VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ÁLGEBRA LINEAR II

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ÁLGEBRA LINEAR II

Rio de Janeiro / 2007

TODOSOSDIREITOSRESERVADOSÀ

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

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UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB.

U n3p Universidade Castelo Branco. Álgebra Linear II. –

Rio de Janeiro: UCB, 2007. 36 p.

ISBN

1. Ensino a Distância. I. Título.

CDD – 371.39

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Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional

Coordenadora de Educação a Distância Coordenadora de Educação a Distância Coordenadora de Educação a Distância Coordenadora de Educação a Distância Coordenadora de Educação a Distância

Prof.ª Ziléa Baptista Nespoli

Coordenadora do Curso de Graduação Coordenadora do Curso de Graduação Coordenadora do Curso de Graduação Coordenadora do Curso de Graduação Coordenadora do Curso de Graduação

Sônia Albuquerque - Matemática

Conteudista Conteudista Conteudista Conteudista Conteudista Sônia Albuquerque

Supervisor do Centro Editorial – CEDI Supervisor do Centro Editorial – CEDI Supervisor do Centro Editorial – CEDI Supervisor do Centro Editorial – CEDI Supervisor do Centro Editorial – CEDI

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Apresentação

Prezado(a) Aluno(a):

É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.

Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.

Seja bem-vindo(a)! Paulo Alcantara Gomes Reitor

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Orientações para o Auto-Estudo

O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito.

Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares.

As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.

Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades.

Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todos os conteúdos das Unidades Programáticas 1, 2, 3 e 4.

A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.

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Dicas para o Auto-Estudo

1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.

2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.

3 - Não deixe para estudar na última hora.

4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.

5 - Não pule etapas.

6 - Faça todas as tarefas propostas.

7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.

8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação.

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SUMÁRIO

Quadro-síntese do conteúdo programático ...

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Contextualização da disciplina ...

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U U U U

UNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE I I I I I ESPAÇOS VETORIAIS 1.1 - Introdução ...

13

1.2 - Definição ...

13

U U U U

UNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE II II II II II

SUBESPAÇOS VETORIAIS

2.1 - Interseção de dois subespaços vetoriais ...

19

2.2 - Soma de dois subespaços vetoriais ...

20

2.3 - Soma direta de dois subespaços vetoriais ...

21

U

U U U

UNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE III III III III III COMBINAÇÃO LINEAR 3.1 - Subespaços gerados ...

22

U U U U

UNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE IV IV IV IV IV

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

4.1 - Propriedades da dependência e independência linear ...

26

Exercícios de fixação ...

26

Glossário...

30

Gabarito...

31

Referências bibliográficas...

35

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UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS

Quadro-síntese do conteúdo

programático

1 - ESPAÇOS VETORIAIS 1.1 - Introdução

1.2 - Definição

• Definir espaço vetorial;

• Utilizar as propriedades do espaço vetorial.

2 - SUBESPAÇOS VETORIAIS

2.1 - Interseção de dois subespaços vetoriais 2.2 - Soma de dois subespaços vetoriais 2.3 - Soma direta de dois subespaços vetoriais

• Realizar operações com subespaços vetoriais.

3 - COMBINAÇÃO LINEAR 3.1 - Subespaços gerados

• Identificar uma combinação linear de vetores.

4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 4.1 - Propriedades da dependência e independência

linear

• Distinguir uma dependência ou independência linear de vetores;

• Realizar operações com vetores independentes ou dependentes.

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Contextualização da Disciplina

Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo. Porém, acreditamos ter conseguido um bom desenvolvimento lógico das unidades, mantendo um certo rigor coerente com o nível para o qual o material é proposto. O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Álgebra Linear II e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento.

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13

1) (u + v) + w = u +v(v + w)

Com u, v, w, vetores no Rn_{, por exemplo.}

2) u + v = v + u

3) Existe um elemento 0 (zero) em Rn_{(vetor zero)} tal que u + 0 = u

4) Para todo o elemento u ∈ Rn_{e existe um -u}∈ Rn tal que u + (-u) = 0

1) (α β) u = α (β u) 2) (α + β) u = α u + β u 3) α (u + v) = α u + α v 4) 1u = u ou (A + B) + C = A + (B + C) A, B, C, matrizes de ordem m x n. ou A + B = B + A

ou existe um elemento 0 (zero), matriz nula tal que A + 0 = A

ou para toda matriz A_{m x n} existe uma matriz -A_{m x n} tal que A + (-A) = 0

ou (α β)A = α (β A)

ou (α + β)A = α A + β A ou α (A + B) = α A + α B

ou 1A = A

b) Em relação à multiplicação por escalar (αααα, βββββ, nεεεεε IR):α

UNIDADE I

ESP

ESPAÇOS VET

AÇOS VET

AÇOS VETORIAIS

ORIAIS

1.1

1.1 1.1 - Introdução

Estudamos vetores no R², no R³, ..., no Rn e matrizes de ordem m x n = M(m, n) e, em particular, matrizes quadradas de ordem 2, 3 etc.

Vamos lembrar algumas operações com vetores e matrizes: soma e multiplicação por escalar.

Exemplos

Constata-se a existência de uma série de propriedades comuns:

Estas propriedades parecem externamente abstratas. Mas os matemáticos, trabalhando em vários assuntos, foram percebendo que muitos dos conjuntos com que lidavam gozavam de um certo número de propriedades comuns, que são 8 axiomas vistos. Veio, então, a idéia de isolar estas propriedades e ver o que podia ser provado, em geral, usando somente elas. Com isto, há uma economia de raciocínio e esforço: uma vez demonstrado um certo número de teoremas usando somente estas propriedades, eles poderão ser aplicados ao caso particular que estiver sendo estudado.

Assim, estes dois conjuntos, Rn e M(m x n), munidos destas duas operações apresentam uma ESTRUTURA comum chamada ESPAÇO VETORIAL.

a) Em relação à adição:

1.2

1.2 1.2 - Definição

Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma e multiplicação por escalar, tais que, para qualquer elemento v ∈ V e qualquer escalar α, as propriedades vistas valem.

OBSERVAÇÃO:

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14

poderão ser polinômios, números, matrizes e vetores (como os estudados).2) Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independentemente da natureza; como veremos,

Exemplo 1

O conjunto V = R² = { (x, y) / x, y R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar: ∀(x1,y1) (x1,y1) + (x2,y2) =(x1 + x2 , y1 + y2)

∀ α ∈ R α (x, y) = (α x, α y)

Para verificar os 8 axiomas de espaço vetorial, vamos considerar que: u = (x₁,y₁), v = (x₂,y₂), w = (x₃,y₃).

a₁) (u + v) + w = u + (v + w) é o 1º axioma. (u + v) + w = ((x₁,y₁) + (x₂,y₂)) + (x₃,y₃) = = (x₁ + x₂ ), (y₁ + y₂) + (x₃,y₃ ) = = ((x₁ + x₂) + x₃ , (y₁ + y₂) + y₃) = = (x₁ + (x₂ + x₃) , y₁ + (y₂ + y₃)) = = (x₁,y₁) + (x₂, +x₃ , y₂ + y₃) = (x₁, y₁) + ((x₂, y₂)) + (x₃, y₃)) = u + (v + w) a₂) u + v = (x₁,y₁) + (x₂,y₂) . . . a₃) ∃0 = (0, 0) ∈ R², ∀ u ∈ R², u + 0 = ((x1,y₁) + (0 , 0) = = (x₁, + 0, y₁ + 0) = = (x₁,y₁) = u a₄) ∀ u = (x1,y₁) ∈ R², ∃ ( - u) = (- x1,- y₁) ∈ R², u + (-v) = (x₁,y₁) + (- x₁,- y₁) = (x₁ - x₁, y₁- y₁) = (0, 0) = 0 M1) (α β) u = (α β) (x1,y₁) = ((α β) x1 , (α β)y1) = = (α(β x1 ), α(βy1)) = α(β x1), βy1) = = α(β(x₁, y₁)) = α(βu)

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UNIDADE II

SUBESP

SUBESPAÇOS VET

AÇOS VET

AÇOS VETORIAIS

ORIAIS

Podemos identificar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam espaços vetoriais "menores" - serão chamados subespaços vetoriais de V em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial v, deveríamos testar os 8 axiomas de espaço vetorial. No entanto, como S é parte de V (que é um espaço vetorial), não há necessidade da verificação. O teorema abaixo nos mostra isto.

Teorema

Um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se:

a) Para quaisquer u, v ∈ s tem-se

u + v ∈ s

b) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, tem -se

α u ∈ S

De fato, estas 2 condições são suficientes.

Os axiomas a₁, a₂, m₁, m₂, m₃, m₄ são verificados pelo fato de S ser um subconjunto não vazio de V.

O axioma a₃ nos leva a: sendo u ∈ S, pela condição a) α u ∈ S, ∀α ∈ R; sendo α = 0 vem 0.u ∈ S, ou seja, 0 ∈ S. Axioma a₄, nos leva a fazer: α = -1; ( - 1) u = - u ∈ S.

Assim, basta verificar as duas condições acima a) e b) para identificar um subespaço vetorial S de V (que se sabe que é um espaço vetorial).

ATENÇÃO! Qualquer subespaço S de V precisa necessariamente conter o vetor 0 (vetor nulo)!

OBSERVAÇÕES:

1) Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0} - subespaço zero ou nulo -, e

o próprio espaço vetorial v - que são chamados subespaços triviais de V.

Os outros subespaços triviais de V = R² são {(0,)} e o próprio R², enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem.

Vejamos:

Exemplo 1

Sejam V = R² e S ={ (x, y) ∈ R² / y = 2u}.

S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira.

Vemos que S ≠ ∅ pois (0,0) ∈ s (o conjunto S não é vazio) Verificaremos as duas condições.

i) u = v ∈ S e ii) α u ∈ S

Fazendo u = (x₁, 2x₁) e v = (x₂, 2 x₂), sendo α ∈ R:

i) u + v = (x₁ + x₂, 2x₁ + 2x₂) = (x₁ + x₂, 2 (x₁ + x₂)) ∈ s, pois a segunda componente é o dobro da primeira. ii) α u = α (x1, 2x₁) = (α x1 + 2 (α x1 )) ∈ s, pois a segunda componente é o dobro da primeira.

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Logo, S é 1 subespaço vetorial R².

Geometricamente, este subespaço representa uma reta que passa pela origem.

A soma de 2 vetores da reta é também um vetor nesta reta.

O produto de um escalar por um vetor desta reta é ainda um vetor da reta.

Exemplo 2

Observamos que, se considerássemos o conjunto S = { (x , 4 - 2x) / x ∈ R } ou S = { (x , y) ∈ R² / y = 4 - 2x }, veríamos, de imediato, que não é um subespaço vetorial de R², pois (0, 0) ∉ S. Ainda escolhendo dois vetores quaisquer de S: u = (1, 2) e v = (2, 0) de S, temos u + v = (1 +2 , 2 + 0) = (3, 2).

Lembremos que basta um contra-exemplo para provar que não é subespaço vetorial:

U + v = (3, 2) ∉ S pois, para x = 3 y deveria ser: y = 4 - 2.3 = -2

Geometricamente, podemos ter usado a segunda condição: α u ∉ S se α ≠ 1.

OBSERV OBSERV OBSERV OBSERV

OBSERVAÇÃO IMPORTAÇÃO IMPORTAÇÃO IMPORTAÇÃO IMPORTAÇÃO IMPORTANTEANTEANTEANTEANTE

Dissemos que, sempre que 0 ∉ S, o S não é subespaço vetorial de V. No entanto, a recíproca não é verdadeira, pois podemos ter 0 ∈ S e S não ser um subespaço vetorial de V.

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Exemplo 3

V = R²; S = {9x, x²) ∈ R²} (0, 0) ∈ S

No entanto, se u = (1, 1) e v = (2, 4), temos: u + v = (3, 5) ∉ S. Idem para o Exemplo 4

S = { (x, |x| / x ∈ R} ⊂ R² (0, 0) ∈ S.

Mas, para u = (3, 3) e v = (-2, 2), temos u + v = (1, 5) ∉ S Geometricamente,

Exemplo 3 Exemplo 4

Exemplo 5

Dados V = M (2,2) =

S = . Verifique se S é um subespaço vetorial de V.

O elemento nulo:

Dados u = e v =

i) u + v = + =

ii) ∝u = ∝ =

Logo, S é um subespaço vetorial de V.

Exemplo 6

Um resultado importante aparece quando estamos resolvendo um sistema linear homogêneo (os termos independentes são todos nulos).

2x + 4y + z = 0 x + y + 2z = 0 x + 3y - z = 0

Ao procurarmos as soluções deste sistema, estamos procurando, dentro do espaço vetorial M(3, 1), espaço vetorial das matrizes de ordem 3 x 1, aqueles vetores que satisfazem à igualdade acima.

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Pergunta: o conjunto dos vetores-solução do sistema linear homogêneo acima é um subespaço vetorial M (3, 1)? Consideremos dois vetores-solução: e

Vamos verificar as duas condições: i) e ii)

i) Verificar se a soma deles é ainda solução do sistema, isto é:

hipótese + =

ii) Verificar se, ao multiplicarmos um vetor-solução por escalar, ele ainda continua solução do sistema, isto é:

hipótese

Geometricamente, se pensarmos nos vetores-coluna, de ordem 3 x 1, com vetores do R³, o subespaço S dos vetores solução é obtido pela intersecção dos três planos do espaço, cada dado por uma equação do sistema linear homogêneo apresentado.

Exemplo 7

Se um sistema linear não for homogêneo, o que acontecerá com o seu conjunto solução?

2x + 4y + z = 1 x + y + 2z = 1 x + 3y - z = 0 Exemplo 7.1 V= R³ S = { (x, y, z) ∈ R³ / ax + by + cz = 0}

Para verificar se S é um subespaço vetorial de V, vamos considerar dois elementos de S: u = (x₁, y₁, z₁,) e v = (x₂, y₂,z₂).

i) u + v = (x₁,+ x₂ , y₁ + y₂, z₁ + z₂) que queremos provar que ∈ S, isto é, é tal que satisfaz a a(x1,+ x₂) + b(y₁ + y₂) + c(z₁ + z₂) = 0

Como provar?

Ora, se (x₁, y₁, z₁) ∈ S, então ax₁ + by₁ + cz₁ = 0 e se (x₂, y₂,z₂) ) ∈ S, então ax2 + by₂ + cz₂ = 0 Somando estas duas últimas equações, temos:

a(x₁,+ x₂) + b(y₁ + y₂) + c(z₁ + z₂) = 0 c.q.d

ii) α u = α (x1, y₁, z₁) = (α x1, α y1, α z1) que queremos provar que ∈ S, isto é, que a (α x1,) + b (α y1 ) + c (α z1) = 0. Prove que a soma de dois vetores-solução nem

sempre é um vetor-solução e que, portanto, o conjunto solução não é um subespaço vetorial de M(3,1).

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19

Como provar?

Ora, se (x₁, y₁, z₁) ∈ S, então ax₁, + by₁ + cz₁ = 0. Multiplicando esta última equação por α , temos a (α x1,) + b (α y1 ) + c (α z1) = 0 c.q.d

Concluímos, então, que S é um subespaço vetorial de R³. Quem é, geometricamente, este subespaço?

Lembremos que ax + by + cz + d = 0 é a equação geral de um plano e que, quando d=0, este plano passa pela origem. Assim, este subespaço representa um plano qualquer passando pela origem, em R³. É um subespaço próprio de R³.

Exemplo 7.1

V = R³; S = { (x, y, 0) R³ / y = 2x}

Geometricamente, é uma reta passando pela origem. Verifique que é um subespaço de R³.

Lembre-se que os subespaços triviais de R³ são {(0, 0, 0)} e o próprio R³.

Os subespaços próprios de R³ são as retas que passam pela origem e os planos que passam pela origem (geometricamente).

2.1

2.1 2.1 - Interseção de Dois Subespaços Vetoriais

Sejam S₁ e S₂ 2 subespaços vetoriais de V. A intersecção S de S₁ e S₂: S = S₁∩ S2 é o conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que v ∈ S₁ e v ∈ S₂.

Teorema

A interseção de dois subespaços vetoriais S₁ e S₂ de V é um subespaço vetorial de V.

Demonstração: i) se u, v ∈ S1, então u + v ∈ S1. se u, v ∈ S2, então u + v ∈ S2. Logo, u + v ∈ S1∩ S2 = S ii) se v ∈ S1, então λv ∈ S1, ∀λ ∈ R. se v ∈ S2, então λv ∈ S2. Logo, λv ∈ S1∩ S2 = S Exemplo 8 V = R³ = { (a, b, c) / a, b, c ∈ R} S₁ = { (a, b, 0) / a, b ∈ R} e S₂ = {(0, 0, c) / c ∈ R}

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20

2.2

2.2 2.2 - Soma de Dois Subespaços Vetoriais

Sejam S₁ e S₂ 2 subespaços vetoriais de V. A soma S de S₁ e S₂ : S = S₁ + S₂ é o conjunto de todos os vetores u + v de V, tais que u ∈ S1 e v ∈ S2.

Teorema

A soma S de dois subespaços vetorais S₁ e S₂ de V é um subespaço vetorial de V.

Demonstração: i) Se u₁, u₂∈ S₁, então u₁ + u₂∈ S₁. Se v₁, v₂∈ S₂, então v₁ + v₂∈ S₂. Mas u₁ + v₁∈ S e u₂ + v₂∈ S. Assim (u₁ + v₁) + (u₂ + v₂) = (u₁ + u₂) + (v₁ + v₂) ∈ S₁ + S₂ = S ∈ S1 ∈ S2

ii) ∀α ∈R, Se u1∈ S1, então λu1∈ S1 Se v₁∈ S2, então λv2∈ S2

Mas u₁ + v₁∈ S, Logo: λ (u1 + v₁) = λu1 + λv1∈ S1 + S₂ = S

Exemplo 9

V = R³ = { (a, b, c) / a, b, c ∈ R}

S₁ = { (a, b, 0) / a, b ∈ R} e S₂ = {(0, 0, c) / c ∈ R}

A Soma S₁ + S₂ é um subespaço vetorial. S = { (a, b, c) / a, b, c ∈ R}, que é um subespaço vetorial trivial de V (o próprio R³).

Exemplos de Interseção de dois subespaços vetoriais:

A) V = R³, S₁ e S₂ planos em R³

S₁∩ S₂ é a reta de intersecção dos planos.

B) V = M (n. n). Matrizes quadradas de ordem n.

S₁ = { matrizes triangulares superiores} S₂ = { matrizes triangulares inferiores}

S₁∩ S₂ = {conj. das matrizes diagonais}. Verifique que é um subespaço vetorial.

C) V = R³; S₁ e S₂ são retas que passam pela origem. S₁∩ S2 = {(0, 0, 0) que é 1 subespaço vet. de R³.

Exemplos de soma de dois subespaços vetoriais:

A) V = R³ , S₁ e S₂ são retas que passam pela origem, S₁ + S₂ é o plano que contém as duas retas.

B) V = R³ , S1 ⊂ R³ é um plano e S2⊂ R³ é uma reta; ambos (plano e reta) passam pela origem.

S₁ + S₂ = S₁ (é o próprio plano)

C) V = M (2, 2); S₁ = e S₂ = com a, b, c, d ∈ R

(21)

21

2.3

2.3 2.3 - Soma Direta de Dois Subespaços Vetoriais

Sejam S₁ e S₂ dois subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é a soma direta de S₁ e S₂ e se representa por: v = S₁⊕ S2 se V = S₁ + S₂ e S₁∩ S2 = {0}.

Exemplo 10

O espaço vetorial V = M (2, 2) do último exemplo c) é a soma direta de S₁ e S₂.

Exemplo 11

(22)

22

UNIDADE III

COMBINAÇÃO LINEAR

Vamos estudar uma das características mais importantes de um espaço vetorial: a obtenção de novos vetores a partir de vetores dados.

Sejam v₁, v₂, ..., v_n vetores do espaço vetorial V e os números reais a₁, a₂, ..., a_n. O vetor v ∈ V, tal que v = a₁v₁ +a₂v₂ + ...+ a_n v_n é uma combinação linear de v₁ , v₂, ..., v_n.

Exemplo 1

Escrever, se possível, o vetor v = (-3, 10, 9) como combinação linear dos vetores v₁ = (1, 2, 3) e v₂ = ( 3, -2, 0).

v = a₁v₁ + a₂v₂ (-3, 10, 9) = a₁(1, 2, 3) + a2 ( 3, -2, 0) -3 = a₁ +3a₂ 10 = 2a₁ - 2 a₂ 9 = 3a₁∴ a1 = 3 Exemplo 2

Verificar que o vetor v = (4, 5, 9) não pode ser escrito com combinação linear (C.L.) dos vetores v₁ e v₂, do exemplo 1. -3 = 3 + 3a2∴ 3a₂ = -3 -3 a₂ =-2 Conferindo: 10 = 2. 3 - 2 (-2) V = 3 v₁ - 2v₂

3.1

3.1 3.1 - Subespaços Gerados

Seja V um espaço vetorial. Seja A = { v₁, v₂, ..., v_n } um subconjunto não vazio contido em V, isto é: A ⊂ V. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de V que são subespaço vetorial de V!

S = {v ∈ V / a1v₁ + ...+ a_n v_n ; a₁ ... a_n∈ R}

PROVA! Vamos considerar dois vetores de S:

u = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_n v_n e

V = b₁v₁ + b₂v₂ + ...+ b_n v_n

Para que S seja um subespaço vetorial de V, devemos ter: u + v ∈∈∈∈∈ S e ααααα u ∈∈ S com α∈∈∈ αααα ∈∈∈∈∈ R. u + v = (a₁ +b₁) v₁ + (a₂ +b₂) v₂ + ...+ ( a_n + b_n ) v_n

α u = (α a1 ) v₁ + (α a2 ) v₂ + ...+ (α an ) v_n

Podemos observar que u + v é 1 C. L. de v₁, ..., v_n e, portanto, ∈ S. Da mesma forma, α u é 1 C.L. de v₁, ..., v_n e também ∈ S.

Logo, concluímos que o conjunto S de todos os vetores de V que o v C.L. dos vetores v₁, ..., v_n é um subespaço vetorial de V.

Podemos escrever que o subespaço S é:

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23

Este subespaço S é gerado pelos vetores v₁, ..., v_n ou gerado pelo conjunto A = { v₁, v₂, ..., v_n } e pode ser

representado por:

S = [v₁, v₂, ..., v_n]ou S = G (A)

Observações:

a) A ⊂ G (A) ou { v1, v₂, ..., v_n } ⊂ [v1, v₂, ..., v_n] e [v₁, v₂, ..., v_n] é o menor subespaço de V que contém o conjunto de vetores { v₁, v₂, ..., v_n}.

b) Todo o conjunto A ⊂ V gera um subespaço vetorial de V. Se G (A) = V, A é chamado conjunto gerador de V. Exemplo 3

V = R³; V ∈ v V ≠ 0

O subespaço gerado por A = {v} é o conjunto de todos os vetores de V que o v combinações lineares dos vetores de A, no caso, um só vetor. Assim:

S = [ v ] = { av / a ∈ R}, ou seja, é a reta que contém o vetor v.

Exemplo 4

V = R³; v₁, v₂ ∈ R³ são tais que v1, ≠α v2, isto é, não tem componentes proporcionais, ou seja, não são colineares, para todo α ∈ R.

Então, S = [v₁, v₂] = { a₁v₁ + a₂v₂ / a₁ , a₂∈ R } será o plano que passa pelo origem e contém v1 e v₂. v₁, v₂, ..., v_n= geradores

A = Conjunto gerador

Observe que, se v₃∈ [v1, v₂] então [v₁, v₂, v₃] =[v₁, v₂] isto é, o subespaço gerado por é o mesmo que o gerado por.

Generalizando,

Dados n vetores v₁ ,…, v_n de 1 espaço vetorial V, se w ∈ V é tal que w = a₁v₁ +...+ a_n v_n então, [v₁ ,…v_n, w] = [v₁ ,…v_n], pois todo vetor que é C. L. de v₁, v₂…v_n, w é também C.L. de v₁ ,…, v_n.

Vamos supor que v ∈ [v₁ , v₂…v_n, w], então, existem números b₁ , b₂…b_n, b tais que: V = (b₁ + a₁b)v₁ + (b₂ + a₂b)v₂ + …+ (b_n + a_nb) v_n, que é uma combinação linear de v₁ , v₂…v_n.

Assim, se S é um subespaço gerado por um conjunto A, ao acrescentarmos vetores do próprio S a esse conjunto A, os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço vetorial S.

Logo, vemos que S pode ser gerado por uma infinidade de vetores, porém existe um número mínimo de vetores para gera-lo.

(24)

24

Exemplo 5V = R² : v₁ = (1,0) e v₂ = (0, 1)

S = [v₁ , v₂] = { a₁v₁ + a₂ v₂ / a₁, a₂∈ R} = V = R².

O subespaço gerado por v₁ e v₂ é o próprio R², pois dado qualquer vetor v = (x, y) ∈ V, temos: v = (x, y) x = (1, 0 ) + y (0, 1) ou v = xv₁ + yv₂ ou v = a₁v₁ + a₂ v₂ = (x, y) a₁(1, 0 ) + a₂ (0, 1) = (x, y) (a₁ + 0, 0 + a₂) = (x, y) ⇒ a1 = x e a₂ = y Exemplo 6

V = R³, v₁ = ( 1, 0, 0) e v₂ = (0, 1, 0) geram o subespaço S = {(x, y, 0) ∈ R³ / x , y ∈ R}, pois (x, y, 0) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0).

Já vimos que [v₁, v₂] = S é um subespaço próprio de R³ e representa geometricamente o plano xy.

Exemplo 7

V = R³ v₁ = ( 1, 0, 0) e v₂ = (0, 1, 0), v₃ = (0, 0, 1),

[v₁, v₂, v₃,] = S = R³ geram o espaço vetorial V = R³, pois qualquer vetor v = (x, y, z) ∈ R³ é uma combinação linear deles: (x, y, z) = x ( 1, 0, 0) e +y (0, 1, 0) +z (0, 0, 1) Exemplo 8 V = M (2,2); v₁ = e v₂ = [v₁, v₂] = a₁ + a₂ / a₁, a₂∈ R = = + / a₁, a₂∈ R = = / a₁, a₂∈ R =

(25)

25

UNIDADE IV

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Em Álgebra Linear é fundamental sabermos se um vetor é uma combinação Linear (C.L.) de outros. No exemplo 4, da unidade anterior, vimos que os vetores v₁, v₂ geravam o mesmo subespaço vetorial que os vetores v₁, v₂ e v₃, isto porque v₃ era C.L. de v₁ e v₂ (podemos dizer que v₃ era um vetor que estava "sobrando" no conjunto gerador daquele subespaço). Quem nos leva a identificar isto é a definição de dependência linear.

Definição

Seja V um espaço vetorial e A = {v₁ , v₂…v_n} ⊂ V. O conjunto v1 , v₂…v_n é linearmente independente (L.I) ou os vetores v₁, v₂…v_n são linearmente dependente (L.D) se a equação a₁v₁ + a₂v₂ +...+ a_n v_n = 0 (1) foi satisfeita apenas quando a₁ = a₂ = ...= a_n = 0, isto é, quando equação (1) admitir apenas a solução trivial.

Se existir algum a_i≠ 0, dize-se que {v1, v₂…v_n} é linearmente dependente (L.D.) ou que os vetores v₁, v₂, …, v_n são linearmente dependentes (L.D.).

Teorema

Um conjunto A = { v₁ , v₂…v_n} é L.D. se e só se um desses vetores for combinação linear dos outros.

Demonstração

Se A é L.D., então, pelo menos um dos coeficientes da equação (1) é ≠ 0, isto é: a₁v₁ +...+ a_iv_i +… + a_n v_n = 0 tem, por exemplo, a_i≠ 0 ⇒ a_iv_i = a₁v₁ … a_n v_n

v_i =

e v_i é uma combinação linear de v₁ ,…v_n. Por outro lado, se v_i é uma combinação linear dos outros vetores, v_i = b₁v₁ +… + b_n v_n ou b₁v₁ +… + b_n v_n + (-1) v_i = 0 se verifica para coeficiente não todos nulos logo, o conjunto A é L.D.

Podemos enunciar este teorema, assim:

Um conjunto A = { v₁ , v₂…v_n} é L. I. se e só se nenhum desses vetores for combinação linear dos outros.

Exemplo 1

V = R³ v₁ , v₂∈ v

[v₁ , v₂ ] é L.D. se e só se um vetor múltiplo do outro, ou seja, se tiverem componentes proporcionais, ou ainda, se estiverem na mesma reta que passa pela origem.

(26)

26

4.1

4.1 4.1 - Propriedades da Dependência e Independência

_Linear

Seja V um espaço vetorial,

i) Se A = { v } ⊂ V e v ≠≠≠≠≠ 0 então A é L.I.

Prova. Se v ≠ 0, então, av = 0 se verificamos com a = 0. Observação: o conjunto vazio ∅ é L.I por definição.

ii) Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo então A é L.D. Prova. A = { v, ..., 0, ..., vn}

a₁v₁ +... + a_n v_n = 0 se verifica com a ≠ 0 pois 0v₁ +...+ a0 +… + 0 v_n = 0

iii) Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é L.D. então A também é L.D. verifique. iv) Se um conjunto A ⊂ V é L.I., qualquer parte de A também é L.I.

Observação: se todos os subconjuntos próprios de um conjunto finito são L.I, isto não significa que A seja L.I.

Para verificar, considere três vetores: (1, 0), (0, 1), (2, 3) e os subconjunto próprios de A.

v) Se A = { v₁ , …, v_n} ⊂ V é L. I e B = { v1 , …, v_n, w} ⊂ V é L.D. então w é combinação linear (C.L.).

Prova. Como B é L.D., existem escalares, não todos nulos, tais que a₁v₁ +... + a_n v_n + bw = 0,

Se pensarmos em b = 0, ∃ algum a1, ... , a_n nulo na igualdade a₁v₁ +... + a_n v_n= 0, o que contradiz a hipótese (A é L.I.). Portanto, b ≠ 0 e

bw = a₁v₁ +... + a_n v_n= 0

w = w é C.L. de v₁, ...v_n .

Exercícios de Fixação

1. Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado, proceda assim:

• Escreva três elementos de W;

• Reescreva W, apresentando o vetor genérico do item a até o item d; • Verifique se W é subespaço vetorial de V.

a) W = { (x, y) ∈ R2_{, y = - 2x }, V = R}2_;

b) W = { (x, y) ∈ R2_{; y = - 2x + 1 }, V = R}2_;

c) W = { (x, y, z, t) ∈ R4_{; x = y e z = 2t }, V = R}4_;

d) W = { (x, y, z) ∈ R3_{; x - 2y - 4z = 6 }, V= R}3_;

e) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem nxn, para n = 2, 3, 4, ...; V = M_nxn;

f) W = { (x, y) ∈ R2_{; y = 0 }, V = R}2_;

g) W = , V = M_2x2;

h) W = { (a, a, ..., a) ∈ Rn_{; a}∈ R }, V = Rn_;

i) W = { (a, 2a, 3a); a ∈ R }, V = R3_;

2. Seja G o conjunto de todas as funções f tais que f (0) = 1 no espaço vetorial F de todas as funções de R em

R, ou seja, F = { f : R / R } e G = { f / F; f (0) = 1 }. G é subespaço vetorial de F?

3. Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial: a) V = R2_; _W

1 = { (x, y); y = 0 }; W₂ = { (x, y); y < 0 }; W₃ = { (x, y); y = 2 };

(27)

27

b) V = R3_; _W 1 = o plano xOy; W₂ = { (x, y, z); x = y = z }; W₃ = { (x, y, z); x = y }; c) V = R2_{; W = { (x, y); x}2_{+ y}2_{= 1};} d) V = M_nn; W₁ = { D = M_nn; D é diagonal }; W₂ = { T ∈ M_nn; T é triangular superior }; W₃ = { S ∈ M_nn; S é simétrica }. 4. Seja V = M₂₂ e H₁ = { A ∈ M22; a₁₁ = 0 } e H₂ = .

a) Mostre que H₁ e H₂ são subespaços de H.

b) Descreva o subconjunto H₁/H₂ e mostre que ele é um subespaço.

Observação:

Teorema: sejam H₁ e H₂ dois subespaços de um espaço vetorial H. Então, H₁∩ H₂ é um subespaço de H.

Demonstração

(a) H₁∩ H₂≠ ∅ pois 0 ∈ H₁ e 0 ∈ H₂, portanto 0 ∈ H₁∩ H₂. (b) Sejam x₁∈ H₁∩ H₂ e x₂∈ H₁∩ H₂ e α ∈ R

x₁∈ H₁ e x₂∈ H₁, portanto x₁ + x₂∈ H₁ x₁∈ H₂ e x₂∈ H2, portanto x₁ + x₂∈ H₂ α x1∈ H1 e α x2∈ H2∴ α x1∈ H1 ∩ H2.

De (a) e (b) temos que H1 ∩ H2 é subespaço de H.

Se H₁ e H₂ são subespaços de um espaço vetorial H, não necessariamente H₁∪ H₂ é um subespaço.

Por exemplo:

H₁ = { (x, y) ∈ R2_{; y = x } é subespaço de H = R}2

H₂ = { (x, y) ∈ R2_{; y = 2x } é subespaço de H = R}2_{, mas H}1 ∪ H2_{não é subespaço de H.}

Veja que (2, 2) ∈ H1 e (2, 4) ∈ H2, mas (2, 2) + (2, 4) = (4, 6) ∉ H1 e (4, 6) ∉ H2, de modo que (4, 6) ∈ H1 ∈ H2.

5. Seja H = { (x, y, z); 2x + 3y - z = 0} e K = { (x, y, z); x - 2y + 5z = 0 }. a) Mostre que H e K são subespaços do R3_;

b) Mostre que H ∈ K não é subespaço do R3_;

c) Descreva o subespaço H ∈ K.

6. Verifique se os subconjuntos W₁, W₂ e W₃ são subespaços vetoriais de V onde: V = M₂₂ e

W₁ = ;

W₂ = ;

W₃ = { A ∈ M22; A é triangular }.

(28)

28 Exercícios Propostos

1) Seja V = M_2x1 (matrizes de ordem 2 x 1) e seja S = , mostre que S é um subespaço vetorial de V.

2) Seja V = R² e seja {(x₁, x₂) ∈ R² / x₂ = 2 x₁}, mostre que S é um subespaço vetorial de V.

3) Seja V = M_2x2

Seja S = . Mostre que S é um subespaço vetorial de V.

4) Seja V = R² e S = {(x, y) ∈ R² / y = -x}. Verifique se S é um subespaço de R². 5) Seja V = R² e S = {(x, y) ∈ R² / x = 3y}. Verifique se S é um subespaço de R². 6) Seja V = R² e S = {(x, y) ∈ R² / x = 3y +1} Verifique se S é um subespaço de R². 7) Seja V = R³ e S = {(x, y, z ) ∈ R³ / z = x + y} Verifique se S é um subespaço de R³. 8) Seja V = M_2x2 e seja S = . Verifique se S é um subespaço de V.

9) Seja V = M_2x2 e seja S = , verifique se S é um subespaço de V.

10) Determine o subespaço S gerado pelo conjunto A = {(1, -2), (-2, 4)}. O que representa geometricamente

esse subespaço?

11) Seja A={v₁, v₂} sendo v₁= (-1,3, -1) e v₂= (1, -2, 4). Determinar o subespaço G(A).

12) Seja V = R² e A = {(2,1), (1,1)}. Determine o subespaço s= G(A) e o que representa, geometricamente, este

(29)

29

Se você:

1) concluiu o estudo deste guia;

2) participou dos encontros;

3) fez contato com seu tutor;

4) realizou as atividades previstas;

Então, você está preparado para as

avaliações.

(30)

30 Glossário

Combinação Linear - um vetor b é chamado de uma combinação linear dos vetores v₁, v₂, ... , v_n se b pode ser expresso na forma:

b = α 1v₁ + α 2v₂ + ... + α nv_n, onde os α i's são escalares.

Espaço Vetorial - as soluções dos sistemas são vetores com n componentes que podem ser representados no

n-espaço euclidiano, representado por ℜn_.

(31)

31 Gabarito

1. Exemplos: escolha qualquer vetor que satisfaça a condição dada.

Verificação (vetor genérico):

a) W = {(x, - 2x); x ∈ R}

Sejam u = (x₁, - 2x₁) ∈ W, v = (x₂, - 2x₂) ∈ W e α∈R: i) u + v = (x₁ + x₂, - 2x₁ - 2x₂) = (x₁ + x₂, - 2 (x₁ + x₂)) ∈ W

ii) αu = α(x₁, - 2x₂) = (αx₁, - 2αx₂) ∈ W∴W é um subespaço vetorial de R2_.

b) W = {(x, - 2x + 1); x ∈ R}

Como (0, 0) ∉ W, podemos concluir que o subconjunto W não é subespaço vetorial.

c) W = {(y, y, 2t, t) ; y, t ∈ R}

Sejam u = (y₁, y₁, 2t₁, t₁) ∈ W, v = (y2, y₂, 2t₂, t₂) ∈ W e α∈R: i) u + v = (y₁ + y₂, y₁ + y₂, 2(t₁ + t₂), t₁ + t₂) ∈ W.

ii) αu = (αy1, αy2, 2αt1, αt1) ∈ W∴W é subespaço vetorial de R4_.

d) W = {(6 + 2y + 4z, y, z); y, z ∈ R}.

Tomando y = 0 e z = 0, temos (6, 0, 0). Como (0, 0, 0) ∉ W, W não é subespaço vetorial do R3_.

e) W não é subespaço vetorial pois, considerando todas as matrizes identidade (qualquer ordem), não temos

a soma definida quando, por exemplo, I ₂ + I ₄.

f) Contra-exemplo: Sejam u = (2, - 1) ∈ W, α = - 1.

α u = (- 1) (2, - 1) = (- 2, 1) ∉ W pois y = 1 > 0. Logo W não é subespaço vetorial de R2_.

g) Sejam ∈W, ∈W e α∈R.

i) ∈W.

ii) ∈W∴W é um subespaço vetorial de M22.

h) Sejam u = (a, a, ..., a) ∈ W, v = (b, b, ..., b) ∈ W e α∈R.

i) u + v = (a + b, a + b, ..., a + b) ∈ W.

ii) αu = (αa, αa, ..., αa)∈W∴W é subespaço vetorial de Rn_.

i) Sejam u = (a, 2a, 3a)∈W, v = (b, 2b, 3b)∈W e α∈R.

i) u + v = (a + b, 2(a + b), 3(a + b)) ∈ W.

(32)

32

b) W₁, W₂ e W₃ são subespaços vetoriais de R3_. W₁ = {(x, y, 0); x, y ∈R}

W₂ = {(x, x, x); x ∈R} facilmente mostramos que, se u, v ∈W e α∈R então, u + v ∈ W e αu ∈ W. W₃ = {(x, x, z); x, z ∈ R}

c) Sejam u = (1, 0) ∈ W e v = (0, 1) ∈ W.

u + v = (1, 1) ∉W pois 12_{+ 1}2_{> 1.} Logo, W não é subespaço vetorial de R2_.

d) Tomando n = 2:

W₁ = . Sejam u = ∈W1, v = ∈W1 e α∈R.

i) u + v = ∈W₁

ii) α u = ∈W1∴W1 é subespaço vetorial de M₂₂.

W₂ = . Sejam u = ∈W2, v = ∈W2 e α∈R.

i) u + v = ∈W2

ii) αu = ∈W₂∴W₂ é subespaço vetorial de M₂₂.

W₃ = . Sejam u = ∈W3 e v = ∈W3 e α∈R.

i) u + v = ∈W3

ii) αu = ∈W3∴W3 é subespaço vetorial de M₂₂.

2. Sejam u = f(x)∈G∴f(0) = 1, v = g(x)∈G∴g(0) = 1 e α∈R.

i) u + v = (f + g)(x) tal que (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 1 + 1 ≠ 1∴u + v ∉G e G não é subespaço vetorial de F.

3.

(33)

33

4.

a) H₁ = . Sejam u = ∈ H1, v = ∈H1 e α∈R.

i) u + v = ∈H1

ii) α u = ∈H1∴ H1 é subespaço vetorial de M₂₂.

H₂ = . Sejam u = ∈H2, v = ∈H2 e α∈R.

i) u + v = ∈H₂.

ii) αu = ∈H₂∴H₂ é subespaço vetorial de M₂₂.

b) Poderíamos reescrever H₁ e H₂ da seguinte maneira: H₁ = {A ∈ M₂₂; a₁₁ = 0} e H₂ = {A ∈ M₂₂; a₁₁ = - a₂₂ e a₂₁ = a₁₂}.

Assim, H₁∩ H2 = {A ∈ M22; a₁₁ = a₂₂ = 0 e a₂₁ = a₁₂} ou H₁∩ H2 = que é subespaço vetorial de M₂₂.

5.

a) H = {(x, y, 2x + 3y); x, y ∈ R}. Sejam u = (x₁, y₁, 2x₁ + 3y₁) ∈ H, v = (x₂, y₂, 2x₂ + 3y₂) ∈ H e α ∈ R. i) u + v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, 2(x₁ + x₂) + 3(y₁ + y₂)) ∈ H

ii) αu = (α x₁, α y₁, 2α x₁ + 3α y₁) ∈ H,∴H é subespaço vetorial de R3_.

K = {(2y - 5z, y, z); y, z ∈ R}. Sejam u = (2y₁ - 5z₁, y₁, z₁) ∈ K, v = (2y₂ - 5z₂, y₂, z₂) ∈ K e α ∈ R. i) u + v = (2(y₁ + y₂) - 5(z₁ + z₂), y₁ + y₂, z₁ + z₂) ∈ K.

ii) αu = (2α y₁ - 5α z₁, α y₁, α z₁) ∈ K,∴K é subespaço vetorial de R3_.

b) H ∪ K = {(x, y, z); 2x + 3y - z = 0 ou x - 2y + 5z = 0}

CE: (1, 1, 5) ∈ H ∪ K e (- 3, 1, 1) ∈ H ∪ K

(1, 1, 5) + (- 3, 1, 1) = (- 2, 2, 6) ∉ H ∪ K, pois 2(- 2) + 3(2) - 6 = - 4 e (- 2) - 2(2) + 5(6) = 24∴H ∪ K não é subespaço vetorial de R3_.

c) H ∩ K = {(x, y z); 2x + 3y - z = 0 e x - 2y + 5z = 0}. Como temos duas condições simultâneas, resolvendo o

sistema obtemos o vetor genérico do conjunto H ∩ K. Assim,

(34)

34

6.

W₁ não é subespaço vetorial pois ∉ W₁.

W₂ é subespaço vetorial conforme item (g) do exercício proposto 8. W₃ não é subespaço vetorial.

CE: é uma matriz triangular (superior).

é uma matriz triangular (inferior).

∉ W3 pois não é uma matriz triangular.

Exercícios Propostos

Gabarito com a professora.

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35 Referências Bibliográficas

BOLDRINI, José Luis. Álgebra Linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.

KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1998. STEINBRUCH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

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