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Janelas de Figuras
Modo de Cálculo
A janela de Comando pode ser usada como uma calculadora Escrevem-se os comandos linha a linha
O resultado dos cálculos é atribuído a uma variável denominada ans Exemplo:
>> 55 – 16 ans =
39
Se uma variável contém um valor, esta pode ser usada nos
cálculos seguintes:
>> ans + 11 ans =
Variáveis
A variável ans pode ser útil para cálculos rápidos mas é
insuficiente para programação.
Podem-se definir variáveis com outros nomes apenas por
atribuição de valores.
Os valores são armazenados em locais de memória
correspondentes ao nome da variável.
Não é necessário pré-inicializar uma variável. Se esta não
existir, então é criada na atribuição de valores.
As variáveis podem ter valores individuais (escalares) ou
Escalares
Para atribuir um valor a uma variável, basta escrever o nome
da variável, o sinal de igual e o respectivo valor: >> a = 4
a = 4
O nome de uma variável começa sempre por uma letra e pode
conter letras, números e o underscore '_'.
O resultado dos cálculos não é mostrado se se terminar a
linha de comando com ponto e vírgula ';' >> a = 4;
Para mostrar um valor de uma variável, basta escrever o seu
nome: >> a a =
Escalares
Podem-se escrever múltiplos comandos na mesma linha
desde que sejam separados por vírgula ',' ou ponto e vírgula ';'
>> a = 4, A = 6; x = 1; a =
4
O MATLAB é sensível às maiúsculas e minúsculas. A e a
são duas variáveis diferentes: >> A
A = 6
Escalares
Pode-se usar a variável complexa i para representar números
imaginários:
>> x = 2+i*4 x =
2.0000 + 4.0000i
Existem algumas variáveis pré-definidas:
>> pi ans =
3.1416
Podem-se mostrar os resultados em diferentes formatos (o formato
não altera o valor armazenado na variável) :
>> format short; pi ans = 3.1416 >> format long; pi ans = 3.14159265358979
Vectores e Matrizes
As variáveis podem conter sequências de valores:
Vectores: se só tiverem uma dimensão Matrizes: se tiverem duas dimensões
Os vectores e as matrizes são criados com parênteses
rectos '[' e ']'
Os elementos de uma linha são separados por espaços ' '
ou vírgulas ','
Vectores e Matrizes
Vector linha: >> a = [1 2 3] (>> a = [1,2,3]) a = 1 2 3 Vector coluna: >> a = [1;2;3] a = 1 2 3 Matriz 34: >> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Vectores e Matrizes
A transposta de um vector ou de uma matriz pode ser obtida
com o comando apóstrofo ' >> a = [1;2;3]' a = 1 2 3 >> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]' A = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12
O comando who mostra os nomes das variáveis existentes O comando whos mostra adicionalmente as dimensões, o
espaço ocupado em memória e o tipo de dados das variáveis Todas as variáveis são matrizes!
Vectores e Matrizes
Se V é um vector então V(i) é o seu i-ésimo elemento:
>> a = [2 4 6 8 10]; x = a(4) x = 8 >> b = [1;3;5;7;9]; y = b(3) y = 5
Se M é uma matriz então M(i,j) é o seu elemento da linha i
e coluna j: >> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> x = A(2,3), y = A(3,2) x = 6 y = 8
Vectores e Matrizes
Funções MATLAB para criação de Vectores e Matrizes zeros: cria uma matriz/vector preenchida com zeros (0); ones: cria uma matriz/vector preenchida com uns (1);
rand: cria uma matriz/vector preenchida com números aleatórios; eye: cria uma matriz identidade;
diag: cria uma matriz diagonal;
linspace: cria um vector linha com elementos linearmente
espacejados;
logspace: cria um vector linha com elementos logaritmicamente
espacejados;
Para obter informação sobre matrizes elementares e
manipulação de matrizes usar o comando: >> help elmat
Vectores e Matrizes
Criação de uma matriz 23 só com zeros:
>> A = zeros(2,3) A =
0 0 0 0 0 0
Criação de um vector linha com 3 uns:
>> x = ones(1,3) x =
1 1 1
Criação de um vector coluna com 2 números aleatórios:
>> y = rand(2,1) y =
0.8147 0.9058
Vectores e Matrizes
Criação de uma matriz identidade de 33:
>> A = eye(3) A =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Criação de uma matriz diagonal de 33:
>> v = [1 3 9]; B = diag(v) B =
1 0 0 0 3 0 0 0 9
Vectores e Matrizes
Criação de um vector linha com 5 elementos linearmente
espacejados:
>> x = linspace(0,1,5) x =
0 0.2500 0.5000 0.7500 1
Criação de um vector linha com 4 elementos
logaritmicamente espacejados:
>> y = logspace(-1,2,4) y =
0.1000 1.0000 10.0000 100.0000
Se o número de elementos for omitido, o vector terá
100 e 50 elementos para linspace e logspace respectivamente.
Vectores e Matrizes
O operador dois pontos ':' pode ser usado na forma
'início:passo:limite' para criar um vector linha com
elementos linearmente espacejados: >> x = 1:0.6:3
x =
1 1.6000 2.2000 2.8000
Se o passo for omitido, o seu valor será 1:
>> y = 3:6 y =
3 4 5 6
Para criar séries decrescentes o passo tem que ser negativo:
>> z = 5:-1.2:2 z =
Vectores e Matrizes
Os dois pontos ':' podem ser usados como wildcard para designar toda uma coluna ou linha de uma matriz:
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> A(:,1) ans = 1 4 7 >> A(2,:) ans = 4 5 6
Os dois pontos ':' podem ser usados para obter subconjuntos de colunas ou linhas de uma matriz:
>> A(2:3,1) ans =
4 7
Vectores e Matrizes
A notação com dois pontos ':' permite obter resultados de
uma forma compacta:
>> A = ones(8,8); >> A(3:6,3:6) = zeros(4,4) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Strings
São sequências de caracteres alfanuméricos Inicializadas como um texto entre plicas:
>> f = 'Miles ' f = Miles >> s = 'Davis' s = Davis
Representadas como vectores:
>> x = [f s], y = x(4:8) x =
Miles Davis y =
Strings
Funções MATLAB para manipulação de Strings
char: converte inteiros para caracteres alfanuméricos; strfind: procura uma substring numa string;
length: devolve o número de caracteres de uma string; num2str: converte um número numa string;
str2num: converte uma string num número; strcmp: compara duas strings;
Strings
A função char pode ser usada para combinar strings:
>> f = 'Miles'; s = 'Davis'; char(f,s) ans =
Miles Davis
ou para obter os caracteres pelo código ASCII:
>> char(49) ans = 1 >> char([77 65 84 76 65 66]) ans = MATLAB
Strings
A função strfind devolve os índices iniciais de ocorrência de uma
string noutra string:
>> s = 'How much wood would a woodchuck chuck?'; >> strfind(s,'a') ans = 21 >> strfind(s,'wood') ans = 10 23 >> strfind(s,'Wood') ans = [] >> strfind(s,' ') ans = 4 9 14 20 22 32
Strings
A função length devolve o número de caracteres da string:
>> f = 'Miles '; s = 'Davis'; length([f s]) ans =
11
A função num2str converte um número numa string:
>> ['x = ' num2str(4.2+12.3) ';'] ans =
x = 16.5;
A função str2num converte uma string num número:
>> x = str2num('4.5')+4 x =
8.5000
A função strcmp verifica se duas strings são iguais:
>> p = 'palavra'; s = 'pal'; >> strcmp(p,s) ans = 0 >> strcmp(p(1:3),s) ans = 1
Operações Matemáticas
Podem ser aplicadas a escalares, vectores ou matrizes Os operadores comuns, por ordem de prioridade, são:
^ Exponenciação 4^2 = 16 - Negação (operação unária) -8 = -8 * / Multiplicação Divisão 2*pi = 6.2832 pi/4 = 0.7854 \ Divisão à esquerda 6\2 = 0.3333 + -Adição Subtracção 3+5 = 8 3-5 = -2
Operações Matemáticas
A ordem das operações é definida primeiro pelos
parênteses e depois pela ordem da tabela anterior:
y = -4^2
dáy = -16
uma vez que a exponenciação é mais prioritária que a negação
y = (-4)^2
dáy = 16
uma vez que a negação é efectuada primeiro devido aos parenteses
y = 1-3+2
dáy = 0
uma vez que, em caso de empate, as operações são efectuadas da esquerda para a direita
Operações Matemáticas
A adição e subtracção de vectores são
efectuadas elemento-a-elemento
>> u = [10 9 8];
(vector linha)
>> v = [1 2 3];
(vector linha)
>> u+v
ans =
11
11
11
>> u-v
ans =
9
7
5
Operações Matemáticas
Os produtos interno e externo de vectores
podem ser obtidos pelo operador de multiplicação
>> u = [10 9 8]; (vector linha) >> v = [1 2 3]; (vector linha)
>> u*v' (produto interno) ans =
52
>> u'*v (produto externo) ans =
10 20 30
9 18 27
Operações Matemáticas
Na multiplicação de matrizes, os elementos da
matriz [C] que resulta da multiplicação de [A] e
[B] são:
cij aikbk j k1 n
Operações Matemáticas
A multiplicação de matrizes pode ser obtida directamente pelo
operador de multiplicação >> A = [3 1; 8 6; 0 4]; (32) >> B = [5 9; 7 2]; (22) >> C = A*B (32) C = 22 29 82 84 28 8 >> C = B*A
??? Error using ==> mtimes
Inner matrix dimensions must agree.
A operação de divisão por uma matriz corresponde à multiplicação
pelo inverso da matriz (tem que ter inversa).
A operação de exponenciação para matrizes corresponde à repetição
Operações Matemáticas
As operações sobre vectores e matrizes são efectuadas
elemento-a-elemento se o respectivo operador for precedido de '.'
ambos os vectores (ou matrizes) têm que ter dimensões idênticas; ou um deles é uma matriz 11 (escalar)
Multiplicação e divisão de vectores elemento-a-elemento:
>> u = [1 2 3]; >> v = [4 5 6]; >> u.*v ans = 4 10 18 >> u./v ans = 0.2500 0.4000 0.5000
Operações Matemáticas
Multiplicação e divisão de matrizes elemento-a-elemento: >> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8]; >> B = [8 7 6 5; 4 3 2 1]; >> A.*B ans = 8 14 18 20 20 18 14 8 >> A./B ans = 0.1250 0.2857 0.5000 0.8000 1.2500 2.0000 3.5000 8.0000 Exponenciação de matrizes elemento-a-elemento:
>> A.^2 ans =
1 4 9 16 25 36 49 64
Funções Pré-definidas do MATLAB
Existem várias funções pré-definidas do MATLAB para a
criação e manipulação de dados.
A função help fornece informação sobre as funções
pré-definidas existentes e a sua possível utilização:
help elmat – lista as funções de criação e manipulação de
matrizes elementares, incluindo as funções para obter informação sobre as matrizes.
help elfun – lista as funções matemáticas elementares,
incluindo as funções trigonométricas, exponenciais, complexas, e de arredondamento.
O comando lookfor procura ficheiros de ajuda que
podem ser úteis quando se sabe o objectivo da função mas se desconhece o seu nome.
Funções Pré-definidas do MATLAB
A função help pode ser utilizada para obter informação sobre uma função em
particular:
>> help log
LOG Natural logarithm.
LOG(X) is the natural logarithm of the elements of X. Complex results are produced if X is not positive.
See also log1p, log2, log10, exp, logm, reallog.
Para vectores e matrizes, as funções pré-definidas são aplicadas
elemento-a-elemento:
>> A = [1 2 3; 4 5 6]; log(A) ans =
0 0.6931 1.0986 1.3863 1.6094 1.7918
Gráficos
Existem várias funções pré-definidas do MATLAB para a
criação de gráficos:
plot – gráficos de linhas e/ou pontos (2D) plot3 – gráficos de linhas e/ou pontos (3D) surf – gráficos de superfície (3D)
Adicionalmente pode-se acrescentar texto para
caracterizar o gráfico produzido:
title – define o título do gráfico
xlabel – define o texto do eixo dos X’s ylabel – define o texto do eixo dos Y’s
legend – define texto para distinguir as linhas de um gráfico
Gráficos
Exemplo do comando plot: >> t = [0:2:20]';
>> g = 9.81; m = 68.1; cd = 0.25;
>> v = sqrt(g*m/cd) * tanh(sqrt(g*cd/m)*t); >> plot(t, v)
Gráficos
Exemplo de caracterização de um gráfico:
>> title('Plot of v versus t') >> xlabel('Values of t')
>> ylabel('Values of v') >> grid
Gráficos
Comandos para produzir múltiplas linhas/pontos no mesmo
gráfico:
hold on – mantém o gráfico desenhado e sempre que é feito um
novo plot acrescenta as próximas linhas/pontos ao gráfico corrente;
hold off – quando for feito um novo plot apaga o gráfico
corrente e cria um novo gráfico
Comando para produzir múltiplos gráficos na mesma janela: subplot(m, n, p) – divide a janela numa matriz mn e fica
com a célula p activa para a criação do próximo gráfico. A
numeração começa no canto superior esquerdo e continua ao longo da linha, só mudando de linha após a última coluna.
Comando para apagar todos os gráficos: clf
Gráficos
Exemplo de múltiplos plots num único gráfico: >> hold on
>> plot(t, v, 'o') >> hold off
Gráficos
Exemplo de múltiplos gráficos na mesma janela:
>> clf
>> t = 0:pi/50:10*pi;
>> subplot(1,2,1); plot(sin(t),cos(t)) >> axis square
Gráficos
Exemplo de múltiplos gráficos na mesma janela:
>> subplot(1,2,2); plot3(sin(t),cos(t),t); >> title('(b)')
Caso de Estudo
Análise Exploratória de Dados
Análise Exploratória de Dados
Problema: a velocidade de um bungee jumper Modelo diferencial: Modelo analítico: 0 ) 0 ( v m v c g dt dv d 2
t m gc c gm t v d d tanhAnálise Exploratória de Dados
Problema: a velocidade de um bungee jumper
t v 0 dvt c v g d t 2 0 c mg
Análise Exploratória de Dados
Problema: determinação do coeficiente de
resistência cd de um bungee jumper
Podemos obter uma estimativa de cd se
medirmos a velocidade terminal vt de vários
bungee jumpers com massa m conhecida:
2 t d v mg c m (kg) 83.6 60.2 72.1 91.1 92.9 65.3 80.9 vt (m/s) 53.4 48.5 50.9 55.7 54.0 47.7 51.1
Análise Exploratória de Dados
Os dados da tabela podem ser representados pelos
vectores m e vt:
>> m = [83.6 60.2 72.1 91.1 92.9 65.3 80.9]; >> vt = [53.4 48.5 50.9 55.7 54.0 47.7 51.1];
A aceleração da gravidade é conhecida:
>> g = 9.81;
Os coeficientes de resistência podem ser determinados
pela equação: >> cd = g*m./vt.^2 cd = 0.2876 0.2511 0.2730 0.2881 0.3125 0.2815 0.3039 2 t d v mg c
Análise Exploratória de Dados
Podem-se usar agora funções pré-definidas do MATLAB
para obter alguma informação estatística dos resultados:
>> cdavg=mean(cd), cdmin=min(cd), cdmax=max(cd) cdavg = 0.2854 cdmin = 0.2511 cdmax = 0.3125
Baseados no valor médio do coeficiente de resistência
cdavg podemos prever a velocidade terminal:
>> vpred = sqrt(g*m/cdavg) vpred =
Análise Exploratória de Dados
Qual a qualidade do valor médio obtido para o coeficiente
de resistência? Vamos produzir uma figura com dois gráficos.
Um gráfico permite a comparação dos valores previstos
para a velocidade terminal com os valores observados:
>> subplot(2,1,1); plot(vt,vpred,'o',vt,vt) >> xlabel('Measured')
>> ylabel('Predicted')
Análise Exploratória de Dados
Um segundo gráfico permite verificar se os coeficientes de
resistência estimados são constantes ou estão relacionados com a massa do bungee jumper.
Acrescenta-se um gráfico dos coeficientes de resistência
estimados em função da massa do bungee jumper:
>> subplot(2,1,2); plot(m,cd,'o') >> xlabel('Mass (kg)')
>> ylabel('Estimated drag coefficient (kg/m)') >> title('Plot of drag coefficient versus mass')
Análise Exploratória de Dados
Os coeficientes de resistência estimados parecem aumentar com o aumento da massa do bungee jumper.
O modelo necessita ser melhorado! cd Kd
AKd → constante
