Escola Secundária de Santa Maria da Feira

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Ficha de Trabalho de Matemática A

11º Ano Exercícios de Revisão FT-11 I Parte

1- Na figura junta está a representação gráfica de uma função

h e de uma recta t, tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a.

A recta t passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas (7,5).

O valor de h’(a) é :

5 7 (D) 7 5 (C) 5 1 (B) 7 -5 ) A

(

2- A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto A de abcissa 5.

A derivada de f no ponto 5 é:

2 -1 (D) 2 1 (C) 5 4 (B) 2 3 ) A (

3- Sendo a função derivada da função g representada graficamente por

Um gráfico de g pode ser:

(A) (B) (C) (D)

4- Na figura ao lado está uma representação de g’, derivada de uma certa função g.

A função h é definida por h( x) = g(x) –2. Nestas condições, Uma representação gráfica de h’, derivada de h, pode ser:

(A) (B) (C) (D)

5- Seja f a função real de variável real cujo gráfico é:

Então o gráfico da função derivada pode ser:

(A) (B) (C) (D)

O O

f

g’

O

f

A 3/2

4

5 y

x

a O

c b y

x

O O

y

b y

x b x

O b y

x

O b y

x O

4 y

x

6 4

-4 O

2 y

4 y

x x O

y

x

y

x

O b

y

x

a b c

y

x a b c x O b c

y

x

O

a b c

y

x

O O

h 7 5

O

a

x

y

6- Se a representação gráfica de uma função g é:

A representação gráfica de g’ pode ser:

(A) (B) (C) (D)

7- Na figura estão representadas:

. Parte do gráfico da função g, de domínio R definida por g(x)= 3x²−1 . Uma recta tangente ao gráfico de g, no ponto de abcissa b

A inclinação da recta r é de 60°.

O valor de b é:

2 1 (D) 3 1 (C) 2 3 (B) 4 3 ) A (

8- A recta t é tangente ao gráfico de f no ponto x=a.

Sabendo que f admite primeira e segunda no ponto a, então podemos concluir que:

0 (a) f(a).f' (D) 0 (a) ' (a).f' f' (C)

0 (a) ' f(a).f' (B) 0 (a) ' (a).f' f' ) A (

<

<

>

>

9- Considera a representação gráfica de uma função g 9.1 O valor da expressão g’(-1)+g’(4) é:

(D) -5

5 12 (C) 5 -3 (B) 5 3 ) A (

9.2 O domínio de g’(x) é:

(A) R\{ }3 (B) R (C) R\{ }0 (D) R\{ }-5

10- Um projéctil é lançado verticalmente de baixo para cima. Admitindo que a sua altura ( em metros) t segundos após ter sido lançado, é dado pela expressão

h(t)=300t−10t²

Qual é a velocidade ( em metros por segundo) do projéctil, 4 segundos após o lançamento?

(A) 300 (B) 292 (C) 220 (D) 280

11- A equação da recta normal ao gráfico de ³ 7x² 2 x x 5 ) x (

g =− − + no ponto de abcissa 1 é :

6 x 5 2 -3 y (D) 6 x 5 3 y 2 (C) 6 x 5 3 y 2 (B) 3x

y 2 ) A

( = =− + = + = +

12- Sendo f a função definida por

3 x

1 ) x x (

f −

= + , o valor de x tal que f’(x)=2.f(x) é:

^(A)

{

}

{

}

{

}

{

}

13- O eixo de simetria da parábola de equação y=4x² −8x+10 é:

(A) y=1 (B) x=1 (C) x=-1 (D) x=0

Soluções:

g

r -4

-4 4

4 y

x

y

-1

-4 4

x y

4

-4 4

x

y 4

-4 4

x

y 1

-4 4

x

O b ^60º y

x

a O

t f y

x

-5 O

g y 3

x g g

14- Considere as funções reais de variável real f e g, definidas analítica e graficamente, respectivamente por:

f(x)=−x² +4

Das afirmações seguintes, relativas a estas duas funções, só uma está correcta. Qual delas é?

(A)

A função representada graficamente é a função

g f

10

5

-5

-10

-15

-20

-10 10 20

(B)

A função representada graficamente é a função f ×g

(C)

A função representada graficamente é a função f g

(D)

A função representada graficamente é a função g⁻¹

15-Uma equação da recta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 é y = 3x - 2.

Então o valor de

h f h f

h

) 1 ( ) 1 lim (

0

− +

→ é:

(A) 0 (B) 3 (C) 1 (D) –2

16- Qual dos seguintes gráficos representa a derivada de uma função que tem um mínimo relativo no ponto de abcissa a ?

4

2

-2

-4

-5 5

g

20

15

10

5

- 5

-10

- 10 10

4

2

-2

5 4

2

-2

5

17-Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função s de domínio IR.

Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação gráfica da função t definida por t(x )=

) (

1 x s ^.

18-.Na figura junta, está representado o círculo trigonométrico. Os pontos A, B e C têm coordenadas (1,0), (0,1) e (0,−1), respectivamente. O ponto P desloca-se ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto B. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude do ângulo AOP, e seja f (x) a área do triângulo [OPC ].

Qual das expressões seguintes define a função f ?

(A)

2

senx (B)

2 cosx

(C)

2 cosx senx+

(D)

2 cos

. x

senx

19-Na figura estão representados, em referencial o.n. x0y:

• um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1.

• uma semi-recta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0) um ponto A pertencente a esta semi-recta.

• Um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semieixo positivo 0x e cujo lado extremidade é a semi-recta.

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de a ? (A)

2 4

+tga

π (B)

tga 2 4 + π

(C)

2 +tga

π (D)

tga + 2 π

20- Na figura está parte dos gráficos de duas funções polinomiais r e s, do primeiro e segundo graus.

Qual pode ser o domínio de

r s ?

(A) ]-2,+∞[ (B) ]-∞,2]

(C) [-2,2] (D) ]-∞,-2[∪]-2,2]

21-Seja f uma função, de domínio IR, tal que a sua derivada é definida por f '(x)=1-x² . Em qual das figuras seguintes poderá esta parte da representação gráfica da função f ?

22-Considere um rectângulo cuja área é igual a 5. Qual das seguintes expressões representa o perímetro deste rectângulo, em função do comprimento, x , de um dos seus lados?

manhã. Admita que, quando a Maria sai de casa t minutos depois das sete e meia, a duração da viagem, em minutos, é dada por

] 60 , 0 [ 300,

45 5600 )

( ₂ ∈

− +

= comt

t t d

.

As aulas da Maria começam sempre às oito e meia. Na segunda-feira passada, contrariamente ao habitual, a viagem de carro teve uma duração de 43 minutos. A que horas saiu a Maria de casa?

(A) 7h 40m (B) 7h 50m (C) 8h 10m (D) 8h 20m

24-Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação 0 4 6 3

2 ≥

−

− + x

x

^(A)]−∞,2[ (B) ]−∞,−2] (C) ]−2,2[ (D) [-2,+∞[

25- Na figura observa-se uma representação gráfica de uma função s polinomial de grau três.

Sabe-se que

s

r tem duas e só duas assimptotas verticais.

Qual dos seguintes gráficos pode representar a função r ?

26-Na figura estão representadas a função f, quadrática e a função g, cúbica.

A função

g

f tem domínio:

(A) IR \ {-2,-1,0,2} (B) IR\{-1,0} (C) IR\{-1,0,2} (D) IR 27-Na figura estão representadas a função g, cúbica e a função h, racional.

O conjunto de zeros da função g × h é:

(A) {--1,0,1} (B) {0} (C) IR\{-1,1} (D) { }

28-Considere f ´, a função derivada de f, representada graficamente na figura abaixo e com domínio IR.

Pode concluir-se que:

(A) f tem um máximo para x = -1.

(B) f tem um mínimo para x = -1.

(C) f não tem extremos.

(D) f tem um zero para x = -1.

29- A figura em baixo os gráficos de duas funções f e g.

Então um gráfico da função definida por

g

f pode ser:

30-Considere as funções f(x) = x² - 2xe g(x) = x + 1. Qual das afirmações é verdadeira?

(A) ( f o g )(3) = 4 (B) (3)=8



 



 g

f (C) ( gof )(3) = 4 (D) (f× g )(3) = 8

31- Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco de circunferência AB, de centro na origem do referencial.

O ponto Q move-se ao longo desse arco.

Os pontos P e R, situados sobre os eixos Ox e Oy, respectivamente, acompanham o

movimento do ponto Q, de tal forma que o segmento de recta [PQ] é sempre paralelo ao eixo Oy e o segmento de recta [QR] é sempre paralelo ao eixo Ox.

Para cada posição do ponto Q, seja x a amplitude do ângulo AOQ e seja h(x) a área da região sombreada.

Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função h?

Soluções

II Parte

1-Pretende-se murar um terreno rectangular junto a um rio, dispondo de 2400 euros.

O muro junto ao rio tem de ser mais resistente e custa 5 euros o metro linear e nas restantes três paredes custa 1 euro o metro linear.

a) Designando por y o comprimento a vedar do lado do rio e por x a largura do terreno, mostre que y = x

3 400−1 .

b) Determine a área máxima de terreno que é possível vedar.

2-Uma fábrica de lacticínios lançou no mercado uma nova variedade de iogurtes. O preço de venda de cada iogurte, em euros, durante a promoção, é dado por

1 2 , 1 1 , ) 0

( +

= + x x x

C , em que x representa o número de iogurtes.

a) Quantos iogurtes teremos de comprar para que o preço de cada iogurte seja 20 cêntimos?

b) Calcule limC(x)

x→+∞ e interprete o valor obtido.

c) O fabrico das embalagens de cartão para o leite processa-se nesta fábrica a partir de folhas quadradas com 30cm de lado por recorte e dobragem como indica a figura.

c1) Verifique que o volume da embalagem pode ser expresso em função de x por V(x) = 2x³ − 60x² + 450x . c2) Determine, analiticamente, o valor do volume máximo que os pacotes de leite poderão ter.

3-Segundo os testes de um laboratório técnico, a eficiência das pilhas Duramuito quando usadas num leitor de Cd´s portátil, pode ser expressa pela função

8 10 ) 780

( +

= − t t t

E , em que E é a eficiência em percentagem e t é o tempo de utilização em horas.

3.1.Qual é a eficiência das pilhas quando são colocadas no leitor?

3.2.Determine analiticamente quanto tempo deve o leitor estar a funcionar com as mesmas pilhas para que a eficiência das mesmas se reduza a 76%.

3.3. Na resolução da questão seguinte deve recorrer à calculadora gráfica ilustrando a sua resposta com um esboço do gráfico visualizado, esboço esse onde deve assinalar todos os valores relevantes para a compreensão da sua resposta.

O leitor só funcionará em boas condições se a eficiência das pilhas for superior a 40%.

Durante quanto tempo poderemos usar o leitor em boas condições com as mesmas pilhas? Apresente o resultado em horas e minutos.

4-Considereas seguintes funções:

- a função f definida por f (x) = 4x² + bx + c , cujo gráfico é uma parábola com vértice no ponto (0,5 ; 3) - a função g definida por g(x) = x² −1

- a função h definida por

x x x

h −

= + 1

3 ) 5 (

4.1. Relativamente à função f, mostre que b = - 4 e c = 4.

4.2. Explique porque não existe a imagem de 1 pela função g - h. 4.3. Resolva a condição h(x) > −2 .

4.4. Caracterize a função inversa da função h.

4.5. Caracterize a função g × h e determine os seus zeros, caso existam.

4.6. Determine a equação da recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa -3.

5-Num teste laboratorial que durou 5 horas, o número N de bactérias, em milhares, evoluiu de acordo com o seguinte modelo

matemático 6 4

3 ) 1

(t =− t³+ t+

, t em horas e 0 ≤ t ≤ 5

5.1 Determine a taxa média de crescimento da população bacteriana durante as quatro primeiras horas.

5.2 Qual a taxa de crescimento no início da 1ª hora e o fim da 2ª hora? Interprete os resultados no contexto do problema.

5.3 Recorra ao estudo da função derivada para determinar o número máximo de bactérias durante o teste. Em que instante ocorreu?

5.4 Escreva a equação da recta tangente ao gráfico da função N no ponto de abcissa 2.

6- Considere as funções f(x) =2x² ,

3 ) 2

(

2

= − x x x

g e

9 ) 3

( ₂

−

= + x x x h

6.1 Determine os domínios de g e de h.

6.2 Caracterize a função (h x g ) .

6.3 Determine o domínio e a expressão analítica simplificada de

h g.

6.4 Serão iguais as funções f e

h

g? Justifique.

6.5 As funções f e g serão permutáveis? Justifique.

7-Na figura está representado um projecto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações desse projecto.

7.1 Designemos por x o raio da esfera (em metros).

7.1.1 Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que a variável x pode assumir.

7.1.2Mostre que o volume total, V, em metros cúbicos, da escultura é dado, em função de x, por

8 24 3 24

24 ) 4

( − ³+ ² − +

= x x x

x

V π

7.1.3 Determine o raio da esfera e a resta do cubo de modo que o volume total da escultura seja mínimo. Apresente os resultados em metros, arredondados às centésimas.

7.2 Admita agora que o raio da esfera é metade da aresta do cubo.

Pretende-se pintar toda a superfície da escultura, excepto naturalmente a face do cubo que está assente no chão.

Cada litro da tinta que vai ser utilizada permite pintar uma superfície de 2,5 m².

Admitindo que esta tinta só é vendida em latas de 1 litro, quantas latas será necessário comprar?

8- Na figura está representada em referencial o.n. Oxyz uma pirâmide quadrangular regular.

• A base da pirâmide está contida no plano de equação z=4

• O vértice A pertence ao eixo Oz

• O vértice B pertence ao plano yOz

• O vértice D pertence ao plano xOz

• O vértice C tem coordenadas (4,4,4)

• A altura da pirâmide é 6

8.1 Mostre que uma condição que define a recta DE é : x-4 = -y =

3

−4 z

8.2 Determine uma equação cartesiana do plano que contém o ponto C e é perpendicular à recta DE.