Universidade de Bras´ılia
Do Cora¸
c˜
ao para o Ovo
Objetivos:
construir epicicl´oides a partir de circunferˆencias dadas; investigar padr˜oes; identificar si-metrias; relacionar a cardi´oide `a curva em forma de ovo conhecida como Ovo de Granville.
Conte´
udos abordadados:
constru¸c˜ao com r´egua e compasso, padr˜oes num´ericos, simetrias de uma figura plana, m´etodo para tra¸car uma curva em forma de ovo.
Metodologia:
- An´alise de constru¸c˜ao de figuras a partir da circunferˆencia. - Utilizar sequˆencias num´ericas e tabelas para identificar padr˜oes. - Constru¸c˜ao de figuras sim´etricas.
- Constru¸c˜ao de uma curva com formato de ovo.
Materiais:
Duas rodas dentadas de tamanhos iguais (raio = 3cm ) e uma de tamanho diferente (raio = 2 cm); barbantes de cores diferentes, t´abua com pregos numerados de 0 a 35 (em forma circular); kit; r´egua, compasso e papel vegetal.
Autor Thafarel Rodrigues da Costa Orientador Guy Grebot
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Do Cora¸
c˜
ao ao Ovo
A cardi´oide ´e uma curva matem´atica que foi descoberta pelo astrˆonomo dinamarquˆes Ole Christensen Roemer, em 1674, durante uma investiga¸c˜ao para encontrar o melhor projeto para os dentes de uma engrenagem. De acordo com Gomes Teixeira, a cardi´oide foi estudada sob o nome de cicl´oide circular por Vaumesle em 1678. O curioso ´e que essa curva recebeu esse nome apenas em 1741 pelo matem´atico italiano Castillon; cardi´oide vˆem do grego Kardia e significa cora¸c˜ao.
1.1
Atividade: conhecendo a cardi´
oide
Material: duas rodas dentadas de tamanhos iguais (raio = 3cm ) e uma de ta-manho diferente (raio = 2 cm).
Considere a figura abaixo para responder os seguintes itens.
Figura 1:
1. A circunferˆencia cont´ınua gira sem deslizar sobre a circunferˆencia tracejada. Qual ´e a figura descrita pelo ponto P da circunferˆencia que gira, se as duas tˆem o mesmo raio?
2. Qual ´e a figura descrita pelo ponto P da circunferˆencia cont´ınua se o raio da cir-cunferˆencia tracejada for maior?
3. Quantas voltas a circunferˆencia cont´ınua completar´a, em torno de seu centro, se girar uma vez sem deslizar sobre a circunferˆencia tracejada? Justifique sua resposta. 4. Qual ´e a figura descrita pelo ponto P da circunferˆencia cont´ınua se o raio da
cir-cunferˆencia tracejada for menor?
5. Em rela¸c˜ao ao item anterior, a circunferˆencia cont´ınua completar´a alguma volta, em torno de seu centro, se girar uma vez sem deslizar sobre a circunferˆencia tracejada? Justifique sua resposta.
1.2
Desafio 1
O que aconteceria com a figura se a medida do raio da circunferˆencia tracejada for um valor fixo e a medida do raio da circunferˆencia cont´ınua for infinito?
1.3
Desafio 2
O que aconteceria com a figura se a medida do raio da circunferˆencia tracejada for infinito e a medida do raio da circunferˆencia cont´ınua um valor fixo?
1.4
Atividade:construindo uma cardi´
oide com barbante.
Material: barbantes de cores diferentes, t´abua com pregos numerados de 0 a 35 (em forma circular).
Observa¸c˜ao: Os itens 1 a 3 devem ser feitos individualmente.
1. Complete a tabela da figura 2 mostrando quais pregos devem ser ligados de acordo com o padr˜ao indicado.
Figura 2: Tabela do item 1 da atividade 1.4 2. O que vocˆe observou no item anterior?
3. Complete a tabela da figura 3 abaixo para mostrar com quais pregos devem ser ligados os pregos de n´umero 18 a 35. Como vocˆe chegou a essa conclus˜ao?
Figura 3: Tabela do item 3 da atividade 1.4
NOTA: O item seguinte deve ser realizado em duplas para facilitar o manuseio do material.
4. Unindo os pregos de acordo com a tabela do item anterior, com uma cor de barbante, qual figura vocˆe obter´a?
1.4.1 Atividade:construindo figuras sim´etricas. Material: kit
1. Qual o ˆangulo formado entre as semirretas de origem no centro da t´abua e que passam por dois pregos consecutivos, respectivamente?
2. Na constru¸c˜ao anterior, quais condi¸c˜oes os pontos iniciais devem obedecer para que seja poss´ıvel obter n figuras sim´etricas com n= 2, 3, 4 e 6 ?
3. Qual o ˆangulo formado entre as semirretas de origem no centro da t´abua e que passam, respectivamente, por dois pregos consecutivos, para as constru¸c˜oes do item anterior? Justifique sua resposta em cada caso.
4. ´E poss´ıvel determinar 5 pontos iniciais para obter apenas 5 figuras sim´etricas? Jus-tifique sua resposta.
5. Quantos pregos a t´abua deveria ter para que a constru¸c˜ao anterior fosse poss´ıvel? 6. Para n = 7, ´e poss´ıvel realizar essa constru¸c˜ao e indicar quantos pregos a t´abua
deveria ter? Justifique sua resposta.
7. Existem outras possibilidades para n > 7 ? Quais ?
1.5
Atividade
Material: r´egua, compasso e papel vegetal.
A constru¸c˜ao seguinte dever´a ser realizada por todos os alunos.
1. Os alunos devem se organizar em grupos para realizar a constru¸c˜ao da atividade anterior com 2, 3 e 4 figuras sim´etricas. Cada aluno dever´a montar uma tabela com os pontos por ele ligados e fazer um esbo¸co da figura constru´ıda pelo grupo.
2. Agora, como vocˆe responderia as perguntas da atividade 1.4.1?
1.6
Atividade: constru¸
c˜
ao da cardi´
oide via r´
egua e compasso.
Material: kit
1. Utilizando somente r´egua e compasso, descreva detalhadamente um m´etodo para dividir uma circunferˆencia em 12 partes iguais.
2. Coloque o papel vegetal sobre a figura constru´ıda no item anterior. Escolha um dos pontos e trace as circunferˆencias que passam por este ponto e tenham centros nos outros pontos encontrados.
3. Qual ´e a figura que circunscreve todas as circunferˆencias tra¸cadas?
4. O que acontece se repetirmos o item 2 com a circunferˆencia dividida em 24 partes?
1.7
Desafio 3
Por meio do m´etodo apresentado na atividade 1.6, construa uma das figuras encontradas na atividade 1.5.
1.8
Atividade: Do cora¸
c˜
ao para o ovo: a cardi´
oide e o Ovo de
Granville.
Como tra¸car um ovo?
Para responder a essa pergunta antes ´e necess´ario diferenciar um oval e uma curva em formato de ovo. Um oval ´e a regi˜ao do plano delimitada por uma curva semelhante `a elipse e que possui dois eixos de simetria. J´a uma curva em forma de ovo se caracteriza por ser formada apenas pela borda de um ovo de galinha e, al´em disso, possui apenas um eixo de simetria. O Ovo de Granville ´e um exemplo de curva em forma de ovo que foi descoberta em 1908 pelo matem´atico americano Anthony William Granville.
Figura 4:
1. Considere uma cardi´oide, como na figura 4. Fa¸ca esta curva deslizar pelo ponto P de maneira que ela sempre tangencie o segmento. Qual ´e a curva descrita pelo ponto X?
2. Enquanto o ponto P percorre a circunferˆencia, o segmento OP intercepta a reta t em R. A reta t ´e tangente `a circunferˆencia e perpendicular `a reta que passa pelo ponto O e pelo centro da circunferˆencia. O triˆangulo P QR ´e retˆangulo em Q. Use o material fornecido para montar este esquema, olustrado na figura 5.
Figura 5: 3. Qual ´e a curva determinada pelo ponto Q?
4. A curva tra¸cada no item anterior ´e um oval ou uma curva em forma de ovo? Justi-fique sua resposta.
