PPNL. Conjuntos Convexos. Exemplos. Otimização e Conjuntos Convexos

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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Curso: Engenharia de Produção

Min (Max) f(xxxx)

s. a. g_i(xxxx) (≤, ≥, =) b_i, i = 1, … ,m onde xxxx = (x1,…,xn)Té o vetor n-dimensional das variáveis de decisão;

f (xxxx) é a função objetivo;

g_i(xxxx) são as funções de restrição e os bisão constantes conhecidas.

PPNL

Conjuntos Convexos

Definição:Um conjunto S ⊆ ℜn_{é convexo se} cada ponto, no segmento de linha conectando dois pontos quaisquer x, y em S, está também em S. Formalmente:

z = x + (1 - λ)y ∈ S para todo λ tal que 0 ≤ λ ≤ 1.

Exemplos

y x • • x y • • x y• •

Otimização e Conjuntos Convexos

Seja S = { xxxx ∈ ℜn_{: g}

i(xxxx) ≤ bi, i = 1,…,m } Se g_i(xxxx) é uma função convexa para cada i = 1, …, m, então S é um conjunto convexo.

Teorema da Programação Convexa: Seja xxxx ∈ ℜn _e seja f (xxxx) uma funçãofunçãofunçãofunção convexaconvexaconvexa definida sobre um umconvexa conjunto convexoconvexoconvexoconvexo SSSS. Se existe uma solução finita para o problema

Min (Max) { f (xxxx): xxxx ∈ S }

Então todo o ótimo local é global. Se f(xxxx) é estritamente convexa então a solução ótima é única.

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Programação Convexa

Min (Max) f (x1,…,xn)

s. a g_i(x₁,…,x_n) ≤ b_i para i = 1,…,m e x1≥0, …, xn≥0

é um problema convexo se f é convexa (côncava) e cada gié convexa (côncava).

x 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x₂ Max f (xxxx) = z = (x – 2)2_{+ (y – 2)}2 Sujeito a –3x – 2y ≤ –6 –x + y ≤ 3 x + y ≤ 7 2x – 3y ≤ 4

Exemplo

Problema Não Convexo

Min f (xxxx) = -14x2_-0,9y2 s. a 3x – 13/x + 0,8y ≤ 1,7

x + y ≤ 30 x ≤ 7 x, y ≥ 0

Condições de Otimalidade de Primeira Ordem

Min (Max) {f (xxxx): gi(xxxx) ≤ bi, i = 1,…,m }

Lagrangiano:L(xxxx, λ) = f(xxxx) + Condições de Otimalidade • Estationaridade: ∇L(xxxx, λ) =∇f(xxxx) + = 0 • Complementaridade: λ_igi(xxxx) = 0, i = 1,…,m • Viabilidade: gi(xxxx) ≤ bi, i = 1,…,m • Não negatividade: λ_i≥0, i = 1,…,m ) ) x ( (gi _bi m 1 i i − ∑λ = ) x ( gi m 1 i i ∇ ∑λ =

Importância dos Problemas Convexos

Softwares de otimização comerciais não podem garantir que a solução é globalmente ótima se o problema não é convexo. Os algoritmos de PNL tentam encontrar um ponto onde o gradiente da função Lagrangiana é zero – um ponto estacionário – e exista uma folga completmentar.

Dado L(xxxx, µ) = f(xxxx) + µ(g(xxxx) – b) Queremos ∇L(xxxx, µ) = ∇f(xxxx) + µ∇g(xxxx) = 0

λ(g(xxxx) – b) = 0 g(xxxx) – b ≤ 0, λ ≥ 0

Para um problema convexo, toda a solução local é um ótimo global.

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Um pacote postal é uma caixa de dimensões x, y, z, que deve atender a seguinte restrição para poder ser enviado via correio. A altura e mais o perímetro da base não pode exceder 108 cm. O objetivo é obter um pacote com o maior volume possível cujas dimensões atendam as especificações do correio.

Exemplo: pacote postal

Max V(x, y, z) = xyz s. a. 2x + 2y + z ≤ 108

x ≥ 0, y ≥ 0 e z≥0

Solução via Lagrangiano

L(x, y, z, λ) = xyz + λ(2x + 2y + z – 108) Derivando e igualando a zero as derivadas parciais em relação a cada variável inclusive λ.

108 z y 2 x 2 L xy z L 2 xz y L 2 yz x L − + + = λ ∂ ∂ λ + = ∂ ∂ λ + = ∂ ∂ λ + = ∂ ∂

Igualando essas expressões a zero, tem-se:

108 z y 2 x 2 0 108 z y 2 x 2 xy 0 xy xz 2 0 2 xz yz 2 0 2 yz = + + ⇒ = − + + − = λ ⇒ = λ + − = λ ⇒ = λ + − = λ ⇒ = λ +

Assim, concluí-se que: z = 2y e z = 2x. Logo x = y.

Substituindo esses resultados na quarta equação, tem-se:

2x + 2y + z = 108 2x + 2x + 2x = 108 6x = 108 ⇒ x = 18. Logo y = 18 e z = 36.

(4)

Queremos construir um recipiente na forma de um cilindro fechado em cima e em baixo que tenha o máximo de volume e que a área da superfície não seja superior a ssss unidades.

Max V(r, h) = πr2_h

s. a. 2πr2_{+ 2πrh = s}

r ≥ 0, h ≥ 0

r

h

Exemplo: projeto de um cilindro

Essa é uma solução global ótima?

Solução via Cálculo

      π       π       π       π       π = → = → π = π = = − π = → = → = π − =       π π − π = π = = → π π − = 6 s 6 s 6 s r 6 s 6 s r r r r r 2 / 1 2 / 1 2 / 3 2 2 / 1 2 / 1 3 2 2 2 2 2 h r 2 h V 2 r r 2 s h r 0 dr dV . 2 rs r 2 2 s h V Volume r 2 2 s h

Assim V(r ) é côncava em R3_{e a solução} é um máximo global.

Teste de Convexidade

0. r todo para 0 r 6 d ) r ( V r 6 d ) r ( V 3 2 s dr ) r ( dV . 2 rs ) r ( V r d r d r r 2 2 2 2 2 3 ≥ ≤ π − = π − = → π − = → π − =

Resolução pelo Lagrangiano

Dado o problema: Max V(r, h) = πr2_h

s. a. 2πr2₊_{2πrh = s} O Lagrangiano será:

L(r, h) = πr2_{h + λ(2πr}2₊_{2πrh – s).}

Derivando essa expressão em relação a r, h e λ, tem-se:

s rh 2 2 L r 2 h L h 2 r 4 rh 2 r L r r 2 2 − π + π = λ ∂ ∂ πλ + π = ∂ ∂ πλ + πλ + π = ∂ ∂ Igualando essas expressões a zero, tem-se:

0 s rh 2 2 0 r 2 0 h 2 r 4 rh 2 r r 2 2 = − π + π = πλ + π = πλ + πλ + π λ = = λ + π = πλ + π 2 r 0 ) 2 r ( r 0 r 2 r2 Manipulando a segunda equação:

Substituindo esse resulltado na primeira equação, segue que:

r 2 h 0 2 rh 0 rh 2 rh 2 0 h 2 r 4 rh 2 0 ) h 2 r 4 rh 2 ( 0 h 2 r 4 rh 2 r r 2 2 = ⇒ = − = − − ⇒ = λ + λ + = λ + λ + π ⇒ = πλ + πλ + π

(5)

Como h = 2r, segue que:

      π = ⇒ π = ⇒ = π = π + π ⇒ = π + π = π + π ⇒ = − π + π 6 s r r r r r r r 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2 r 6 s s 6 s 4 2 s r 2 r 2 2 s rh 2 2 0 s rh 2 2       π = 6 s 1/2 2 h

Solução pelo Solver

r h

1,30 2,61 s = 32

Max 13,90

Sinal LD R 32 = 32

Para utilizar o Solver o valor de ssss deve ser fixado. Nesse caso: s = 32.

O departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área de descanso para os motoristas ao longo de uma longa autoestrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três lados não-adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será necessária para completar o trabalho?

Exercício: área de descanso

Max Min 2x + y s. a. xy = 5000

x ≥ 0, y ≥ 0

Resolver por cálculo e via Lagrangiano.

Modelagem

BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinear Programming.

Belmont (MA): Athena Scientific, 1995.

WINSTON, Wayne L. Operations Research:

Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont (CA):

Duxbury Press, 1994.