Seminário Ortogonal Pescadinha de rabo na boca

Texto

(1)

Semin´ ario Ortogonal Pescadinha de rabo na boca

Isabel S. Labouriau

Centro de Matem´atica da Universidade do Porto Portugal

Porto, 13 de Maio de 2009

(2)

M´aquina de Turing

Componentes

fita infinita — cabe¸ca de comando — unidade de controle Σ conjunto finito de s´ımbolos na fita

Q conjunto finito de estados de comando

(3)

M´aquina de Turing

Componentes

fita infinita — cabe¸ca de comando — unidade de controle Σ conjunto finito de s´ımbolos na fita

Q conjunto finito de estados de comando Configura¸c˜ao em cada passo

a1, . . . ,ak =α, . . .an sequˆencia finita na fita aj ∈Σ k posi¸c˜ao da cabe¸ca na sequˆencia da fita

q ∈Q estado da m´aquina

(4)

M´aquina de Turing

Componentes

fita infinita — cabe¸ca de comando — unidade de controle Σ conjunto finito de s´ımbolos na fita

Q conjunto finito de estados de comando Configura¸c˜ao em cada passo

a1, . . . ,ak =α, . . .an sequˆencia finita na fita aj ∈Σ k posi¸c˜ao da cabe¸ca na sequˆencia da fita

q ∈Q estado da m´aquina

Configura¸c˜ao no pr´oximo passo dada por σ(α,k,q):

nova posi¸c˜ao knovo(α,k,q)∈ {k−1,k,k + 1}

nova sequˆencia a1, . . . ,ak1,ak =anovo(α,q),ak+1, . . .an novo estado qnovo(α,q)∈Q

(5)

M´aquina de Turing

Componentes

fita infinita — cabe¸ca de comando — unidade de controle Σ conjunto finito de s´ımbolos na fita

Q conjunto finito de estados de comando Configura¸c˜ao em cada passo

a1, . . . ,ak =α, . . .an sequˆencia finita na fita aj ∈Σ k posi¸c˜ao da cabe¸ca na sequˆencia da fita

q ∈Q estado da m´aquina

Configura¸c˜ao no pr´oximo passo dada por σ(α,k,q):

nova posi¸c˜ao knovo(α,k,q)∈ {k−1,k,k + 1}

nova sequˆencia a1, . . . ,ak1,ak =anovo(α,q),ak+1, . . .an novo estado qnovo(α,q)∈Q

dada uma configura¸c˜ao inicial

repete at´e atingir uma configura¸c˜ao final em que q ∈F ⊂Q,

(6)

Numerologia

alfabeto da fita Σ com b s´ımbolos (incluindo∅) Σ ←→ {0,1, . . . ,b−1}

∅ ←→ 0

(7)

Numerologia

alfabeto da fita Σ com b s´ımbolos (incluindo∅) Σ ←→ {0,1, . . . ,b−1}

∅ ←→ 0 Configura¸c˜ao posi¸c˜ao k

a1, . . . ,ak, . . .ansequˆencia na fita aj ∈ {0,1, . . . ,b−1} associo (y1,y2)∈N

y1 =ak+ak+1b+ak+2b2+· · ·+anbn=

y2 =ak1+ak2b+ak3b2+· · ·+a1bk2

(8)

Numerologia

alfabeto da fita Σ com b s´ımbolos (incluindo∅) Σ ←→ {0,1, . . . ,b−1}

∅ ←→ 0 Configura¸c˜ao posi¸c˜ao k

a1, . . . ,ak, . . .ansequˆencia na fita aj ∈ {0,1, . . . ,b−1} associo (y1,y2)∈N

y1 =ak+ak+1b+ak+2b2+· · ·+anbn=

=an an1. . .ak+2 ak+1 ak na baseb.

y2 =ak1+ak2b+ak3b2+· · ·+a1bk2

=a1 a2. . .ak2 ak1 na baseb.

(9)

Numerologia

alfabeto da fita Σ com b s´ımbolos (incluindo∅) Σ ←→ {0,1, . . . ,b−1}

∅ ←→ 0 Configura¸c˜ao posi¸c˜ao k

a1, . . . ,ak, . . .ansequˆencia na fita aj ∈ {0,1, . . . ,b−1} associo (y1,y2)∈N

y1 =ak+ak+1b+ak+2b2+· · ·+anbn=

=an an1. . .ak+2 ak+1 ak na baseb.

y2 =ak1+ak2b+ak3b2+· · ·+a1bk2

=a1 a2. . .ak2 ak1 na baseb.

Q ←→ {1, . . . ,m}

(10)

A cada configura¸c˜ao corresponde um ( y

1

, y

2

, q ) ∈ N

3

Configura¸c˜ao posi¸c˜ao k

a1, . . . ,ak =α, . . .an sequˆencia na fitaaj ∈ {0,1, . . . ,b−1} y1 =an an1. . .ak+2 ak+1 ak na baseb.

y2 =a1 a2. . .ak−2 ak−1 na baseb.

Q ←→ {1, . . . ,m}

Reconstru¸c˜ao da configura¸c˜ao

(11)

A cada configura¸c˜ao corresponde um ( y

1

, y

2

, q ) ∈ N

3

Configura¸c˜ao posi¸c˜ao k

a1, . . . ,ak =α, . . .an sequˆencia na fitaaj ∈ {0,1, . . . ,b−1} y1 =an an1. . .ak+2 ak+1 ak na baseb.

y2 =a1 a2. . .ak−2 ak−1 na baseb.

Q ←→ {1, . . . ,m}

Reconstru¸c˜ao da configura¸c˜ao

s´ımbolo que est´a sendo lido α=ak = 1o algarismo de y1

posi¸c˜ao da cabe¸cak = 1+ ordem de grandeza de y2 estado q

(12)

A cada configura¸c˜ao corresponde um ( y

1

, y

2

, q ) ∈ N

3

Configura¸c˜ao posi¸c˜ao k

a1, . . . ,ak =α, . . .an sequˆencia na fitaaj ∈ {0,1, . . . ,b−1} y1 =an an1. . .ak+2 ak+1 ak na baseb.

y2 =a1 a2. . .ak−2 ak−1 na baseb.

Q ←→ {1, . . . ,m}

Reconstru¸c˜ao da configura¸c˜ao

s´ımbolo que est´a sendo lido α=ak = 1o algarismo de y1

α =w(y1) =y1 (mod b)

posi¸c˜ao da cabe¸cak = 1+ ordem de grandeza de y2 estado q

(13)

A cada configura¸c˜ao corresponde um ( y

1

, y

2

, q ) ∈ N

3

Configura¸c˜ao posi¸c˜ao k

a1, . . . ,ak =α, . . .an sequˆencia na fitaaj ∈ {0,1, . . . ,b−1} y1 =an an1. . .ak+2 ak+1 ak na baseb.

y2 =a1 a2. . .ak−2 ak−1 na baseb.

Q ←→ {1, . . . ,m}

Reconstru¸c˜ao da configura¸c˜ao

s´ımbolo que est´a sendo lido α=ak = 1o algarismo de y1

α =w(y1) =y1 (mod b)

posi¸c˜ao da cabe¸cak = 1+ ordem de grandeza de y2 estado q

Opera¸c˜ao da m´aquina (dinˆamica)

ψ:N3 −→N3 ψ(y1,y2,q) = (ψ1, ψ2, ψ3)

(14)

Constru¸c˜ao da dinˆamica

ψ(y1,y2,q) = (ψ1, ψ2, ψ3) = (y1novo,y2novo,qnovo)

χi(x) =

1 se x =i

0 se x 6=i qnovo(α,j) =qαj

ψ3(y1,q) =

p

X

i=0 m

X

j=1

χi(w(y1))χj(q)qαj

ψ1(y1,y2,q) eψ2(y1,y2,q) an´alogos.

(15)

Dinˆamica

Y = (y1,y2,q)∈N3 ψ:N3 −→N3 Y 7→ψ(Y) Dada a configura¸c˜ao inicialY0

a m´aquina passa pelas configura¸c˜oes:

Y1 =ψ(Y0), Y2=ψ(Y1) =ψ2(Y0), Y3 =ψ(Y2) =ψ3(Y0), . . . at´e que o estado de Yf3f(Y0) esteja em F (se acontecer).

(16)

Dinˆamica

Y = (y1,y2,q)∈N3 ψ:N3 −→N3 Y 7→ψ(Y) Mergulho no cont´ınuo

Y¯ = ( ¯y1,y¯2,y¯3)∈R3 ψ¯:R3 −→R3 Y¯ 7→ψ( ¯¯ Y) ψ¯deriv´avel

e se ¯Y ∈N3 ent˜ao ¯ψ( ¯Y) =ψ( ¯Y)

(17)

Mergulho no cont´ınuo

Exemplo

α =w(y1) =y1 (mod b)

s´ımbolo que est´a sendo lido α=ak = 1o algarismo de y1

¯

w(x) fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodob que mergulha w(y).

(18)

Mergulho no cont´ınuo

Exemplo

α =w(y1) =y1 (mod b)

s´ımbolo que est´a sendo lido α=ak = 1o algarismo de y1

¯

w(x) fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodob que mergulha w(y).

¯

w(x) — combina¸c˜ao linear de

sen 2jπx

b

e cos

2jπx b

j = 0,1, . . . ,b

(19)

Mergulho no cont´ınuo

Exemplo

α =w(y1) =y1 (mod b)

s´ımbolo que est´a sendo lido α=ak = 1o algarismo de y1

¯

w(x) fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodob que mergulha w(y).

¯

w(x) — combina¸c˜ao linear de

sen 2jπx

b

e cos

2jπx b

j = 0,1, . . . ,b para b = 10:

w(x) = 9 2− 1

2cos (πx)−cosπx 5

+

−p

5 + 2√ 5

sen πx

5

−cos 2π5x

25+10 5

5 sen 2πx

5

+

−cos 3π5x

−p

5−2√ 5

sen 3πx

5

+

−cos 4π5x

2510 5

5 sen 4πx

5

(20)

Mergulho no cont´ınuo ¯ w (x )

10

6 8

4

0

x 2

2 6 10

0 4 8

(21)

Mergulho no cont´ınuo ¯ w (x )

10

6 8

x 4

20 15 0

0

25 2

5 10 30

(22)

Mergulho no cont´ınuo

Exemplo

χi(x) =

1 se x =i

0 se x 6=i qnovo(α,j) =qαj

ψ3(y1,q) =

p

X

i=0 m

X

j=1

χi(w(y1))χj(q)qαj

(23)

Mergulho no cont´ınuo

Exemplo

χi(x) =

1 se x =i

0 se x 6=i qnovo(α,j) =qαj

ψ3(y1,q) =

p

X

i=0 m

X

j=1

χi(w(y1))χj(q)qαj

Uso

Qi(x) =Y

j6=i

x−j i−j

(24)

Dinˆamica mergulhada no cont´ınuo

Mergulho

Y¯ = ( ¯y1,y¯2,y¯3)∈R3 ψ¯:R3 −→R3 Y¯ 7→ψ( ¯¯ Y) ψ¯deriv´avel (esquecendo as barras...)

Dinˆamica

Y = (y1,y2,q)∈N3 ψ:N3 −→N3 Y 7→ψ(Y) Dada a configura¸c˜ao inicialY0

a m´aquina passa pelas configura¸c˜oes:

Y1 =ψ(Y0), Y2=ψ(Y1) =ψ2(Y0), Y3 =ψ(Y2) =ψ3(Y0), . . . at´e que o estado de Yf3f(Y0) esteja em F (se acontecer).

(25)

Equa¸c˜ao diferencial

Suspens˜ao da aplica¸c˜ao ψ(Y)

ψ:R3−→R3 defino ϕ: [0,1]× [0,1]×R3

−→[0,1]×R3 para Z = (t,Y) Curva que vai ser a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial: s 7→ϕ(s,Z)

ϕ(s,Z) =ϕ(s(t,Y)) = (t+s,Y)

{0}x R

t

I 3 {1}x R I 3

ϕ (s,(t,Y))

(0,Y) (1,Y)

(26)

Equa¸c˜ao diferencial

Suspens˜ao da aplica¸c˜ao ψ(Y)

ψ:R3−→R3 ϕ: [0,1]× [0,1]×R3

−→[0,1]×R3 para Z = (t,Y) ϕ(s,Z) =ϕ(s(t,Y)) = (t+s,Y) e agora a pescadinha de rabo na boca (1,Y)≈(0, ψ(Y))

Z

v(Z) {0}x R I 3 ≈{1}x R I 3

(27)

Equa¸c˜ao diferencial

Suspens˜ao da aplica¸c˜ao ψ(Y)

ψ:R3−→R3 ϕ: [0,1]× [0,1]×R3

−→[0,1]×R3 para Z = (t,Y) ϕ(s,Z) =ϕ(s(t,Y)) = (t+s,Y)

e agora com a pescadinha de rabo na boca (1,Y)≈(0, ψ(Y))

(28)

Equa¸c˜ao diferencial

Suspens˜ao da aplica¸c˜ao ψ(Y)

ψ:R3−→R3 ϕ: [0,1]× [0,1]×R3

−→[0,1]×R3 para Z = (t,Y) ϕ(s,Z) =ϕ(s(t,Y)) = (t+s,Y)

e agora com a pescadinha de rabo na boca (1,Y)≈(0, ψ(Y)) temos um fluxo ϕ(t,Z) em uma variedade de dimens˜ao 4 (Whitney: contida em Rn,n≤8)

(29)

Equa¸c˜ao diferencial

Suspens˜ao da aplica¸c˜ao ψ(Y)

ψ:R3−→R3 ϕ: [0,1]× [0,1]×R3

−→[0,1]×R3 para Z = (t,Y) ϕ(s,Z) =ϕ(s(t,Y)) = (t+s,Y)

e agora com a pescadinha de rabo na boca (1,Y)≈(0, ψ(Y)) temos um fluxo ϕ(t,Z) em uma variedade de dimens˜ao 4 (Whitney: contida em Rn,n≤8) e a equa¸c˜ao diferencial para a vari´avelZ = (t,Y) ´e:

dZ

dt =v(Z) v(Z) = ∂ϕ

∂t t=0

(30)

FIM

Imagem

Referências

temas relacionados :