Um estudo sobre bases integrais de corpos de números

Maria Clara Lopes Taddone

Um estudo sobre bases integrais de corpos de números

São José do Rio Preto

2023

Um estudo sobre bases integrais de corpos de números

Dissertação apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós- Graduação em Matemática, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de São José do Rio Preto.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Aparecido de Andrade

Financiadora: CAPES

São José do Rio Preto

2023

Clara Lopes Taddone. -- , 2023 114 p. : tabs.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas, São José do Rio Preto,

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade

1. Matemática. 2. Corpos de números. 3. Inteiros mínimos. 4. Bases p-integrais. 5. Bases integrais. I. Título.

Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas, São José do Rio Preto. Dados fornecidos pelo autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.

Um estudo sobre bases integrais de corpos de números

Dissertação apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós- Graduação em Matemática, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de São José do Rio Preto.

Financiadora: CAPES

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Antonio Aparecido de Andrade Orientador

Prof. Dr. Trajano Pires da Nobrega Neto UNESP – Câmpus de São José do Rio Preto

Prof. Dr. Agnaldo José Ferrari UNESP – Câmpus de Bauru

São José do Rio Preto

28 de fevereiro de 2023

Muitas pessoas tiveram uma participação essencial na minha vida para que este trabalho fosse concluído. Com todo carinho e respeito, agradeço:

Aos meus pais Rita e Anderson, por todo amor, pela minha vida e pelo apoio es- sencial na minha trajetória.

Aos meus irmãos Patrícia e Pedro, por estarem perto mesmo estando longe.

À minha melhor amiga Maria Fernanda Zordan Bonini, com quem divido os melho- res momentos, que me dá alegria e força para enfrentar os momentos mais difíceis e que é minha companheira de estudos e de vida.

À minha outra melhor amiga Thaís Cardoso, por estar ao meu lado há tantos anos com as melhores palavras de apoio, sorrisos e momentos incríveis.

Ao meu amigo Murillo Lozano, pela companhia nesses anos de Ibilce e por ser minha dupla em tantos momentos felizes.

Ao meu amigo Isaac Sanches, por me proporcionar as risadas mais sinceras que eu tanto valorizo.

Aos meus amigos Gabriel Leone, Neto Tofanin, Juliana Marques e Aldimir Bruza- din, pela companhia na “salinha do mestrado” e pelos cafés.

Às minhas amigas Maria Fernanda, Mayara Teixeira e Daiane Donegá, por serem as melhores companheiras de casa com quem eu poderia conviver. Nosso lar acolhe- dor foi o meu melhor refúgio.

Aos meus amigos Sérgio Verde, Pedro Melo, Ana Rossafa, Eduardo Martins, Mi- lena Zacheo, Guilherme Zahra, Murillo e Maria Fernanda, pela amizade cultivada, nossos momentos de jogatina e por todas as conversas engraçadas e acolhedoras.

Aos queridos, Linara Faccini, por toda ajuda e apoio; Gabriel Scarlatti, por todas as vezes que ouviu meus desabafos e me incentivou; Luís Gustavo, pelo companheirismo e incentivo nos meus momentos de caos.

Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Aparecido de Andrade, pela confiança, pelos conselhos e por tudo que vem me ensinando ao longo desses anos.

sores Weber Pereira, Juliana Precioso, Michelle Morgado, Márcio Gouveia e Maria Gorete.

Ao Programa de Educação Tutorial (PET Matemática), grupo pelo qual tenho imensa gratidão por cada momento vivido. Também a todos os amigos que fiz graças a ele, por terem sido uma segunda família durante a minha graduação e depois dela.

À Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", Campus de São José do Rio Preto, Ibilce, por ter sido a minha segunda casa, lugar em que conheci pessoas incríveis que levarei comigo para sempre e onde descobri o meu amor pela matemá- tica.

Aos membros titulares e suplentes da Banca, Prof. Dr. Trajano Pires da Nobrega Neto, Prof. Dr. Agnaldo José Ferrari, Prof. Dr. João Eloir Strapasson e Profa. Dra.

Cintya Wink de Oliveira Benedito, por aceitarem fazer parte desse momento especial e por suas contribuições.

Enfim, a todos que estiveram ao meu lado e contribuíram direta ou indiretamente para este trabalho.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.

Emicida [1]

Neste trabalho, apresentamos alguns conceitos básicos da teoria algébrica dos núme- ros tais como números algébricos, anel de inteiros algébricos e discriminante. Anali- samos a base integral de um corpo quadrático, o qual é um resultado bastante conhe- cido, e apresentamos o conceito de inteiros mínimos, elementos p-integrais e bases p-integrais de um corpo de números Ksobre Q. Estes conceitos são de extrema im- portância para determinar bases integrais para corpos cúbicos da forma Q(θ), comθ uma raiz de um polinômio irredutível sobre Z da forma f(t) = t³−at+b ∈ Z[t], sob certas condições específicas sobre os coeficientesaeb.

Palavras-chave: Teoria algébrica dos números. Anel de inteiros. Discriminante. Ele- mentosp-integrais. Basesp-integrais.

In this work, we present some basic concepts of the algebraic number theory such as algebraic numbers, ring of algebraic numbers and discriminant. We analyze the integral basis of a quadratic field, which is a well-known result, and we present the concept of minimal integers,p-integral elements andp-integral basis of a number field K over Q. These concepts are extremely important to determine integral basis for cubic fields of the form Q(θ), with θ a root of an irreducible polynomial over Z of the formf(t) =t³−at+b ∈Z[t], under certain specific conditions on the coefficientsaand b.

Keywords: Algebraic number theory. Ring of integers. Discriminant. p-Integral ele- ments.p-Integral basis.

5.1 Base 2-integral para o corpo K=Q(θ). . . 71 5.2 Base 3-integral para o corpo K=Q(θ). . . 84 5.3 Base p-integral para o corpo K=Q(θ), comp > 3. . . 101

N Conjunto dos Números Naturais

Z Conjunto dos Números Inteiros

Q Conjunto dos Números Racionais

R Conjunto dos Números Reais

C Conjunto dos Números Complexos

K Corpo

I Ideal

a≡b (modm) a e b são congruentes módulo m a̸≡b (modm) a e b não são congruentes módulo m

m∤n m não divide m

Q(α) Menor subcorpo de C contendo Qe α p(x) Polinômio na variável x

gr(p(x)) Grau do polinômio p(x)

A[x] Conjunto dos polinômios na variável x e coeficientes em A

⟨a⟩ Ideal gerado por a

det(M) Determinante da matriz M

O_B Anel de inteiros de A em B

O_K Anel de inteiros do corpo K m_α(x) Polinômio minimal de α p_α(x) Polinômio característico de α

D(α₁, . . . , α_n) Discriminante do conjunto {α₁, . . . , α_n} D(α) Discriminante do elemento α

D(f(x)) Discriminante do polinômio f

D(K) Discriminante do corpo K

N(I) Norma do ideal I

ind(θ) Índice do elemento θ αO_K Ideal gerado por α em O_K

v_P(I) Valorização do ideal I no ideal primo P v_p(a) Valorização do inteiro a no número primo p

[a] Parte inteira de a

gr(K(α)) Grau de α sobre o corpo K sgn(x) Função sinal do elemento x

1 Introdução 13

2 Conceitos Básicos 15

2.1 Anel de inteiros . . . 15

2.2 Extensões algébricas . . . 16

2.3 Corpo de números . . . 20

2.4 Discriminante . . . 22

2.5 Base de um ideal . . . 23

3 Base Integral 24 3.1 Base integral de um corpo de números . . . 24

3.2 Inteiros mínimos . . . 34

3.3 Índice de um corpo de números . . . 45

4 O anel de elementos p-integrais de um corpo de números 50 4.1 Elementos p-integrais de um corpo de números . . . 50

4.2 Base p-integral de um corpo de números . . . 55

5 Bases p-integrais de um corpo cúbico 66 5.1 Propriedades de elementos p-integrais em um corpo cúbico . . . 66

5.2 Bases 2-integrais de um corpo cúbico . . . 70

5.3 Bases 3-integrais de um corpo cúbico . . . 83

5.4 Bases p-integrais de um corpo cúbico . . . 100

5.5 Discriminante de um corpo cúbico . . . 105

5.6 Base integral de um corpo cúbico . . . 108

6 Conclusão 112

Referências 113

Índice Remissivo 114

O presente texto tem como objetivo estudar basesp-integrais de um corpo de números K, ondeprepresenta um número primo, com o objetivo de que, a partir delas, encontramos uma base integral para o corpoK. O nosso foco principal são os corpos cúbicosK=Q(θ), com θ uma raiz de um polinômio irredutível sobre Z da forma f(t) = t³ −at+b. O desenvolvimento deste trabalho é baseado no artigo [2] e a principal referência é [3].

No Capítulo 2, apresentamos alguns conceitos básicos da Teoria Algébrica dos Números que são necessários para o entendimento deste trabalho. Nos Capítulos 2 e 3, as principais referências utilizadas foram [4], [5], [6] e [7]. Na Seção 2.1, apresentamos o conceito de elementos inteiros e apresentamos o anel de inteiros de uma extensão de anéis, que é um objeto essencial neste trabalho. Na Seção 2.2, tratamos das extensões algébricas de um corpo e encontramos o anel de inteiros de um corpo quadrático. Na Seção 2.3, apresentamos a definição de um corpo de númerosKe algumas propriedades do seu anel de inteiros O_K. Na Seção 2.4, apresentamos o discriminante de um conjunto, de um elemento e de um polinômio. Por fim, na Seção 2.5, apresentamos uma base para um ideal não nulo de O_K.

No Capítulo 3, apresentamos o conceito de bases integrais para um corpo de núme- ros. Na Seção 3.1, apresentamos a definição e alguns resultados de bases integrais, em especial de corpos quadráticos. Também é apresentado o discriminante de um corpo de números K. Na Seção 3.2, introduzimos o conceito de inteiros mínimos e apresentamos sua representação. Por fim, na Seção 3.3, apresentamos o índice de um corpo de números e sua relação com uma base potente para o corpo K.

No Capítulo 4, entramos no assunto que é o tema do presente trabalho, que são as basesp-integrais. A principal referência utilizada, e também no Capítulo 5 é [3]. Na Seção 4.1, apresentamos os elementosp-integrais de um corpo de números e algumas proprieda- des importantes. Na Seção 4.2, apresentamos resultados que fornecem condições para a existência de bases para o corpo K formadas por elementosp-integrais e apresentamos o conceito de uma basep-integral.

No Capítulo 5, apresentamos um estudo de basesp-integrais para um corpo cúbicoK= Q(θ), com θ uma raiz de um polinômio irredutível sobre Z da forma f(t) = t³ − at+b ∈ Z[t], sob certas condições específicas sobre os coeficientes a e b. Na Seção 5.1, apresentamos algumas propriedades dos elementosp-integrais de um corpo cúbico. Nas Seções 5.2, 5.3 e 5.4, analisamos os casos possíveis para encontrar uma base 2,3 ep-integral para o corpoK, respectivamente, ondepé um número primo maior que 3.

Na Seção 5.5, avaliamos o discriminante do corpoK. Por fim, na Seção 5.6, encontramos uma base integral para um corpo cúbico e para um corpo cúbico puro, finalizando com alguns exemplos numéricos.

No Capítulo 6, apresentamos a conclusão deste trabalho e algumas perspectivas futu-

13

ras.

Neste capítulo, apresentamos alguns resultados básicos, e importantes, da Teoria Algé- brica dos Números que serão úteis para o entendimento dos próximos capítulos. Na Seção 2.1, apresentamos os elementos inteiros e o anel de inteiros de uma extensão de anéis.

Na Seção 2.2, apresentamos uma breve introdução de extensões algébricas de um corpo.

Na Seção 2.3, apresentamos alguns resultados básicos de corpos de números e algumas de suas propriedades. Na Seção 2.4, apresentamos o discriminante de um conjunto e de um elemento de uma extensão de corpos e, por fim, na Seção 2.5, apresentamos o conceito uma base de um ideal e algumas propriedades. Ao longo deste capítulo, foram usadas as referências [4] e [5]. A demonstração do Teorema 2.9 encontra-se no Capítulo 3 de [5] e os demais resultados encontram-se nos Capítulos 4, 5 e 6 de [4].

2.1 Anel de inteiros

Nesta seção, consideramos A,B eC anéis tais que A⊆B ⊆C.

Definição 2.1. Um elementoα∈B é ditointeiro sobre Aseα é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em A, isto é, se existem a₀, a₁, . . . , an−1 ∈ A, não todos nulos, tais que

αⁿ+an−1αⁿ⁻¹+· · ·+a1α+a0 = 0.

Quando B = C e A = Q, o elemento α é chamado de número algébrico. Quando A=Z, o elemento α é chamado inteiro algébrico.

Proposição 2.2. Se c∈C é inteiro sobre A, então c é inteiro sobre B.

Definição 2.3. O anelB é chamado inteiro sobre A, quando b é inteiro sobre A, para todob∈B.

Corolário 2.4. Se C é inteiro sobre A, então C é inteiro sobre B.

Teorema 2.5. Um elementob ∈Bé inteiro sobreAse, e somente se,A[b]é umA-módulo finitamente gerado.

Teorema 2.6. Seja b∈B. Se existeDum subanel de B, tal queA[b]⊆D⊆B e Dé um A-módulo finitamente gerado, entãob é inteiro sobreA eA[b]é um A-módulo finitamente gerado.

Corolário 2.7. Se B é um A-módulo finitamente gerado, então B é inteiro sobre A.

Proposição 2.8. SeB é umA-módulo finitamente gerado eC é umB-módulo finitamente gerado, então C é um A-módulo finitamente gerado.

15

Teorema 2.9. Seja B um domínio e inteiro sobreA. Assim, B é um corpo se, e somente se,A é um corpo.

Proposição 2.10. Seb₁, b₂ ∈B são elementos inteiros sobreA, entãob₁+b₂, b₁−b₂ e b₁b₂ são elementos inteiros sobre A.

Proposição 2.11. O conjunto dos elementos de B que são inteiros sobre A é um subanel de B contendo A.

Definição 2.12. O conjunto dos elementos de B que são inteiros sobre A é definido por O_B ={α∈B : α é inteiro sobre A},

e é chamado anel de inteirosde A em B.

Definição 2.13. O anelB é chamado inteiro sobre A quando O_B =B

Proposição 2.14. Se b₁, . . . , b_n ∈ B são elementos inteiros sobre A, então A[b₁, . . . , b_n] é um A-módulo finitamente gerado.

Proposição 2.15. Se b1, . . . , bn ∈ B são elementos inteiros sobre A, então A[b1, . . . , bn] é inteiro sobre A.

Proposição 2.16. Se B é inteiro sobre A e c ∈ C é inteiro sobre B, então c é inteiro sobre A.

Corolário 2.17. Se C é inteiro sobre B e B é inteiro sobre A, então C é inteiro sobre A. Em outras palavras, a relação entre extensões inteiras é transitiva.

Proposição 2.18. Sejam A um domínio de fatoração única e K o seu corpo de frações.

Assim,c∈K é inteiro sobre A se, e somente se c∈A.

Corolário 2.19. Se O_Q é o anel de inteiros de Z em Q, então Q∩ O_Q =Z.

Definição 2.20. O anelAé ditointegralmente fechadoemB quandoO_B=A. Sejam Aum domínio e K o seu corpo de frações. O anelA é chamado integralmente fechado se O_K =A.

Observação 2.21. Sejam A um domínio de fatoração única eK o seu corpo de frações.

Pela Proposição 2.18, segue queA é integralmente fechado.

Proposição 2.22. Seα é um número algébrico, então α= a

b, com a um inteiro algébrico e b∈Z não nulo.

2.2 Extensões algébricas

Nesta seção, consideramos K um subcorpo deC, ou seja, Kum corpo tal que K⊆C.

Definição 2.23. Um elementoα∈Cé dito algébricosobre o corpoK se for raiz de um polinômio mônico com coeficientes em K. Caso contrário, α é chamado transcendente sobre o corpoK.

Definição 2.24. Seja α ∈ C algébrico sobre o corpo K. O polinômio mônico m_α(x) de grau mínimo tal quem_α(α) = 0 é chamado polinômio minimal deα sobre K.

Definição 2.25. Sejaα∈C algébrico sobre o corpoK. O grau de α sobre o corpo K é definido por

gr_K(α) = gr(m_α(x)). Quando K=Q, escrevemos apenas gr(α).

Proposição 2.26. Se α ∈ C é algébrico sobre o corpo K, então m_α(x) é irredutível em K[x].

Definição 2.27. Seja α ∈ C algébrico sobre o corpo K. Os conjugados de α sobre o corpo K são as raízes de m_α(x) em C.

Proposição 2.28. Seα ∈C é algébrico sobre o corpo K, então os conjugados de α sobre o corpo K são distintos.

Teorema 2.29. Se α ∈ C é um inteiro algébrico, então os seus conjugados sobre Q também são inteiros algébricos.

Teorema 2.30. Se α∈C é um inteiro algébrico, então m_α(x)∈Z[x].

Corolário 2.31. Se α ∈ C é um inteiro sobre Z, então o polinômio mônico de menor grau emQ[x] do qual α é raiz, pertence a Z[x].

Sejaα∈Cuma raiz de um polinômiox²+ax+b ∈Q[x], irredutível emQ. Mostra-se, na referência [4], que Q(α) = {x+yα : x, y ∈ Q} é um corpo. Além disso, Q(α) é o menor subcorpo de C contendoQ e α.

Definição 2.32. Sejaα∈Cuma raiz de um polinômio irredutívelx²+ax+b∈Q[x] em Q. O corpoQ(α) é chamado decorpo quadrático deQ.

Teorema 2.33. Se K é um corpo quadrático, então existe um único d ∈ Z, livre de quadrados, tal que K=Q(√

d).

O próximo teorema encontra o anel de inteiros do corpo quadrático K=Q(√

d), com d∈Zlivre de quadrados.

Teorema 2.34. Sejam Kum corpo quadrático e d∈Z o único livre de quadrados tal que K=Q(√

d). O anel de inteiros do corpo K em Z é dado por

O_K =











Z+Z(√

d), se d̸≡1 (mod4), Z+Z 1 +√

d 2

!

, se d≡1 (mod4). Demonstração. Seja

A=











Z+Z(√

d), se d̸≡1 (mod 4), Z+Z 1 +√

d 2

!

, se d≡1 (mod 4). Seα∈A, então α ∈K.

1. Se d̸≡1 (mod 4), então

α ∈Z+Z(√

d)⇒α=a+b√

d, com a, b∈Z. Assim,

α² =a²+b²d+ 2ab√

d+ 2a²−2a² =−a²+b²d+ 2aα ⇒α²−2aα+ (a²−b²d) = 0. Portanto, α é raiz do polinômio x² −2ax+ (a²−b²d)∈Z[x], ou seja,α∈ O_K. 2. Se d≡1 (mod 4), então

α∈Z+Z 1 +√ d 2

!

⇒α =a+b t = 1 +√ d 2

!

, com a, b∈Z. Assim,

α² =a²+ 2ab 1 +√ d 2

!

+ b+b√ d 2

!2

= (2a+b)α−a² −ab+b² d−1 4

!

⇒α²−(2a+b)α+a²+ab−b² d−1 4

!

= 0.

Note que, como d ≡ 1 (mod 4), segue queb² d−1 4

!

∈ Z. Assim, α é raiz do polinômio x²−(2a+b)x− a²+ab−b² d−1

4

!!

∈Z[x]. Logo,α ∈ O_K, e assim, A ⊆ O_K.

Por outro lado, se α∈ O_K, então

α∈K⇒α=a+b√

d, com a, b∈Q,

e α é raiz de um polinômio mônico emZ[x]. Note que α=a+b√

d, com a, b∈Q, ou seja, α é raiz de um polinômio mônicox²−2ax+ (a²−db²)∈Q[x], que pode ser obtido da mesma maneira que foi feita na primeira parte da demonstração. Deste polinômio, segue que ∆ = 4a²−4(a²−db²) = 4b²d. Dessa forma, como d é livre de quadrados, segue que este polinômio é redutível em Q[x] se b = 0 e irredutível em Q[x] se b̸= 0. Assim, o polinômio minimal de α em Q[x] é dado por

m_Q(α) =







x−a , se b= 0,

x²−2ax+ (a²−db²) , se b̸= 0. Por hipótese, α∈ O_K, e assim, m_Q(α)∈Z[x]. Logo,







a∈Z , se b = 0,

2a∈Z ea²−db² ∈Z , se b ̸= 0. Seb= 0, entãoα=a∈Z⊂Z+Z(√

d)⊆A. Seb ̸= 0, então 2a ∈Ze a²−db² ∈Z.

Dessa forma, se 2a é par, então a ∈ Z implica que a² ∈ Z. Agora, uma vez que

a²+db² ∈Z, então devemos ter db² ∈Z. Assim, se b= m

n, com m, n∈Z, n ̸= 0 e mdc(m, n) = 1, então

db² =d

m n

2

∈Z⇒n² |d⇒n² = 1,

pois d é livre de quadrados. Assim, n = ±1 ⇒ b ∈ Z, e deste modo, a+b√ d ∈ Z+Z(√

d)⊆A. Mas, se 2aé ímpar, então 2a = 2k+1 , com k ∈Z⇒a=k+1 2 ⇒ a² =k²+k+1

4 ∈/Z. Assim,

a²−db² ∈Z⇒4(a²−db²)∈Z

⇒4

"

k+ 1 2

2

−db²

#

= 4k²+ 4k+ 1−4db² ∈Z

⇒4db² ∈Z. Agora, se 2b= r

s, com r, s∈Z, s̸= 0 e mdc(r, s) = 1, então d(2b)² =d

r s

2

∈Z⇒s² |d⇒s² = 1, pois d é livre de quadrados. Portanto, s =±1⇒2b∈Z.

Neste caso, se 2b for par, então b ∈ Z ⇒ b² ∈ Z ⇒ db² ∈ Z ⇒ (a²−db²) +db² ∈ Z ⇒a² ∈ Z, o que não ocorre. Logo, 2b é ímpar. Logo, 2b = 2q+ 1, com q ∈Z, e assim, a = 2k+ 1

2 eb = 2q+ 1

2 , com k, q ∈Z. Assim, a²−db² = 2k+ 1

2

!2

−d

2q+ 1 2

2

= 1

4[(2k+ 1)²−d(2q+ 1)²]

= k²+k−dq²−dq+1−d 4 ∈Z. Logo,

d−1

4 =k²+k−d(q²−q)−(a²−db²)∈Z⇒d ≡1 (mod 4). Com isso, segue que

α = a+b√

d = 2k+ 1

2 +2q+ 1 2

√d

= 2k+ 1

2 +2q+ 1 2

√

d+2q+ 1

2 − 2q+ 1 2

= (2q+ 1) 1 +√ d 2

!

+k−q

= (k−q)(2q+ 1) 1 +√ d 2

!

∈Z+Z 1 +√ d 2

!

⊆A.

Logo, α ∈A eO_K ⊆A, ou seja,

O_K =A=











Z+Z(√

d), se d̸≡1 (mod 4), Z+Z 1 +√

d 2

!

, se d≡1 (mod 4), o que prova o resultado.

Para os próximos resultados consideramos K um subcorpo de C.

Proposição 2.35. Se α∈C é algébrico sobre o corpo K e gr(m_α(x)) =n, então K(α) = {a0+a1α+· · ·+an−1αⁿ⁻¹ : a0, a1, . . . , an−1 ∈K}.

Observação 2.36. A Proposição 2.35 mostra que K(α) pode ser visto como um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo K, cuja base é dada por{1, α, . . . , αⁿ⁻¹}.

Definição 2.37. Seja α ∈ C algébrico sobre o corpo K e gr(m_α(x)) = n. O grau da extensãoK(α) sobre o corpo K én e escrevemos [K(α) :K] =n.

Exemplo 2.38. Sejad∈Z livre de quadrados. O corpoQ(√

d) é uma extensão quadrá- tica deQ.

Definição 2.39.Sejamα₁, α₂, . . . , α_k ∈Calgébricos sobre o corpoK. O corpoK(α₁, . . . , α_k) é chamado de extensão múltipla do corpo K e é obtido através de uma sucessão de k junções simples:

K(α₁, α₂) =K(α₁)(α₂), K(α₁, α₂, α₃) =K(α₁, α₂)(α₃),

...

K(α₁, . . . , α_k) = K(α₁, . . . , α_k−1)(α_k).

Proposição 2.40. Se α, β ∈ C são algébricos sobre o corpo K, então existe γ ∈ C algébrico sobre o corpo K tal que K(α, β) =K(γ).

Proposição 2.41. Se α₁, . . . , α_n ∈C são algébricos sobre o corpo K, então existe α∈C algébrico sobre o corpo K tal que K(α₁, . . . , α_n) = K(α).

Proposição 2.42. Se α∈C é algébrico sobre o corpo K, então todo elemento β ∈K(α) é algébrico sobre o corpo K e o grau de β sobre o corpo K é menor ou igual ao grau de α sobre o corpo K.

2.3 Corpo de números

Nesta seção, apresentamos definições e propriedades envolvendo corpo de números.

Definição 2.43.Umcorpo de númerosé um subcorpo deCda formaQ(α₁, α₂, . . . , α_n), comα₁, α₂, . . . , α_n números algébricos. Em outras palavras, um corpo de números é uma extensão finita do corpo Q.

Teorema 2.44. Se K é um corpo de números, então existe um número algébrico θ tal queK=Q(θ).

Observação 2.45. O elemento θ ∈ O_K tal que K = Q(θ) é chamado de elemento primitivo do corpoK.

Teorema 2.46. Sejam K= Q(θ) um corpo de números, com θ um número algébrico, e α∈Ccom gr(m_α(x)) =n. Assim, α∈Kse, e somente se, existem únicosa₀, a₁, . . . , an−1 ∈ Q tais que α =a₀+a₁θ+· · ·+an−1θⁿ⁻¹.

Observação 2.47. Um corpo de números K = Q(θ) é um espaço vetorial sobre Q de dimensão finita n =mθ(x). Se n = 2, dizemos que K é corpo quadrático. Se n = 3, K é um corpo cúbico. Sen= 4, então K é um corpo quártico.

Proposição 2.48. Se K é um corpo de números, então O_K é um domínio.

Proposição 2.49. Se K é um corpo de números, então o corpo de frações de O_K é K. Proposição 2.50. Se K é um corpo de números, então O_K é integralmente fechado.

Proposição 2.51. SeKé um corpo de números, então todo ideal não nulo deO_K contém um número b∈Z não nulo.

Proposição 2.52. Seja Kum corpo de números. Se I é um ideal não nulo de O_K, então existeγ ∈I tal que K=Q(γ).

Teorema 2.53. SeKé um corpo de números de graunsobreQ, então existem exatamente n monomorfismos σ_k :K→C, k = 1, . . . , n.

Sejam K um corpo de números de grau n sobre Q, θ ∈ K, tal que K = Q(θ) e θ₁, θ₂, . . . , θ_n os conjugados de θ sobre Q. Para α ∈ K, segue que existem únicos a₀, a₁, . . . , a_n−1 ∈ Q, tais que α = a₀ + a₁θ +· · · +a_n−1θⁿ⁻¹. Para k ∈ {1,2, . . . , n}, consideramos

α_k=a₀+a₁θ_k+· · ·+an−1θ_kⁿ⁻¹ ∈Q(θ_k).

Definição 2.54. Os elementos α₁ =α, α₂, . . . , α_n são chamados de K- conjugados de α ouconjugados de α relativos à K.

Observação 2.55. Os conjugados deα relativos àKsão obtidos aplicando os monomor- fismosσk :K→C,k = 1, . . . , nem α.

Definição 2.56. SejamKum corpo de números de graun,α∈Keα₁ =α, α₂, . . . , α_nos K-conjugados deα. O polinômio característicodeα sobre o corpo Ké definido como o polinômio

p_α(x) = ^Yn

k=1

(x−α_k).

Proposição 2.57.SejaKum corpo de números de graun. Seα∈K, entãop_α(x)∈Q[x]. Proposição 2.58. Seja K um corpo de números de grau n. Se α∈K, então

p_α(x) = m_α(x)^s,

com s = n

gr(m_α(x)) ∈Z^∗+.

Em outras palavras, os conjugados de α com respeito à K são as raízes de m_α(x) em C, cada uma delas com multiplicidades= n

gr(m_α(x))

Proposição 2.59. Seja K um corpo de números. Se α ∈ O_K, então os K-conjugados de α são inteiros algébricos.

Proposição 2.60. Sejam K um corpo de números e α∈K. Os K-conjugados de α com relação à K são iguais se, e somente se, α∈Q.

Proposição 2.61. Sejam K um corpo de números e α∈K. Os K-conjugados de α com relação à K são distintos se, e somente se, K=Q(α).

2.4 Discriminante

Nesta seção, consideramos Kum corpo de números de grau n.

Definição 2.62. Sejam ω1, ω2, . . . , ωn ∈ K. Considere σk : K → C, k = 1, . . . , n os n monomorfismos distintos do corpoKemC. Parai= 1,2, . . . , n,denote porω_i^(j) =σ_j(ω_i), com j = 1, . . . , n, os K-conjugados de ω_i. O discriminante de {ω₁, . . . , ω_n} é definido por

D(ω1, . . . , ωn) =

ω₁⁽¹⁾ ω₂⁽¹⁾ · · · ω⁽¹⁾_n ω₁⁽²⁾ ω₂⁽²⁾ · · · ω⁽²⁾_n ... ... ... ...

ω₁⁽ⁿ⁾ ω₂⁽ⁿ⁾ · · · ω_n⁽ⁿ⁾

2

.

Definição 2.63. O discriminante de α∈K é definido porD(α) = D(1, α, α², . . . , αⁿ⁻¹).

Proposição 2.64. Se α∈K e α₁ =α, α₂, . . . , α_n são os K-conjugados de α, então D(α) = ^Y

i̸=j

(α_i−α_j)².

Definição 2.65. Seja o polinômiof(x) =a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀ ∈C[x], com n∈N ea_n̸= 0, e sejam x₁, x₂, . . . , x_n∈C as raízes de f(x). O discriminante de f(x) é

D(f(x)) =a²ⁿ⁻²_n ^Y

1≤i≤j≤n

(x_i−x_j)² ∈C.

Proposição 2.66. Se α∈K, então D(α) =D(p_α(x)).

Proposição 2.67. Se α∈K, então K=Q(α) se, e somente se, D(α)̸= 0. Teorema 2.68. Seja K um corpo de números de grau n.

1. Se ω₁, . . . , ω_n∈K, então D(ω₁, . . . , ω_n)∈Q;

2. Se ω1, . . . , ωn∈ O_K, então D(ω1, . . . , ωn)∈Z;

3. Se ω₁, . . . , ω_n ∈ K, então D(ω₁, . . . , ω_n) ̸= 0 se, e somente se, ω₁, . . . , ω_n são line- armente independentes sobre Q.

2.5 Base de um ideal

Nesta seção, consideramos K um corpo de números de grau n e O_K o seu anel de inteiros algébricos.

Proposição 2.69. Se I é um ideal não nulo deO_K, então existem η1, . . . , ηn ∈I tais que D(η₁, . . . , η_n)̸= 0.

Proposição 2.70. Se I é um ideal não nulo deO_K, então existem η₁, . . . , η_n ∈I tais que para todoα ∈I, existem únicos x₁, . . . , x_n ∈Z tais que α =x₁η₁+· · ·+x_nη_n.

Observação 2.71. Um ideal não nulo de O_K é um Z-módulo finitamente gerado.

Proposição 2.72. O anel O_K é um domínio Noetheriano.

Definição 2.73. SejaI um ideal não nulo de O_K. Um subconjunto {η₁, . . . , η_n} deI tal que para todo α∈I existem únicos x₁, . . . , x_n∈Z de modo queα =x₁η₁+· · ·+x_nη_n é chamado de base do ideal I.

Proposição 2.74. Seja I um ideal não nulo de O_K.

1. Se {η1, . . . , ηn} e {λ1, . . . , λn} são duas bases para I, então D(η₁, . . . , η_n) =D(λ₁, . . . , λ_n) e η_i =^Xn

j=1

c_ijλ_j, onde i= 1, . . . , n, com c_ij ∈Z e det(c_ij) =±1;

2. Seja {η₁, . . . , η_n} uma base para I e λ₁, . . . , λ_n∈I tais que D(η₁, . . . , η_n) =D(λ₁, . . . , λ_n), então {λ₁, . . . , λ_n} é uma base para I.

Definição 2.75. Sejam I um ideal não nulo de O_K e {η₁, . . . , η_n} uma base para I. O discriminante do ideal I é definido por D(I) =D(η₁, . . . , η_n).

Teorema 2.76. Sejam K um corpo quadrático e d ∈ Z, livre de quadrados, tal que K=Q(√

d).

1. Para d ̸≡ 1 (mod4), sejam a, b, c ∈ Z, com a, c ̸= 0. Assim, {a, b+c√

d} é uma base para o ideal I =⟨a, b+c√

d⟩ se, e somente se, c|a, c|b e ac|b²−dc²; 2. Para d ≡ 1 (mod4), sejam a, b, c ∈ Z, com a, b ̸= 0 e b ≡ c (mod2). Assim,

(

a,b+c√ d 2

)

é uma base para o idealI =

*

a,b+c√ d 2

+

se, e somente se,c|a, c|b e 4ac|b²−dc².

Proposição 2.77. Seja K um corpo de números. Se P é um ideal primo de O_K, então P é um ideal maximal de O_K.

Definição 2.78. Um anel A é chamado um anel (ou domínio) de Dedekind seA é um domínio Noetheriano, integralmente fechado e se todo ideal primo não nulo de A é um ideal maximal.

Observação 2.79. SejamKum corpo de números eO_Kseu anel de inteiros. Pelas Propo- sições 2.50, 2.72 e 2.77, segue queO_K é integralmente fechado, é um domínio Noetheriano e todo ideal primo não nulo deO_K é maximal. Com isso, concluímos que O_K é um anel de Dedekind.

SejamKum corpo de números de grauneO_K o anel de inteiros deK. Neste capítulo, veremos que existe uma base da extensão Q ⊆ K contida em O_K, chamada de base integral.

3.1 Base integral de um corpo de números

Nesta seção, consideramosKum corpo de números de grauneO_K seu anel de inteiros.

Definição 3.1. Uma base {u₁, . . . , u_n} para O_K é chamada uma base integral para o corpo K.

Teorema 3.2. Seja K um corpo quadrático. Se d ∈ Z é livre de quadrados tal que K = Q(√

d), então {1,√

d} é uma base integral para o corpo K, se d ̸≡ 1 (mod4) e

(

1,1 +√ d 2

)

é uma base integral para o corpo K, se d≡1 (mod4). Demonstração. Segue diretamente do Teorema 2.34.

O discriminante de uma base integral de um corpo de números está bem definida, ou seja, se {η₁, . . . , η_n} e {λ₁, . . . , λ_n} são duas bases integrais para um corpo de números K de grau n, então D(η₁, . . . , η_n) = D(λ₁, . . . , λ_n) e se {η₁, . . . , η_n} é uma base integral para o corpo K e λ₁, . . . , λ_n ∈ O_K são tais que D(η₁, . . . , η_n) = D(λ₁, . . . , λ_n), então {λ₁, . . . , λ_n} é uma base integral para o corpoK.

Definição 3.3. Seja{η₁, . . . , ηn}uma base integral para o corpoK. O númeroD(η1, . . . , ηn) é chamado discriminantedo corpo K e denotado porD(K).

SeKé um corpo de números de graun eλ₁, . . . , λ_n ∈ O_K são tais queD(λ₁, . . . , λ_n) = D(K), então {λ₁, . . . , λ_n} é uma base integral para o corpo K. No próximo resultado, determinamos o discriminante de um corpo quadrático.

Teorema 3.4. Se K =Q(√

d), onde d ∈ Z é livre de quadrados, então o discriminante do corpo K é dado por

D(K) =







4d , se d̸≡1 (mod4), d , se d≡1 (mod4).

Demonstração. Seja d ̸≡ 1 (mod 4). Pelo Teorema 3.2, segue que {1,√

d} é uma base integral para o corpoK. Assim,

D(K) =D(1,√ d) =

1 √

d 1 −√ d

2

= (−2√

d)² = 4d.

24

Por outro lado, sejad≡1 (mod 4). Pelo Teorema 3.2, segue que

(

1,1 +√ d 2

)

é uma base integral para o corpoK. Assim,

D(K) =D 1,1 +√ d 2

!

=

1 1 +√ d 2 1 1−√

d 2

2

= (−√

d)² =d,

o que prova o resultado.

Proposição 3.5. Se K é um corpo quadrático, então K=Q

qD(K). Demonstração. Seja d ∈ Z livre de quadrados tal que K = Q(√

d). Pelo Teorema 3.4, segue que D(K) = d ouD(K) = 4d. Dessa forma, ^qD(K) =√

d ou ^qD(K) = 2√ d, isto é,Q

qD(K)=Q(√

d) =K.

Observação 3.6. Uma vez que um corpo quadrático é da formaK=Q

qD(K), segue queK é um corpo real se, e somente se, D(K)>0.

Definição 3.7. Sejam K um corpo de números de graun e I um ideal não nulo de O_K. A norma do ideal I é definida porN(I) =

sD(I) D(K).

Proposição 3.8. Seja K um corpo de números de grau n. Se I é um ideal não nulo de O_K, então N(I)∈Z e N(I)>0.

Demonstração. Considere {η₁, . . . , η_n}uma base para I e {ω₁, . . . , ω_n}uma base integral para o corpo K. Uma vez que η₁, . . . , η_n ∈ O_K, segue que existem c_ij ∈ Z, para i, j = 1, . . . , n, tais que η_i =^Xn

j=1

c_ijω_j, para todo i= 1,2, . . . , n. Assim,

D(I) = D(η₁, . . . , η_n) = (det(c_ij))²D(ω₁, . . . , ω_n) = (det(c_ij))²D(K). Note que

I ̸={0} ⇒D(I)̸= 0⇒(det(cij))² >0. Dessa forma,

N(I) =

v u u t

D(I) D(K) =

v u u

t(det(cij))²D(K)

D(K) =|det(c_ij)| ∈Ze D(I)>0, o que prova a proposição.

Observação 3.9. Sejam K um corpo de números de grau n e I um ideal não nulo de O_K. Considere {η₁, . . . , η_n} uma base para I e {ω₁, . . . , ω_n} uma base integral para o corpo K. Note que, pela demonstração anterior, também podemos definir N(I) por N(I) = |det(cij)|, com cij sendo os coeficientes na combinação linear dos ωj para escrever η_i, para todo i, j = 1, . . . , n.

Exemplo 3.10. Sejam K = Q(√

−5) e I = ⟨2,1 + √

−5⟩ um ideal de O_K. Vamos determinar N(I). Primeiramente, note que −5 ̸≡ 1 (mod 4). Assim, pelo Teorema 3.2, segue que {1,√

−5} é uma base para O_K. Além disso, pelo Teorema 3.4, segue que D(K) = 4.(−5) = −20. Agora,

I =⟨2,1 +√

−5⟩={(a+b√

−5).2 + (c+d√

−5)(1 +√

−5) : a, b, c, d∈Z}

={(2a+c−5d) + (2b+c+d)√

−5 : a, b, c, d∈Z}.

Chamandoy = 2b+c+d∈Z, segue que c=y−2b−d e I = {(2a+c−5d) +y√

−5 : a, c, d, y ∈Z}

= {(2a+y−2b−d−5d) +y√

−5 : a, b, d, y ∈Z}

= {2(a−b−3d) +y+y√

−5 : a, b, d, y ∈Z}.

Agora, chamando x = a−b−3d ∈ Z, segue que I = {2x+y(1 +√

−5) : x, y ∈ Z}. Portanto, ⟨2,1 +√

−5⟩é uma base para I e

D(I) =

2 1 +√

−5 2 1−√

−5

2

= (−4√

−5)² =−80.

Logo, N(I) =

sD(I) D(K) =

s−80

−10 =√ 4 = 2.

Exemplo 3.11. Sejam K = Q(√

d), com d ∈ Z livre de quadrados e d ̸≡ 1 (mod 4), α=a+b√

d∈ O_K e I =⟨α⟩um ideal de O_K. Vamos determinar N(I). Agora, I = ⟨α⟩=⟨a+b√

d⟩

= {(x+y√

d)(a+b√

d) : x, y ∈Z}

= {xa+xb√

d+ya√

d+ybd : x, y ∈Z}

= {x(a+b√

d) +y(bd+a√

d) : x, y ∈Z}.

Portanto, {a+b√

d, bd+a√

d}é uma base para o ideal I. Assim,

D(I) =

a+b√

d bd+a√ d a−b√

d bd−a√ d

2

= [(a+b√

d)(bd−a√

d)−(a−b√

d)(bd+a√ d)]²

= [2(b²d√

d−a²√

d)]² = 4d(b²d−a²)².

Além disso, uma vez que d̸≡1 (mod 4), pelo Teorema 3.4, segue que D(K) = 4d. Logo, N(I) =

sD(I)

D(K) =|b²d−a²|.

Proposição 3.12. Sejam K um corpo quadrático e d ∈ Z livre de quadrados tal que K=Q(√

d).

1. Se d ̸≡ 1 (mod4), a, b, c ∈ Z tais que a ̸= 0, c ̸= 0, c | a e ac | b² −dc², então N(⟨a, b+c√

d⟩) =|ac|.

2. Se d ≡ 1 (mod4), a, b, c ∈ Z tais que a ̸= 0, c ̸= 0, b ≡ c (mod2), c | a, c | b e 4ac|b² −dc², então N

*

a,b+c√ d 2

+!

=|ac|.

Demonstração. Para o item 1, pelo Teorema 2.76, segue que{a, b+c√

d}é uma base para o ideal⟨a, b+c√

d⟩. Assim, D(⟨a, b+c√

d⟩) =

a b+c√ d a b−c√

d

2

= (−2ac√

d)² = 4a²c²d.

Além disso, pelo Teorema 3.2, segue qued̸≡1 (mod 4)⇒D(K) = 4d. Assim, N(⟨a, b+c√

d⟩) =

v u u t

D(⟨a, b+c√ d⟩)

D(K) =

s4a²c²d

4d =|ac|.

Agora, para o item 2, também pelo Teorema 2.76, segue que

(

a,b+c√ d 2

)

é uma base para o ideal

*

a,b+c√ d 2

+

. Assim,

D

*

a,b+c√ d 2

+!

=

a b+c√ d 2 a b−c√

d 2

2

= −2ac√ d 2

!²

=a²c²d.

Além disso, pelo Teorema 3.4, se d≡1 (mod 4), entãoD(K) = d. Logo,

N

*

a,b+c√ d 2

+!

=

v u u

tD(⟨a,^b+c

√ d 2 ⟩)

D(K) =

s

a²c²d

d =|ac|, o que prova a proposição.

Proposição 3.13. Sejam K um corpo de números de grau n e c ∈ Q, com c ̸= 0. Se I =⟨c⟩ é um ideal de O_K, então N(⟨c⟩) = |c|ⁿ.

Demonstração. Seja{ω₁, . . . , ω_n} uma base integral para o corpoK. Assim, α∈ ⟨c⟩, isto é,α=cβ, para algum β ∈ O_K. Agora, se β ∈ O_K, então existem x1, . . . , xn ∈Z tais que β=^Xn

i=1

xiωi.Logo,

α =cβ =c

n

X

i=1

x_iω_i

!

=^Xn

i=1

x_i(cω_i), x₁, . . . , x_n∈Z, ou seja, {cω1, . . . , cωn} é uma base do ideal principal ⟨c⟩. Dessa forma,

D(⟨c⟩) =D(cω₁, . . . , cω_n) =c²ⁿD(ω₁, . . . , ω_n) =c²ⁿD(K)

⇒N(⟨c⟩) =

sD(⟨c⟩) D(K) =√

c²ⁿ =|cⁿ|=|c|ⁿ, o que prova a proposição.