Sinc t H_ν =ν ν ,0≤ν≤1;

[

t

]

{

t tsin t

}

t _{2 1 1 2 2} 2 1 2 1 _{cos 2( ).} ) ( 2 1 | | 2 1 : ) ( 1 2 ν ν πν ν ν πν ν ν π ν ν + − − − − = Μ o

Observa-se claramente que lim ( ) ( ) ) ( ) ( 0 t t Sha deO φ φ α = → , como esperado.

Mostra-se que a wavelet complexa de "de Oliveira" é dada por

( )

. ) ( /2 ( ) ) ( w S e w jw deO deO = −

Ψ , cujo módulo |Ψ(deO)(w)|= S(deO)

( )

w é mostrado abaixo:

(

)

(

)

       + > < < − − < < + < + − = ) (1 2 se 0 ) (1 2 ) (1 2 se ) 1 ( 2 8 1 cos 2 1 ) (1 2 ) (1 se 2 1 ) (1 ) -(1 se ) 1 ( 4 1 cos 2 1 ) -(1 se 0 ) ( ) α π α π α π α π α π α π α π π α π α π α π α π α π w w w w w w deO .

Observe ainda que α→0 implica na wavelet complexa de Shannon.

Figura 25. Módulo da Wavelet de "de Oliveira" (domínio da freqüência).

Note claramente o comportamento do tipo "passa-faixa" da wavelet Ψ(deO)(w). O "roll-off" a esquerda e a direita NÃO SÃO exatamente simétricos. De fato, embora os formatos sejam semelhantes, eles ocorrem em escalas diferentes, um comportamento típico de wavelets. Um esboço das wavelets de "de Oliveira" é mostrado a seguir.

3

_______________________________________________________________________

CAPÍTULO 3

Wavelets Discretas

3.1 Wavelets Discretas

A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que é altamente redundante. As Transformadas Discretas de Wavelet (DWT) foram introduzidas no intuito de proporcionar uma descrição mais eficiente. Elas não são transladadas nem escalonadas continuamente, mas sim em intervalos discretos. Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet contínua.

        − = ⇒       = _m m o m b a a a nb t a t a b a t 0 0 0 n m, , 1 ) ( -t 1 ) ( ψ ψ ψ ψ ,

onde m e n são inteiros, a0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo, b0 é o fator de

translação fixo e b depende agora do fator de dilatação.

A transformada de wavelet contínua é calculada fazendo translações e escalonamentos contínuos de uma função sobre um sinal, calculando uma correlação entre eles. Na prática esta transformada não seria muito útil, pois seriam requeridas infinitas translações e escalonamentos, requerendo muito tempo e recursos computacionais, ainda assim, gerando muita redundância.

3.1.1. A Transformada Discreta de Wavelets:

As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS)

As transformadas contínuas são primordialmente empregadas na dedução de propriedades das transformações. Formas discretas são atraentes do ponto de vista de implementação e do ponto de vista computacional. A discretização da WT ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de escala e translação), não na variável independente do sinal a ser analisado (tempo ou espaço).

Escala discreta (logarítmica): a=a0m m=1,2,3,...

Translações discretas: b=nb0a0m n=1,2,3,... fixado m.

Assim

∫

−+∞∞     − = = dt a a nb t t f a n m CTWS b a WT _m m m 0 0 0 0 ) ( 1 : ) , ( ) , ( ψ . o

Note que o sinal f(t) e a wavelet-mãe são definidos em tempo contínuo, porém os coeficientes discretos CTWS(m,n) são definidos em valores discretos num reticulado.

Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n) são definidas apenas para valores positivos de escala (a0>0), porém esta restrição não é severa.

Assim, a DWT consiste em um mapeamento do tipo

CTWS: L2(ℜ) → l2(Ζ+-{0} × Ζ) f(t) |→ CTWS(m,n)

Enunciado de outra forma: sinais contínuos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes de wavelet.

Interessante observar que a DWT é mais análoga à uma representação em série de Fourier ao invés de uma DFT:

• _Série

∑

+∞ −∞ = n t jnw ne

F 0 _{representação de tempo contínuo, com coeficientes discretos}

• _DFT

∑

− = 1 0 2 ) ( N k N nk j e k f π

representação em tempo discreto, com espectro discreto.

Reticulado: A escolha da grade.

Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no domínio escala-translação. A grade é indexada por dois inteiros m e n, controlando a discretização da escala e translado, respectivamente. A proposta é usar os seguintes passos na discretização:

O reticulado uniforme no plano escala-deslocamento é expresso por:

{

}

mn Z

b

a = ma nb _∈

∆ ₀, ₀ ( 0, 0) , .

Já o reticulado definido pelas wavelets no plano escala deslocamento é o reticulado hiperbólico ∆_{a ,b} =

{

(a₀m,na₀mb₀)

}

_m,n∈Z

0 0

No caso diádico, a0=2 e b0=1 e adota-se:

{

}

mn Z m m

n _∈

=

m (escala)

n (deslocamento)

Figura 27. Resolução de transformadas wavelets: plano translação-escala.

Figura 28 e 29. Reticulados diádicos nos planos a × b e t × f [GOM et al. 1987].

3.1.2. A Transformada Discreta de Wavelets:

Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS)

Além da discretização do plano escala-translação, a variável independente do sinal pode também ser discretizada. Neste caso, define-se:

∑

+∞ −∞ =     − = = k m m m _a a nb k k f a n m DTWS b a WT 0 0 0 0 ) ( 1 : ) , ( ) , ( ψ . o

Assim, as DTWS consiste em um mapeamento do tipo DTWS: l2(Ζ) → l2(Ζ+-{0} × Ζ)

f(k) |→ DTWS(m,n).

A wavelet tempo discreto é definida com relação a uma "wavelet-mãe discreta", ψ_(k):

0 0,b a

∆ → ℜ _{a qual pode não ser definida para argumentos reais (trata-se de uma}

seqüência infinita). Normalmente assume-se a0 e b0 como inteiros. O menor passo inteiro

para a escala é a0=2. Usa-se então este fator de escalonamento, o que é referido como

escalonamento diádico. O menor passo inteiro de translação temporal é b0=1.

Wavelets diádicas:

∑

(

)

+∞ −∞ = − − ₋ = k m m n k k f n m DTWS( , ) 2 /2 ( )ψ 2 .

A transformada (série) de Fourier realiza uma decomposição em sinais (ortogonais) oscilantes, porém perpétuos. Cada uma das funções da base, i.e., "onda simples" usada para a decomposição, corresponde a um sinal senoidal eterno. Isto significa que a análise de Fourier deve ser conduzida avaliando-se instantes desde -∞ a +∞ , sem possuir portanto característica local. A idéia por trás de ondelettes é escolher umadecomposição em sinais oscilantes (wave) porém decaindo no tempo (let). Aparece a noção de presente, passado e futuro. As funções de base usadas na decomposição correspondem a ondinhas, i.e., sinais oscilantes e de "curta duração", com a noção de caráter local − localizada temporalmente.

Bibliografia Selecionada e Fontes de Referência

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Instrutor: Hélio Magalhães de Oliveira, BEE, MEE, Docteur, MIEEE.

H.M. de Oliveira nasceu em Arcoverde, Pernambuco, em Maio 1959. Ele recebeu os graus de B.Eng e Mestre em Engenharia Elétrica (MEE) da Universidade Federal de Pernambuco, em 1980 e 1983. Ingressou no Departamento de Eletrônica e Sistemas DES-UFPE como Docente em 1983, e em 1992 recebeu o grau de Docteur de l’École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, especialidade em Eletrônica e Telecomunicações. Foi professor homenageado de 20 turmas de formandos em Engenharia Elétrica. Coordenou o Mestrado de Eng. Elétrica da UFPE de 1992 a 1996. Interesse: Teoria das Comunicações, Processamento de Sinais. Dr. de Oliveira é sócio do IEEE Institute of Electrical and

Electronic Engineering e da Sociedade Brasileira de Telecomunicações o

Instrutor auxiliar: Milde Maria da Silva Lira, BEE, MEE, student MIEEE.