Spectral Fields in Anisotropic Planar Multilayer Structures

Texto

(1)

Abstract— A new systematic procedure for calculating the electromagnetic fields in anisotropic planar multilayer structures is presented. Working in the Fourier domain and utilizing the symbolic computation capability of the Mathematica® package, closed-form expressions for the transformed electromagnetic fields are derived in a straightforward, error-free way.

Therefore, spectral Green’s functions can be determined in compact, closed form, with considerable reduction of the calculation time. Using this new procedure, Green’s functions for anisotropic grounded layer and also for biaxial microstrip multilayer structures are derived.

Keywords— Spectral fields, symbolic computation, multilayer structures, Green’s functions, anisotropic media.

I. INTRODUÇÃO

STRUTURAS com múltiplas camadas estão presentes em diferentes campos da ciência como em prospecção geofísica, sensoriamento remoto, microondas, optoeletrônica e antenas [1]. Neste último campo e, em particular, no de antenas de microfita, um dos motivos para utilizá-las está relacionado à sua versatilidade, pois estas estruturas englobam outras mais simples, porém de grande interesse prático [2].

Além deste, outros dois fatores recomendam o seu emprego; a sua comprovada capacidade em aumentar o ganho e a faixa de passagem destes irradiadores [3], [4]. Sabe-se, entretanto, que os materiais comumente utilizados na confecção de antenas de microfita apresentam certo grau de anisotropia, que pode afetar seriamente alguns de seus parâmetros elétricos [5], [6].

A análise rigorosa de estruturas com múltiplas camadas é realizada atualmente com auxílio de soluções numéricas como o método dos momentos (MoM), dos elementos finitos e das diferenças finitas [7], [8]. Algoritmos baseados no MoM têm sido empregados no projeto de estruturas de pequeno e médio portes.

Funções de Green, calculadas no domínio espacial ou espectral, são elementos fundamentais na elaboração destes algoritmos. No domínio espacial, por exemplo, funções fechadas são tradicional- mente representadas por integrais de Sommerfeld. Devido à natureza oscilatória deste tipo de integrais, seu cálculo numérico é ineficiente [9]. Por outro lado, funções de Green podem ser estabelecidas em forma fechada no domínio espectral. Entretanto, no caso de estruturas com múltiplas camadas, a determinação destas funções é tediosa e factível de erros quando executada

I. Bianchi, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, ITA, São José dos Campos, SP, Brasil, ibianchi@ita.br

J. C. da S. Lacava, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, ITA, São José dos Campos, SP, Brasil, lacava@ita.br

manualmente [1], [2], [10].

Com o objetivo de superar estas limitações, um processo alternativo para o cálculo destas funções foi recentemente desenvolvido [11]. Executando-o no domínio de Fourier, com auxílio de computação simbólica, expressões fechadas para os campos eletromagnéticos espectrais podem ser obtidas de uma forma direta e livre de erros atribuídos ao fator humano. Em consequência, funções de Green espectrais podem ser obtidas em uma forma compacta, com considerável redução de tempo despendido neste tipo de cálculo.

Neste trabalho, esta técnica é aplicada a uma estrutura plana com múltiplas camadas anisotrópicas. São considerados ten- sores elétricos e magnéticos completos de modo a contemplar soluções mais simples. Empregando computação simbólica e um formalismo equivalente ao utilizado em [12], expressões para os campos eletromagnéticos espectrais, excitados por fontes elétricas localizadas nas interfaces entre camadas, são determinadas. Em seguida, resultados particulares para uma camada anisotrópica geral e para duas camadas biaxiais são apresentados. Exemplos evidenciam a potencialidade da téc- nica desenvolvida.

II. TEORIA

A geometria em consideração, apresentada na Fig. 1, pode ser descrita como uma estrutura estratificada ao longo do eixo z e ilimitada nas direções x e y de um sistema de coordenadas retangulares. Esta estrutura é composta por uma superfície condutora perfeita e infinita, localizada no plano z = 0, e por N camadas lineares, homogêneas e anisotrópicas de espessuras dn, com n {1, 2...N}. Cada uma destas cama- das é caracterizada pelos tensores permissividade elétrica εt(n)

e permeabilidade magnética μt(n). Em cada interface z = n existe uma superfície Sn de espessura infinitesimal, perfeitamente condutora, sobre a qual é definida uma densidade de corrente elétrica superficial Jn(x,y) =Jnx(x,y)x + Jny(x,y)y (grandezas vetoriais são representadas em negrito). A interface z = N

estabelece o contorno entre a última camada anisotrópica e o vácuo (ε0 e μ0).

Neste trabalho, os cálculos dos campos eletromagnéticos, tanto no vácuo como nas camadas anisotrópicas, são realizados no domínio de Fourier. Para tanto, considera-se a estrutura multicamadas como um problema de contorno onde as densida- des de corrente elétrica superficiais Jn(x, y), localizadas z = n, são as fontes virtuais destes campos.

I. Bianchi and J. C. da S. Lacava

Spectral Fields in Anisotropic Planar Multilayer Structures

E

(2)

Figura 1. Estrutura com múltiplas camadas anisotrópicas.

A. Campos eletromagnéticos na n-ésima camada anisotrópica

Nesta seção são estabelecidas as expressões para os campos eletromagnéticos no interior da n-ésima camada anisotrópica, cujas relações constitutivas são expressas por,

) , , ( )

, ,

( ( ) ()

)

(n x yz tn En x yz

D =ε , (1)

e

) , , ( )

, ,

( ( ) ( )

)

(n x y z tn Hn x y z

B =μ , (2)

com as seguintes representações matriciais para os tensores permissividade elétrica e permeabilidade magnética:

] [εt(n) =

) ( 9 ) ( 8 ) ( 7

) ( 6 ) 5( ) ( 4

) 3( ) 2( ) 1(

n n n

n n n

n n n

ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε

, (3) e

] [μt(n) =

) ( 9 ) ( 8 ) ( 7

) ( 6 ) ( 5 ) ( 4

) ( 3 ) ( 2 ) ( 1

n n n

n n n

n n n

μ μ

μ μ μ

μ μ μ

μ

. (4)

Nenhuma restrição adicional é imposta aos elementos destes tensores. Além disso, sem perda de generalidade, porém com o objetivo de simplificar a nomenclatura, não mais será indicado nos cálculos que se seguem o índice que caracteriza a solução para a n-ésima camada. Fica subentendido, por exemplo, que εt

representa εt(n).

Sendo as camadas anisotrópicas livres de fontes, o campo elétrico no domínio espacial de uma onda monocromática pode ser escrito como a superposição de infinitas ondas planas espectrais [13], de modo que,

 

+

= x y

yy k xx k i y

x k z dk dk

k z

y

x 2 ( , , )e ( )

4 ) 1 , ,

( E

E π , (5)

onde a função E(kx,ky,z) é o campo elétrico espectral e kx e ky

são as variáveis espectrais.

Por outro lado, como estas camadas são limitadas na direção z, os campos eletromagnéticos espectrais, E(kx,ky,z) e H(kx,ky,z), devem ser escritos como a superposição de quatro

ondas planas que se propagam na direção z, isto é,

=

=

4

1

e ) , ( )

, , (

τ

γτ

τ i z

y x y

x k z k k

k e

E , (6)

=

= 4

1

e ) , ( )

, , (

τ

γτ

τ i z

y x y

x k z k k

k h

H , (7)

onde eτ(kx,ky) e hτ(kx,ky) denotam as amplitudes dos campos transformados e as constantes de propagação γτ são obtidas resolvendo-se o seguinte sistema,

0 ) , ] ( ) (

[k× μt1k×It2εt ekx ky = , (8) onde It é o tensor identidade e k = kx x + ky y −γ z.

A unicidade da solução deste sistema de equações exige que o determinante da matriz associada ao termo entre colchetes se anule, possibilitando a obtenção da seguinte expressão para a equação característica:

0 0

2 1 3 2

4+G3γ +Gγ +Gγ+G =

γ , (9)

onde,

] [

{ ( ) ( )

)]

/(

1

[ 9 9 9 3 7 6 8

3= μ ε ε kx μ +μ +ky μ +μ

G

} ] [ ( 3 7) ( 6 8)

9 ε ε ε ε

μ + + +

+ kx ky , (10)

] [

{ 2 3 7 3 7 1 9 9 1

9 9

2=[1/(μ ε )] kx (ε +ε )(μ +μ )+ε μ +ε μ G

] )

)(

[( 6 8 6 8 5 9 9 5

2 ε +ε μ +μ +ε μ +ε μ

+ky

) )(

( ) )(

[(ε3+ε7 μ6+μ8 + ε6+ε8 μ3+μ7

+kxky

)]

( )

( 2 4 9 2 4

9 μ μ μ ε ε

ε + + +

+

} ]

[ 5 1 1 5 2 2 4 4

2 ξΘ ξΘ ξΘ ξΘ

ω + +

+ , (11)

)]

( ) ( [ )]

/(

1

[ 9 9 3 1 3 7 1 3 7

1= μ ε {kx ε μ +μ +μ ε +ε

G

)]

( ) (

[ 5 6 8 5 6 8

3 ε μ +μ +μ ε +ε

+ky

) ( ) (

[ 1 6 8 1 6 8

2 ε μ +μ +μ ε +ε

+kxky

)]

)(

( ) )(

(ε2+ε4 μ3+μ7 + ε3+ε7 μ2+μ4

+

) ( ) (

[ 5 3 7 5 3 7

2 ε μ +μ +μ ε +ε

+kxky

)]

)(

( ) )(

(ε2+ε4 μ6+μ8 + ε6+ε8 μ2+μ4 +

) ( ) (

[

{ 5 3 7 5 3 7

2 ξ Θ Θ Θ ξ ξ

ω + + +

+ kx

6]

4 8 2 4 6 2

8Θ ξ Θ ξ Θ ξ Θ

ξ

) ( ) (

[ξ1Θ6+Θ8 +Θ1ξ6+ξ8 +ky

}}

7]

4 3 2 4 7 2

3Θ ξ Θ ξ Θ ξ Θ

ξ

, (12)

) ( [ {

)]

/(

1

[ 9 9 4 1 1 4 5 5 3 1 2 4

0= μ ε kxεμ +kyε μ +kxky ε μ +μ G

)]

( ) ( [ )]

( 2 4 3 5 2 4 5 2 4

1ε ε ε μ μ μ ε ε

μ + + + + +

+ kxky

)]

)(

(

[ 1 5 5 1 2 4 2 4

2

2 εμ +ε μ + ε +ε μ +μ

+kxky

7 8 6 3 3 6 4 2

2{ [ξ9(Θ Θ ) ξ Θ ξΘ ξΘ

ω +

+ kxky

9 5 5 9 2 4 2 9 8

7Θ Θ (ξ ξ )] [ ξΘ ξ Θ

ξ + + +

kx

3 3 9 1 1 9 2 6 6 8

8Θ ξ Θ ] [ ξ Θ ξΘ ξ Θ

ξ + + +

+ ky

}}

] det[

] det[

] 2

7

7Θ ω εt μt

ξ +

+ , (13)

x

y z

d1

d2

dn

dN-1

dN

J1

Jn

JN-1

JN

J2 z = 0

z = 1

z = n-1

z = 2

z = N-1

z = N

z = n

Plano de terra Superfícies condutoras

) 1 ( ) 1 (

t

t μ

ε

) ( )

( N

t N

t μ

ε

(3)

7 3 4 2 1

] 1

det[εt =ε ξ +ε ξ +ε ξ , (14)

7 3 4 2 1

] 1

det[μt =μΘ +μΘ +μΘ , (15)

)

( 5 9 6 8

1 aa aa

T = , (16)

)

( 3 8 2 9

2 aa aa

T = , (17)

)

( 2 6 3 5

3 a a aa

T = , (18)

)

( 6 7 4 9

4 aa aa

T = , (19)

)

( 1 9 3 7

5 aa aa

T = , (20)

)

( 3 4 1 6

6 aa aa

T = , (21)

)

( 4 8 5 7

7 a a aa

T = , (22)

)

( 2 7 1 8

8 aa aa

T = , (23)

)

( 1 5 2 4

9 aa a a

T = . (24)

As equações (16) a (24) são auxiliares, sendo utilizadas no cálculo das expressões ξk e Θk. Fazendo-se ak = εk, com k {1, 2,..., 8, 9}, tem-se Tk = ξk. Quando ak = μk, então Tk = Θk.

Determinadas as expressões para as componentes dos campos transformados, o passo seguinte é o estabelecimento de relações entre as amplitudes desses campos. Como descrito em [11], essas relações podem ser obtidas ao se introduzir as expressões para os campos eletromagnéticos nas leis de Faraday e Ampère, na forma diferencial, resultando no seguinte sistema de equações:

τ τ

τ τ

τ

τ ωμ ωμ ωμ

γ ey 1hx 2hy =kyez + 3hz , (25)

τ τ

τ τ

τ

τ ωμ ωμ ωμ

γ ex + 4hx + 5hy =kxez 6hz , (26)

τ τ

τ τ

τ x y ωμ x ωμ y ωμ z

x

ye k e h h h

k + 7 + 8 = 9 , (27)

τ τ τ

τ τ

τ ωε γ ωε

ωε1ex + 2ey + hy = 3ez kyhz , (28)

τ τ τ

τ τ

τ ωε γ ωε

ωε4ex + 5ey hx = 6ez +kxhz , (29)

τ τ

τ τ

τ ωε ωε

ωε7ex + 8ey kyhx +kxhy = 9ez , (30) onde, para simplificar a nomenclatura, fez-se eητ=eητ(kx,ky) e

hητ=hητ(kx,ky), com η {x, y, z} e τ {1, 2, 3, 4}.

Utilizando as equações (27) – (30), é possível escrever exτ, eyτ, hxτ e hyτ em função de ezτ e hzτ. Resolvendo esse sistema, obtém-se:

]

1[

τ τ τ τ τ

τ αa z αb z

x e h

e =Δ + , (31)

]

1[

τ τ τ τ τ

τ αc z αd z

y e h

e =Δ + , (32)

]

1[

τ τ τ τ τ

τ αe z αf z

x e h

h =Δ + , (33)

]

1[

τ τ τ τ τ

τ αg z αh z

y e h

h =Δ + , (34)

onde

) (

{ τ 3 6 9 τ

τ γ ε ε ε γ

αa = kx kx+ ky

]}

) (

) (

[ 7 1 8 2 7 8 3

2 γ μξ μξ μ μ ξ

ω τ + + kx+ ky

+ , (35)

)]

)(

(

[ 7 x 8 y 9 8 2 x 5 y

b ω μ k μk μγ εγ ε k ε k

ατ = + τ τ , (36)

) (

{ τ 3 6 9 τ

τ γ ε ε ε γ

αc = ky kx+ ky

} ] ) (

) (

[ 7 4 8 5 7 8 6

2 γ μξ μξ μ μ ξ

ω τ + + kx+ ky

+ , (37)

)]

)(

(

[ 7 8 9 τ 1 4 7 τ

τ ω μ μ μγ ε ε ε γ

αd = kx+ ky kx+ ky , (38)

4 3

6 ) (

( [

{ω ξ ξ γ ξ

αeτ = kx kx ky + τ kx

} ] ) (

) 2 8 1 1 2 4 3 7

1 ω μ εξ ε ξ εξ

ξ + + +

ky , (39)

) (

) (

[

{ x x 1 x 2 y y 4 x 5 y

f k k εk ε k k ε k ε k

ατ = + + +

7 9 8 2 8

7 )] [( )

(ε ε ω μ μγ ξ

γτ + + τ

kx ky ky

} )]

(μ8ξ8+μ9ξ9

kx , (40)

) (

) (

[

{ω ξ6 ξ3 γ ξ5 ξ2

αgτ = ky kx ky + τ kx ky

} )]

( 1 1 2 4 3 7

7

2μ εξ ε ξ εξ

ω + +

, (41)

) (

) (

[

{ y x 1 x 2 y y 4 x 5 y

h k k εk ε k k ε k ε k

ατ = + + +

8 9 7 2 8

7 )] [( )

(ε ε ω μ μγ ξ

γτ + + τ

kx ky kx

} )]

(μ7ξ7+μ9ξ9

ky , (42)

) (

) (

[

{γτ γτ ε7kx ε8ky kx ε1kx ε2ky

τ = + +

Δ

9 8 7 2 5

4 )] [( )

(ε x ε y ω μ x μ y ξ

y k k k k

k + + +

} )]

(μ7ξ7 μ8ξ8 γτ +

+ . (43)

Da equação (25), uma relação entre ezτ e hzτ pode ser obtida, mostrando haver acoplamento entre as componentes na direção z dos campos elétrico e magnético no meio anisotrópico em consideração. Esta relação é apresentada abaixo:

] ) (

[

)] [ (

3 2 1

2 1

τ τ τ τ τ

τ τ τ

τ τ τ τ

τ

α γ μ α μ α μ ω

α μ α μ ω α

γ

d h

f

g e y

c z

z k

e Y h

Δ + +

+

Δ

= +

= . (44)

Em consequência, as equações (31) – (34) podem ser reescrita como:

τ τ

τ z

x A e

e = , (45)

τ τ

τ z

y B e

e = , (46)

τ τ

τ z

x C e

h = , (47)

τ τ

τ z

y D e

h = , (48)

onde

]

1[

τ τ τ τ

τ α α Y

A =Δ a + b , (49)

]

1[

τ τ τ τ

τ α α Y

B =Δ c + d , (50)

]

1[

τ τ τ τ

τ α α Y

C =Δ e + f , (51)

]

1[

τ τ τ τ

τ α α Y

D =Δ g + h . (52)

Como as transformadas inversas de Fourier estabelecem as expressões para os campos eletromagnéticos no domínio espacial, então para a τ-ésima solução de γ e a η-ésima com- ponente de campo, tem-se:

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Referências

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