Tarefas Exploratório-Investigativas em Sala de Aula: fomentando a
produção de conhecimentos geométricos
Gilberto Vieira1
GD2 – Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental
No que se refere à Educação Matemática, a Geometria Escolar consolidou-se como um tema de grande interesse por parte de pesquisadores e educadores matemáticos. O desejo de encontrar uma estratégia de ensino que favorecesse a produção de conhecimentos geométricos impulsionou a realização deste trabalho que tem por objetivo apresentar e discutir as potencialidades das tarefas exploratório-investigativas no ensino e na aprendizagem de Geometria. Considerando que essas tarefas partem de enunciados abertos e permitem ao aluno seguir por diferentes direções, foi elaborada uma sequência de atividades abordando alguns conteúdos geométricos para ser trabalhada com alunos de sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do interior do estado de São Paulo. O pesquisador, que também é professor de Matemática da classe, procurou estabelecer, durante a realização das tarefas, um ambiente que favorecesse o trabalho colaborativo, a troca de ideias e a argumentação. Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa na qual estão sendo analisadas as resoluções escritas das tarefas propostas e os diálogos entre os alunos durante o desenvolvimento das atividades. A análise dos dados será orientada por procedimentos da Análise Textual Discursiva. Uma análise inicial aponta como uma das principais contribuições das tarefas exploratórioinvestigativas o ambiente que se criou em sala de aula, marcado pela partilha de ideias, pela oportunidade de discussão e socialização de estratégias e pela consequente produção de conhecimentos geométricos.
Palavras-chave: Educação Matemática. Tarefas Exploratório-Investigativas. Ensino de Geometria.
1 Universidade Cruzeiro do Sul, e-mail: gilbertoeducador@yahoo.com.br, orientador: Profª
Introdução
O presente trabalho faz parte de uma pesquisa de doutorado em andamento, realizada junto ao Programa de Pós-graduação stricto sensu (Ensino de Ciências e Matemática) da Universidade Cruzeiro do Sul – UNICSUL, São Paulo/SP.
Procuramos, nesta pesquisa, compreender de que maneira as tarefas exploratórioinvestigativas podem contribuir para o desenvolvimento do raciocínio geométrico. Incomodados com as dificuldades reveladas pelos alunos ao se depararem com a geometria escolar, impulsionados pelo desejo de encontrar uma estratégia de ensino que favorecesse a produção de conhecimentos geométricos e conscientes de que, apesar da existência de uma grande diversidade de propostas para o ensino de Geometria que levam em consideração as diferentes formas de se aprender Matemática, ainda persiste um ensino focado na aprendizagem por repetição de modelos e memorização de fórmulas, buscamos, neste trabalho, apresentar e discutir as potencialidades das tarefas exploratório-investigativas no ensino e na aprendizagem de Geometria.
Com esse intuito, realizamos uma pesquisa de campo que consistiu na elaboração e aplicação de uma sequência de tarefas exploratório-investigativas versando sobre alguns conteúdos geométricos em uma turma de sexto ano de Ensino Fundamental. Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa na qual os procedimentos de coleta e análise de dados explicitaremos mais adiante.
Na seção que se segue apresentamos, fundamentados em pesquisas que discutem o ensino de Geometria, o nosso entendimento sobre o que é o conhecimento geométrico.
O conhecimento geométrico
Como área de conhecimento, a Geometria se dedica ao estudo do espaço, de formas e de medidas. Historicamente, o estudo e o desenvolvimento da Geometria foi motivado por questões de ordem prática, como os problemas envolvendo medidas de terrenos, por exemplo.
Embora não possamos ter certeza de sua origem, parece seguro assumir que a geometria científica brotou de necessidades práticas, surgidas vários milênios antes de nossa era, em certas áreas do Oriente antigo, como uma ciência para assistir atividades ligadas à agricultura e à engenharia (EVES, 1992, p. 3).
Para resolver os problemas de ordem prática que se apresentavam era necessário dispor de um tipo de conhecimento específico: o conhecimento geométrico. Esse conhecimento, no decorrer do tempo, foi sendo produzido, elaborado e reelaborado pelo homem. Cabe aqui explicitar o nosso entendimento sobre o que é o conhecimento geométrico. Em consonância com o que é posto por Clements e Battista (1992), ao nos referirmos ao conhecimento geométrico pretendemos extrapolar o sentido de geometria escolar centrada nos conteúdos, que engloba o estudo dos objetos espaciais, suas relações e transformações e os sistemas axiomáticos construídos para representá-los. O conhecimento geométrico também abrange um conjunto de processos cognitivos inerentes ao raciocínio espacial, tais como representações mentais de objetos espaciais, suas relações e transformações, visualização, representação e construção de figuras geométricas, e o estudo de aspectos espaciais do mundo físico. Segundo os autores, a produção do conhecimento geométrico contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da intuição espacial, provê o conhecimento necessário para o estudo de tópicos mais avançados da própria Matemática e oferece subsídios para um incremento na leitura e interpretação de argumentos matemáticos, desempenhando um papel integrador entre as diversas áreas da Matemática.
Van de Walle (2009), ao discutir o ensino de Geometria, também chama a atenção para dois referenciais bem diferentes: o senso espacial (também chamado de raciocínio espacial) e os conteúdos específicos. “O senso espacial pode ser definido como uma intuição, ou uma sensibilidade, sobre formas e as relações entre formas” (VAN DE WALLE, 2009, p. 439). Está relacionado ao modo como os indivíduos pensam e raciocinam sobre formas e espaços. Trata-se de uma modalidade de raciocínio que envolve a habilidade de visualização mental de objetos e relações espaciais, como girar e virar as coisas mentalmente. Já o conteúdo específico refere-se ao conteúdo em seu sentido mais tradicional: saber sobre simetria, sólidos geométricos, figuras planas, e assim por diante. Dessa forma, podemos deduzir que o conhecimento geométrico abrange os dois referenciais expostos pelo autor: senso espacial e conteúdos específicos.
Considerando que o ensino de Geometria na Escola Básica tem como objetivo o desenvolvimento do pensamento geométrico do aluno e que o conhecimento geométrico envolve, de um lado, os conteúdos geométricos específicos, e de outro, o senso espacial, torna-se necessária uma proposta de ensino que valorize esses dois aspectos. Nesse contexto,
discutiremos, na próxima seção, as potencialidades das tarefas exploratórioinvestigativas no processo de produção de conhecimento geométrico.
Tarefas exploratório-investigativas
A Geometria, desde os primeiros anos de escolaridade, é apontada por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) como particularmente propícia a um ensino baseado na exploração de situações de natureza exploratória e investigativa.
As palavras exploração e investigação podem assumir diferentes significados de acordo com o contexto considerado por quem as emprega. Neste trabalho, adotamos essas palavras para designar uma modalidade de tarefa característica no ensino de Matemática. Ponte (2003) estabelece quatro dimensões básicas que ajudam a classificar o tipo de tarefa matemática em questão: o grau de dificuldade da tarefa, a sua estrutura, o seu contexto referencial e o tempo necessário para sua resolução. Considerando apenas as duas primeiras dimensões, o grau de dificuldade da tarefa e a sua estrutura, pode-se classificar os exercícios como tarefas sem grande dificuldade e de estrutura fechada; os problemas como tarefas também muito bem definidas, mas com um maior grau de dificuldade; as tarefas de exploração como tarefas abertas, mas que não exigem um grande esforço cognitivo; e as investigações como tarefas de estrutura aberta e grau de dificuldade elevado. O autor ainda esclarece que as características de uma modalidade de tarefa não são absolutas, mas relativas à pessoa que a realiza. Desse modo, muitas vezes, não há distinção entre tarefas de investigação e de exploração, chamando-se de investigações a todas elas, devido à dificuldade de se estabelecer qual o grau de dificuldade que uma determinada tarefa apresentará a determinado grupo de alunos. Por isso, nesta pesquisa, optamos por utilizar a expressão tarefas exploratório-investigativas.
Diversos autores e investigadores da área da Educação Matemática (SCHOENFELD, 2011; SILVA et al., 1999; VAN DE WALLE, 2009) têm sublinhado a importância de se atribuir, na escola, um papel central ao objetivo de pensar matematicamente, sustentando que “um contributo decisivo pode vir da realização de atividades que envolvem os alunos em problemas abertos e em explorações e investigações matemáticas.” (SILVA et al., 1999, p. 71).
Segundo Grando, Nacarato e Gonçalves (2008), no contexto educacional brasileiro a Geometria vem assumindo um caráter mais exploratório e investigativo e valorizando novas
formas de produção de conhecimentos geométricos marcadas pela perspectiva de negociação e validação de resultados.
O interesse em adotar as tarefas exploratório-investigativas como recurso metodológico para o ensino de Geometria decorre, portanto, do potencial por elas apresentado em desenvolver o entusiasmo pela Geometria, favorecer a compreensão dos conteúdos geométricos estudados e promover o desenvolvimento das capacidades de argumentação e validação do raciocínio. (VIEIRA; ALLEVATO, 2012).
Características como valorização da iniciativa, da autonomia, da perseverança e da criatividade, inerentes às tarefas exploratório-investigativas, parecem criar um ambiente favorável para a produção do conhecimento geométrico. As tarefas exploratórioinvestigativas contribuem para a compreensão de fatos e relações geométricas e para o desenvolvimento e apropriação de aspectos relevantes do pensamento geométrico como a formulação e o teste de conjecturas, a procura por generalizações, o desenvolvimento da visualização e o uso de diferentes formas de representação, ultrapassando a simples memorização e utilização de técnicas para resolver exercícios.
Veloso (1999) refere-se a uma abordagem do ensino de Geometria que respeite os dois pilares em que se assenta a aprendizagem da Matemática: a experiência matemática e a reflexão sobre essa experiência com a valorização de atividades de exploração e de investigação em sala de aula. Segundo o autor, a utilização de tarefas exploratórioinvestigativas permite uma abordagem equilibrada entre intuição e dedução, componentes que devem fazer parte das atividades dos alunos em todos os níveis de ensino. Levando em consideração esses apontamentos a respeito da natureza do conhecimento geométrico e sua relação com as tarefas exploratório-investigativas, elaboramos uma sequência de atividades relacionadas à Geometria para ser trabalhada em sala de aula com alunos do Ensino Fundamental. Apresentamos, a seguir, o contexto de realização dessa pesquisa, com a breve descrição dos sujeitos e dos procedimentos metodológicos que têm orientado a construção, descrição e interpretação dos dados coletados no desenvolvimento dessas atividades.
Contexto e aspectos metodológicos
Considerando o que já foi discutido a respeito do ensino de Geometria e das tarefas exploratório-investigativas, elaboramos uma sequência de atividades abordando alguns conteúdos de Geometria previstos no currículo prescrito (SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, 2012), como os Sólidos Geométricos e as Grandezas Geométricas (especialmente perímetro e área) para ser trabalhada com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental. A sequência de tarefas foi realizada junto a uma turma de 35 alunos com idades entre 11 e 12 anos de uma escola pública da cidade de São José dos Campos, interior do estado de São Paulo, durante o 3º bimestre do ano letivo de 2013. Nesse trabalho, o pesquisador, que também era professor de Matemática da classe, procurou estabelecer um ambiente que favorecesse o trabalho colaborativo, a troca de ideias e a argumentação em um movimento propício à produção de conhecimentos geométricos.
Procuramos analisar a produção do conhecimento geométrico pelos alunos manifesta em seus diálogos e registros e observada pelo professor. Os diálogos foram observados em dois momentos: (1) durante o desenvolvimento das tarefas, momento em que os alunos, divididos em grupos, discutiam o encaminhamento das atividades propostas; e (2) durante a socialização dos resultados, momento em que cada grupo apresentava para o restante da classe suas explicações e conclusões. Os diálogos foram gravados em áudio e, posteriormente, transcritos. Os registros correspondem às resoluções escritas que foram registradas nas folhas que continham as propostas das tarefas, e na lousa, no momento de socialização dos resultados. Consideramos ainda, como dados da pesquisa, as anotações do pesquisador realizadas em diário de campo contendo as descrições e as impressões sobre o desenvolvimento das tarefas, na tentativa de captar alguma informação relevante que tenha “escapado” às transcrições das falas dos sujeitos e aos registros escritos das atividades. Tais impressões foram desencadeadas a partir da Observação Direta (MASCARENHAS,
2011; VIANNA, 2003) das ocorrências durante a realização das atividades. Para Vianna (2003, p. 12) “a observação é uma das mais importantes fontes de informações em pesquisas qualitativas em educação”. O autor salienta que anotações cuidadosas e bem detalhadas vão constituir os dados brutos das observações.
No presente momento de nossa pesquisa, a coleta de dados já foi realizada e estamos iniciando os procedimentos de análise. Acreditamos que a organização e a análise cuidadosa dos diálogos dos alunos, de suas produções escritas e das anotações do diário de campo
possibilitarão a construção de uma interpretação sobre como as tarefas exploratórioinvestigativas podem contribuir para a aprendizagem de conteúdos geométricos. A análise dos dados será orientada por procedimentos da Análise Textual Discursiva (MORAES, 2003; MORAES, GALIAZZI, 2011).
Encontramo-nos na etapa descrita por Moraes (2003) como desmontagem dos textos, que é o processo de unitarização, no qual o pesquisador examina os dados brutos em seus detalhes, fragmentando-os no sentido de atingir unidades constituintes que, em uma etapa posterior, possibilitarão novas compreensões em relação ao fenômeno investigado.
Apresentamos, agora, uma das tarefas propostas e seus desdobramentos em sala de aula. A pintura dos cubinhos
Uma das tarefas propostas foi a realização de uma atividade que consistia na resolução de uma série de situações-problema sobre o tema Sólidos Geométricos, dentre os quais destacamos a apresentada na Figura 1:
Figura 1 – A pintura dos cubinhos
Fonte: Cunha, 2009 (adaptado) A essa atividade apresentamos os seguintes questionamentos:
a) E se tivéssemos três cubinhos acoplados, quantas faces teríamos para pintar? Faça o desenho para te ajudar a pensar.
b) E se tivéssemos quatro cubinhos acoplados, quantas faces teríamos para pintar?
c) E se tivéssemos cinco cubinhos acoplados, quantas faces teríamos para pintar? d) E se tivéssemos quinze cubinhos acoplados, quantas faces teríamos para
pintar? Explique o seu raciocínio.
As soluções deveriam ser apresentadas, bem como os caminhos percorridos para encontrálas, fosse por meio de um desenho, de um cálculo, ou mesmo com a explicação escrita do raciocínio utilizado. Após o desenvolvimento da tarefa, os alunos foram convidados a registrar suas soluções na lousa e a explicar aos colegas o raciocínio empregado na questão relativa aos quinze cubinhos acoplados. Foi interessante perceber a diversidade das respostas apresentadas e a maneira como cada dupla buscou validar o seu raciocínio. Mesmo em uma etapa inicial do processo de análise de dados, alguns aspectos relacionados à produção de conhecimentos geométricos dos alunos merecem destaque.
Um dos recursos utilizados pelos alunos foi a representação da situação por meio de desenhos (representação pictórica), como podemos observar na Figura 2:
Figura 2 – Representação pictórica
Fonte: próprio autor
Os alunos, além de apresentarem a resposta correta para a atividade proposta, procuraram explicitar o caminho pelo qual chegaram à solução da atividade. Ao afirmarem que contaram as faces que deveriam ser pintadas, diferenciando os cubinhos que estavam localizados nas extremidades (no primeiro e no último cubinhos havia cinco faces para serem pintadas; nos demais apenas quatro) e demonstrarem tal situação por meio de um desenho, os alunos revelaram um raciocínio fortemente apoiado em um recurso visual. O esboço da situação através de um desenho ajudou os alunos a organizarem o seu pensamento.
Outro recurso utilizado pelos alunos na resolução dessa atividade foi a organização dos dados em tabelas, como pode ser visto na Figura 3.
Figura 3 – Representação tabular
Fonte: próprio autor
Nesse caso, os alunos não sentiram a necessidade de esboçar um desenho. Apresentaram a justificativa para sua resposta por meio de uma tabela em que, na primeira coluna, colocaram a quantidade de faces pintadas e, na segunda, a quantidade de cubinhos acoplados. Os alunos perceberam a regularidade implícita na tarefa, mas, assim como a primeira dupla, efetuaram a contagem de cada cubinho (um por um), o que se confirma ao afirmarem que foram somando as quantidades de faces de cada cubo.
Houve, ainda, alunos que, se utilizando de um raciocínio mais elaborado, não sentiram a necessidade de representar a situação por meio de desenhos ou tabelas, como pode ser observado na Figura 4.
Fonte: próprio autor
O direcionamento oferecido pelo próprio enunciado da tarefa exploratório-investigativa permitiu aos alunos que percebessem a regularidade implícita na tarefa e generalizassem a forma de se calcular a quantidade de faces que deveriam ser pintadas no caso de uma maior quantidade de cubinhos acoplados.
Figura 4 – Em direção à generalização
Ao depararem-se com a diversidade de soluções apresentadas à tarefa, os alunos puderam compará-las e perceber algumas particularidades. O desenho e a tabela ajudaram a organizar o pensamento e foram bastante úteis no momento de socialização dos resultados, mas o poder de síntese da solução apresentada pelo terceiro grupo (apesar do erro ao escrever ) permitia a exploração de uma gama de situações muito maior, sem a inconveniência de se ter que desenhar figuras muito grandes ou construir tabelas demasiadamente longas.
Por se tratar de uma turma de sexto ano do Ensino Fundamental, não houve, nesse momento, a preocupação em abordar a representação das variáveis do problema por meio de letras, embora fosse possível. O objetivo principal era observar quais desdobramentos essa tarefa possibilitaria, no que diz respeito à produção de conhecimentos pelos alunos.
Algumas considerações
Branco (2014) afirma que tarefas de natureza exploratória e investigativa podem propiciar o desenvolvimento de múltiplas capacidades, em particular, a visualização espacial. O problema da pintura dos cubinhos e as soluções apresentadas pelos alunos ajudam a reforçar o potencial educativo dessas tarefas.
Durante a realização das tarefas, sempre que possível, era solicitado aos alunos que justificassem suas conclusões, oralmente, em um momento de socialização e discussão do trabalho realizado, ou por escrito, ao registrarem suas resoluções. As tarefas exploratórioinvestigativas, sendo abertas, possibilitaram o surgimento de diferentes resoluções e encaminhamentos para as atividades propostas. Confrontando suas resoluções, os alunos buscavam validar seu raciocínio, em uma tentativa de convencer o outro de que sua solução estava correta. Diante de diferentes olhares sobre o mesmo problema, os alunos percebiam que, em certos casos, sua forma de pensar era validada por resultados semelhantes encontrados por outros grupos e, em outros, falhas e contradições em sua resolução revelavam a fragilidade de seus argumentos. O exercício de ouvir o outro, ora na discussão dentro do próprio grupo, ora na discussão com os outros grupos da classe colocou os alunos em um movimento de produção de conhecimentos.
Uma análise inicial das tarefas realizadas pelos alunos aponta como uma das principais contribuições das tarefas exploratório-investigativas o ambiente que se cria em sala de aula.
É nesse ambiente marcado pela partilha de ideias, pela oportunidade de discussão e socialização de suas estratégias, que se dá a produção de conhecimentos geométricos. Vale ressaltar que a nossa compreensão não é definitiva e que ainda há um laborioso caminho a ser trilhado. Uma análise mais detalhada de todos os dados da pesquisa possibilitará a emergência de uma compreensão renovada do todo.
Referências
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