UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ MARCELI CHEREMETA DECONVOLUÇÃO DE EULER E SUA APLICAÇÃO EM ANOMALIAS MAGNÉTICAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

MARCELI CHEREMETA

DECONVOLUÇÃO DE EULER E SUA APLICAÇÃO EM ANOMALIAS MAGNÉTICAS

CURITIBA 2017

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MARCELI CHEREMETA

DECONVOLUÇÃO DE EULER E SUA APLICAÇÃO EM ANOMALIAS MAGNÉTICAS

Monografia apresentada à disciplina de Projeto de Matemática Industrial como requisito à con-clusão do curso de Bacharelado em Matemática Industrial, Setor de Ciências Exatas, Universi-dade Federal do Paraná.

Orientador: Prof. Dr. Saulo Pomponet Oliveira

CURITIBA 2017

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Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus,

por caminhar comigo em todos os momentos da vida e me dar forças para enfrentar as dificuldades.

Aos meus pais, Zeni e Marcelo,

por todo apoio e incentivo que me deram nessa jornada, e por seu carinho.

Ao meu namorado Adrean,

por estar ao meu lado em todos os momentos dessa etapa, me ajudando e incentivando,

e por seu amor.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Saulo Pomponet Oliveira, pela disposição em ajudar sempre

e pelos ensinamentos compartilhados.

Enfim, agradeço a todos que fizeram parte dessa jornada tão importante em minha vida.

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Resumo

A Deconvolução de Euler é uma técnica de interpretação de dados magnéticos, a qual é amplamente utilizada em geofísica aplicada para estimar a profundidade média de fontes causadoras de anomalias magnéticas. Esta técnica é baseada na relação de homogenei-dade de Euler. Primeiramente, apresentamos uma introdução às anomalias magnéticas causadas por fontes que contêm minerais magnéticos, que são a motivação deste traba-lho, em seguida tratamos da teoria e implementação da Deconvolução de Euler, além de experimentos numéricos aplicados em modelos de dados magnéticos de diversas fontes. Palavras-chaves: Deconvolução de Euler, anomalias magnéticas, problemas inversos.

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Abstract

The Euler Deconvolution is a magnetic data interpretation technique, which is widely used in applied geophysics to estimate the mean depth of sources causing magnetic ano-malies. This technique is based on the Euler homogeneity relation. First, we present an introduction to the magnetic anomalies caused by sources containing magnetic minerals, which are the motivation of this work, then we deal with the theory and implementation of the Euler Deconvolution, as well as numerical experiments applied in magnetic data models from various sources.

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Imagem ilustrativa do campo magnético terrestre (Fonte: Pelizer, 2011

[3]). . . 11

Figura 2 – Ilustração de anomalias positivas e negativas (Fonte: Porto Editora, 2008 [5]). . . 12

Figura 3 – Exemplo de campo de intensidade magnética (Fonte: CPRM, 2011 [7]). 13 Figura 4 – Mapa tectônico dos dados apresentados na Figura 3 (Fonte: Oliveira et al., 2017 [8]). . . 13

Figura 5 – Anomalia magnética causada por um dique vertical. . . 14

Figura 6 – Anomalia magnética causada por um cilindro horizontal. . . 14

Figura 7 – Anomalia magnética causada por um dipolo. . . 15

Figura 8 – Plano de Observação. . . 16

Figura 9 – Anomalia M1, gerada por um dique vertical. . . 26

Figura 10 – Derivadas da anomalia M1. . . 26

Figura 11 – Estimativas de profundidade para um dique vertical. . . 27

Figura 12 – Estimativas de profundidade para um dique vertical com a= 20 m. . . 27

Figura 13 – Anomalia M2, gerada por um cilindro horizontal. . . 29

Figura 15 – Estimativas de profundidade para um cilindro horizontal. . . 30

Figura 16 – Anomalia M3, gerada por um dipolo magnético. . . 31

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Índices Estruturais (Fonte: Correia, 2008 [10]). . . 18 Tabela 2 – Símbolos para representação dos Índices Estruturais. . . 22

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Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . 9 2 ANOMALIAS MAGNÉTICAS . . . . 11 3 DECONVOLUÇÃO DE EULER . . . . 16 3.1 Teoria . . . 16 3.2 Índice Estrutural . . . 18 3.3 Equação de Euler 2D e 3D . . . 19 3.4 Algoritmo . . . 20 3.5 Escopo do Método. . . 22 4 EXPERIMENTOS NUMÉRICOS . . . . 25

4.1 Anomalia gerada por um dique . . . 25

4.2 Anomalia gerada por um cilindro . . . 28

4.3 Anomalia gerada por um dipolo magnético . . . 30

5 CONCLUSÃO . . . . 33

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1 Introdução

Os métodos geofísicos são utilizados na exploração mineral para mapeamento ge-ológico e para identificar estruturas geológicas não necessariamente visíveis na superfície. Durante a prospecção mineral, a geofísica é utilizada tanto na delineação e avaliação de corpos ou estruturas geológicas de interesse, quanto no processo de acesso e extração de recursos minerais.

O mapeamento geológico engloba grande parte das aplicações de dados magné-ticos, que servem para determinar, entre outros parâmetros, a profundidade de rochas magnetizadas. As anomalias magnéticas terrestres são causadas por fontes que contêm minerais magnéticos, os quais formam as rochas próximas da superfície terrestre. Na ge-ofísica, as anomalias magnéticas são consideradas variações locais no campo magnético da Terra, sendo geralmente uma pequena fração deste campo.

Existem duas formas complementares de interpretar dados magnéticos: através de análises qualitativas e quantitativas. A interpretação qualitativa procura produzir um mapa magnético equivalente da área de pesquisa, o qual é separado em regiões que tenham comportamentos distintos. A diferença ou semelhança de comportamento é definida de acordo com a disposição das curvas de contorno, da intensidade absoluta e relativa dos valores dos gradientes, etc. Em seguida, cada região é caracterizada em termos de aspectos estruturais e litológicos. Quando a qualidade numérica dos dados é adequada pode se passar para a interpretação quantitativa, utilizando os modelos matemáticos disponíveis, por exemplo, em perfis quando se tratar de modelos bidimensionais e em mapas quando se tratar de modelos tridimensionais.

Geralmente, métodos semi-quantitativos são baseados em modelos simplificados de formações geológicas. Dentre eles, podemos citar: polo unitário, dipolo unitário, dique, entre outros. Um modelo de polo unitário, na prática, pode ser usado para representar um dipolo com certa inclinação cujo polo inferior esteja tão distante que tem um efeito insig-nificante. Já uma estrutura tridimensional pequena, que possui concentrações anômalas de minerais magnéticos pode ser representada por um modelo de dipolo. Anomalias mag-néticas causadas por intrusões ou rochas sedimentares ricas em ferro são características comuns em regiões favoráveis à exploração mineral e podem, muitas vezes, ser simuladas por modelos de dique de imersão bidimensional.

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De-Capítulo 1. Introdução 10

convolução de Euler, o qual é um método semi-quantitativo que estima a profundidade média de fontes ou corpos magnéticos. Esta técnica foi inicialmente introduzida por Thompson [1] em 1982, a fim de fornecer análises rápidas de grandes quantidades de dados magnéticos, a qual depende do uso de computadores. Baseado na relação de homo-geneidade de Euler, Thompson [1] utiliza a equação de Euler para dados bidimensionais. Reid et al. [2] implementaram, em 1990, a equação de Euler 3D, para interpretação de dados tridimensionais.

A proposta deste trabalho é apresentar um breve conceito sobre anomalias mag-néticas, como são causadas e alguns exemplos (os quais serão tratados no capítulo 2), introduzir a Deconvolução de Euler, como é tratada bidimensionalmente e tridimensio-nalmente, seus algoritmos e as possíveis aplicações para fontes simples causadoras de anomalias magnéticas, aspectos que serão abordados no capítulo 3. No capítulo 4 serão apresentados experimentos numéricos com a aplicação da Deconvolução de Euler a al-guns exemplos de fontes anômalas.

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2 Anomalias Magnéticas

As anomalias magnéticas terrestres causadas por variações das propriedades mag-néticas da litologia. Na geofísica, as anomalias magmag-néticas são consideradas variações locais no campo magnético da Terra, sendo geralmente uma pequena fração deste campo. O campo magnético terrestre se estende do interior da Terra para o espaço, e é compatível majoritariamente com o campo de um dipolo magnético inclinado em um ângulo de aproximadamente 10◦_{em relação ao eixo de rotação da Terra, como se um ímã}

de barra estivesse alocado nesse ângulo no centro da Terra. A Figura 1 ilustra o campo magnético terrestre.

Figura 1 – Imagem ilustrativa do campo magnético terrestre (Fonte: Pelizer, 2011 [3]).

As anomalias magnéticas causadas pelas rochas são efeitos localizados que se superpõem ao campo magnético terrestre. Portanto, o conhecimento de como se comporta o campo da Terra é necessário, tanto para a redução de dados magnéticos, quanto para a interpretação das anomalias resultantes [4].

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Capítulo 2. Anomalias Magnéticas 12

quando apresentam intensidade do campo magnético superior ao valor médio da região, e as negativas, quando apresentam intensidade do campo magnético inferior ao valor médio da região. Na Figura 2 podemos ver uma ilustração de anomalias positivas e negativas.

Figura 2 – Ilustração de anomalias positivas e negativas (Fonte: Porto Editora, 2008 [5]).

Levantamento de dados em grande escala são necessários para o estudo de ano-malias geofísicas, os quais podem ser realizados por satélites, navios ou aviões. Para o caso de dados de satélite, é possível o estudo de anomalias em escalas de milhares de quilômetros. No caso de levantamentos aéreos e marinhos, é possível observar anomalias na escala de dezenas e centenas de quilômetros. Estas anomalias normalmente estão re-lacionados a estruturas geológicas [6]. Os dados capturados de uma anomalia magnética podem ser visualizados, através de aplicativos computacionais, como um campo de inten-sidade magnética em mapas de contorno. Podemos ver nas Figuras 3 e 4 um exemplo de anomalia magnética com sua localização e contexto em que se apresenta.

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Figura 3 – Exemplo de campo de intensidade magnética (Fonte: CPRM, 2011 [7]).

Figura 4 – Mapa tectônico dos dados apresentados na Figura 3 (Fonte: Oliveira et al., 2017 [8]).

As estruturas geológicas que causam anomalias magnéticas podem ser de diversos tipos. Nas figuras a seguir é possível observar algumas ilustrações de anomalias causadas

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por modelos simplificados de tais estruturas, como por exemplo, um dique vertical, um cilindro horizontal e um dipolo isolado.

Figura 5 – Anomalia magnética causada por um dique vertical.

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Figura 7 – Anomalia magnética causada por um dipolo.

Estas e outras fontes podem ser utilizadas em processos de interpretação de da-dos, sendo que um dos objetivos deste tipo de estudo é determinar a profundidade de fontes causadoras de anomalias magnéticas, as quais são usadas para interpretar corpos que produzem uma expressão magnética, a fim de facilitar a prospecção geofísica. Uma técnica consagrada utilizada para interpretação de dados magnéticos, foi introduzida por Thompson [1] em 1982, e ficou conhecida como Deconvolução de Euler.

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3 Deconvolução de Euler

A Deconvolução de Euler é uma técnica de interpretação de dados magnéticos, a qual estima a profundidade média de fontes ou corpos magnéticos. Esta técnica foi inicialmente introduzida por Thompson [1] em 1982, a fim de fornecer análises rápidas de grandes quantidades de dados magnéticos.

A técnica baseia-se na relação de homogeneidade de Euler e pode ser aplicada a uma ampla variedade de estruturas geológicas, tais como falhas, contatos magnéticos, diques, etc. Estas estruturas são identificadas por um parâmetro conhecido como índice estrutural, o qual refere-se a natureza da anomalia estudada.

3.1 Teoria

Seja f = f (x, y, z) uma função com três coordenadas cartesianas x, y e z. Dizemos que a função f é homogênea de grau N se:

f(tx, ty, tz)= tNf(x, y, x).

Como as fontes causadoras das anomalias localizam-se em regiões profundas com relação ao ponto de medição, temos o plano de observação dado por z positivo para baixo e, consequentemente, eixo x na direção norte e eixo y na direção leste.

y

Leste z

x

Norte

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Capítulo 3. Deconvolução de Euler 17

Proposição 1. Se f é homogênea de grau N, então f satisfaz a seguinte equação:

x∂ f ∂x +y ∂ f ∂y +z ∂ f ∂z =N f. (3.1)

A equação diferencial parcial (3.1) é conhecida como Equação de Euler.

Demonstração. Considere a função f (tx, ty, tz) = tNf(x, y, x). Derivando em ambos os lados em relação de t, teremos:

∂ f (tx, ty, tz)

∂t =

∂

∂t(tNf(x, y, z)).

Agora, aplicando a regra da cadeia chegaremos na seguinte equação: x∂ f (tx, ty, tz) ∂tx + y ∂ f (tx, ty, tz) ∂ty + z ∂ f (tx, ty, tz) ∂tz = N tN−1f(x, y, z). Por fim, tomando t= 1:

x∂ f (x, y, z) ∂x + y ∂ f (x, y, z) ∂y + z ∂ f (x, y, z) ∂z = N f (x, y, z). Por outro lado, Thompson [1] observou que pode-se escrever fontes magnéticas simples, por exemplo, polos, dipolos e linhas de polo, na forma da seguinte função:

f(x, y, z)= G

rN, (3.2)

onde r= p(x2+ y2+ z2_{), N} = 1, 2, 3, ... e G uma constante que não depende de x, y e z.

Assim, temos que f é homogênea de grau −N. Demonstração. Substituindo r em (3.2), teremos:

f(x, y, x)= G

(x2+ y2+ z2₎N/2.

Utilizando a definição de função homogênea citada anteriormente, podemos dizer que: f(tx, ty, tx)= G

(t2_(x2+ y2+ z2₎₎N/2 ⇔ f (tx, ty, tx)= t −N G

rN.

Assim, mostramos que f é homogênea de grau −N.

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Vamos aproximar as anomalias magnéticas na vizinhança de um ponto (x0, y0, z0)

pela seguinte função:

∆T(x, y, z) = f ((x − x0), (y − y0), z0), (3.3)

sendo f uma fonte do tipo (3.2) localizada em um ponto (x0, y0, z0) desconhecido. Usando

o fato que f é homogênea de grau −N e a Proposição 1, obtemos:

(x − x0) ∂∆T ∂x +(y − y0) ∂∆T ∂y − z0 ∂∆T ∂z =−N∆T(x, y, z), (3.4) onde N é um parâmetro conhecido como índice estrutural.

3.2 Índice Estrutural

O índice estrutural refere-se à natureza da anomalia estudada e é, de acordo com Barbosa e Silva [9], a medida da taxa de decaimento de uma anomalia magnética com a distância entre a fonte e o ponto de medida, denominado como um indicador da forma ge-ométrica da fonte anômala. A tabela a seguir relaciona modelos geológicos com o índice estrutural para dados magnéticos:

Índice Forma geométrica da fonte anômala 0.0 Contato

0.5 Contato inclinado 1.0 Dique vertical ou soleira 2.0 Cilindro horizontal ou vertical 3.0 Esfera ou dipolo

Tabela 1 – Índices Estruturais (Fonte: Correia, 2008 [10]).

Além de dados magnéticos, também é possível relacionar o índice estrutural com modelos geológicos no caso de dados gravimétricos [11]. Porém, para este trabalho utili-zaremos apenas dados magnéticos.

A escolha do valor mais adequado para um índice estrutural é, segundo Thompson [1], aquele que apresenta uma nuvem de soluções com o menor desvio padrão possível. Portanto, a definição do índice estrutural depende estritamente do tipo de fonte sobre a qual pretende-se estimar a profundidade.

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3.3 Equação de Euler 2D e 3D

O campo total de uma anomalia magnética pode ser considerado como a soma de um campo regional e a anomalia da fonte pontual, sendo escrito da seguinte forma:

T(x, y, z)= ∆T(x, y, z) + B, (3.5) onde a constante B é um nível de base, ou seja, um valor médio do campo regional.

No caso 2D, Thompson [1] considera um perfil ao longo do eixo x, com plano de observação z= 0, e assume que o campo magnético é simétrico e transversal ao perfil de estudo, de modo que ∂∆T/∂y = 0. Desta forma, teremos:

x0 ∂T ∂x +z0 ∂T ∂z +N B= x ∂T ∂x +NT, (3.6)

a qual chamamos de Equação de Euler 2D.

Demonstração.De fato, substituindo (3.5) na equação (3.4), teremos: (x − x0)

∂T ∂x − z0

∂T

∂z =−N (T − B). Reordenando os termos da equação acima, obtemos a equação (3.6).

Assim, considerando um índice estrutural adequado e conhecido, os parâmetros (x0, z0, B) de uma fonte específica podem ser identificados se o campo magnético total

e os gradientes horizontais e verticais forem conhecidos em alguns pontos ao longo do perfil.

A interpretação magnética de dados em três dimensões foi implementada por Reid et al. [2]. Neste caso, assumiremos ∂∆T/∂y , 0, então, similar ao caso 2D, a equação (3.4) pode ser escrita da seguinte forma:

(x − x0) ∂T ∂x +(y − y0) ∂T ∂y +(z − z0) ∂T ∂z = N(B − T ), (3.7) a qual chamamos de Equação de Euler 3D.

Demonstração.Assim como no caso 2D, ao substituirmos (3.5) na equação (3.4), teremos: (x − x0) ∂(T − B) ∂x + (y − y0) ∂(T − B) ∂y + (z − z0) ∂(T − B) ∂z = −N (T − B). Reescrevendo a equação acima, encontramos (3.7).

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Para cada janela de k pontos ~pi = (xi, yi, zi) (1 ≤ i ≤ k), Willians et al. [12]

ob-servaram que a equação (3.7) avaliada nestes pontos pode ser escrita na forma do sistema linear Am= d dado a seguir:

                      ∂ ∂xT(~p1) _∂y∂T(~p1) _∂z∂T(~p1) N ... ... ... ... ... ... ... ... ∂ ∂xT(~pk) _∂y∂T(~pk) _∂z∂T(~pk) N                       .                     x0 y0 z0 B                     =                       x1_∂x∂T(~p1)+ y1_∂y∂T(~p1)+ z1_∂z∂T(~p1)+ NT(~p1) ... ... xk_∂x∂T(~pk)+ yk_∂y∂T(~pk)+ zk_∂z∂T(~pk)+ NT(~pk)                       . (3.8)

Desta forma, para um valor presumidamente conhecido e para cada posição da janela de pontos, é possível estimar a localização da fonte anômala (x0, y0, z0) e o campo

B, tanto para o caso 2D, quanto para o 3D, utilizando a inversão de dados pelo Método dos Mínimos Quadrados. Este processo de inversão é então chamado de Deconvolução de Euler.

3.4 Algoritmo

Para Barbosa e Silva [9], quando definida a janela de k pontos, a solução do sis-tema retangular (3.8) é dada, no sentido de mínimos quadrados, por:

m= (ATA)−1ATd.

No caso 2D, A é uma matriz k × 3 que contém os k pontos ao longo do perfil para os gradientes horizontais e verticais e os índices estruturais e d é um vetor de k pontos que contém os valores do lado direito da equação (3.5) e m= (x0 z0 B)T é o vetor que contém

as estimativas dos parâmetros.

Já para o caso 3D, A é uma matriz k × 4 que contém os valores dos gradientes horizontais e verticais para cada k ponto e os índices estruturais, d é um vetor k × 1 que contém os valores do lado direito da equação (3.5) e m = (x0 y0 z0 B)T contém as

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A solução pelo método dos mínimos quadrados produz também, em ambos os casos, estimativas do desvio padrão, σz0, de z0 (profundidade). Sendo que são aceitáveis

apenas as estimativas que satisfazem a seguinte inequação [1]: z0

Nσz0

> ε, onde ε é um escalar positivo escolhido pelo intérprete.

A forma 3D da equação de Euler pode ser aplicada em grids de dados magnéticos, sendo resolvido da seguinte forma:

1. Calcular os gradientes: ∂T /∂x, ∂T /∂y e ∂T /∂z;

2. Definir uma janela de tamanho k × k dentro do grid de valores dos gradientes. Janelas maiores (ou seja, valores elevados para k) podem apresentar bons resultados e ser mais rápidas, porém, dados de alta resolução produzem melhores resultados em janelas menores;

3. Para cada índice estrutural não nulo, todos os pontos da janela são usados na re-solução da equação (3.7) para fontes específicas de posição x0, y0, z0 e campo B.

Sendo que, para obter as estimativas de mínimos quadrados pode-se utilizar a in-versão de Moore-Penrose (método utilizado para calcular a solução de um sistema de equações lineares);

4. Para um índice estrutural igual a zero, a solução é semelhante ao item anterior, porém, a equação utilizada substitui N (B − T ) por A, da seguinte maneira:

(x − x0) ∂T ∂x +(y − y0) ∂T ∂y +(z − z0) ∂T ∂z = A,

onde, para Oliveira et al. [13], A= 2Mt cos(Ψ), em que M é a intensidade de mag-netização, t é a espessura de corpos tabulares (t << z0) e cos(Ψ) = [cos2(α) cos2(I)+

sen2_(I)]1₂_{, onde α é o azimute do perfil e I é a inclinação do campo magnético;}

5. Repita os passos (2), (3) e (4) para todas as posições de janela possíveis;

6. Para cada índice estrutural, a solução é visível através de mapas, onde são represen-tadas pelo plano (x, y) usando símbolos proporcionais à profundidade z.

Assim, o índice estrutural que produz a menor dispersão entre as soluções é se-lecionado como a melhor estimativa do verdadeiro índice estrutural da fonte de estudo [9].

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De acordo com Thompson [1], são utilizados alguns símbolos para referenciar cada índice estrutural e, dependendo do tipo da anomalia, a solução e seu símbolo cor-respondente são plotados nas coordenadas x0, y0e z0. Na tabela abaixo podemos ver cada

símbolo correspondente ao seu índice estrutural: Índice Símbolo 0.5 1.0 o 1.5 ∗ 2.0 4 3.0 +

Tabela 2 – Símbolos para representação dos Índices Estruturais.

3.5 Escopo do Método

Para Thompson [1], o conceito fundamental do método de deconvolução por ele proposto, é baseado na ideia do estrato geológico equivalente, ou seja, uma anomalia magnética com origem em um corpo causador de magnetização, pode ser exatamente du-plicada quando realizada uma distribuição apropriada de polos magnéticos na superfície deste corpo. Assim, um corpo magnético fino ou extrusivo, teria polos positivos induzidos em sua superfície superior e polos negativos induzidos na superfície inferior. Desta forma, a certa distância, tal fonte magnética passaria a possuir características dipolares.

Por outro lado, os corpos magnéticos intrusivos, que possuem origens dentro da crosta terrestre, teriam também, polos positivos induzidos em sua superfície superior, po-rém, os polos negativos seriam enterrados na crosta e não contribuiriam para o campo magnético medido. Tal corpo intrusivo, de acordo com o raciocínio anterior, possuiria um comportamento polar.

Pela teoria potencial, é possível saber que não existe uma única solução para o problema magnético. Portanto, uma representação do campo magnético anômalo, devido a uma distribuição subterrânea de modelos magnéticos simples, também não é única. Para Thompson [1], o método implementado auxilia na construção de modelos magnéticos simples, apresentando uma série de possibilidades na resolução e identificação de uma grande variedade de situações geológicas.

Este método pode ser aplicado em dados com qualquer inclinação magnética, en-tretanto, as estimativas de profundidade são normalmente mais precisas para dados

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redu-Capítulo 3. Deconvolução de Euler 23

zidos ao polo magnético [1]. Alguns trabalhos anteriores do mesmo autor mostram que, à medida que a inclinação magnética diminui, os modelos simples tendem a superestimar as profundidades das fontes anômalas. Assim, se o método é aplicado a dados de latitudes magnéticas inferiores, bem como para dados reduzidos ao polo, normalmente se espera que as estimativas de profundidade sejam mais precisas. Além disso, para que o método forneça soluções precisas, a janela definida por k pontos, como citado anteriormente, deve mostrar adequadamente cada anomalia no perfil. Isto ocorre quando o tamanho da janela é aproximadamente metade do tamanho da anomalia [14].

Cabe ressaltar alguns fatores que podem distorcer os resultados obtidos na apli-cação do método. O primeiro deles é o caso de dados ruidosos, que fazem com que os gradientes horizontais e verticais sejam ainda mais ruidosos, isto poderá distorcer a forma das anomalias existentes. Portanto, é necessário filtrar estes dados antes da aplicação ou aplicar filtros dentro do método. Outro ponto a ser citado, é como o tamanho da janela afeta o desempenho do método. Se uma janela é grande o suficiente para abranger duas ou mais anomalias, o método poderá considerá-las como uma só, produzindo resultados incorretos. Assim, janelas de tamanhos menores resultam em soluções mais precisas. Um terceiro fator é que, se a fonte é bi-dimensional e ortogonal a direção do perfil, mas não possui magnetização suficiente, então o método pode apresentar resultados menos confiá-veis.

O método da forma como implementado por Reid et al. [2] utiliza janelas sobre-postas e produz uma solução para cada janela, sendo que o número total de soluções pode se aproximar do número de janelas. Quando uma janela não inclui gradientes significa-tivos ou inclui gradientes provenientes de diversas fontes, a solução apresenta elevada incerteza, pois conjuntos de dados ruidosos ou mal definidos podem afetar as estatísti-cas da solução, degradando o ajuste. Além disso, observa-se que quanto menor o índice estrutural empregado, menor a precisão, mesmo quando o índice é adequado.

Os menores índices estruturais estão associados a gradientes e curvaturas inferio-res e, normalmente, têm precisões relativas mais baixas. Se o nível de aceitação de uma solução for definido de forma muito estrita, poucas estimativas de profundidade confiá-veis são obtidas. Se o nível é definido com certa facilidade, estruturas como contatos, são cercadas por uma nuvem de soluções mal definidas que obscurecem as melhores soluções. Além disso, os estudos de Reid et al. [2], contrariam o fato de que as estimativas de profundidade são normalmente mais precisas para dados reduzidos ao polo magnético, pois o método foi aplicado a algumas anomalias sem qualquer tipo de redução e, ainda

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assim, as posições da fonte foram reproduzidas com precisão. Porém, pode-se esperar que o método produza melhores resultados com dados recolhidos a partir de regiões de campo magnético quase horizontal ou totalmente horizontal.

Podemos observar também, que a técnica aplicada por Reid et al. [2] não é total-mente automática, pois é necessário escolher por tentativa-e-erro o índice estrutural. Esta abordagem torna a escolha da solução correta muito mais complexa no caso de dados com pontos singulares com diferentes índices estruturais, pois deve-se escolher o índice estrutural correto e o tamanho da janela, o que torna a interpretação muito subjetiva e demorada.

Ainda assim, este método é usado em larga escala, pois auxilia na interpretação do perfil de estudo fornecendo as estimativas necessárias para localização da fonte e sua profundidade.

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4 Experimentos Numéricos

Neste capítulo aplicaremos o método da Deconvolução de Euler, em sua forma bi-dimensional, para os exemplos de anomalias apresentados no Capítulo 2. Para isto, foi implementado um algoritmo, através do software Matlab c_{, que reproduz as soluções}

do método, considerando todas as estimativas encontradas, sem realizar a filtragem de soluções que podem ser espúrias. As soluções são encontradas através da resolução de um sistema linear pelo métodos dos mínimos quadrados. Utilizamos uma partição uniforme do eixo x com espaçamento∆x. As janelas são sobrepostas, com diferença de ∆x entre janelas adjacentes.

4.1 Anomalia gerada por um dique

O primeiro caso utilizado para aplicação do método, é uma anomalia magnética gerada por um dique com magnetização vertical localizado no polo magnético e observado em z= 0 [15]. Podemos aproximar a anomalia M1pela seguinte função:

M1(x, z) = A tan−1 _x+ a h − z − tan−1 _{x − a} h − z , (4.1)

onde A é o coeficiente de amplitude, a é metade da largura do dique e h é a profundidade do mesmo. Esta expressão é válida para anomalias observadas próximas do centro de um dique de comprimento infinito e espessura infinita.

As primeiras derivadas parciais, em x (horizontal) e em z (vertical), da equação (4.1) são dadas por:

∂M1

∂x =

−4Aahx

(a2+ 2ax + x2+ h2_)(a2_{− 2ax}+ x2+ h2₎

e

∂M1

∂z =

2Aa (a2+ h2− x2)

(a2+ 2ax + x2+ h2_)(a2_{− 2ax}+ x2+ h2₎.

Como a anomalia observada é bidimensional, teremos ∂M1/∂y = 0, como já

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Capítulo 4. Experimentos Numéricos 26

Vamos considerar um dique com 600 m de largura e 400 m de profundidade. As-sim, podemos dizer que a = 300 m, h = 400 m e, por uma questão de simplicidade, A= 1 nT. Nas Figuras 9 e 10, observamos a anomalia causada por este dique, bem como as derivadas parciais horizontal e vertical.

Figura 9 – Anomalia M1, gerada por um dique vertical.

(a) Derivada Horizontal (b) Derivada Vertical

Figura 10 – Derivadas da anomalia M1.

Na aplicação do método para a anomalia M1, da equação (4.1), vamos considerar

um janela de comprimento k = 5, ∆x = 100 e índice estrutural N = 1. Assim, pode-mos verificar a seguinte solução, conforme Figura 11, onde as linhas verticais vermelhas indicam a posição horizontal das bordas do dique.

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Figura 11 – Estimativas de profundidade para um dique vertical.

Desta forma, podemos observar que as linhas vermelhas verticais, indicam as bor-das do dique e as soluções, que são os pontos em azul, indicam as estimativas encontrabor-das pelo método de Deconvolução de Euler.

Observação: A estimativa de profundidade fornecida pela deconvolução de Euler me-lhora consideravelmente quando a largura do dique é reduzida, conforme a Figura 12.

(28)

4.2 Anomalia gerada por um cilindro

O segundo caso para aplicação do método, é uma anomalia magnética gerada por um cilindro horizontal, também observado em z= 0 [16]. Podemos aproximar a anomalia M2 pela seguinte função:

M2(x, z)= K

((h − z)2− x2) cos (ϕ)+ 2x (h − z) sen (ϕ)

((h − z)2+ x2₎2 , (4.2)

onde K é o coeficiente da amplitude, ϕ é o ângulo de polarização e h é a profundidade do centro do cilindro.

∂M2 ∂x = K 2h sen (ϕ) − 2x cos (ϕ) (h2+ x2₎2 − 4K x cos (ϕ) (h2+ x2₎+ 2xh sen (ϕ) (h2+ x2₎3 e ∂M2 ∂z = K −2h cos (ϕ) − 2x sen (ϕ) (h2+ x2₎2 + 4Kh cos (ϕ) (h2+ x2)+ 2xh sen (ϕ) (h2+ x2₎3 ,

da mesma forma que no caso M1, temos ∂M2/∂y = 0.

Vamos considerar um cilindro com 10 m de profundidade. Assim, definimos h = 10 m, K = 1 nT e ϕ = 60◦. Nas Figuras 13 e 14, observamos a anomalia causada por este cilindro, bem como as derivadas parciais horizontal e vertical.

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Figura 13 – Anomalia M2, gerada por um cilindro horizontal.

um janela de comprimento k = 5, ∆x = 0.01 e índice estrutural N = 2. Assim, podemos verificar a seguinte solução, conforme Figura 15.

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Figura 15 – Estimativas de profundidade para um cilindro horizontal.

Neste caso, podemos observar que as soluções concentram-se em z = 10, mos-trando que ali existe uma anomalia. Sendo que, os pontos em azul, indicam as estimativas de profundidade encontradas pelo método de Deconvolução de Euler.

4.3 Anomalia gerada por um dipolo magnético

O terceiro caso para aplicação do método, é uma anomalia magnética gerada por um dipolo magnético, também observado em z= 0 [17]. Podemos aproximar a anomalia M3 pela seguinte função:

M3(x, z) = µm

(3 cos2(φ) − 1) x2− 6x (h − z) sen (φ) cos (φ)

r5 (4.3)

+ µm(3 sen2(φ) − 1)(h − z)2

r5 ,

onde µm é a permeabilidade magnética do meio, m é o módulo do momento do dipolo. Temos que m = 2pl, sendo p a intensidade do polo, enquanto 2l é a distância entre os dois polos do dipolo, r = px2+ (z − h)2_{, φ é o ângulo de inclinação magnética e h é a}

(31)

∂M3

∂x = µm

2x (3 cos2_{(φ) − 1) − 6h sen (φ) cos (φ)}

(h2+ x2₎5/2

− 5µmxh

2_{(3 sen}2_{(φ) − 1) − 6hx sen (φ) cos (φ)}+ x2_{(3 cos}2_{(φ) − 1)}

(h2+ x2₎7/2

e

∂M3

∂z = µm

6xh sen (φ) cos (φ) − 2h (3 sen2(φ) − 1) (h2+ x2₎5/2

− 5µm (−h)−6xh sen (φ) cos (φ)+ 3h sen

2_{(φ) − 1}_{+ x}2_{(3 cos}2_{(φ) − 1)}

(h2+ x2₎7/2 ,

da mesma forma que as anomalias anteriores, temos ∂M3/∂y = 0.

Vamos considerar um dipolo com 1 m de profundidade. Assim, definimos h= 1 m, µm = 1 nT.m3 _{e φ}= −15◦_{. Nas Figuras 16 e 17, observamos a anomalia causada por este}

dipolo, bem como as derivadas parciais horizontal e vertical.

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um janela de comprimento k = 5, ∆x = 0.01 e índice estrutural N = 3. Assim, podemos verificar a seguinte solução, conforme Figura 18.

Figura 18 – Estimativas de profundidade para um dipolo magnético.

No caso do dipolo, podemos observar que as soluções concentram-se em z = 1 m, mostrando que ali existe uma anomalia. Sendo que, os pontos em azul, indicam as estimativas de profundidade encontradas pelo método de Deconvolução de Euler.

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5 Conclusão

Como pudemos ver, o método da Deconvolução de Euler foi aplicado a três fontes anômalas bi-dimensionais, com índices estruturais N = 1, N = 2 e N = 3, respectiva-mente. Sendo que para os três casos foi possível plotar as soluções indicando o símbolo referente a cada índice, conforme definido anteriormente na Tabela 2.

Conforme destacamos na seção 3.5 (Escopo do Método), alguns fatores são im-portantes para que o método apresente soluções de forma satisfatória.

Para os modelos de estudo deste trabalho, podemos dizer que os dados utilizados não continham ruídos e não houve necessidade de calcular numericamente as derivadas horizontais e verticais, garantindo a precisão nos resultados e não sendo necessária apli-cação de filtros dentro do método.

Além disso, como utilizamos fontes anômalas individuais, não tivemos problemas com a escolha do tamanho da janela, pois não existiam outras fontes próximas que pu-dessem distorcer os resultados. Desta forma, a janela definida abrangeu apenas a fonte de estudo garantindo, também, a eficácia do método.

Por outro lado, as estimativas encontradas para o modelo do dique vertical largo foram menos satisfatórias que nos demais exemplos, mesmo com a utilização de jane-las com outros comprimentos. Entretanto, a estimativa de profundidade se torna correta quando a largura do dique é desprezível.

Uma possível explicação para este fato é que o modelo de dique não é apropria-damente aproximado por fontes da forma (3.2).

Portanto, podemos concluir que, de forma geral, o método da Deconvolução de Euler em sua forma bi-dimensional, foi satisfatório para aplicação nos casos definidos, demonstrando a confiabilidade nos resultados obtidos para estimativas de localização e profundidade de fontes anômalas simples.

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Referências

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[5] PORTO, Editora. Disponível em: <http://www.netxplica.com/exercicios/geo10/estudo. interior.geosfera.htm>, 2008.

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[8] OLIVEIRA, S. P., FERREIRA, F. J. & DE SOUZA, J. EdgeDetectPFI: An algorithm for automatic edge detection in potential field anomaly images–application to dike-like magnetic structures. Computers & Geosciences, vol. 103, p. 80-91, 2017. [9] BARBOSA, V. C. F. & SILVA, J. B. C. Deconvolução de Euler: Passado, Presente

e Futuro - Um tutorial. Revista Brasileira de Geofísica, vol. 23, n. 3, p. 243-250, 2005.

[10] CORREIA, M. G. Estimativa de Profundidades Magnéticas na Província Mineral de Carajás, Brasil. Dissertação de Mestrado. Universidade de Aveiro, 2008.

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Referências 35

[12] WILLIAMS, S. E., FAIRHEAD, J. D. & FLANAGAN, G. Comparison of grid Eu-ler deconvolution with and without 2D constraints using a realistic 3D magnetic basement model. Geophysics, vol. 70, n. 3, p. l3-l21, 2005.

[13] DE OLIVEIRA, N. V, ENDO, I. & DE OLIVEIRA, L. G. S. Geometria do Sinclinal Garandela baseada na Deconvolução de Euler 2D e 3D - Quadrilátero Ferrífero (MG). Revista Brasileira de Geofísica, vol. 23, n. 3, p. 221-232, 2005.

[14] DURRHEIM, R. J. & COOPER, G. R. J. EULDEP: A program for the Euler De-convolution of magnetic and gravity data. Computers & Geosciences, vol. 24, n. 6, p. 545-550, 1998.

[15] DE SOUZA, J. & FERREIRA, F. J. F. On the use of derivatives for interpreting magnetic anomalies due to dyke-like bodies: Qualitative and quantitative analysis. Istanbul 2012 - International Geophysical Conference and Oil & Gas Exhibition, p. 1–4, 2012.

[16] RAO, T. P., SUBRAHMANYAM, M. & MURTHY, A. S. Nomogram for the direct interpretation of magnetic anomalies due to long horizontal cylinders. Geophysics, vol. 51, n. 11, p. 2156-2159, 1986.

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