Teorema de Gibbard-Satterthwaite
Teorema de Gibbard-Satterthwaite: Sef é uma função de escolha social à prova de estratégia sobreA, com |A| ≥3, entãof é uma ditadura.
Dinheiropode ser usado para driblar o teorema acima. Nem sempre dinheiro pode ser usado como compensação: por razões éticas ou considerações institucionais
(decisões políticas, doações de orgãos, etc) Na aula passada, consideramos uma situação onde a preferência dos participantes é restrita de modo que o teorema não se aplique.
Teorema de Gibbard-Satterthwaite
Teorema de Gibbard-Satterthwaite: Sef é uma função de escolha social à prova de estratégia sobreA, com |A| ≥3, entãof é uma ditadura.
Dinheiropode ser usado para driblar o teorema acima.
Nem sempre dinheiro pode ser usado como compensação:
por razões éticas ou considerações institucionais (decisões políticas, doações de orgãos, etc)
Na aula passada, consideramos uma situação onde a preferência dos participantes é restrita de modo que o teorema não se aplique.
Teorema de Gibbard-Satterthwaite
Teorema de Gibbard-Satterthwaite: Sef é uma função de escolha social à prova de estratégia sobreA, com |A| ≥3, entãof é uma ditadura.
Dinheiropode ser usado para driblar o teorema acima.
Nem sempre dinheiro pode ser usado como compensação:
por razões éticas ou considerações institucionais (decisões políticas, doações de orgãos, etc) Na aula passada, consideramos uma situação onde a preferência dos participantes é restrita de modo que o teorema não se aplique.
Preferências de pico único
Como escolher a temperatura do AC
num ambiente de trabalho com muitas pessoas?
ConsidereA= [0,1](conjunto de possíveis escolhas). Cada indivíduo tem uma preferênciai sobre A. i é depico único se existepi ∈Atq,
i para todox ∈A\ {pi} e λ∈[0,1), i λx+ (1−λ)pi i x.
R: coleção das preferências com pico único.
Mecanismof :Rn→Aé à prova de estratégiase declarar a sua real preferência é uma estratégia (fracamente) dominante.
Preferências de pico único
Como escolher a temperatura do AC
num ambiente de trabalho com muitas pessoas?
ConsidereA= [0,1](conjunto de possíveis escolhas).
Cada indivíduo tem uma preferênciai sobre A. i é depico único se existepi ∈Atq,
i para todox ∈A\ {pi} e λ∈[0,1), i λx+ (1−λ)pi i x.
R: coleção das preferências com pico único.
Mecanismof :Rn→Aé à prova de estratégiase declarar a sua real preferência é uma estratégia (fracamente) dominante.
Preferências de pico único
Como escolher a temperatura do AC
num ambiente de trabalho com muitas pessoas?
ConsidereA= [0,1](conjunto de possíveis escolhas).
Cada indivíduo tem uma preferênciai sobre A.
i é depico único se existepi ∈Atq, i para todox ∈A\ {pi} e λ∈[0,1), i λx+ (1−λ)pi i x.
R: coleção das preferências com pico único.
Mecanismof :Rn→Aé à prova de estratégiase declarar a sua real preferência é uma estratégia (fracamente) dominante.
Preferências de pico único
Como escolher a temperatura do AC
num ambiente de trabalho com muitas pessoas?
ConsidereA= [0,1](conjunto de possíveis escolhas).
Cada indivíduo tem uma preferênciai sobre A.
i é depico único se existepi ∈Atq, i para todox ∈A\ {pi} e λ∈[0,1), i λx+ (1−λ)pi i x.
R: coleção das preferências com pico único.
Mecanismof :Rn→Aé à prova de estratégiase declarar a sua real preferência é uma estratégia (fracamente) dominante.
Preferências de pico único
Como escolher a temperatura do AC
num ambiente de trabalho com muitas pessoas?
ConsidereA= [0,1](conjunto de possíveis escolhas).
Cada indivíduo tem uma preferênciai sobre A.
i é depico único se existepi ∈Atq, i para todox ∈A\ {pi} e λ∈[0,1), i λx+ (1−λ)pi i x.
R: coleção das preferências com pico único.
Mecanismof :Rn→Aé à prova de estratégiase declarar a sua real preferência é uma estratégia (fracamente) dominante.
Preferências de pico único
i é depico único se existepi ∈Atq, i para todox ∈A\ {pi} e λ∈[0,1), i λx+ (1−λ)pi i x.
R: coleção das preferências com pico único.
Mecanismof :Rn→Aé à prova de estratégia:
preferência real é estratégia (fracamente) dominante.
Vamos mostrar
um universo rico de mecanismo à prova de estratégia.
Preferências de pico único
i é depico único se existepi ∈Atq, i para todox ∈A\ {pi} e λ∈[0,1), i λx+ (1−λ)pi i x.
R: coleção das preferências com pico único.
Mecanismof :Rn→Aé à prova de estratégia:
preferência real é estratégia (fracamente) dominante.
Vamos mostrar
um universo rico de mecanismo à prova de estratégia.
Definições
Considere um mecanismof :Rn→A.
= (1, . . . ,n)∈ Rn, pi pico dei
f ésobrejetorse existe tqf() =x para todo x ∈A. f éunânimese f() =x sempre quepi =x para todo i. Sef é unânime, entãof é sobrejetor.
f éPareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex∈Atq xi f() para todo i.
Sef é Pareto-ótimo, então f é unânime.
Definições
Considere um mecanismof :Rn→A.
= (1, . . . ,n)∈ Rn, pi pico dei
f é sobrejetorse existetq f() =x para todo x ∈A.
f éunânimese f() =x sempre quepi =x para todo i. Sef é unânime, entãof é sobrejetor.
f éPareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex∈Atq xi f() para todo i.
Sef é Pareto-ótimo, então f é unânime.
Definições
Considere um mecanismof :Rn→A.
= (1, . . . ,n)∈ Rn, pi pico dei
f é sobrejetorse existetq f() =x para todo x ∈A.
f é unânimese f() =x sempre quepi =x para todo i.
Sef é unânime, entãof é sobrejetor.
f éPareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex∈Atq xi f() para todo i.
Sef é Pareto-ótimo, então f é unânime.
Definições
Considere um mecanismof :Rn→A.
= (1, . . . ,n)∈ Rn, pi pico dei
f é sobrejetorse existetq f() =x para todo x ∈A.
f é unânimese f() =x sempre quepi =x para todo i.
Sef é unânime, entãof é sobrejetor.
f éPareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex∈Atq xi f() para todo i.
Sef é Pareto-ótimo, então f é unânime.
Definições
Considere um mecanismof :Rn→A.
= (1, . . . ,n)∈ Rn, pi pico dei
f é sobrejetorse existetq f() =x para todo x ∈A.
f é unânimese f() =x sempre quepi =x para todo i.
Sef é unânime, entãof é sobrejetor.
f é Pareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex ∈Atq xi f() para todo i.
Sef é Pareto-ótimo, então f é unânime.
Definições
Considere um mecanismof :Rn→A.
= (1, . . . ,n)∈ Rn, pi pico dei
f é sobrejetorse existetq f() =x para todo x ∈A.
f é unânimese f() =x sempre quepi =x para todo i.
Sef é unânime, entãof é sobrejetor.
f é Pareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex ∈Atq xi f() para todo i.
Sef é Pareto-ótimo, então f é unânime.
Equivalência das condições
f é sobrejetorse existetq f() =x para todo x ∈A.
f é unânimese f() =x sempre quepi =x para todo i.
f é Pareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex ∈Atq xi f() para todo i.
Lema: Seja f à prova de estratégia.
Vale quef é sobrejetora sse f é unânime ssef é Pareto-ótimo. Prova feita na aula passada.
Equivalência das condições
f é sobrejetorse existetq f() =x para todo x ∈A.
f é unânimese f() =x sempre quepi =x para todo i.
f é Pareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex ∈Atq xi f() para todo i.
Lema: Seja f à prova de estratégia.
Vale quef é sobrejetora sse f é unânime ssef é Pareto-ótimo.
Prova feita na aula passada.
Equivalência das condições
f é sobrejetorse existetq f() =x para todo x ∈A.
f é unânimese f() =x sempre quepi =x para todo i.
f é Pareto-ótimo se, para todo ∈ Rn, não existex ∈Atq xi f() para todo i.
Lema: Seja f à prova de estratégia.
Vale quef é sobrejetora sse f é unânime ssef é Pareto-ótimo.
Prova feita na aula passada.
Mecanismo à prova de estratégia
Dadas as preferências= (1, . . . ,n), com picos p1, . . . ,pn, sejaf() amediana dos pi’s.
Tal mecanismo é à prova de estratégia. Para todok ∈[n],
tomarf() como ok-ésimopi é à prova de estratégia.
Em contraposição, tomarf() como
amédia dospi’snão é à prova de estratégia.
Qualquermédia ponderada não é á prova de estratégia, a menos que seja uma ditadura.
Mecanismo à prova de estratégia
Dadas as preferências= (1, . . . ,n), com picos p1, . . . ,pn, sejaf() amediana dos pi’s.
Tal mecanismo é à prova de estratégia.
Para todok ∈[n],
tomarf() como ok-ésimopi é à prova de estratégia.
Em contraposição, tomarf() como
amédia dospi’snão é à prova de estratégia.
Qualquermédia ponderada não é á prova de estratégia, a menos que seja uma ditadura.
Mecanismo à prova de estratégia
Dadas as preferências= (1, . . . ,n), com picos p1, . . . ,pn, sejaf() amediana dos pi’s.
Tal mecanismo é à prova de estratégia.
Para todok ∈[n],
tomarf() como ok-ésimopi é à prova de estratégia.
Em contraposição, tomarf() como
amédia dospi’snão é à prova de estratégia.
Qualquermédia ponderada não é á prova de estratégia, a menos que seja uma ditadura.
Mecanismo à prova de estratégia
Dadas as preferências= (1, . . . ,n), com picos p1, . . . ,pn, sejaf() amediana dos pi’s.
Tal mecanismo é à prova de estratégia.
Para todok ∈[n],
tomarf() como ok-ésimopi é à prova de estratégia.
Em contraposição, tomarf() como
amédia dospi’snão é à prova de estratégia.
Qualquermédia ponderada não é á prova de estratégia, a menos que seja uma ditadura.
Mecanismo à prova de estratégia
Dadas as preferências= (1, . . . ,n), com picos p1, . . . ,pn, sejaf() amediana dos pi’s.
Tal mecanismo é à prova de estratégia.
Para todok ∈[n],
tomarf() como ok-ésimopi é à prova de estratégia.
Em contraposição, tomarf() como
amédia dospi’snão é à prova de estratégia.
Qualquermédia ponderada não é á prova de estratégia, a menos que seja uma ditadura.
Mecanismos de estatísticas de ordem
Dadas as preferências= (1, . . . ,n), com picos p1, . . . ,pn, sejaf() amediana dos pi’s.
Para todok ∈[n],
tomarf() como ok-ésimopi é à prova de estratégia.
Tais mecanismos são à prova de estratégia.
Ademais, tais mecanismos só dependem dospi’s, e não dai completa.
Vamos mostrar que todo mecanismo sobrejetor à prova de estratégia só depende dospi’s.
Mecanismos de estatísticas de ordem
Dadas as preferências= (1, . . . ,n), com picos p1, . . . ,pn, sejaf() amediana dos pi’s.
Para todok ∈[n],
tomarf() como ok-ésimopi é à prova de estratégia.
Tais mecanismos são à prova de estratégia.
Ademais, tais mecanismos só dependem dospi’s, e não dai completa.
Vamos mostrar que todo mecanismo sobrejetor à prova de estratégia só depende dospi’s.
Generalização
Para as preferências= (1, . . . ,n), sejamp1, . . . ,pn os picos correspondentes.
Sejamy1, . . . ,yn−1 valores em A= [0,1].
Sejaf() a mediana do conjunto {p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1}. Note quef é à prova de estratégia.
Estes são todos os mecanismos“anônimos” sobrejetores à prova de estratégia.
Anônimo: f() =f(0) para toda permutação 0 de.
Generalização
Para as preferências= (1, . . . ,n), sejamp1, . . . ,pn os picos correspondentes.
Sejamy1, . . . ,yn−1 valores em A= [0,1].
Sejaf() a mediana do conjunto {p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1}. Note quef é à prova de estratégia.
Estes são todos os mecanismos“anônimos” sobrejetores à prova de estratégia.
Anônimo: f() =f(0) para toda permutação 0 de.
Generalização
Para as preferências= (1, . . . ,n), sejamp1, . . . ,pn os picos correspondentes.
Sejamy1, . . . ,yn−1 valores em A= [0,1].
Sejaf() a mediana do conjunto {p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1}.
Note quef é à prova de estratégia.
Estes são todos os mecanismos“anônimos” sobrejetores à prova de estratégia.
Anônimo: f() =f(0) para toda permutação 0 de.
Generalização
Para as preferências= (1, . . . ,n), sejamp1, . . . ,pn os picos correspondentes.
Sejamy1, . . . ,yn−1 valores em A= [0,1].
Sejaf() a mediana do conjunto {p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1}.
Note quef é à prova de estratégia.
Estes são todos os mecanismos“anônimos” sobrejetores à prova de estratégia.
Anônimo: f() =f(0) para toda permutação 0 de.
Generalização
Para as preferências= (1, . . . ,n), sejamp1, . . . ,pn os picos correspondentes.
Sejamy1, . . . ,yn−1 valores em A= [0,1].
Sejaf() a mediana do conjunto {p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1}.
Note quef é à prova de estratégia.
Estes são todos os mecanismos“anônimos”
sobrejetores à prova de estratégia.
Anônimo: f() =f(0) para toda permutação 0 de.
Generalização
Para as preferências= (1, . . . ,n), sejamp1, . . . ,pn os picos correspondentes.
Sejamy1, . . . ,yn−1 valores em A= [0,1].
Sejaf() a mediana do conjunto {p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1}.
Note quef é à prova de estratégia.
Estes são todos os mecanismos“anônimos”
sobrejetores à prova de estratégia.
Anônimo: f() =f(0) para toda permutação 0 de.
Generalização
Para as preferências = (1, . . . ,n), sejamp1, . . . ,pn os picos correspondentes.
Sejamy1, . . . ,yn−1 valores em A= [0,1].
Sejaf() a mediana do conjunto {p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1}.
f é à prova de estratégia.
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn.
Generalização
Para as preferências = (1, . . . ,n), sejamp1, . . . ,pn os picos correspondentes.
Sejamy1, . . . ,yn−1 valores em A= [0,1].
Sejaf() a mediana do conjunto {p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1}.
f é à prova de estratégia.
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn.
Generalização
p1, . . . ,pn: picos das preferências = (1, . . . ,n).
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn.
Esboço da prova: Sef é como no enunciado,
é fácil ver quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Sejabi a preferência do participante i em que pi =b∈ {0,1}. Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n. Comof é anônima, ym é o resultado sempre que
n−m participantes escolhem 0 em escolhem 1.
Note queym≤ym+1 ou f não seria à prova de estratégia.
Generalização
p1, . . . ,pn: picos das preferências = (1, . . . ,n).
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Sef é como no enunciado,
é fácil ver quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Sejabi a preferência do participante i em que pi =b∈ {0,1}. Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n. Comof é anônima, ym é o resultado sempre que
n−m participantes escolhem 0 em escolhem 1.
Note queym≤ym+1 ou f não seria à prova de estratégia.
Generalização
p1, . . . ,pn: picos das preferências = (1, . . . ,n).
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Sef é como no enunciado,
é fácil ver quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Sejabi a preferência do participante i em que pi =b∈ {0,1}. Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n. Comof é anônima, ym é o resultado sempre que
n−m participantes escolhem 0 em escolhem 1.
Note queym≤ym+1 ou f não seria à prova de estratégia.
Generalização
p1, . . . ,pn: picos das preferências = (1, . . . ,n).
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Sef é como no enunciado,
é fácil ver quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Sejabi a preferência do participantei em que pi =b∈ {0,1}.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n. Comof é anônima, ym é o resultado sempre que
n−m participantes escolhem 0 em escolhem 1.
Note queym≤ym+1 ou f não seria à prova de estratégia.
Generalização
p1, . . . ,pn: picos das preferências = (1, . . . ,n).
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Sef é como no enunciado,
é fácil ver quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Sejabi a preferência do participantei em que pi =b∈ {0,1}.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Comof é anônima, ym é o resultado sempre que n−m participantes escolhem 0 em escolhem 1.
Note queym≤ym+1 ou f não seria à prova de estratégia.
Generalização
p1, . . . ,pn: picos das preferências = (1, . . . ,n).
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Sef é como no enunciado,
é fácil ver quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Sejabi a preferência do participantei em que pi =b∈ {0,1}.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Comof é anônima, ym é o resultado sempre que n−m participantes escolhem 0 em escolhem 1.
Note queym≤ym+1 ou f não seria à prova de estratégia.
Generalização
p1, . . . ,pn: picos das preferências = (1, . . . ,n).
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Sef é como no enunciado,
é fácil ver quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia.
Sejabi a preferência do participantei em que pi =b∈ {0,1}.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Comof é anônima, ym é o resultado sempre que n−m participantes escolhem 0 em escolhem 1.
Note queym ≤ym+1 ouf não seria à prova de estratégia.
Generalização
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Queremos mostrar quef() =x∗. Caso 1: x∗ =ym para algum m.
Note quepn−m ≤x∗ =ym ≤pn−m+1, logo
x∗=ym =f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n). Sejax1 =f(1,02. . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Argumente quex1 =x∗ ou f não seria à prova de estratégia. Repita esse argumenton vezes e conclua quef() =x∗.
Generalização
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Queremos mostrar quef() =x∗.
Caso 1: x∗ =ym para algum m.
Note quepn−m ≤x∗ =ym ≤pn−m+1, logo
x∗=ym =f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n). Sejax1 =f(1,02. . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Argumente quex1 =x∗ ou f não seria à prova de estratégia. Repita esse argumenton vezes e conclua quef() =x∗.
Generalização
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Queremos mostrar quef() =x∗. Caso 1: x∗ =ym para algum m.
Note quepn−m ≤x∗ =ym ≤pn−m+1, logo
x∗=ym =f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n). Sejax1 =f(1,02. . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Argumente quex1 =x∗ ou f não seria à prova de estratégia. Repita esse argumenton vezes e conclua quef() =x∗.
Generalização
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Queremos mostrar quef() =x∗. Caso 1: x∗ =ym para algum m.
Note quepn−m ≤x∗ =ym ≤pn−m+1, logo
x∗=ym =f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Sejax1 =f(1,02. . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Argumente quex1 =x∗ ou f não seria à prova de estratégia. Repita esse argumenton vezes e conclua quef() =x∗.
Generalização
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Queremos mostrar quef() =x∗. Caso 1: x∗ =ym para algum m.
Note quepn−m ≤x∗ =ym ≤pn−m+1, logo
x∗=ym =f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Sejax1=f(1,02 . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Argumente quex1 =x∗ ou f não seria à prova de estratégia.
Repita esse argumenton vezes e conclua quef() =x∗.
Generalização
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Queremos mostrar quef() =x∗. Caso 1: x∗ =ym para algum m.
Note quepn−m ≤x∗ =ym ≤pn−m+1, logo
x∗=ym =f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Sejax1=f(1,02 . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Argumente quex1 =x∗ ou f não seria à prova de estratégia.
Repita esse argumenton vezes e conclua quef() =x∗.
Segundo caso da prova
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Caso 2: ym<x∗<ym+1, considerandoy0 =0 eyn=1.
Entãox∗ =pn−m. Vamos mostrar que
f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n) =x∗. Disso, como no Caso 1, podemos concluir quef() =x∗.
Segundo caso da prova
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Caso 2: ym<x∗<ym+1, considerandoy0 =0 eyn=1.
Entãox∗=pn−m.
Vamos mostrar que
f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n) =x∗. Disso, como no Caso 1, podemos concluir quef() =x∗.
Segundo caso da prova
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Caso 2: ym<x∗<ym+1, considerandoy0 =0 eyn=1.
Entãox∗=pn−m. Vamos mostrar que
f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n) =x∗.
Disso, como no Caso 1, podemos concluir quef() =x∗.
Segundo caso da prova
Teorema: Um mecanismo f é à prova de estratégia, sobrejetor e anônimo sse existemy1, . . . ,yn−1∈Atq f() = med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1) para todo ∈ Rn. Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n.
Note queym ≤ym+1 e sejax∗ =med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1).
Caso 2: ym<x∗<ym+1, considerandoy0 =0 eyn=1.
Entãox∗=pn−m. Vamos mostrar que
f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n) =x∗. Disso, como no Caso 1, podemos concluir quef() =x∗.
Segundo caso da prova
Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Queremos mostrar quex0 =x∗.
Suponha quex0 <x∗ (o caso em quex0 >x∗ é análogo). Sen−m declara0n−m,f produzyn−m, assimym ≤x0 <x∗. Seja
O={x| ∃ ˜n−m tq x =f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}. Note quex0,ym,ym+1 ∈O e quex0 =max{x ∈O |x ≤x∗}. Sejax00 =inf{x ∈O |x ≥x∗}. Mostre que x00∈O.
EntãoO∩(x0,x00) =∅.
Segundo caso da prova
Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Queremos mostrar quex0 =x∗.
Suponha quex0 <x∗ (o caso em quex0 >x∗ é análogo).
Sen−m declara0n−m,f produzyn−m, assimym ≤x0 <x∗. Seja
O={x| ∃ ˜n−m tq x =f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}. Note quex0,ym,ym+1 ∈O e quex0 =max{x ∈O |x ≤x∗}. Sejax00 =inf{x ∈O |x ≥x∗}. Mostre que x00∈O.
EntãoO∩(x0,x00) =∅.
Segundo caso da prova
Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Queremos mostrar quex0 =x∗.
Suponha quex0 <x∗ (o caso em quex0 >x∗ é análogo).
Sen−m declara0n−m,f produzyn−m, assimym ≤x0 <x∗.
Seja
O={x| ∃ ˜n−m tq x =f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}. Note quex0,ym,ym+1 ∈O e quex0 =max{x ∈O |x ≤x∗}. Sejax00 =inf{x ∈O |x ≥x∗}. Mostre que x00∈O.
EntãoO∩(x0,x00) =∅.
Segundo caso da prova
Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Queremos mostrar quex0 =x∗.
Suponha quex0 <x∗ (o caso em quex0 >x∗ é análogo).
Sen−m declara0n−m,f produzyn−m, assimym ≤x0 <x∗. Seja
O={x| ∃ ˜n−m tq x=f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}.
Note quex0,ym,ym+1 ∈O e quex0 =max{x ∈O |x ≤x∗}. Sejax00 =inf{x ∈O |x ≥x∗}. Mostre que x00∈O.
EntãoO∩(x0,x00) =∅.
Segundo caso da prova
Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Queremos mostrar quex0 =x∗.
Suponha quex0 <x∗ (o caso em quex0 >x∗ é análogo).
Sen−m declara0n−m,f produzyn−m, assimym ≤x0 <x∗. Seja
O={x| ∃ ˜n−m tq x=f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}.
Note quex0,ym,ym+1 ∈O e quex0 =max{x ∈O |x ≤x∗}.
Sejax00 =inf{x ∈O |x ≥x∗}. Mostre que x00∈O. EntãoO∩(x0,x00) =∅.
Segundo caso da prova
Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Queremos mostrar quex0 =x∗.
Suponha quex0 <x∗ (o caso em quex0 >x∗ é análogo).
Sen−m declara0n−m,f produzyn−m, assimym ≤x0 <x∗. Seja
O={x| ∃ ˜n−m tq x=f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}.
Note quex0,ym,ym+1 ∈O e quex0 =max{x ∈O |x ≤x∗}.
Sejax00 =inf{x ∈O |x ≥x∗}. Mostre que x00∈O.
EntãoO∩(x0,x00) =∅.
Segundo caso da prova
Esboço da prova: Suponha quef é sobrejetora, anônima e à prova de estratégia. Suponha quep1≤ · · · ≤pn.
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
Queremos mostrar quex0 =x∗.
Suponha quex0 <x∗ (o caso em quex0 >x∗ é análogo).
Sen−m declara0n−m,f produzyn−m, assimym ≤x0 <x∗. Seja
O={x| ∃ ˜n−m tq x=f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}.
Note quex0,ym,ym+1 ∈O e quex0 =max{x ∈O |x ≤x∗}.
Sejax00 =inf{x ∈O |x ≥x∗}. Mostre que x00∈O.
EntãoO∩(x0,x00) =∅.
Segundo caso da prova
Esboço da prova:
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
O={x| ∃ ˜n−m tq x=f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}.
x0=max{x∈O |x≤x∗}e x00=min{x∈O |x≥x∗}.
Temos quex0<x∗<x00.
SejampL= x0+x2 00 − epH = x0+x2 00 +, compequeno de modo que pL,pH ∈(x0,x00).
SejamLi e Hi preferências simétricascom pL epH de pico. Isto é,i com preferência Li preferex0 do quex00,
e simetricamentei com preferênciaHi preferex00 do que x0.
Segundo caso da prova
Esboço da prova:
Sejaym=f(01, . . . ,0n−m,1n−m+1, . . . ,1n)para m=1, . . . ,n e x∗=med(p1, . . . ,pn,y1, . . . ,yn−1), com ym<x∗ =pn−m<ym+1. Sejax0 =f(01, . . . ,0n−m−1,n−m,1n−m+1, . . . ,1n).
O={x| ∃ ˜n−m tq x=f(. . . ,0n−m−1,˜n−m,1n−m+1, . . .)}.
x0=max{x∈O |x≤x∗}e x00=min{x∈O |x≥x∗}.
Temos quex0<x∗<x00.
SejampL= x0+x2 00 −e pH = x0+x2 00 +, compequeno de modo que pL,pH ∈(x0,x00).
SejamLi e Hi preferências simétricascom pL epH de pico. Isto é,i com preferência Li preferex0 do quex00,
e simetricamentei com preferênciaHi preferex00 do que x0.
