MAE0116
Aula1: MODELOS PROBABIL´ISTICOS Ministrante Prof. Dr. Vladimir Belitsky,
IME-USP
3 de mar¸co de 2019
O objetivo principal ´e ensinar a constru¸c˜ao de MODELO
PROBABIL´ISTICO de EXPERIMENTO ALEAT ´ORIO. ´E isso que alunos precisam para poder prosseguir no curso e aprender os m´etodos b´asicos de Estat´ıstica.
Experimento aleat´ orio
Experimento aleat´orio´e qualquer experimento que pode resultar em mais que um resultado.
Observe que a defini¸c˜ao usa conceitos que n˜ao ser˜ao definidos;
contamos com que a concep¸c˜ao intuitiva dos conceitos
“experimento” e “resultado” ´e a mesma para todos nos.
Construir ummodelo probabil´ıstico para um experimento aleat´orio significa:
(1)sugerir e apresentar uma codifica¸c˜ao dos resultados poss´ıveis (isto ´e, os resultados que podem ser observados no experimento), (2)usando a codifica¸c˜ao sugerida no passo(1), apresentar a lista de todos os poss´ıveis resultados (a lista a ser chamadaespa¸co de estados),
(3)atribuir probabilidade a cada resultado do espa¸co de estados construido no passo(2).
As tarefas (1) e (2) s˜ao simples; o problema est´a com a execu¸c˜ao da tarefa (3).
Fonte de Aleatoriedade
EXEMPLO 1. Fabricamos um dado perfeito, quer dizer, um dado em forma de um cubo perfeito feito de material homogˆeneo, e marcamos os numeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6 em suas faces. Lan¸caremos este dado e observaremos o n´umero de sua face superior, quando o dado parar. Qual ´e a probabilidade de vermos o n´umero 6?
EXEMPLO 2. Tomamos o dado perfeito. (O significado do “dado perfeito” foi exeplicado no Exemplo 1.) Marcamos suas faces por n´umeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e pintamos as faces 1 e 2 em branco, e as outras em preto. Lan¸caremos este dado e observaremos – quando o dado parar de rodar – o n´umero e a cor da sua face superior. Qual ´e a probabilidade que vermos 4-e-preto?
Fonte de Aleatoriedade
EXEMPLO 3. Ficaremos amanh˜a (das 0 as 24 horas, digamos) na Pra¸ca de Rep´ublica em S˜ao Paulo e observaremos se haja chuva neste local neste per´ıodo. Pergunta-se dar a probabilidade de haver chuva, sendo que possuimos o hist´orico de 30 dias com condi¸c˜oes clim´aticas semelhantes as de hoje e sabemos que em 12 dos 30, no dia seguinte chuveu na Pra¸ca, enquanto que em 18 dos casos restantes n˜ao caiu nenhuma gota.
EXEMPLO 4. Temos uma moeda honesta e duas urnas com bolas idˆenticas no tato, sendo que numa das urnas h´a 1 bola branca e 3 pretas, enquanto que na segunda urna h´a 2 brancas e 4 pretas.
Faremos o seguinte: lan¸caremos a moeda observando sua face superior, e, em seguida, retiramos uma bola de urna, observando sua cor. A retirada ser´a da primeira urna, caso a moeda mostrar
“cara”, e ser´a da segunda urna, no caso de “coroa”.
Pergunta-se a probabilidades de vermos cara-preto.
A “honestidade” da moeda significa que sendo lan¸cada, a probabilidade da moeda cair com “cara” para cima ´e igual `a probabilidade de cair com a “coroa” para cima.
Fonte de Aleatoriedade
EXEMPLO 5. Imagine agora dois dados perfeitos no sentido desta palavra conforme explicado no Exemplo 1. Imagine que os dados s˜ao idˆenticos. Suponha que os dados ser˜ao lan¸cados
simultaneamente e, quando ambas pararem, observaremos os n´umeros nas suas faces superiores. Qual ´e a probabilidade de observarmos 3 e 6? Qual ´e a probabilidade de observarmos 5 e 5?
EXEMPLO 6. Uma vez, comprei para filha 5 pares de meias de duas cores: azul e vermelha. Um dia, todas elas foram para m´aquina de lavar roupa e sairam de l´a diretamente para a gaveta da cˆomoda no quarto da filha. No manh˜a do dia seguinte, ainda no escuro, apanhei duas meias quaisquer da gaveta, vesti a filha, coloquei no carro e levei-a para escolinha. Qual ´e a probabilidade de eu ouvir da filha, quando ela for acordada, ainda no carro, pelo nascer do sol: “Papai! Vocˆe colocou meias de cores diferentes!”
Fonte de Aleatoriedade; ainda sobre os exemplos
Acredito que vocˆe passou f´acilmente por quatro primeiros exemplos. As respostas s˜ao:
para Exemplo 1 sobre um dado, ´e 1/6;
para Exemplo 2 sobre um dado pintado, ´e 1/6 tamb´em;
para Exemplo 3 sobre chuva, ´e 12/30;
para Exemplo 4 sobre moeda e duas urnas, ´e 12 ×34 +12 ×46 Acredito tamb´em que os Exemlos 5 e 6 exigiram maior esfor¸co que os quatro primeiros, e, possivelmente, vocˆe nem chegou as suas respostas.
Tipo defini¸c˜ao
No Exemplo 1 sobre um dado perfeito, a fonte de aleatoriedade ´e o dado. Assim tamb´em ´e no Exemplo 2, embora ´e bom ressaltar que neste caso, o dado ´e diferente do do Exemplo 1 (por ter cores al´em de n´umeros). No Exemplo 3 ´e o tempo (ou a Natureza). No Exemplo 4, s˜ao trˆes fontes: a moeda, e as duas urnas (ou, em outras palavras, o lan¸camento de moeda e retiradas de bola de cada urna); vale destacar que s˜ao trˆes fontes, embora, segundo a descri¸c˜ao de experimento aleat´orio, ser˜ao usadas s´o duas delas. No Exemplo 5, cada dado ´e uma fonte; s˜ao dois ent˜ao neste exemplo.
No Exemplo 6, a situa¸c˜ao ´e pouco mais complicada: a fonte ´e a retirada de duas meias, mas n˜ao est´a claro que a retirada foi de duas meias de vez, ou uma retirada para cada. No momento, isto n˜ao ´e importante.
Classifica¸ c˜ ao de experimentos aleat´ orios
Porsimples chama-se experimento aleat´orio que possui uma ´unica fonte de aleatoriedade, ou em outras palavras, experimento
aleat´orio cujo resultado determina-se por uma s´o fonte de aleatoriedade.
Quando experimentos aleat´orios simples s˜ao executados uma ap´os outro, o experimento aleat´orio resultante chama-se
sequencial-composto-por-simples. Um de tais est´a no Exemplo 4. Sua descri¸c˜ao deixa claro, que primeiramente ser´a lan¸cada moeda, e ap´os desta, ser´a retirada uma bola.
Qualquer outro que n˜ao se enquadrar numas das consi¸c˜oes
supraformuladas, ou sobre o qual temos d´uvidas, ser´a colocado na terceira classe dedanados.
Dois exemplos, que s˜ao nem simples nem sequenciais:
EXEMPLO 7. Lan¸camentos simultˆaneos de duas moedas
diferentes, digamos, uma de R$ 1,00 (um Real) e outra de R$ 0,10 (10 centavos).
EXEMPLO 8. Lan¸camentos sequenciais de duas moedas idˆenticas, digamos, de R$ 1,00 cada.
Classifica¸ c˜ ao de experimentos aleat´ orios
O Exemplo 4 deixa claro a carater´ıstica que distingue experimentos simples e sequenciais-compostos-por-simples: nos da segunda classe, h´a diversos procedimentos que s˜ao feitos numa seq¨uˆencia temporal (ou cronol´ogica); e essa seq¨uˆencia deve especificada claramente e precisamente no pr´oprio enunciado do experimento aleat´orio por definir o que vai “antes” e o que vai “depois”.
Observe que n˜ao ´e a estrutura de observa¸c˜ao que distinge entre simples e sequenciais. Por exemplo, no Exemplo 2 observamos duas qualidades: o n´umero e a cor. Mas apesar disso, o experimento ´e simples.
Observe tamb´em que em experimento aleat´orio sequencial, suas etapas podem estar amarradas uma na outra. Isto n˜ao ´e impec´ılio.
Por exemplo, no Exemplo 4, a urna a ser usada na segunda etapa depende do resultado da primeira etapa. A univa ressalva ´e que a dependˆencia deve ser do tipo causa-consequencia: as estapas posteriores podem depender dos resultados de etapas anteriores. O contr´ario est´a proibido.
Classifica¸ c˜ ao de experimentos aleat´ orios
O que faremos com os experimentos aleat´orios que n˜ao se enquandram em condi¸c˜oes de simples ou em de
sequenciais-compostos-por-simples? Vamos deixar o grupo de tais experimentos ao lado e voltaremos a discuss˜ao deles no futuro pr´oximo. Neste grupo est˜ao os experimentos aleat´oriosdos Exemplos 5, 6, 7, 8.
A codifica¸c˜ao e apresenta¸c˜ao da lista de todos os poss´ıveis resultados
´E muito simples: precisa identificar todos os poss´ıveis resultados do experimento aleat´orio e apresent´a-los de uma maneira clara e c´omoda. A apresenta¸c˜ao usa – geralmente – c´odigos tipo letras e/ou n´umeros. H´a um acordo: o conjunto de todos os c´odigos usados para os resultados de um experimento aleat´orio chama-se o espa¸co amostralouespa¸co de estados deste. Tal espa¸co denota-se geralmente porS ou Ω, e como este ´e um conjunto – segundo o acordo – ent˜ao usamos as chaves { e} para “abrir” e “fechar” a lista de seus elementos; os elementos separam-se por v´ırgula.
Constru¸ c˜ ao de MP para EA simples
No caso do experimento “lan¸camento de um dado” (vide Exemplo 1), seu espa¸co de estados ´e
S ={1,2,3,4,5,6}
Isto significa que identificamos 6 resultados poss´ıveis do
experimento e codificamos-os por o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6, pois esses s˜ao os n´umeros marcadas nas seis faces do dado.
Como codificar estes resultados? Podemos usar estes mesmos algarismos ou ent˜ao utilizar os n´umeros romanos: I, II, III, IV, V e VI. Podemos usar pontos, exatamente como nas faces do dado.
A atribui¸c˜ao de probabilidade 1. Pelo princ´ıpio de simetria.
2. Por dados hist´oricos.
3. Agrupamento (ferramenta auxiliar).
4. Princ´ıpio de subjetividade de probabilidade e extes˜ao-redu¸c˜ao.
Constru¸ c˜ ao de MP para EA simples; atribui¸ c˜ ao de probabilidade; princ´ıpio de simetria
Aqui, vou construir o modelo probabil´ıstico para o experimento aleat´orio descrito no Exemplo 1. Recordo lhe sua formula¸c˜ao apresentando-a separada em partes, separa¸c˜ao essa feita com o intuito de facilitar a exposi¸c˜ao posterior da influˆencia de cada parte na constru¸c˜ao do modelo:
(1)Um dado com os n´umeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6 marcados em suas faces ser´a lan¸cado e, quando parar de rodar, o n´umero de sua face superior ser´a observado. (2)O dado ´e perfeito, no sentido que tem forma perfeita de um cubo e foi feito de material homegˆeneo;
vamos combinar tamb´em que a tinta usada para marcar os n´umeros n˜ao tem nem volume nem peso, garantia que a pefei¸c˜ao do cubo foi mantida.
Aqui vou construir o modelo probabil´ıstico para o experimento aleat´orio que foi lhe apresentado no Exemplo 3. Recordo que o experimento constitui-se em ficar amanh˜a (das 0 as 24 horas) na Pra¸ca da Rep´ublica em S˜ao Paulo e observar se neste local neste per´ıodo haja chuva. A pergunta ´e dar a probabilidade de observar a chuva, e a informa¸c˜ao da qual – aparentemente – devemos deduzir esta probabilidade ´e o hist´orico de 30 dias com condi¸c˜oes clim´aticas semelhantes as de hoje, em 12 dos quais chuvel e em outros 18 n˜ao.
Constru¸ c˜ ao de MP para EA simples; atribui¸ c˜ ao de probabilidade; agrupamento
Tomei um dado perfeito e pintei as faces 1 e 2 de branco, e as faces 3, 4, 5, 6 de preto. Os n´umeros s˜ao vis´ıveis atravez da tinta, e a pr´opria tinta n˜ao tem nem peso nem volume, o que garante que o dado continua ser perfeito.
O dado ser´a lan¸cado e uma pessoa observar´a a n´umero e a cor da face superior. Chamaremos tal pessoa Zelda.
Qual ´e o modelo probabil´ıstico do experimento visto pela Zelda?
Qual ´e a probabilidade da Zelda ver cor branca?
probabilidade e extes˜ ao-redu¸ c˜ ao
Tomei um dado perfeito, apaguei os n´umeros escritos nas suas faces, e pintei duas faces de branco, e outras quatro de preto.
Vamos combinar que o dado assim preparado continua ser dado perfeito.
O dado-colorido-sem-n´umeros ser´a lan¸cado, e uma pessoa observar´a a cor da face superior. Chamaremos o observador por Xavier para facilitar a referˆencia e toda a exposi¸c˜ao a vir. A tarefa
´e construir o modelo probabil´ıstico correspondente `a observa¸c˜ao do Xavier.
Constru¸ c˜ ao de MP para EA sequencial
Exemplo 9. Vamos construir o modelo probabil´ıstico para o experimento aleat´orio descrito no Exemplo 4. Ele possui duas etapas. Na primeira, lan¸ca-se uma moeda honesta, e, na segunda etapa, retira-se ao acaso uma bola de uma de duas urnas. Uma delas contem 3 bolsa idˆenticas no tato com n´umeros 1, 2, 3; esta urna ´e marcada “I”. Na outra, marcada por “II”, h´a 4 bolas com n´umeros 2, 3, 4 e 5; essas tamb´em s˜ao idˆenticas no tato. Na segunda etapa, usa-se urna I caso a moeda der “cara”, e usa-se II, se der “coroa”. Observa-se no experimento o lado superior da moeda, quando esta parar, e o n´umero da bola reitrada.
Ap´os a constru¸c˜ao do modelo probabil´ıstico, que ´e o objetivo princial de presente exemplo, responderemos na pergunta posta no Exemplo 4: achar a probabilidade de observar 2 na segunda etapa da observa¸c˜ao.
Tomamos duas moedas honestas e idˆenticas e marcamos 1 nas faces de “cara” e 2 nas faces de “coroa” (fizemos as marcas da maneira tal que as moedas continuam ser indistingu´ıveis entre si).
Antonio observar´a os n´umeros nas suas faces superiores quando esssas pararem. Qual ´e a probabilidade da soma dos n´umeros vistos por Antonio ser ´ımpar?
Constru¸ c˜ ao de MP para EAs danados
5(a)comiss˜ao de trˆes professores. Numa escola h´a 7 professores e 3 professoras. Ser´a formada uma comiss˜ao de trˆes pessoas. Qual a probabilidade que nesta comiss˜ao haja exatamente uma mulher?
(No texto original era: “somente” no lugar de “exatamente”.) 5(b) comiss˜ao de trˆes professores com modifica¸c˜ao. Numa escola h´a 7 professores e 3 professoras, sendo que um professor e uma professora s˜ao irm˜aos. Ser´a formada uma comiss˜ao de trˆes
pessoas. Qual a probabilidade que nesta comiss˜ao haja exatamente uma mulher e que ela n˜ao seja a irm˜a de nenhum outro professor da comiss˜ao?
Solu¸c˜ao do Ex.5(a) ensinada no col´egio
o n´umero de triplas que atendem a condi¸c˜ao desejada o n´umero de todas as triplas poss´ıveis =
= C72 · C31 C103
Constru¸ c˜ ao de MP para EAs danados
Solu¸c˜ao do Ex.5(a) ensinada no col´egio com explica¸c˜ao detalhada
Passo 1: S˜ao C103 triplas n˜ao ordenadas diferentes entre si.
Passo 2: Todos elas s˜ao equiprov´aveis, logo a probabilidade de qualquer uma delas ocorrer ´e 1/C103 .
Passo 3: O evento que interessa comp˜oe-se de C72 ·C31 triplas n˜ao ordenadas diferentes.
Passo 4 (final): A resposta ´e C72C·3C31 10
D´uvidas sobre a Solu¸c˜ao do Ex.5(a)
Passo 1: Porque h´a C103 triplas n˜ao ordenadas diferentes entre si?
(Essa quest˜ao revela a omiss˜ao de dado importante no enunciado:
como ´e feita a escolha da comiss˜ao.)
Passo 2: Porque todas elas s˜ao equiprov´aveis (se foram, ai a probabilidade de qualquer uma delas ocorrer ´e, de fato, 1/C103 devido nosso princ´ıpio de sim´etria)?
Passo 3: Como podemos ver sem cometer erro que evento que interessa comp˜oe-se deC72 · C31 triplas n˜ao ordenadas diferentes?
Constru¸ c˜ ao de MP para EAs danados
Exemplo com modifica¸c˜ao “ligeiramente pequena”do Exemplo anterior, que ser´a chamadoComiss˜ao de trˆes professores com irm˜aos (´e o que foi formulado em 5(b)).
Numa escola h´a 7 professores e 3 professoras, sendo que um professor e uma professora s˜ao irm˜aos. Ser´a formada uma
comiss˜ao de trˆes pessoas. Qual a probabilidade que nesta comiss˜ao haja somente uma mulher e que ela n˜ao seja irm˜a de nenhum outro professor da comiss˜ao?
O diagrama de ´arvore apresentada na transparˆencia seguinte ´e tudo que vocˆe precisa para solucionar esse problema.
h m mi h m mi i
h m
h h
h m hi mi m
h m hi mi hi
h m mi mi
h m hi m h
h m hi mi m
h hi mi hi
h m mi mi
h m hi h m hi h m hi
i
h m
5/82/8 1/8 6/81/8 1/86/8 2/8 6/10
5/9
4/82/8 1/8 1/8
2/9
5/81/8 1/8 1/8 1/9
5/82/8 1/8 1/9
5/82/8 1/8 2/10
6/9
5/81/8 1/8 1/8 1/9
6/8 6/8 6/8 1/9
6/8 1/8 1/8 1/9
6/8 1/81/8
5/81/8 1/8 6/81/8 1/8 6/8 2/8