EXAME UNIFICADO DAS P ´OS-GRADUAC¸ ˜OES EM F´ISICA DO RIO DE JANEIRO
Segundo Semestre de 2012 - 13 de julho de 2012
AS 4 QUEST ˜OES DA PARTE A S ˜AO OBRIGAT ´ORIAS. ESCOLHA 2, E APENAS 2, QUEST ˜OES DA PARTE B.
A PROVA TEM DURAC¸ ˜AO M ´AXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
PARTE A:
Problema 1: Um condutor esf´erico de raio R possui em seu centro uma cavidade esf´erica de raio a como mostra a Fig. 1. No centro desta cavidade h´a uma carga pontual qa. A uma distˆancia d do
centro da esfera condutora, h´a uma segunda carga pontual qb conforme mostra a Fig. 1. Considere que
|qa| ≈ |qb| e d R.
a) Calcule o campo el´etrico total nas seguintes regi˜oes: i) r < a
ii) a < r < R iii) r > R
b) Calcule a intensidade das for¸cas que agem em cada um dos objetos, condutor, qa e qb, no limite
d R.
Problema 2: Um sistema de uma part´ıcula de massa m, cujo movimento ´e unidimensional, est´a sujeito a uma for¸ca viscosa da forma −→F = −ρ−→v (ρ > 0), sendo que sua velocidade no instante inicial em que a for¸ca come¸ca a atuar ´e igual a −→v 0 e sua posi¸c˜ao inicial igual a zero. Determine:
a) A velocidade como fun¸c˜ao do tempo, considerando as condi¸c˜oes de contorno dadas. b) A posi¸c˜ao como fun¸c˜ao do tempo, considerando as condi¸c˜oes de contorno dadas.
Problema 3: Uma part´ıcula de massa m executa um movimento unidimensional sob a a¸c˜ao de um potencial cuja dependˆencia com a coordenada x ´e U (x) = xa2 −
b
x, onde a e b s˜ao constantes positivas.
a) Encontre a for¸ca que atua sobre a part´ıcula e fa¸ca um esbo¸co do seu gr´afico. b) Encontre a posi¸c˜ao de equil´ıbrio para um corpo sob a a¸c˜ao dessa for¸ca;
c) Escreva a equa¸c˜ao diferencial do movimento para pequenas oscila¸c˜oes em torno da posi¸c˜ao de equil´ıbrio e calcule o per´ıodo natural das oscila¸c˜oes.
Problema 4: A luz do sol, no limite superior da atmosfera terrestre, tem uma intensidade de 1, 4kW/m2. Supondo que a Terra, cujo raio ´e aproximadamente 6.000 km, se comporte como um
disco plano perpendicular aos raios solares e que toda a energia incidente seja absorvida, calcule a for¸ca exercida sobre a Terra pela radia¸c˜ao. Quando ocorre absor¸c˜ao total, a press˜ao de radia¸c˜ao ´e dada por I/c, onde I ´e a intensidade da luz.
PARTE B: Lembre-se de escolher 2, e apenas 2, problemas
desta parte.
Problema 5: Considere os seguintes operadores num espa¸co de Hilbert com dimens˜ao igual a 3 e corpo complexo: Lx = 1 √ 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ; Ly = 1 √ 2 0 −i 0 i 0 −i 0 i 0 ; Ly = 1 √ 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1
a) Determine os auto-valores e os auto-estados normalizados de Lx na base de Lz.
b) Se o sistema estiver num estado com Lz = –1 e Lx for medido, quais ser˜ao os resultados poss´ıveis e
suas respectivas probabilidades?
c) Considere o estado | ψi = 1/2 1/2 1/√2
na base de Lz. Se L2z for medido neste estado e for encontrado
o valor +1, qual ´e o estado do sistema ap´os a medida? Se, ap´os a medida de L2 , fosse medido L z,
Problema 6: Seja uma part´ıcula numa caixa de comprimento L, isto ´e, sujeita ao potencial unidi-mensional V (x) = ∞ x < −L/2; 0 −L/2 < x < L/2; ∞ x > L/2;
a) Determine a solu¸c˜ao normalizada da equa¸c˜ao de Schr¨odinger para esta part´ıcula em todo o espa¸co, supondo que esta se encontre no estado fundamental.
b) Repentinamente, a caixa se expande simetricamente para o dobro do tamanho original. A expans˜ao ´
e muito r´apida, de modo que a fun¸c˜ao de onda da part´ıcula n˜ao ´e perturbada. Mostre que a proba-bilidade de se achar a part´ıcula no estado fundamental da nova caixa ´e (83π)2.
Problema 7: Seja um ´atomo de Hidrogˆenio, no estado fundamental, cuja energia total ´e E = −2ae2
0,
onde a0 = me
2
~2 ´e o raio de Bohr, com m sendo a massa do el´etron e e sua carga.
a) Qual a regi˜ao do espa¸co proibida classicamente para o el´etron deste ´atomo?
b) Sabendo que a fun¸c˜ao de onda do estado fundamental do ´atomo de hidrogˆenio ´e dada por
ψ1S =
e−a0r
pπa2 0
,
calcule a probabilidade quˆantica de encontrar o el´etron nesta regi˜ao.
Problema 8: Considere um oscilador harmˆonico quˆantico unidimensional, de massa m e frequˆencia angular ω, em um auto-estado de ordem n qualquer.
a) Usando a representa¸c˜ao do operador de posi¸c˜ao, X , em termos dos operadores de destrui¸c˜ao e de cria¸c˜ao, a e a† , respectivamente, calcule o valor esperado do operador
H1 =
4λm2ω3
~
X4,
EXAME UNIFICADO DAS P ´OS-GRADUAC¸ ˜OES EM F´ISICA DO RIO DE JANEIRO
Second Semester de 2012 - July 13
thde 2012
YOU MUST SOLVE ALL 4 PROBLEMS FROM PART A. CHOOSE 2, AND ONLY 2, PROBLEMS FROM PART B.
YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE GOOD EXAM.
PART A:
Problem 1: A spherical conductor with radius R has at its center a hollow cavity with radius a as show in Fig. 1. At the center of the hollow cavity there is a point charge qa. At a distance d from the
center of the conducting sphere there is a second point charge qb as shown in Fig. 1. Consider that
|qa| ≈ |qb| and d R.
a) Determine the total electrical field the following regions i) r < a
ii) a < r < R iii) r > R
b) Determine the intensity of the forces that act in each object, conductor, qaand qb considering d R.
Problem 2: A system with one particle with mass m, wich moves unidimensionaly, is subjected to a viscous force of the form−→F = −ρ−→v (ρ > 0). The particle’s initial velocity at the exact instant in which this force starts to act is equal to −→v 0. The particle’s initial position is equal to zero. Determine:
a) The particle’s velocity as a function of time, considering the given initial boundary conditions. b) The particle’s position as a function of time, considering the given initial boundary conditions.
c) Write the movement differential equation for small oscilations around the equilirium positions and determine the oscilations natural period.
Problem 3: A particle with mass m moves unidimensionaly under the action of a potencial that depends with x as U (x) = xa2 −
b
x, where a and b are positive constants.
a) Find the force that acts on the particle and sketch a graphic of this force. b) Find the equilibrium position for a body under the action of this force.
Problem 4: Sun light, at Earth’s atmospheric upper limit, has an intesity of 1.4kW/m2. Assuming the Earth, that has a raius of approximadetely 6, 000 km, behaves as a flat disc perpendicular to the solar rays, and that all incident energy is absorbed, determine Sun’s radiantion force on Earth. When total absoption ocurrs, the radiation preassure is given by I/c, where I is the llight intensity.
PART B: Remember to choose 2, and only 2 problems from
this part.
Problem 5: Consider the following complex Hilbert operators with dimension 3:
Lx = 1 √ 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ; Ly = 1 √ 2 0 −i 0 i 0 −i 0 i 0 ; Ly = 1 √ 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1
a) Determine the Lx normilized eingenvalues and eingenstates in the Lz base.
b) If the system is in a state with Lz = −1 and Lx is measured, what are its expected values and its
probabilities?
c) Consider the state | ψi = 1/2 1/2 1/√2
in the Lz base. If L2z is measured in this state and a value +1 is
found, hat is the system state after the measurement. If, after the L2z measurement, Lz is measured,
Problem 6: Consider a particle inside a box with lenght L, i.e, confined to a unidimensional potencial: V (x) = ∞ x < −L/2; 0 −L/2 < x < L/2; ∞ x > L/2;
a) Determine the normilized solution for the particle’s Schr¨odinger equation in all space, assuming it is at the ground state initially.
b) Sundenly, the box expands simetrically to the double of its size.The expansion is instantaneous in a way that the particle’s wave function is not disturbed. Show that the porbabiity to find the particle at the grounf state in the new box is (8
3π) 2.
Problem 7: Consider the hydrogen atom in its ground state with total energy given by E = −2ae2
0,
where a0 = me
2
~2 is the Bohr radius, m the electron mass and e the electron charge.
a) What region of the space is classically forbiden for this atom’s electron?
b) Knowing that the ground state wave fucntion of the hydrogen atom is given by
ψ1S =
e−a0r
pπa2 0
,
determne the quantum probability to find the electron in this region.
Problem 8: Consider an unidimensional quantum hamonic oscilator with mass m and angular fre-quency ω at any n order eigenstate.
a) Using the X position operator written in terms of criation and anihilation operators a e a†repectively, write down the expected values of the operator:
H1 =
4λm2ω3
~ X
4
, where λ is nondimensional for any n order eigenstate.
