ENG 1714 – Métodos Numéricos para
Engenharia Mecânica
http://lmmp.mec.puc-rio.br/eng1714/
0 100 200 300 400 500 600 700 0 100 200 300 400 500 600 700 nz = 20566ENG 1714 – Métodos Numéricos para
Engenharia Mecânica
http://lmmp.mec.puc-rio.br/eng1714/
Professor: Márcio Carvalho, Sala 153-L, Tel: 3527-1174 ou 3527-2530. email: msc@puc-rio.br
Horário: 3a: 15:00 – 17:00 – Sala 258L 5a: 15:00 – 17:00 – Sala 258L
Atendimento: O aluno deve me procurar sempre que tiver alguma dúvida.
Critério de Aprovação: 5 4 2 3 1 , 3 2 Se . 5 5 2 3 1 2 G G G M G G M . G1 e G2 são
calculados da seguinte forma:
P G P P Listas Media G P , 4 Se 2 , 4 Se
Objetivo: Introduzir os conceitos básicos de métodos numéricos para solução de problemas em engenharia. Ementa: Introdução; Integração numérica; Cálculo de raiz de equação transcendental; Interpolação e Ajuste de Curvas; Solução de sistemas de equações algébricos; Sistemas não-lineares; Equações Diferenciais Ordinárias; Problema de Valor Inicial; Problema de Valor de Contorno; Equações Diferenciais Parciais; Otimização.
Bibliografia:
Métodos Numéricos para Engenharia ,S. C. Chapra e R. P. Canale; McGraw Hill, 2002. Análise Numérica, R. L. Burden e J. Douglas Faires, Thomson, 2003.
Numerical Recipies, W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky e W. T. Vetterling; Cambridge University Press, 1986.
Numerical Methods, G. Dahlquist, A. Bjorck e N. Anderson; Prentice Hall, 1974. Manual do Scilab
ENG 1714- Métodos Numéricos para Eng. Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Prof. Marcio S. Carvalho
email: msc@puc-rio.br Sala: 153-L
Tel: 3527-1174 ou 3527-2530
APLICAÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS
Tratamento de Dados Estatísticos Análise de sinais
Cálcular de média, desvio padrão, variância, etc… Determinar equação da curva que melhor descreve os
resultados de um experimento
Simulação de sistemas
Previsão de comportamento de um sistema Projeto mais barato e de melhor desempenho Verificação ? ) (x f y
INTRODUÇÃO
MODELAGEM E SIMULAÇÃO
PROBLEMA REAL
MODELO FÍSICO
MODELO MATEMÁTICO MODELO EXPERIMENTAL
MÉTODOS NUMÉRICOS PREVISÕES
TÉCNICAS EXPERIMENTAIS PREVISÕES
MODELO MATEMÁTICO
Conjunto de equações que descrevem um determinado fenômeno físico Modelo é desenvolvido a partir de hipóteses simplificadoras
Hipóteses simplificadoras são importantes para facitilar a solução Hipóteses devem ser coerentes com o fenômeno a ser descrito Engenharia: Uso correto de hipóteses simplificadoras
Hipóteses erradas levarão a predições incorretas
Qualidade das predições está diretamente ligada ao modelo usado
Compromisso entre custo para solução das equações e qualidade dos resultados Modelo pode ser DIFERENCIAL ou INTEGRAL
Modelos diferenciais geralmente levam a equações sem solução analítica Necessidade de desenvolvimento de ferramentas para resolver as equações
IMPORTÂNCIA DE PREDIÇÃO
Projeto de engenharia mais econômico Otimização de projetos
Análise de situações sem dados experimentais
Determinação de desempenho em casos limites
MÉTODOS DE PREDIÇÃO
Modelo Experimental
Em escala ou escala reduzida
Custo financeiro e de tempo elevado
Difícil de analisar efeitos de condições isoladas Fundamental para validar modelos teóricos Modelo Matemático
Baixo custo
Possibilidade de analisar diversos casos e otimizar projeto Velocidade de obter resposta
Habilidade de simular condições reais e ideais Necessidade de validar modelos matemáticos Comentários
MÉTODOS NUMÉRICOS
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ( ) G(x) dx dT T k dx d MODELO: CONSERVAÇÃO DE ENERGIA + LEI DE FOURIER
PROBLEMA REAL: TRANSFERÊNCIA DE CALOR
? ) (x T
DETERMINAR TEMPERATURA APENAS EM ALGUNS PONTOS DO DOMÍNIO
DISCRETIZAR O PROBLEMA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL EQUAÇÃO ALGÉBRICA
DIFERENTES MÉTODOS NUMÉRICOS
DIFERENÇAS FINITAS ELEMENTOS FINITOS VOLUMES FINITOS ELEMENTOS DE CONTORNO ELEMENTOS ESPECTRAIS OUTROS ...
ESCOLHA DE SOFTWARE
Softwares comerciais para diferentes aplicações Análise estrutural: ANSYS, ADINA, ...
Escoamento de Fluidos: FLUENT, FIDAP, FLOW3D, ... Fenômenos de Transferência: FLUENT, ...
Softwares comerciais ou desenvolvidos Versatilidade X desempenho Desenvolvidos: Novos modelos
Comerciais: Mais “userfriendly”, interface gráfica Treinamento
Fundamentos físicos Uso do software
EMENTA
Cálculo de raiz de equação Interpolação e ajuste de curva Integração numérica
Solução de sistema de equações algébricas Solução de sistema não-linear
Descrição matemática de fenômenos físicos
Equação diferencial ordinária - Problema de Valor de Contorno Problema de Valor Inicial
Equação diferencial parcial
Método de diferenças finitas, elementos finitos e volumes finitos Otimização
INTRODUÇÃO ao MATLAB
Software e linguagem e ambiente de programação para cálculos matemáticos MATLAB = Matrix Laboratory
Possui diversas rotinas de cálculo matemático já programadas e testadas Possibilidade de criar programas e novas rotinas de acordo com
a necessidade do usuário Instalação:
http://www.mec.puc-rio.br/downloads/MATLAB_Roteiro_Download_Instalacao_Aluno.pdf JANELA DE COMANDO - COMMAND WINDOW
Janela principal. Modo como o usuário se comunica com o progama MATLAB Os comandos e chamadas de programa são dados no prompt da janela
JANELA DE COMANDO - COMMAND WINDOW
Janela de comando Diretorio de trabalho
VARIÁVEL TIPO VETOR - ARRAY
JANELA DE PROGRAMAÇÃO / EDIÇÃO
Criar uma nova janela de programação
Para executar o programa, deve-se primeiro trocar o diretório de trabalho Digitar o nome do arquivo *.m no prompt
Principais comandos para gerenciamento da sessão
Comando Descrição
casesen Controla a sensitividade de caracteres maiúsculos e minúsculos clc Limpa a janela de comando
clear Remove as variáveis da memória who Lista as variáveis correntes na memória quit Para a execução do MATLAB
Principais comandos do sistema e de controle de arquivos
Comando Descrição
cd diretorio Muda o diretório corrente para diretorio pwd Imprime o diretório corrente date Imprime a data
delete filename Remove o arquivo filename
dir Lista os arquivos presente no diretório corrente load Carrega todas as variáveis do arquivo matlab.mat load filename Carrega todas as variáveis do arquivo filename.mat save Grava as variáveis da sessão no arquivo matlab.mat save filename Grava as variáveis da sessão no arquivo filename.mat
ESTRUTURAS DE PROGRAMAÇÃO
For
if / else
SCRIPT X FUNCTION
Script: Não trabalha com argumentos. Variáveis globais.
Function: Trabalha com argumentos. Variáveis locais.
Exercícios
1) Escreva um programa em MatLab para efetuar a multiplicação entre duas matrizes. O programa deve primeiro ler o número de linhas e colunas de cada matriz e o valor de cada entrada das matrizes. Antes de efetuar a operação, o programa deve verificar se a mesma é possível, i.e. se o número de colunas de uma matriz é igual ao número de linhas da outra.
0
2
c bx ax
2) Escreva um programa que calcule as raízes reais de um polinômio do 2o grau . O programa deve seguir os seguintes passos: (i) ler os coeficientes do polinômio; (ii) Calcular as raízes, tomando o cuidado para evitar divisão por zero e raízes complexas; (iii) Mostrar as soluções obtidas; (iv) Perguntar ao usuário se ele quer voltar ao passo (i).
AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAÇÃO
Conhecendo-se os valores de uma função em pontos discretos de um intervalo, deseja-se determinar uma curva que “represente” esta função neste intervalo.
f
1*(x)
x
APLICAÇÕES
f
2*(x)
Ajuste de dados experimentais - Estes carregam incertezas.
Ajuste dos dados de acordo com um modelo – Esta abordagem permite a obtenção de parâmetros que possuam interpretação física. Ex. f1(x): . Necessidade de integração da função em questão.
Desejo de se conhecer o valor da função em pontos específicos não dados. Aproximar uma função por outra menos complexa, de fácil aplicação.
x
OBJETIVO
TIPOS DE PROCESSOS
Tem-se um conjunto de pontos e deseja-se obter uma curva que passe suavemente através de todos os pontos. A equação da curva interpoladora deve possuir o
mesmo número de parâmetros que o número de pontos dados.
Tem-se um conjunto de pontos e deseja-se uma curva que passe “próxima” destes pontos. A equação da curva ajustada deve possuir um número de parâmetros menor que o número de pontos dados. INTERPOLAÇÃO PADRÃO AJUSTE DE CURVAS
f
* AC(x)
x
Dados n pontos xi, f(xi) no intervalo (a,b) obtém-se f*(x) tal que | f*(x
i)-f(xi) |<
f
* IP(x)
x
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
É o método mais utilizado para ajuste de curvas.
A condição que determina a curva a ser obtida é a minimização da soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função a ser determinada e da função original calculados nos pontos dados.
E=
[f
*(x
i)-f(x
i)]
2 i=1 nf
*(x)
x
n pontos
f*(x i)-f(xi) QUANTIDADE MINIMIZADA EXEMPLO SIMPLES x 1 3 4 6 7 f(x) -2,1 -0,9 -0,6 0,6 0,9 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8Dada a tabela de pontos ao lado, determinar a reta que se ajusta a estes pontos utilizando o método de mínimos quadrados
SOLUÇÃO
Plotando-se os pontos dados, obtem-se o gráfico discreto ao lado.
A função escolhida para representar estes pontos é do primeiro grau, portanto
A aplicação do método, neste caso, resultará na determinação dos valores dos coeficientes angular e linear da reta que se ajusta a estes pontos, segundo o critério da minimização da soma dos quadrados dos desvios.
x
mx
k
f
*
Pode-se perceber que a grandeza a ser minimizada, com o
procedimento adotado, é escrita como uma função dos coeficientes.
0 2 0 5 1
i i i i k f x x mx m E
5 1 2 1 2 * i i i n i i i f x mx k f x x f ECÁLCULO DA SOMA DO QUADRADO DOS DESVIOS
A escolha dos coeficientes que minimizam E deve, portanto, ser tal que:
m
k
E
E
,
0 2 0 5 1
i i i k f x mx k Em e k são raizes do sistema de equações.
i xi f(xi) xi2 xi*f(xi) 1 1 -2.1 1 -2.1 2 3 -0.9 9 -2.7 3 4 -0.6 16 -2.4 4 6 0.6 36 3.6 5 7 0.9 49 6.3 sum 21 -2.1 111 2.7 57.6 -290 0.505 -2.54 114
0
5 1 5 1 2 5 1
i i i i i i ix
k
x
x
f
x
m
1
0
5
5 1 5 5 1 5 1
i i i i ix
f
x
m
5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 25
i i i i i i i i i i ix
f
x
f
x
k
m
x
x
x
1
.
2
7
.
2
111
21
21
5
21
5
111
1
1
.
2
7
.
2
5
21
21
111
2k
m
k
m
542
.
2
505
.
0
k
m
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8
Erro Abs. Erro Rel. Erro Quad. CÁLCULO DO ERRO
Erro absoluto
)
(
)
(
* i i Af
x
f
x
E
Erro relativo
)
(
)
(
)
(
* i i i Rx
f
x
f
x
f
E
Erro quadrático
*
2)
(
)
(
i i Qf
x
f
x
E
CASO MAIS GERAL
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 2 2 1 *x
c
x
c
x
c
x
c
x
f
m m m j j j
Para um caso mais geral, onde a função de ajuste é formada por uma combinação linear de funções linearmente independentes, tem-se:
n i i if
x
x
f
E
1 2 * Exemplos:
0 0 0 2 *(
)
)
1
(
c E b E a Ec
bx
ax
x
f
0 0 *(
)
cos
)
2
(
B E A Ex
B
x
sen
A
x
f
0
jc
E
Nestes problemas, recai-se em um sistema de m equações (derivando-se E em relação a cada coeficiente) e m
incógnitas (os coeficientes)
m equações m incógnitas
0 0 * * *(
)
ln[
(
)]
ln
ln
(
)
)
3
(
n E K E nnx
K
x
f
z
n
K
z
g
Kz
z
g
n i i if
x
x
f
E
1 2 *
m k k k m j j j x c x c x f 1 1 *( )
( )
( )Coeficientes a serem determinados. j e k são índices mudos.
Sistema de equações (m equações):
(
)
0
)
(
)
(
2
,...,
1
;
0
* 1 ) ( 1 *
j i n i i x f m k i k k jx
f
c
x
f
x
c
m
j
c
E
i
(
)
(
)
(
)
1 * i j m k i k k j i jx
x
c
c
x
f
c
Observe que...
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ) ( 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 i i m m i i i m k i k k c x c x c x c x x c x c c
0
)
(
)
(
)
(
0
1 1
j i n i i m k i k k jx
x
f
x
c
c
E
n i i j i n i m k i j i k k n i i j i m k i k k i j jm
j
x
x
f
x
x
c
x
x
f
x
c
x
c
E
1 1 1 1 1,...,
2
,
1
;
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
n i i j i n k m i i j i k kx
x
f
x
x
c
1 1 1;
)
(
)
(
)
(
x
x
j
m
f
x
x
c
n i i j i n k m i i j i k k(
)
(
)
(
)
;
1
,
2
,
,
1 1 1
n i i m i n i i i n i i i m n i i m n i i m i n i i m i n i i m i n i i n i i i n i i m i n i i i n i i x x f x x f x x f c c c x x x x x x x x x x x x x x x 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Para cada coeficiente existe uma equação correspondente, por exemplo, j=1:
0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1
n i i i n i i m i m n i i i n i i c x x c x x f x x x c c E Colocando o sistema de equações na forma matricial tem-se:
x
x
j
m
f
x
x
c
n i i j i n k m i i j i k k(
)
(
)
(
)
;
1
,
2
,
,
1 1 1
EXEMPLOS x1.1 2.3 3.0 4.3 5.1 6
F(x)1.1 1.9 3.4 4.8 5.5 6.9
Considere os dados:
b i i i i i A i i i i i i x f x f x k m x x x
6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 2 6Determine a reta que melhor represente os dados usando o método dos mínimos quadrados. x F(x) X^2 x F 1 1.1 1.1 1.21 1.21 2 2.3 1.9 5.29 4.37 3 3 3.4 9 10.2 4 4.3 4.8 18.49 20.64 5 5.1 5.5 26.01 28.05 6 6 6.9 36 41.4 Soma = 21.8 23.6 96 105.87
4205
.
0
1983
.
1
6
.
23
87
.
105
6
8
.
21
8
.
21
96
k
e
m
k
m
x
mx
k
f
*
Determine a parábola que melhor represente os dados usando o método dos mínimos quadrados.
x
ax
bx
c
f
*
2
Sistema de equações:
0 2 0 0 2 0 0 2 0 6 1 2 6 1 2 2 6 1 2
i i i i i i i i i i i i i i x f c bx ax c E x x f c bx ax b E x x f c bx ax a E
6 1 6 1 6 1 6 1 2 6 1 6 1 6 1 6 1 2 3 6 1 6 1 2 6 1 2 6 1 3 4 1 0 0 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x f c x b x a c E x x f x c x b x a b E x x f x c x b x a a E
6 1 6 1 6 1 2 6 1 6 1 2 6 1 6 1 2 6 1 3 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x f x f x x f x c b a x x x x x x x x 1339 . 0 ; 9924 . 0 ; 0288 . 0 6 . 23 87 . 105 19 . 522 6 8 . 21 96 8 . 21 96 66 . 468 96 66 . 468 85 . 2424 c b a c b a x F(x) x^4 x^3 X^2 x^2 F x F 1 1.1 1.1 1.46 1.33 1.21 1.33 1.21 2 2.3 1.9 27.98 12.17 5.29 10.05 4.37 3 3 3.4 81.00 27.00 9.00 30.60 10.20 4 4.3 4.8 341.88 79.51 18.49 88.75 20.64 5 5.1 5.5 676.52 132.65 26.01 143.06 28.05 6 6 6.9 1296.00 216.00 36.00 248.40 41.40 Soma = 21.8 23.6 2424.85 468.66 96.00 522.19 105.870 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 Dados Ajuste Linear Ajuste Quadratico x F(x) Ajuste Equad 1.1 1.1 0.90 0.041 2.3 1.9 2.34 0.190 3 3.4 3.17 0.051 4.3 4.8 4.73 0.005 5.1 5.5 5.69 0.036 6 6.9 6.77 0.017 E = 0.340 x F(x) Ajuste Equad 1.1 1.1 0.99 0.012 2.3 1.9 2.30 0.161 3 3.4 3.10 0.089 4.3 4.8 4.67 0.018 5.1 5.5 5.68 0.031 6 6.9 6.86 0.002 E = 0.312
Linear
Quadrático
INTERPOLAÇÃO LAGRANGEANAÉ um caso particular importante de interpolação, ou seja, de se obter uma curva que passe pelos pontos dados.
Dados n pontos xi, f(xi) no intervalo (a,b) obtem-se f*(x) tal que f*(x
i)=f(xi)
A função interpoladora é polinomial e de grau mínimo possível (n-1) O polinômio interpolador de grau n-1 é formado por uma combinação linear de n polinômios (polinômios-base) também de mesmo grau n-1.
Algumas características da Interpolação Lagrangeana são listadas a seguir:
Os coeficientes da combinação linear são os próprios valores da
função original nos pontos dados e portanto os polinômios-base possuem valor unitário em um ponto e se anulam nos outros:
n j j jP
x
c
x
f
1 *(
)
(
)
Polinômios de graus n-1 o número depolinômios-base é igual ao de pontos
ij i j j j j
f
x
y
P
x
c
*(
)
(
)
EXEMPLO SIMPLES
Dados os pontos (2,2) e (3,3), determinar a reta que se ajusta a estes pontos utilizando o método da Interpolação Lagrangeana.
SOLUÇÃO
Como são dados dois pontos, (2,2) e (3,3), os n=2 polinômios-base são de grau
n-1=1. Além disso, P1(x)=1, para o ponto (2,2) e P1(x)=0, para o ponto (3,3).
Analogamente, P2(x)=0 para o ponto (2,2) e P2(x)=1, para o ponto (3,3).
x
x
x
x
f
*(
)
2
(
3
)
3
(
2
)
3
)
(
1x
x
P
P
2(
x
)
x
2
)
(
3
)
(
2
)
(
)
(
2 1 2 1 *x
P
x
P
x
P
y
x
f
n j j j
ij i jx
P
(
)
O polinômio interpolador de grau n-1 é formado por uma combinação linear de n polinômios (polinômios-base) também de mesmo grau n-1.
ij i j
x
P
(
)
j j jf
x
y
c
*(
)
n j j jP
x
c
x
f
1*
(
)
(
)
Deve-se impor a condição f*(xi)=f(xi) Prova da ida (a volta é análoga)
n j i j j i j jf
x
f
x
f
x
P
x
c
1 * *(
)
(
)
(
)
(
)
m k i j i k jkx
x
1)
(
)
(
OBS 3:Logo, percebe-se que a condição nos coeficientes é também uma condição no tipo de polinômio que forma a base de funções ser satisfeita (de acordo com a OBS 3)
ij i j
x
P
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
* 1 1 * 1 2 2 * 1 1 1 * 1f
x
P
x
f
x
P
x
f
x
P
x
f
x
x
f
i
n n
0
)
(
0
)
(
1
)
(
1 2 1 1 1
P
x
P
x
P
nx
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
* 2 2 * 2 2 2 * 2 1 1 * 2f
x
P
x
f
x
P
x
f
x
P
x
f
x
x
f
i
n n
0
)
(
1
)
(
0
)
(
2 2 2 2 1
P
x
P
x
P
nx
ij i j j j jf
x
y
P
x
c
*(
)
(
)
ij i
j
x
P
(
)
Exemplos de funções base polinomias que obedecem a condição:
Linear Parabólica P2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P1 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P3 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Cúbica P1 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P3 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
CÁCULO DOS POLINÔMIOS-BASE
Sabe-se que o polinômio base assume o valor unitário em um ponto e é nulo nos demais. Logo, estes demais pontos são raízes do polinômio. Portanto:
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
1 1 2 1 1 1 2 1 n j j j j j j j n j j jx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
n j k k k j n j i i i jx
x
x
x
x
P
1 1)
(
n j j jP
x
y
x
f
1 *(
)
(
)
FUNÇÃO INTERPOLADORAEXEMPLO
Considere a função f(x)=ex para 0<x<1. Utilize a interpolação Lagrangeana com
três pontos x1=0, x2=0.5 e x3=1 para representar esta curva. SOLUÇÃO
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 1 *x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
)
)(
(
)
)(
(
)
(
2 3 1 3 2 1 3x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
) ( 2 ) ( 2 5 . 0 ) ( 2 * 3 3 2 2 1 1)
2
(
)
4
4
(
)
1
3
2
(
1
)
(
x P y x P y x P yx
x
e
x
x
e
x
x
x
f
1
87660
.
0
84168
.
0
)
(
2 *
x
x
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 2 2 3 3 1 *x
P
y
x
P
y
x
P
y
x
P
y
x
f
n j j j
Serão 3 polinômios-base do 2o. grau
x
e
x
f
(
)
1
87660
.
0
84168
.
0
)
(
2 *
x
x
x
f
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 y=exp(x) y=f*(x) -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Erro Abs. Erro Rel. Erro Quad. RESULTADOSErro absoluto
)
(
)
(
*x
f
x
f
E
A
Erro relativo
)
(
)
(
)
(
*x
f
x
f
x
f
E
R
Erro quadrático
*
2)
(
)
(
x
f
x
f
E
Q
O nível da água no Mar do Norte é determinado pelo movimento de maré conhecido como Maré M2, com um período de 12 horas. A variação do nível com o tempo pode ser descrita pela seguinte fórmula:
Exercício
horas em t , 12 2 sin 12 2 cos ) ( 0 1 2 h A t A t t H t 0 2 4 6 8 10 Horas H(t) 1.0 1.6 1.4 0.6 0.2 0.8 metrosDetermine os parâmetros da curva de variação de H(t), isto é , utilizando os dados acima e o método dos mínimos quadrados. 0, 1 2
A e A h
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Frequentemente cálculos integrais são necessários em engenharia
b adx
x
f
I
(
)
Na maioria dos casos, a integral não pode ser calculada analiticamente
x
y
a
b
x
I = Área sob o gráfico
4 1 4 1 ) ( ] ) 1 ( [ ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( i i i x x f x x i a f I x x a f x x a f x x a f x a f I Primeira idéiax
y
a
b
x
Melhor aproximaçãoUsar os pontos no meio do intervalo
4 1 2 1 4 1 ) ( 2 ) ( ) ) 1 ( ( 2 ) 4 ( ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( i i i x x f x x i a x i a f I x x a x a f x x a x a f x x a x a f x x a a f I 4 intervalos 5 pontos Regra do Retângulox
y
a
b
x
Melhor aproximação
Intepolação linear em cada intervalo
4 intervalos 5 pontos Regra do Trapézio
4 1 2 ) ( ) ) 1 ( ( ) 4 ( 2 1 ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 1 2 ) 4 ( ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( i x x i a f x i a f I x a f x a f x a f x a f a f x I x x a f x a f x x a f x a f x x a f x a f x x a f a f Ix
y
x
1=a
x
n+1=b
x
x
2De uma forma geral, a integral é calculada por uma soma ponderada dos valores do integrando em pontos do intervalo de integração
n i i i b a x f w x f I 1 ) ( ) ( n : número de intervalos n+1: número de pontoswisão chamados de PESOe os pontos
xionde a função deve ser avaliada são chamados de ABSCISSA
As diferentes fórmulas de integração numérica são
escolhas particulares dos pesos e abscissas Todo fórmula de quadratura deve tender a integral exata quando o
Geralmente usa-se abscissas igualmente espaçadas e escolhe-se
pesos para obter a melhor aproximação
O resultado pode ser sistematicamente melhorado dividindo o intervalo ao meio A precisão do método pode ser avaliada calculando-se a integral com n pontos
e repetindo-se o processo com 2n pontos. Se os resultados coincidirem dentro de uma certa tolerância, aceita-se o resultado como preciso O erro na aproximação é sempre proporcional ao tamanho do intervalo
elevado a alguma potência inteira m
m
h
x
erro
m: ordem da aproximaçãoFÓRMULA DE NEWTON-COTES
Divide-se o domínio em n intervalos com n+1 pontos
1
,
,
2
,
1
para
,
)
1
(
;
x
a
j
h
j
n
n
a
b
h
j
Define-se polinômio de interpolação de grau n pelos pontos (xj, f(xj))
1 1)
(
)
(
)
(
n k k kL
x
x
f
x
P
Polinômio interpolador de Lagrange
A integral da função é aproximada pela integral do polinômio interpolador
1 1 1 1 1 1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n k k k n k b a k k b a n k k k b a b aw
x
f
dx
x
L
x
f
dx
x
L
x
f
dx
x
P
dx
x
f
I
EXEMPLOS DA FÓRMULA DE NEWTON-COTES n = 1 e n+1 = 2
x
y
a
b
P(x)
)
(
)
(
)
(
e
)
(
)
(
)
(
onde
)
(
)
(
)
(
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1x
x
x
x
x
L
x
x
x
x
x
L
x
L
x
f
x
P
k k k
a
b
a
b
) ( 1 x L L2(x) 1 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 a b x x dx x x x x dx x L w a b x x dx x x x x dx x L w b a b a b a b a
b aa
b
b
f
a
f
dx
x
f
I
(
)
2
)
(
)
(
)
(
Regra do Trapézio para 1 intervalo
De uma forma geral o método de Newton-Cotes pode ser escrito como:
1 1 1 1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n k k n k n k b a k k b a b ax
f
C
a
b
dx
x
L
x
f
dx
x
P
dx
x
f
I
b a k n k L x dx a b C ( ) ) ( 1 Cotes -Newton de es coeficient n C1n C2n C3n C4n C5n 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 n = 2 e n+1 = 3
b aa
b
b
f
b
a
f
a
f
dx
x
f
I
(
)
(
)
6
1
)
2
(
6
4
)
(
6
1
)
(
x
y
a
b
P(x)
Regra de Simpson para 1 intervalo
A fórmula de Newton-Cotes é raramente aplicada em todo intervalo. O intervalo é subdividido em subintervalos iguais ou não e a fórmula é
aplicada em cada subintervalo
COMENTÁRIOS
x
y
x
1=a
x
n+1=b
x
x
2 Divide-se o intervalo (a,b) em n subintervalos
de largura x e a fórmula é aplicada em
cada intervalo Exemplo: n = 1
)
2
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
x
a
f
x
a
f
x
x
a
f
a
f
x
dx
x
f
I
b a
n i x x i a f x i a f I 1 2 ) ( ) ) 1 ( ( Regra do TrapézioExemplo: n = 2
O número de intervalos deve ser par. A fórmula é aplicada a pares de intervalos
)
4
(
6
1
)
3
(
6
4
)
2
(
6
1
2
)
2
(
6
1
)
(
6
4
)
(
6
1
2
)
(
x
a
f
x
a
f
x
a
f
x
x
a
f
x
a
f
a
f
x
dx
x
f
I
b a
/2 1 2 2 6 1 ) 1 2 ( 6 4 ) 1 ( 2 6 1 n i x x i a f x i a f x i a f I Regra de Simpson 0.001 0.01 0.1 1 10 0.1 1 10 y = 0.28889 * x^(1.923) R= 0.99844 E rro % Tamanho do Intevalo ( x)
2x
Erro
n Delta X Exata Trapezio Erro%
4 2.5 1.5 3.8 1.53
8 1.25 1.5 2.21 0.47
20 0.5 1.5 1.62 0.08
QUADRATURA GAUSSIANA
Máxima precisão para um dado número de funções Intervalo não uniforme
b a n i i if
x
w
dx
x
f
1)
(
)
(
Pontos de Gauss Pesos de Gauss Os valores das coordenadas dos pontos de Gauss e os correpondentes pesos são apresentados em tabelas padronizadas geralmente para limites de integração de -1 a 1.
Para utilizar estas tabelas, é necessário fazer uma mudança de variável
b a n i i ig
w
d
g
dx
x
f
1 1 1)
(
)
(
)
(
wi 1 -0.57735 1.00 2 +0.57735 1.00 wi 1 -0.77459 0.55555 2 0.00 0.88888 3 +0.77459 0.55555 wi 1 -0.86113 0.34785 2 -0.33998 0.65214 3 +0.33998 0.65214 4 +0.86113 0.34785n = 2
n = 4
n = 3
Para integrais em duas, três ou mais variáveis:
n i j i j n j i b a d cg
w
w
d
d
g
dxdy
y
x
f
1 1 1 1 1 1)
,
(
)
,
(
)
,
(
Exercício
Calcule a integral pelo Método do Trapézio:
Determine no número de intervalos necessários para obter uma resposta com precisão de 3 casas decimais
1 0 ) 5 exp( 3 x dxN intervalos Integral 5 0.6448 10 0.6081 20 0.5990 40 0.5967 80 0.5961
