Distribuição Qui-Quadrado: teste de Hipótese para a Variância Populacional

Distribuição Qui-Quadrado: teste de

Hipótese para a Variância Populacional

AULA 11– 22/09/15

Profa_{Lilian M. Lima Cunha} Estatística Aplicada II

Distribuição Qui-Quadrado: testando a

variância

-Faziamos teste para a média pois não conheciamos ao certo seu valor (usava-se média amostral);

-Sendo a variância da População conhecida, a variância da amostra é passível de teste.

-Podemos testar a variância.

1

)

(

1 2 2

−

−

=

∑

=

n

X

X

S

n i i

∑

=

−

=

−

n i i

X

X

S

n

1 2 2

)

(

)

1

(

2 1 2 2 2

(

)

)

1

(

σ

σ

∑

=

−

=

−

n i i

X

X

S

n

∑

=

















₋

=

−

n i i

X

X

S

n

1 2 2 2

)

1

(

σ

σ

OU

∑

=

















₋

=

−

n i i

X

X

S

n

1 2 2 2

)

1

(

σ

σ

Se X for uma variável cuja distribuição é normal, a

expressão dentro do parênteses será quase uma normal padronizada (subtrai-se a média e divide-se pelo desvio –padrão).

Para que fosse exatamente uma normal

padronizada, deveríamos ter a média

populacional em vez da média amostral.

Sabe-se que:

(

)

(

)

(

)

2 2 1 2 1 µ µ − − − = −

∑

∑

= = X n X X X n i i n i i Pois:

(

−

)

=

∑

(

−

)

−

(

−

)

=

∑

= = 2 1 2 1 } { X µ X µ X X n i i n i i

(

)

(

)

∑

(

)

∑

(

)

∑

= = = − + − − − − = n i n i i n i i X X X X 1 2 1 2 1 2 µ µ µ µ ( −µ)=

(

−µ

)

∑

= X n X n i i 1

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 * 2 µ µ µ µ − − − + − − =

∑

= X n X n X X n i i Em que (2)

∑

=         ₋ = − n i i X X S n 1 2 2 2 ) 1 ( σ σ

(

)

(

)

(

)

2 2 1 2 1 µ µ − − − = −

∑

∑

= = X n X X X n i i n i i (eq.1) (eq.2) Substituindo a eq 2na eq 1, temos 2 2 1 2 2 ) 1 ( _      ₋ −       − = −

∑

= σ µ σ µ σ X n X S n n i i

2 2 1 2 2 ) 1 ( _      ₋ −       − = −

∑

= σ µ σ µ σ X n X S n n i i 2 2 1 2 2 ) 1 (           − −       − = −

∑

= n X X S n n i i σ µ σ µ σ OU

Uma variável normal padronizada

      n X

µ

;

σ

Somatório de n variaveis normais padronizadas

Teremos portanto, uma soma de n variaveis padronizadas menos uma variável padronizada Se conhecemos a distribuição normal padronizada, é possivel obter valores da distribuição desta nova variável (desde que conheçamos o valor de n)

Essa distribuição é conhecida como

χ

2 (Qui-quadrado)

2 1 2 2 2 2 1 2

...

∑

=













−

=

+

+

+

=

v i i v

X

z

z

z

σ

µ

χ

Diz-se que essa variável tem distribuição de Qui Quadrado com ngraus de liberdade

2 2 ) 1 ( σ S n − Assim, a expressão:

Segue uma distribuição

χ

2

com n-1graus de liberdade

2

χ

Será a estatística

do teste

Quando n tende ao infinito,

se aproxima de uma normal 2

χ

2

χ

2

χ

n = 1 n = 3

TLC

Exemplo 1 – USAR TABELA

Para 10 graus de liberdade calcule:

1. P(y>b)=0,05. 2. P(Y>b)=0,99 2

χ

Positiva e assimetrica b=2,558 b=18,307

Teste de Hipótese para a Variância

Populacional - PASSOS

Para testarmos a hipótese:

com nível de significância α%, devemos:

2 0 2

0

:

σ

=

σ

1. Calcular a estatística

2. Obter o valor crítico (Tabela IV- morettin) e comparar com a estatística , distinguindo os seguintes casos: a) Se 2 2 2 ) 1 (

)

1

(

σ

χ

_n−

=

S

n

−

2 c

χ

2 ) 1 ( −n

χ

2 2 1

:

o

H

σ

>

σ

α

χ

χ

₋

>

)

=

(

₍2_{n 1) c}2

P

calculado tabelado RC: b) Se c) Se

3. Rejeita-se a hipótese nula se o valor da estatística pertencer à região crítica.

2 2 1

:

o

H

σ

<

σ

α

χ

χ

₋

<

)

=

(

₍2_{n 1) c}2

P

2 2 1

:

o

H

σ

≠

σ

2

)

(

2

)

(

₍2 ₁₎ 2 ₍2 ₁₎ 2 2 1

α

χ

χ

α

χ

χ

_n−

<

_c

=

e

P

_n−

>

_c

=

P

RC: RC:

Intervalo de Confiança

O intervalo de confiança para a variância populacional com um nível de confiança de γ% é: Logo, OU γ χ σ χ _=       ≤ − ≤ ₂2 2 2 2 1 ) 1 (n S P

(

)

        _{− −} = 2 1 2 2 2 2 2 ( 1) ; ) 1 ( , χ χ γ σ n S n S IC γ χ σ χ _=     ₋ ≤ ≤ − 2 1 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ( n S n S P

EXEMPLO 1 – Livro

Sartoris pg-212

Numa determinada empresa, empregados que desempenham a mesma função têm salarios diferentes em função do tempo de casa e

bonificações por desempenho. Segundo a

empresa, o desvio-padrão para o salario de uma certa função é de R$ 150,00. Entrevistando 5 funcionários que desempenham essa mesma função, verificou-se que seus salários eram, respectivamente,

R$ 1.000; R$ 1.200; R$ 1.500; R$ 1300; R$ 900.

Testar a afirmação da empresa com significância

de 5%, supondo que os salários sejam

2 2 2 2 : : o A o o H H σ σ σ σ ≠ = Resolução 500 . 22 ) 150 ( 2 2 = = σ Sendo: 500 . 22 : 500 . 22 : 2 2 ≠ = σ σ A o H H 5 05 , 0 = = n α 2 2 2 ) 1 (

)

1

(

σ

χ

_n−

=

S

n

−

Calculando a estatística do teste:

dados 2 S Precisamos encontrar

1

)

(

1 2 2

−

−

=

∑

=

n

X

X

S

n i i

180

.

1

=

X

sendo

000

.

57

2

=

S

. 13 , 10 ) 150 ( ) 1 5 ( 000 . 57 2 2 ) 1 (n = aprox − = −

χ

2 2 2 ) 1 (

)

1

(

σ

χ

_n−

=

S

n

−

Substituindo.... 13 , 10 2 ) 1 (n− = χ

025

,

0

=

α

0

025

,

0

=

α

11,143 0,484 13 , 10 2 ) 1 (n− =

χ

Não Rejeito H0 – afirmação da empresa não é contestada

Região critica =rejeição Região critica =rejeição n-1 = 5- 1 = 4 g l

EXEMPLO 2

Uma caixa de fósforos de certa marca vem com a inscrição: “ contém, em média, 40 palitos”. Segundo o fabricante, o desvio-padrão é de, no máximo, dois palitos. Em uma amostra com 31 caixas, entretanto, foi encontrado um desvio-padrão amostral de 3 palitos. Supondo que o número de palitos por caixa seja uma variável normal, teste a afirmativa do

fabricante utilizando um nível de

4 : 4 : 2 2 > ≤ σ σ A o H H

3

4

2

31

01

,

0

2 2 0

=

=

=

=

=

=

amostral

S

n

σ

σ

α

dados 2 2 2 ) 1 (

)

1

(

σ

χ

_n−

=

S

n

−

Calculando a estatística do teste:

5 , 67 2 ) 1 31 ( 3 2 2 2 ) 1 ( ≅ − = − n

χ

01

,

0

=

α

0

5

,

67

2 ) 1 (n−

=

χ

Rejeito H0 – afirmação do fabricante não é correta

Região critica =rejeição

50,892

EXEMPLO 3

Uma empresa de processamento de laticínios declara que a variância da quantidade de gordura no leite integral processado pela concorrente é no mínimo de 0,25. Você suspeita que essa afirmação esteja errada e seleciona uma amostra aleatória de 21

contêineres de leite dessa concorrente e verifica que tem uma variância de 0,27. Com α=5%, há evidência suficiente para aceitar a declaração da empresa?

X 2_{calculado =21,6 X} 2_{critico =10,851 Não rejeito Ho}

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Bussab, W.º; Morettin, P.A. (2002). Estatistica Básica, Editora Saraiva, São Paulo – Brasil – Cap 12 pgs 344-347

Sartoris, A. Estatistica e introducao a econometria. Ed Saraiva. Cap 7 208-215 e p223-226.

ENTREGAR (Problema 19, pag. 347

(Bussab e Morettin, 2002).

Observou-se a produção mensal de uma indústria durante vários anos, verificando-se que ela obedecia a uma distribuição normal, com variância 300. Foi adotada uma nova técnica de produção e, durante 24 meses, observou-se a produção mensal. Após esse período,

constatou-se que e . Há razões para

se acreditar que a variância mudou, ao nível de 20%? 000 . 10 = X S2 =400 RESPOSTA “ ”