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Caderno de Fichas
Para reforçar a aprendizagem, consolidar conhecimentos
e preparar os testes de avaliação, no Caderno de Fichas
encontra duas propostas de trabalho:
Fichas para praticar – conjunto de questões que
ajudarão o aluno a desenvolver a destreza na resolução
de problemas e aplicação dos procedimentos descritos
no manual.
2
Estes recursos podem ser
utilizados para uma melhor
compreensão de alguns conceitos
e procedimentos, sendo muito
úteis para verificar e/ou simular
resultados.
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Versão digital do manual com
acesso a todos os recursos do
projeto em contexto.
Caderno de Fichas
com exercícios interativos
e soluções.
Menu de recursos para aceder
diretamente a todos os recursos
do projeto que se encontram em
formato digital.
O acesso à versão definitiva do
e-Manual Premium é exclusivo
do Professor adotante e estará
disponível a partir de setembro
de 2015.
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O acesso ao e-Manual do Aluno
é disponibilizado, gratuitamente,
na compra do manual em papel,
no ano letivo 2015-2016, e poderá
ser adquirido autonomamente
através da Internet.
66
7
O Máximo MACS 10 proporciona a mobilização de recursos variados
e o acompanhamento do professor mediante os diferentes ritmos
de aprendizagem dos seus alunos.
Máximo na Tecnologia
Este componente do projeto foi elaborado com a colaboração
de especialistas na área das tecnologias educativas.
O Máximo na Tecnologia está dividido em duas partes.
Parte 1: Calculadoras gráficas e aplicações
Nesta parte, apresenta-se um guia de utilização das calculadoras gráficas
TI-Nspire
,
TI 84 Plus C
e
Casio fx-CG
.
5
•
apresenta-lhe assuntos atuais
e ilustrações com um toque
de humor.
Máximo do Aluno
Para que o aluno possa
exercitar e saber mais sobre
os conteúdos lecionados, são
propostas, para além de
provas globais, atividades de
investigação e
experimentação em grupo,
que poderão ser úteis para
aprofundar alguns dos temas.
3
Máximo do Professor
Para que o professor possa organizar as suas aulas de
acordo com a sua metodologia, e ainda proporcionar
uma aprendizagem diferenciada, propõe:
•
Planificações: para facilitar a integração do manual
no vasto conjunto de recursos disponíveis, são
apresentadas propostas de planificação semanal e de
aula a aula que possibilitam ao professor organizar
mais rapidamente o seu trabalho.
•
Recursos por subdomínio: proporcionam um apoio
complementar na preparação das aulas e momentos
de avaliação. Estes recursos são todos editáveis para
que os professores possam diferenciar e adaptar as
suas metodologias e estratégias pedagógicas.
Para cada semana existem questões-aula e
testes de avaliação em momentos próprios.
•
Propostas de resolução: detalhadas dos
exercícios do Manual e Caderno de Fichas
permitem uma melhor gestão do tempo,
nomeadamente na preparação das aulas
e na promoção do trabalho autónomo
dos alunos.
Em caso de adoção, o professor terá acesso
às restantes resoluções das questões do
manual e do Caderno de Fichas.
4
Manual
Para aprender Matemática é essencial um estudo autónomo e sistemático e, com base nesse paradigma, o novo
manual Máximo, Matemática Aplicada às Ciências Sociais, 10.º ano, foi pensado para proporcionar ao professor
e seus alunos um sólido auxiliar de trabalho.
O desenvolvimento deste manual alicerçou-se no programa de MACS e foi, no que respeita ao domínio
da Estatística, atualizado de acordo com os últimos documentos oficiais.
É um manual funcional, que possibilita um trabalho autónomo e facilita, em todos os momentos, a aprendizagem
do aluno, conduzindo-o através dos vários recursos que integram o projeto.
Tendo como foco o aluno, o Máximo MACS 10:
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6
7
e-Manual do Aluno
Caderno de Fichas
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Manual
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Máximo do Aluno
4
Máximo do Professor
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Máximo na Tecnologia
NOVIDADE
Síntese
Percentil para dados simples
O percentil de ordem k da amostra
x
~= 1x1 , x2 , p , xn2 é: o valor máximo da amostra se
k = 100 ; a média dos elementos de ordem
kn
100 e
kn
100 +1 na amostra orde-nada, se k0 100 e kn100 for inteiro; o elemento de ordem ckn
100d +1 na amostra, nos restantes casos.
No diagrama de caule-e-fo-lhas ao lado apresenta-se a altura, em centímetros, de 20 plantas. P25 = ? ; 25 * 20 100 =5 P25=x152+ x162 2 = 10 + 112= 10,5 ; P25= 10,5 cm P76 = ? ; P76= 76 * 20100 =15,2 ; P76= x1162= 35 cm
Percentil para dados agrupados em classes
Para dados agrupados em classes,
Pk determina-se utilizando o respetivo histograma. Se desenharmos a linha vertical que contém a mediana, a área do histo-grama fica dividida em duas partes iguais. Massa, em gramas, de 20 sacos de laranjas At= 200 * 20 = 4000 P50 = ? ; P50= 50 * 4000100 = 2000 1P50- 4002 * 7 + 1000 = 2000 P50= 10007 +400) 542,86 ; P50) 542,96 g
Quartis. Diagrama de extremos e quartis
O 1.° Quartil 1Q12= P25 . O 2.° Quartil 1Md2= P50 . O 3.° Quartil 1Q32= P75 .
Q3- Q1 = amplitude interquartis. O diagrama de extremos e quartis constrói-se conhecendo: os extremos 1valores máximo e
mí-nimo2; os quartis Q1 , Q2 e Q3 .
Considere o conjunto de dados ao lado, relativos ao número de frutos de 40 plantas de um pomar jovem. 25* 40 100 =10 ; Q1= 1 Q1= 1 fruto. 50* 40 100 =20 ; Q2= 2,5 Q2= 2,5 frutos. 75* 40 100 =30 ; Q3= 4 Q3= 4 frutos. 1 2,5 0 2 3 4 5 6 78
Números de frutos das plantas
Pág. 183 Pág. 186 Pág. 191 Caderno de Fichas FP13 02 3 9 10 0 1 2 21 1 2 3 4 31 3 4 5 7 8 4 52 3 2 | 1 representa 21 cm N.° de frutos plantas N.° de 0 4 1 9 2 7 3 7 4 8 5 3 6 0 7 0 8 2 Total 40 200 0 Massa (g) Número de sacos 400600 542,86 800 1000 2 3 4 5 6 1400 400 1000 1200 7 8 1
197
2.4. Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
MMA CS10 © P or to E dito ra MMACS10EP_20140245_P182_225_2P.indd 197 3/13/15 3:23 PM Investiga MMA CS10MA © P orto E ditora Investiga 7 IUC 1Imposto Único de Circulação2
N.° de elementos por grupo: 2 Material: • Computador com ligação à internet • Calculadora
O Imposto Único de Circulação 1IUC2 é um imposto anual que incide sobre a propriedade, e não sobre a circulação, pago até o veículo ser abatido, sendo atualizado em Janeiro de cada ano civil. O IUC é de periodicidade anual e deve ser pago até ao termo do mês de aniversário da matrícula do veículo, inde-pendentemente de uso ou fruição, até que haja cancela-mento da matrícula por abate da viatura efetuado nos ter-mos da lei.
Cada grupo de trabalho deve investigar as seguintes carac-terísticas de dois automóveis 1dos pais, irmãos, tios, etc.2: tipo de veículo 1ligeiro de passageiros, ligeiros de mercado-rias, etc.2, tipo de combustível, ano da matrícula, cilin-drada, emissões de dióxido de carbono 1CO22 .
Dica: Todas estas informações encontram-se facilmente no DUA 1Documento Único Automóvel2 ou certificado de matrícula que resulta da fusão do antigo livrete e do título de registo de propriedade.
1 O imposto único de circulação incide sobre os veículos matriculados ou registados em Portugal e estão agrupados em várias categorias. Quais são essas categorias e que veículos abrangem?
2 Como as taxas associadas ao imposto são atualizadas todos os anos em função do índice de preços no consumidor, devem em primeiro lugar investigar quais as tabelas atualizadas com as taxas mais recentes.
Devem depois calcular o valor do IUC para os automóveis dos vossos familiares. Dica: Existem tabelas para a categoria do veículo, com taxas que dependem do tipo de combus-tível, da cilindrada e das emissões de CO2 . Não esquecer que ao ano da matrícula do automó-vel também está associado um coeficiente que é utilizado no cálculo do IUC.
3 Procurar um simulador do IUC dos vários existentes na Internet e confirmar os resultados obtidos. Exemplos: www.site.aran.pt/ ou www.portaldoautomovel.pt
Bom trabalho. 9 MMACS10MA_20145053_F01_02_1P.indd 9 3/20/15 6:31 PM Aplicações didáticas 45 MMA CSMT © P orto E ditora
primeira classe, a amplitude e a frequência absoluta de cada classe, de modo a ilustrar o histograma, o percenatil de ordem k e a respetiva área acumulada.
A aplicação apresenta uma tabela resumo com a área total do histograma, a área de cada barra, a área acu-mulada e as respetivas áreas relativas.
Guia de utilização
Deverá inserir o limite inferior da primeira classe, a amplitude da classe e as frequências absolutas das clas-ses definidas. Seleciona-se o conceito a explorar clicando num dos dois botões de opção, Pk= ? ou k = ? . O primeiro, o amarelo, permite determinar o percenatil da ordem k inserido a ordem na caixa “k= ” . O se-gundo, o azul, permite determinar a que percenatil pertence o dado inserido na caixa “Pk= “ . Os dados da tabela permitem facilmente determinar a área de cada barra e da área total do histograma. Também é calcu-lada a área a que corresponde k% da área total do histograma. Por fim, pode optar-se por apresentar em cada barra do histograma a respetiva área e alternar a visibilidade do percenatil no histograma. Exploração
Sugere-se a introdução da noção de percenatil usando exemplos de dados organizados em classes, desta-cando o percenatil de ordem k como sendo o ponto do eixo horizontal para o qual a área acumulada à sua esquerda é igual a k% da área total do histograma.
Também se sugere a determinação da percentagem da área acumulada à esquerda de um determinado valor relativamente à área total do histograma e a determinação do percenatil a que pertence.
Aplicação 14: Diagrama de extremos e quartis
Descrição Permite construir um diagrama de extremos e quartis para quatro amostras distintas. Guia de utilização Os dados são introduzidos na tabela obtendo-se os valores necessários à construção do diagrama de extremos e quartis. Exploração A aplicação pode ser explorada na construção de diagramas de extremos e quartis e na compara-ção de amostras em termos de simetria.
MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 45 3/17/15 12:02 PM
Estatística
1 O diagrama de dispersão ao lado apresenta a classificação, de 0 a 100 , que 10 alunos obtiveram, nas partes prática e teórica de um teste.
1.1. Quando alunos obtiveram a classificação de 50 na parte teórica?
1.2. Um aluno obteve 60 na parte prática. Qual a classificação que obteve na parte teórica?
1.3. Mais quatro alunos fizeram o mesmo teste. A tabela seguinte mostra os respetivos resultados obtidos.
Teórica 10945284 Prática 15904680
2 O estrelinha-de-poupa pertence a uma espécie de aves pequenas. Nos dias de inverno, esta ave tem de comer o suficiente para produzir calor durante a noite. Durante o dia, por essa razão, a massa da ave aumenta. O diagrama de dispersão mostra as massas de 17 destas aves, a diferentes horas do dia, durante um dia de inverno. No diagrama está representada a correspondente reta de regressão linear.
2.1. Faça uma estimativa da massa de um estrelinha-de-poupa às 11:30 .
2.2. Estime quantos gramas, em média, a massa de um estrelinha-de-poupa aumenta numa hora.
2.3. Qual o estrelinha-de-poupa, representado no diagrama, tem menos hipóteses de sobreviver durante a noite, se estiver frio? Dê a resposta colocando um círculo em torno do ponto do diagrama de dispersão e explique porque escolheu esse ponto.
Ficha para praticar 17
FP17
20 30 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 40 50 60 70 80 90 100 Parte teórica Parte prática 910 8 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 7 0 1112131415 Massa / g MMA CS10CFP © P orto E di tora 56 MMACS10CFP_20145051_P032_063_1P.indd 56 3/6/15 1:55 PM 2.7. Dados bivariados3 O diagrama de dispersão seguinte apresenta os comprimentos e os diâmetros máximos de 15 bolotas.
15 10 10,5 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Comprimento / mm Diâmetr o / mm
3.1. Indique a classe modal dos comprimentos máximos das bolotas.
3.2. Indique o ponto do diagrama que corresponde ao comprimento mediano das bolotas. Coloque um círculo à volta desse ponto.
3.3. Dos diagramas seguintes, indique aqueles em que a reta de regressão linear melhor se ajusta à nuvem de pontos. 15 10 10,5 11 11,5 12 12,513 13,5 14 14,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Comprimento / mm Diagrama A Diâmetr o / mm 15 10 10,5 11 11,5 12 12,513 13,5 14 14,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Comprimento / mm Diagrama B Diâmetr o / mm 15 10 10,5 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Comprimento / mm Diagrama C Diâmetr o / mm
FP17
MMA CS10CFP © P orto E ditora 57 MMACS10CFP_20145051_P032_063_1P.indd 57 3/6/15 1:55 PMAtividade inicial
4
Selecionou-se, aleatoriamente, cinco alunos do 10.° A aos quais se perguntou a idade.
As respostas foram as seguintes: 15 14 15 16 17 Para indicar a amostra obtida pode-se escrever os dados, se-parados por vírgulas, dentro de parêntesis. A amostra representa-se por x~ .
x
~= 115 , 14 , 15 , 16 , 172 x1 é o primeiro elemento da amostra. 3 3 3 3 3
x1 x2 x3 x4 x5 x3 é o terceiro elemento da amostra. A amostra ordenada é a seguinte:
114 , 15 , 15 , 16 , 172 x(1) é o primeiro elemento da amostra ordenada. 3 3 3 3 3
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(3) é o terceiro elemento da amostra ordenada.
1 Considere a amostra seguinte:
1.1. Escreva a amostra ordenada. 1.2. Indique e .
2 Numa amostra ordenada , de dimensão 5 , sabe-se que: ; ; e
Qual é o valor de ? Escreva a amostra.
2.4.
Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
Utilizamos frequentemente medidas estatísticas para compreendermos o mundo à nossa volta, pois estas medidas permitem resumir de forma simples um conjunto de dados que, da forma como são recolhidos, não possuem signifi-cado. Pode citar-se, como exemplo, se o co-nhecimento do “peso” de um bebé está no percentil adequado à sua idade.
2
182
Estatística
MMA CS10 © P orto E di tora MMACS10EP_20140245_P220_240_1P_ManualAmostra.indd 182 3/13/15 11:20 AM•
desafia-o a resolver, já no 10.º ano,
exercícios tipo exame, dotando-o
dos instrumentos necessários à
superação do seu exame nacional
no final do ano letivo seguinte;
•
sugere-lhe numerosas e
variadas questões para o ajudar
a atingir o seu máximo, através
das atividades complementares,
das sínteses e da avaliação
global no final de cada
subdomínio;
•
orienta-o no seu estudo,
indicando-lhe como pode reforçar
e consolidar os conteúdos
apresentados;
Fichas de teste – conjunto de questões-tipo para rever
definições e conceitos, bem como processos relevantes
na preparação para os testes de avaliação.
O manual remete para a resolução destas fichas nos
momentos adequados.
Parte 2: Aplicações didáticas
Propõem-se guiões de utilização e exploração para abordar um vasto leque
de conteúdos, que englobam os métodos eleitorais, os métodos de partilha
equilibrada, a estatística e os modelos financeiros.
TI–84 Plus C 14 MMA CS MT © P orto E di tora Dados bivariados Exemplo 4:
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus Celsius 1ºC2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias.
Temperatura 1ºC2 1820 2119172122 Pressão atmosférica 1mmHg2810810800800800815805 Descrição Resultado Introduzir as listas na calculadora Prima as teclas S e e. Insira a lista de Temperaturas em L1 e a lista Pressão atmosférica em L2. Para regressar à janela principal da calculadora prima `M.
Parâmetros da reta regressão e coeficiente de regressão
Prima as tecla S > > e selecione a opção LinRegTTest. Insira L1, L2 e Y1, nos campos Xlist,
Ylist e RegEq, respetivamente, e
selecione Calculate. A reta de regressão está automaticamente inserida no menu das funções. Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de regressão, y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação, r= 0,250 . Nuvem de pontos e reta de regressão
Prima as teclas `! para aceder ao menu STAT PLOT. No menu Plot1, selecione a opção On e o gráfico de pontos. Insira L1 em Xlist e L2 em Ylist. Selecione a marca, a cor dos pontos e prima a tecla %. Poderá ser necessário ajustar a janela de visualização ao conjunto de dados. Para isso, prima a tecla # e selecione a opção ZoomStat. Pode alternar a visibilidade da reta de regressão linear obtida com a função
LinRegTTest e guardada em Y1,
premindo a tecla! e alternado a seleção do carater =. MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 14 3/17/15 12:01 PM As calculadoras na Estatística 9 MMA CSMT © P orto E ditora Descrição Resultado Introduzir as duas listas na aplicação Calculadora
Insira as seguintes expressões e prima ·: temperatura:= 518, 20, 21, 19, 17, 21, 226 pressao:= 5810, 810, 800, 800, 800, 815, 8056 Prima /t para aceder a Ï.
Parâmetros da reta regressão e coeficiente de regressão
Prima a tecla b e a opção 6: Estatística,
1: Cálculos estatísticos e 1: Regressão linear 1mx + b2. Insira a variável temperatura, pressao e f1, nos campos Lista X, a Lista Y e Guardar RegEqn
em, respetivamente, e prima a tecla ·.
Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de regressão,
y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação, r= 0,250 . Nuvem de pontos
Na aplicação Dados e Estatística, prima a tecla b e selecione a opção
2: Propriedades do gráfico.
Na opção 5: Adicionar variável X, selecionamos a variável temperatura. Na opção 8: Adicionar variável Y, selecionamos a variável pressao.
Reta de regressão Prima a tecla b e selecione as opções
6: Regressão e 1: Mostrar linear 1mx + b2
para adicionar a reta de regressão linear à nuvem de pontos. MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 9 3/17/15 12:01 PM As calculadoras na Estatística 19 MMA CSMT © P orto E ditora Dados bivariados Exemplo 4:
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus Celsius 1°C2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias.
Temperatura 1ºC2 18202119 172122 Pressão atmosférica 1mmHg2810810800800800815805
Descrição Resultado
Introduzir as listas na calculadora
Na opção 2 Statistics do menu principal, insira a lista de temperaturas em List 1 e a lista de pressões em List 2.
Parâmetros da reta regressão e coeficiente de regressão
Prima as teclas w e u para inserir a variável List2 em 1Var
Freq.
De seguida, prima d para regressar ao menu anterior e prima eqq, para aceder a
REG, X e ax + b, respetivamente. Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de regressão,
y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação,
r= 0,250 . Nuvem de pontos
Prima as teclas q e u para selecionar o tipo de gráfico 1Scatter2 em StatGraph1, inserir a variável List1 em XList e a variável List2 em YList. De seguida, prima d para regressar ao menu anterior e prima q para representar a nuvem de pontos.
Reta de regressão Prima a sequência de teclas q, w, q e u para aceder a Calc, X, ax + b e Draw, respetivamente, para adicionar a reta de regressão linear à nuvem de pontos.
MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 19 3/17/15 12:01 PM
Resolução
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados, ou
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 . 10.3. Sim. Uma vez que todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem
neles próprios2, então vários podem ter mais de 50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com 80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente.
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo.
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram proce-der a uma votação com a ajuda do professor de MACS.
As opiniões recolhidas foram as seguintes: 12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone; 10 alunos votaram Pizza Camponesa; 6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone; 4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone. Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora? Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas. A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, .
12.1. Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação?
12.2. Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de
eleitores participantes e comente.
Caderno de Fichas FP3 Atividades complementares Pág. 84 35
51
1.1. Teoria matemática das eleições
MMA CS10 © P orto E di tora MMACS10EP_20140245_P026_091_2P.indd 51 3/10/15 8:53 AM
Resolução
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados, ou
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 .
10.3. Sim. Uma vez que todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem
neles próprios2, então vários podem ter mais de 50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com
80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos
votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente.
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo.
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram
proce-der a uma votação com a ajuda do professor de MACS.
As opiniões recolhidas foram as seguintes:
12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone;
10 alunos votaram Pizza Camponesa;
6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone;
4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone.
Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora?
Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas.
A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, .
12.1.
Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação?
12.2.
Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de
eleitores participantes e comente.
Caderno
de Fichas
FP3
Atividades
complementares
Pág. 84
35
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1.1.
Teoria matemática das eleições
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to
ra
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3/10/15 8:53 AM
Caderno de Fichas
Para reforçar a aprendizagem, consolidar conhecimentos
e preparar os testes de avaliação, no Caderno de Fichas
encontra duas propostas de trabalho:
Fichas para praticar – conjunto de questões que
ajudarão o aluno a desenvolver a destreza na resolução
de problemas e aplicação dos procedimentos descritos
no manual.
2
Estes recursos podem ser
utilizados para uma melhor
compreensão de alguns conceitos
e procedimentos, sendo muito
úteis para verificar e/ou simular
resultados.
e-Manual Premium
Versão digital do manual com
acesso a todos os recursos do
projeto em contexto.
Caderno de Fichas
com exercícios interativos
e soluções.
Menu de recursos para aceder
diretamente a todos os recursos
do projeto que se encontram em
formato digital.
O acesso à versão definitiva do
e-Manual Premium é exclusivo
do Professor adotante e estará
disponível a partir de setembro
de 2015.
e-Manual do Aluno
O acesso ao e-Manual do Aluno
é disponibilizado, gratuitamente,
na compra do manual em papel,
no ano letivo 2015-2016, e poderá
ser adquirido autonomamente
através da Internet.
66
7
O Máximo MACS 10 proporciona a mobilização de recursos variados
e o acompanhamento do professor mediante os diferentes ritmos
de aprendizagem dos seus alunos.
Máximo na Tecnologia
Este componente do projeto foi elaborado com a colaboração
de especialistas na área das tecnologias educativas.
O Máximo na Tecnologia está dividido em duas partes.
Parte 1: Calculadoras gráficas e aplicações
Nesta parte, apresenta-se um guia de utilização das calculadoras gráficas
TI-Nspire
,
TI 84 Plus C
e
Casio fx-CG
.
5
•
apresenta-lhe assuntos atuais
e ilustrações com um toque
de humor.
Máximo do Aluno
Para que o aluno possa
exercitar e saber mais sobre
os conteúdos lecionados, são
propostas, para além de
provas globais, atividades de
investigação e
experimentação em grupo,
que poderão ser úteis para
aprofundar alguns dos temas.
3
Máximo do Professor
Para que o professor possa organizar as suas aulas de
acordo com a sua metodologia, e ainda proporcionar
uma aprendizagem diferenciada, propõe:
•
Planificações: para facilitar a integração do manual
no vasto conjunto de recursos disponíveis, são
apresentadas propostas de planificação semanal e de
aula a aula que possibilitam ao professor organizar
mais rapidamente o seu trabalho.
•
Recursos por subdomínio: proporcionam um apoio
complementar na preparação das aulas e momentos
de avaliação. Estes recursos são todos editáveis para
que os professores possam diferenciar e adaptar as
suas metodologias e estratégias pedagógicas.
Para cada semana existem questões-aula e
testes de avaliação em momentos próprios.
•
Propostas de resolução: detalhadas dos
exercícios do Manual e Caderno de Fichas
permitem uma melhor gestão do tempo,
nomeadamente na preparação das aulas
e na promoção do trabalho autónomo
dos alunos.
Em caso de adoção, o professor terá acesso
às restantes resoluções das questões do
manual e do Caderno de Fichas.
4
Manual
Para aprender Matemática é essencial um estudo autónomo e sistemático e, com base nesse paradigma, o novo
manual Máximo, Matemática Aplicada às Ciências Sociais, 10.º ano, foi pensado para proporcionar ao professor
e seus alunos um sólido auxiliar de trabalho.
O desenvolvimento deste manual alicerçou-se no programa de MACS e foi, no que respeita ao domínio
da Estatística, atualizado de acordo com os últimos documentos oficiais.
É um manual funcional, que possibilita um trabalho autónomo e facilita, em todos os momentos, a aprendizagem
do aluno, conduzindo-o através dos vários recursos que integram o projeto.
Tendo como foco o aluno, o Máximo MACS 10:
1
espacoprofessor.pt
Experimente em
e-Manual Premium (exclusivo para o Professor)
6
7
e-Manual do Aluno
Caderno de Fichas
2
Manual
1
3
Máximo do Aluno
4
Máximo do Professor
5
Máximo na Tecnologia
NOVIDADE
Síntese
Percentil para dados simples
O percentil de ordem k da amostra
x
~= 1x1 , x2 , p , xn2 é: o valor máximo da amostra se
k = 100 ; a média dos elementos de ordem
kn
100 e
kn
100 +1 na amostra orde-nada, se k0 100 e kn100 for inteiro; o elemento de ordem ckn
100d +1 na amostra, nos restantes casos.
No diagrama de caule-e-fo-lhas ao lado apresenta-se a altura, em centímetros, de 20 plantas. P25 = ? ; 25 * 20 100 =5 P25=x152+ x162 2= 10 + 112 = 10,5 ; P25= 10,5 cm P76 = ? ; P76= 76 * 20100 =15,2 ; P76= x1162= 35 cm
Percentil para dados agrupados em classes
Para dados agrupados em classes,
Pk determina-se utilizando o respetivo histograma. Se desenharmos a linha vertical que contém a mediana, a área do histo-grama fica dividida em duas partes iguais. Massa, em gramas, de 20 sacos de laranjas At= 200 * 20 = 4000 P50 = ? ; P50= 50 * 4000100 = 2000 1P50- 4002 * 7 + 1000 = 2000 P50= 10007 +400) 542,86 ; P50) 542,96 g
Quartis. Diagrama de extremos e quartis
O 1.° Quartil 1Q12= P25 . O 2.° Quartil 1Md2= P50 . O 3.° Quartil 1Q32= P75 .
Q3- Q1 = amplitude interquartis. O diagrama de extremos e quartis constrói-se conhecendo: os extremos 1valores máximo e
mí-nimo2; os quartis Q1 , Q2 e Q3 .
Considere o conjunto de dados ao lado, relativos ao número de frutos de 40 plantas de um pomar jovem. 25* 40 100 =10 ; Q1= 1 Q1= 1 fruto. 50* 40 100 =20 ; Q2= 2,5 Q2= 2,5 frutos. 75* 40 100 =30 ; Q3= 4 Q3= 4 frutos. 1 2,5 0 23 4 5 6 7 8
Números de frutos das plantas
Pág. 183 Pág. 186 Pág. 191 Caderno de Fichas FP13 02 3 9 10 0 1 2 21 1 2 3 4 31 3 4 5 7 8 4 52 3 2 | 1 representa 21 cm N.° de frutos plantas N.° de 0 4 1 9 2 7 3 7 4 8 5 3 6 0 7 0 8 2 Total 40 200 0 Massa (g) Número de sacos 400600 542,86 800 1000 2 3 4 5 6 1400 400 1000 1200 7 8 1
197
2.4. Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
MMA CS10 © P or to E dito ra MMACS10EP_20140245_P182_225_2P.indd 197 3/13/15 3:23 PM Investiga MMA CS10MA © P orto E ditora Investiga 7 IUC 1Imposto Único de Circulação2
N.° de elementos por grupo: 2 Material: • Computador com ligação à internet • Calculadora
O Imposto Único de Circulação 1IUC2 é um imposto anual que incide sobre a propriedade, e não sobre a circulação, pago até o veículo ser abatido, sendo atualizado em Janeiro de cada ano civil. O IUC é de periodicidade anual e deve ser pago até ao termo do mês de aniversário da matrícula do veículo, inde-pendentemente de uso ou fruição, até que haja cancela-mento da matrícula por abate da viatura efetuado nos ter-mos da lei.
Cada grupo de trabalho deve investigar as seguintes carac-terísticas de dois automóveis 1dos pais, irmãos, tios, etc.2: tipo de veículo 1ligeiro de passageiros, ligeiros de mercado-rias, etc.2, tipo de combustível, ano da matrícula, cilin-drada, emissões de dióxido de carbono 1CO22 .
Dica: Todas estas informações encontram-se facilmente no DUA 1Documento Único Automóvel2 ou certificado de matrícula que resulta da fusão do antigo livrete e do título de registo de propriedade.
1 O imposto único de circulação incide sobre os veículos matriculados ou registados em Portugal e estão agrupados em várias categorias. Quais são essas categorias e que veículos abrangem?
2 Como as taxas associadas ao imposto são atualizadas todos os anos em função do índice de preços no consumidor, devem em primeiro lugar investigar quais as tabelas atualizadas com as taxas mais recentes.
Devem depois calcular o valor do IUC para os automóveis dos vossos familiares. Dica: Existem tabelas para a categoria do veículo, com taxas que dependem do tipo de combus-tível, da cilindrada e das emissões de CO2 . Não esquecer que ao ano da matrícula do automó-vel também está associado um coeficiente que é utilizado no cálculo do IUC.
3 Procurar um simulador do IUC dos vários existentes na Internet e confirmar os resultados obtidos. Exemplos: www.site.aran.pt/ ou www.portaldoautomovel.pt
Bom trabalho. 9 MMACS10MA_20145053_F01_02_1P.indd 9 3/20/15 6:31 PM Aplicações didáticas 45 MMA CSMT © P orto E ditora
primeira classe, a amplitude e a frequência absoluta de cada classe, de modo a ilustrar o histograma, o percenatil de ordem k e a respetiva área acumulada.
A aplicação apresenta uma tabela resumo com a área total do histograma, a área de cada barra, a área acu-mulada e as respetivas áreas relativas.
Guia de utilização
Deverá inserir o limite inferior da primeira classe, a amplitude da classe e as frequências absolutas das clas-ses definidas. Seleciona-se o conceito a explorar clicando num dos dois botões de opção, Pk= ? ou k = ? . O primeiro, o amarelo, permite determinar o percenatil da ordem k inserido a ordem na caixa “k= ” . O se-gundo, o azul, permite determinar a que percenatil pertence o dado inserido na caixa “Pk= “ . Os dados da tabela permitem facilmente determinar a área de cada barra e da área total do histograma. Também é calcu-lada a área a que corresponde k% da área total do histograma. Por fim, pode optar-se por apresentar em cada barra do histograma a respetiva área e alternar a visibilidade do percenatil no histograma. Exploração
Sugere-se a introdução da noção de percenatil usando exemplos de dados organizados em classes, desta-cando o percenatil de ordem k como sendo o ponto do eixo horizontal para o qual a área acumulada à sua esquerda é igual a k% da área total do histograma.
Também se sugere a determinação da percentagem da área acumulada à esquerda de um determinado valor relativamente à área total do histograma e a determinação do percenatil a que pertence.
Aplicação 14: Diagrama de extremos e quartis
Descrição Permite construir um diagrama de extremos e quartis para quatro amostras distintas. Guia de utilização Os dados são introduzidos na tabela obtendo-se os valores necessários à construção do diagrama de extremos e quartis. Exploração A aplicação pode ser explorada na construção de diagramas de extremos e quartis e na compara-ção de amostras em termos de simetria.
MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 45 3/17/15 12:02 PM
Estatística
1 O diagrama de dispersão ao lado apresenta a classificação, de 0 a 100 , que 10 alunos obtiveram, nas partes prática e teórica de um teste.
1.1. Quando alunos obtiveram a classificação de 50 na parte teórica?
1.2. Um aluno obteve 60 na parte prática. Qual a classificação que obteve na parte teórica?
1.3. Mais quatro alunos fizeram o mesmo teste. A tabela seguinte mostra os respetivos resultados obtidos.
Teórica 10945284 Prática 15904680
2 O estrelinha-de-poupa pertence a uma espécie de aves pequenas. Nos dias de inverno, esta ave tem de comer o suficiente para produzir calor durante a noite. Durante o dia, por essa razão, a massa da ave aumenta. O diagrama de dispersão mostra as massas de 17 destas aves, a diferentes horas do dia, durante um dia de inverno. No diagrama está representada a correspondente reta de regressão linear.
2.1. Faça uma estimativa da massa de um estrelinha-de-poupa às 11:30 .
2.2. Estime quantos gramas, em média, a massa de um estrelinha-de-poupa aumenta numa hora.
2.3. Qual o estrelinha-de-poupa, representado no diagrama, tem menos hipóteses de sobreviver durante a noite, se estiver frio? Dê a resposta colocando um círculo em torno do ponto do diagrama de dispersão e explique porque escolheu esse ponto.
Ficha para praticar 17
FP17
20 30 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 40 50 60 70 80 90 100 Parte teórica Parte prática 910 8 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 7 0 1112131415 Massa / g MMA CS10CFP © P orto E di tora 56 MMACS10CFP_20145051_P032_063_1P.indd 56 3/6/15 1:55 PM 2.7. Dados bivariados3 O diagrama de dispersão seguinte apresenta os comprimentos e os diâmetros máximos de 15 bolotas.
15 10 10,5 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Comprimento / mm Diâmetr o / mm
3.1. Indique a classe modal dos comprimentos máximos das bolotas.
3.2. Indique o ponto do diagrama que corresponde ao comprimento mediano das bolotas. Coloque um círculo à volta desse ponto.
3.3. Dos diagramas seguintes, indique aqueles em que a reta de regressão linear melhor se ajusta à nuvem de pontos. 15 10 10,5 11 11,5 12 12,513 13,5 14 14,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Comprimento / mm Diagrama A Diâmetr o / mm 15 10 10,5 11 11,5 12 12,513 13,5 14 14,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Comprimento / mm Diagrama B Diâmetr o / mm 15 10 10,5 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Comprimento / mm Diagrama C Diâmetr o / mm
FP17
MMA CS10CFP © P orto E ditora 57 MMACS10CFP_20145051_P032_063_1P.indd 57 3/6/15 1:55 PMAtividade inicial
4
Selecionou-se, aleatoriamente, cinco alunos do 10.° A aos quais se perguntou a idade.
As respostas foram as seguintes: 15 14 15 16 17 Para indicar a amostra obtida pode-se escrever os dados, se-parados por vírgulas, dentro de parêntesis. A amostra representa-se por x~ .
x
~= 115 , 14 , 15 , 16 , 172 x1 é o primeiro elemento da amostra. 3 3 3 3 3
x1 x2 x3 x4 x5 x3 é o terceiro elemento da amostra. A amostra ordenada é a seguinte:
114 , 15 , 15 , 16 , 172 x(1) é o primeiro elemento da amostra ordenada. 3 3 3 3 3
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(3) é o terceiro elemento da amostra ordenada.
1 Considere a amostra seguinte:
1.1. Escreva a amostra ordenada. 1.2. Indique e .
2 Numa amostra ordenada , de dimensão 5 , sabe-se que: ; ; e
Qual é o valor de ? Escreva a amostra.
2.4.
Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
Utilizamos frequentemente medidas estatísticas para compreendermos o mundo à nossa volta, pois estas medidas permitem resumir de forma simples um conjunto de dados que, da forma como são recolhidos, não possuem signifi-cado. Pode citar-se, como exemplo, se o co-nhecimento do “peso” de um bebé está no percentil adequado à sua idade.
2
182
Estatística
MMA CS10 © P orto E di tora MMACS10EP_20140245_P220_240_1P_ManualAmostra.indd 182 3/13/15 11:20 AM•
desafia-o a resolver, já no 10.º ano,
exercícios tipo exame, dotando-o
dos instrumentos necessários à
superação do seu exame nacional
no final do ano letivo seguinte;
•
sugere-lhe numerosas e
variadas questões para o ajudar
a atingir o seu máximo, através
das atividades complementares,
das sínteses e da avaliação
global no final de cada
subdomínio;
•
orienta-o no seu estudo,
indicando-lhe como pode reforçar
e consolidar os conteúdos
apresentados;
Fichas de teste – conjunto de questões-tipo para rever
definições e conceitos, bem como processos relevantes
na preparação para os testes de avaliação.
O manual remete para a resolução destas fichas nos
momentos adequados.
Parte 2: Aplicações didáticas
Propõem-se guiões de utilização e exploração para abordar um vasto leque
de conteúdos, que englobam os métodos eleitorais, os métodos de partilha
equilibrada, a estatística e os modelos financeiros.
TI–84 Plus C 14 MMA CS MT © P orto E di tora Dados bivariados Exemplo 4:
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus Celsius 1ºC2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias.
Temperatura 1ºC2 18 2021191721 22 Pressão atmosférica 1mmHg2810810800800800815805 Descrição Resultado Introduzir as listas na calculadora Prima as teclas S e e. Insira a lista de Temperaturas em L1 e a lista Pressão atmosférica em L2. Para regressar à janela principal da calculadora prima `M.
Parâmetros da reta regressão e coeficiente de regressão
Prima as tecla S > > e selecione a opção LinRegTTest. Insira L1, L2 e Y1, nos campos Xlist,
Ylist e RegEq, respetivamente, e
selecione Calculate. A reta de regressão está automaticamente inserida no menu das funções. Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de regressão, y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação, r= 0,250 . Nuvem de pontos e reta de regressão
Prima as teclas `! para aceder ao menu STAT PLOT. No menu Plot1, selecione a opção On e o gráfico de pontos. Insira L1 em Xlist e L2 em Ylist. Selecione a marca, a cor dos pontos e prima a tecla %. Poderá ser necessário ajustar a janela de visualização ao conjunto de dados. Para isso, prima a tecla # e selecione a opção ZoomStat. Pode alternar a visibilidade da reta de regressão linear obtida com a função
LinRegTTest e guardada em Y1,
premindo a tecla! e alternado a seleção do carater =. MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 14 3/17/15 12:01 PM As calculadoras na Estatística 9 MMA CSMT © P orto E ditora Descrição Resultado Introduzir as duas listas na aplicação Calculadora
Insira as seguintes expressões e prima ·: temperatura:= 518, 20, 21, 19, 17, 21, 226 pressao:= 5810, 810, 800, 800, 800, 815, 8056 Prima /t para aceder a Ï.
Parâmetros da reta regressão e coeficiente de regressão
Prima a tecla b e a opção 6: Estatística,
1: Cálculos estatísticos e 1: Regressão linear 1mx + b2. Insira a variável temperatura, pressao e f1, nos
campos Lista X, a Lista Y e Guardar RegEqn
em, respetivamente, e prima a tecla ·.
Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de regressão,
y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação, r= 0,250 . Nuvem de pontos
Na aplicação Dados e Estatística, prima a tecla b e selecione a opção
2: Propriedades do gráfico.
Na opção 5: Adicionar variável X, selecionamos a variável temperatura. Na opção 8: Adicionar variável Y,
selecionamos a variável pressao.
Reta de regressão Prima a tecla b e selecione as opções
6: Regressão e 1: Mostrar linear 1mx + b2
para adicionar a reta de regressão linear à nuvem de pontos. MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 9 3/17/15 12:01 PM As calculadoras na Estatística 19 MMA CSMT © P orto E ditora Dados bivariados Exemplo 4:
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus Celsius 1°C2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias.
Temperatura 1ºC2 182021 19172122 Pressão atmosférica 1mmHg2810810800800800815805
Descrição Resultado
Introduzir as listas na calculadora
Na opção 2 Statistics do menu principal, insira a lista de temperaturas em List 1 e a lista de pressões em List 2.
Parâmetros da reta regressão e coeficiente de regressão
Prima as teclas w e u para inserir a variável List2 em 1Var
Freq.
De seguida, prima d para regressar ao menu anterior e prima eqq, para aceder a
REG, X e ax + b, respetivamente. Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de regressão,
y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação,
r= 0,250 . Nuvem de pontos
Prima as teclas q e u para selecionar o tipo de gráfico 1Scatter2 em StatGraph1, inserir a variável List1 em XList e a variável List2 em YList. De seguida, prima d para regressar ao menu anterior e prima q para representar a nuvem de pontos.
Reta de regressão Prima a sequência de teclas q, w, q e u para aceder a Calc, X, ax + b e Draw, respetivamente, para adicionar a reta de regressão linear à nuvem de pontos.
MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 19 3/17/15 12:01 PM
Resolução
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados, ou
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 . 10.3. Sim. Uma vez que todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem
neles próprios2, então vários podem ter mais de 50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com 80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente.
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo.
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram proce-der a uma votação com a ajuda do professor de MACS.
As opiniões recolhidas foram as seguintes: 12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone; 10 alunos votaram Pizza Camponesa; 6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone; 4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone. Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora? Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas. A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, .
12.1. Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação?
12.2. Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de
eleitores participantes e comente.
Caderno de Fichas FP3 Atividades complementares Pág. 84 35
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1.1. Teoria matemática das eleições
MMA CS10 © P orto E di tora MMACS10EP_20140245_P026_091_2P.indd 51 3/10/15 8:53 AM
