Simulado. enem. Matemática. e suas. Tecnologias VOLUME 1 DISTRIBUIÇÃO GRATUITA

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ecnologias

VOLUME 1

3

a

_{. sériE}

enem

2014

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2014

(2)

Questão 1 Matemática

Gabarito: A Comentários:

A ) Gabarito. O custo da produção semanal é dado por

C( )10 +C( )15 +C( )21 +C( )18 +C( )24 130 115 21 72 19 357= + + + + = .

B ) O aluno calculou apenas C(10). C ) O aluno calculou apenas C(15). D ) O aluno calculou apenas C(24). E ) O aluno calculou apenas C(18).

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. Habilidade ENEM: 3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

Gabarito: B Comentários:

A ) O aluno calculou o maior valor possível para C(x), ou seja, a coordenada y do vértice da parábola: y a = − = − − = ∆ 4 524 4 131.

B ) Gabarito. A função que deve ser analisada é C x( )= +10 22x x− 2_{. O valor de x que corresponde ao custo máximo}

é x b a = − = − − = 2 22 2 11.

C ) O aluno interpretou que o custo máximo acontece quando toda a capacidade da fábrica é utilizada, ou seja, quan-do são produzidas 35 unidades diárias.

D ) O aluno considerou a coordenada y do vértice como sendo y a = − = − − = ∆ 2 524 2 262.

E ) O aluno calculou o maior valor possível para C(x), ou seja, a coordenada y do vértice da parábola, representada por

C x( )= +10 22x x− 2_{, fazendo}_{∆ =}₂₂2_{− ⋅ −}₄

( )

_{1 10 44 40 84}_{⋅ = + =} _{e y} a = − = − − = ∆ 4 84 4 21.

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-

-científicas, usando representações algébricas.

(3)

Gabarito: C Comentários:

A ) O aluno inverteu os valores da solução 3,25 ≤ x ≤ 0,75. B ) O aluno fez os seguintes cálculos:

|x− ≤2 125| , → − ≤x 2 125, → ≤ −x 0 75 e |, x− ≤2 125| , → − ≥ −x 2 125, → ≥ −x 125 2, − → ≥ −x 3 75, .

C ) Gabarito.

|x− ≤2 125| , → − ≤x 2 125, → ≤x 3 25 e |, x− ≤2 125| , → − ≥ −x 2 125, → ≥ −x 125 2, + → ≥x 0 75 .,

Logo, 0,75 ≤ x ≤ 3,25.

D ) O aluno fez os seguintes cálculos:

|x− ≤2 125| , → − ≤x 2 125, → ≤ −x 0 75 e |, x− ≤2 125| , → − ≥ −x 2 125, → ≥ −x 125 2, − → ≥ −x 3 75,

Além disso, inverteu a ordem dos valores.

E ) Ao eliminar o módulo, o aluno deduziu que os valores são –2 e 1,25.

Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de

argu-mentação.

Gabarito: D Comentários:

A ) O aluno calculou o valor que a função x2_{+ 9x + 2 assume quando x é igual a 1.}

B ) O aluno calculou a coordenada x do vértice da função x2_{– 3x + 2 e não atentou para o fato de que esse valor não}

é um número natural.

C ) O aluno calculou apenas a primeira raiz da equação x2_{– 3x + 2.}

D ) Gabarito. Como L(x) = R(x) – C(x), temos |x2_{+ + −}₃x ₂| | |₆x _{= → + + =}₀ |x2 ₃x _{2 6}| | |x_{→ + + = , cujas raí-}x2 ₃x _{2 6}x

zes naturais são iguais a 2 e 1; o maior desses valores é o 2.

E ) Ao resolver a equação x2_{– 3x + 2 utilizando as propriedades da soma e do produto das raízes, o aluno deduziu}

que as raízes são 2 . 3 = 6 e 2 + 3 = 5. O maior valor natural possível nesse caso é 6.

(4)

Gabarito: E Comentários:

A ) O aluno obteve apenas os valores de x tais que f(g(x)) = 0 e deduziu que a função f(x) é decrescente por ser modular.

B ) O aluno deduziu que a função fé crescente no intervalo 0 1

2 ,  



, pois o coeficiente angular da reta é positivo.

C ) O aluno considerou apenas que a função 2x2_{+ 8x – 9 possui ponto de mínimo, cujas coordenadas são}

− −   48  = − −

(

)

136 8 2 17 , , .

D ) O aluno obteve apenas os valores de x tais que f(g(x)) = 0 e deduziu que a função fé crescente no intervalo 0 1

2 ,    ,

pois o coeficiente angular da reta é positivo. E ) Gabarito.

f g x( ( )) | (=2x + − − = →4x 4 1 0) | |2x + − = →8x 9 0| 2x + − = → = − ±8x 9 0 x 8 136

4

2 2 2

A função f(x) = |2x – 1| é crescente no intervalo 1

2,∞

 



. A função 2x

2_{+ 8x – 9 possui ponto de mínimo, cujas}

coordenadas são − −  = − −

(

)

8 4 136 8 2 17 , , .

A ) Gabarito. Pelas informações do enunciado, temos

32 0 212 100 32 32 9 5 = ⋅ + = ⋅ + → = =    a b a b ;a .

B ) O aluno fez o seguinte cálculo: 212 100 32 180 100 100

180 5 9

= a+ → = a→ =a = .

C ) O aluno confundiu coeficiente angular com coeficiente linear. D ) O aluno dividiu 212 por 100.

E ) Ao resolver o sistema 32 0 212 100 32 = ⋅ + = ⋅ +    a b a , o aluno considerou a⋅100 244= → =a = 244 100 61 25.

(5)

Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

A ) O aluno dividiu 30 por 8.

B ) Gabarito. O gráfico é uma reta cuja forma é dada por y = ax + b. Utilizando essa informação e os valores mostrados

no gráfico, temos 8 30 32 80 0 48 6 4 0 48 6 4 = + = + → = = −    → = − a b a b a , ;b , y , x ,

Para x = 95 kg, temos y=0 48 95 6 4 39 2, ⋅ − , = , ; dividindo-se esse resultado por 4, conclui-se que em cada dose o

paciente receberá 9,8 miligramas. C ) O aluno dividiu 80 por 32.

D ) O aluno obteve a quantidade total, em miligramas, que o paciente deve ingerir em todo o tratamento e não o dividiu por 4.

E ) O aluno obteve y=0 48, x−6 4, e substituiu y por 95 kg, obtendo x igual a 184,5 mg

(95 0 48= , x+6 4, →101 4 0 48, = , ⋅ → =x x 100 92, .

Habilidade ENEM: 20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

A ) O aluno obteve o coeficiente angular e linear, mas não obedeceu à ordem de resposta.

B ) O aluno inverteu o sinal ao calcular o coeficiente linear b e não obedeceu à ordem de resposta.

C ) Gabarito. O gráfico é uma reta cuja forma é dada por y = ax + b. Utilizando essa informação e os valores

mostra-dos no gráfico, temos 8 30

32 80 0 48 6 4 0 48 6 4 = + = + → = = −    → = − a b

a b a , ;b , y , x , . Logo, o coeficiente angular é 0,48 e

o coeficiente linear é -6,4.

D ) O aluno inverteu o sinal do coeficiente linear b.

E ) O aluno inverteu o sinal dos coeficientes angular e linear.

(6)

A ) Ao encontrar a intersecção das retas, o aluno calculou

x+2 2x− = → + − = → = → =3 6 x 4x 6 6 5x 12 x 5 y= −

12

13 6

( ) ; .

B ) Ao encontrar a intersecção das retas, o aluno calculou x+2 2( x− = → + − = → = → =3 6) x 4x 6 6 5x 12 x 7;y=11.

C ) Ao encontrar a intersecção das retas, o aluno calculou x+ x− = → + − = → =x x x y

− = − 2 2 3 6 4 6 6 12 5 27 5 ( ) ; .

D ) Gabarito. A cidade de Recife está situada no ponto (3,3), que pertence à reta perpendicular à reta x + 2y = 6, cuja

equação é y− =3 2(x− → = −3) y 2x 3 A intersecção entre essas duas retas fornecerá o ponto em que o avião

passa mais próximo da cidade, ou seja, x+2 2x− = → + − = → =3 6 x 4x 6 6 x 12 y=

5 9 5

( ) ; . Portanto, as

coordena-das do ponto são 12

5 9 5 , .   

E ) O aluno calculou o ponto pertencente à reta x + 2y = 6, cuja coordenada do eixo x vale 3, encontrando o ponto

3 3

2

, .



 

argu-mentação.

A ) O aluno calculou a diferença entre as abscissas dos pontos (3, 3) e 12

5 9 5 , .   

B ) O aluno calculou a menor distância como sendo

d= _3−12_ + −_ _ = _− _ + −_ _ = + 5 3 9 5 9 5 6 5 81 25 36 25 2 2 2 2 == 117 5 .

C ) O aluno calculou a diferença entre as ordenadas dos pontos (3, 3) e 12

5 9 5 , .   

D ) O aluno calculou a diferença entre as abscissas e as ordenadas dos pontos (3, 3) e 12

5 9 5 ,   , somando os resultados em seguida.

(7)

E ) Gabarito. A cidade de Recife está situada no ponto (3,3), que pertence à reta perpendicular à reta x+ =2y 6 ,

cuja equação é y− =3 2(x− → = −3) y 2x 3. A intersecção entre essas duas retas fornecerá o ponto pelo

qual o avião passa mais próximo da cidade, ou seja, x+2 2x− = → + − = → =3 6 x 4x 6 6 x 12 y=

5 9 5

( ) ;

Por-tanto, as coordenadas desse ponto são 12 5

9 5 , 

 . Logo, a menor distância do avião à cidade do Recife é

d= _3−12_ + −_ _ = = 5 3 9 5 45 25 3 5 5 2 2 .

A ) Gabarito. O ponto de intersecção é dado por−13 +520 13 130= − →26 =650→ =650=

26 25

x x x x .

B ) O aluno deduziu que, como os coeficientes angulares são opostos um ao outro, as retas são perpendiculares; pelo coeficiente linear, concluiu que a oferta será sempre maior que a demanda.

C ) O aluno deduziu que, como os coeficientes angulares são opostos um ao outro, as retas são perpendiculares. D ) O aluno deduziu que, como os coeficientes angulares são opostos um ao outro, as retas são

perpendicula-res; pelo coeficiente linear, concluiu que a oferta será sempre maior que a demanda. Além disso, calculou

−13 +520 13 130= − →26 =390→ =390=

26 15

x x x x .

E ) Pelo coeficiente linear das duas retas, o aluno concluiu que a oferta será sempre maior que a demanda.

argu-mentação.

A ) O aluno inverteu os valores de x e de y.

B ) Gabarito. A reta r passa pelos pontos (0, 3) e (4, 0), ou seja, possui equação igual a x p y q x y _x _y _y x + = → + = → + = → = −1 4 3 1 3 4 12 12 3

4 Fazendo a intersecção dessas retas, temos:

12 3 4 0 5 1 12 3 2 4 16 5 16

5 3 5

(8)

C ) O aluno fez o seguinte cálculo: 12 3 4 0 5 1 12 3 2 4 16 5 16 5 13 5 − =x ( , x− → − = − → = → = −) x x x x ;y= − .

D ) O aluno fez o seguinte cálculo:

12 3 4 0 5 1 12 3 2 4 16 5 16 5 11 21

4

− =x ( , x− → − = − → = → = − =) x x x x ;y= − .

E ) O aluno considerou a intersecção das retas r y: = −12 3x

4 e s y: =0 5 1 como sendo o ponto, x−

12 3− =x 4 0 5 1( , x− → − = − → = − → = −) 12 3x 2x 4 8 x x 8;y= −3.

A ) O aluno obteve a coordenada y do centro em módulo. B ) O aluno obteve apenas o raio da circunferência.

C ) Gabarito. Completando quadrados na equação x2_{+ − + − =}y2 ₄x ₆y _{3 0}_temos

(x−2) (2+ +y 3)2− − − = → −4 9 3 0 (x 2) (2+ +y 3)2=16_{, ou seja, o raio da circunferência é igual a 4. Portanto, o}

diâmetro vale 8.

D ) O aluno obteve a coordenada y do centro e multiplicou seu módulo por 2.

E ) O aluno obteve a equação (x−2) (2+ +y 3)2=16_{, deduzindo que o raio é 16 8}_{= e concluindo que o diâmetro}

equivale a 16.

A ) O aluno deduziu que a medida da corda é a metade da largura do terreno.

B ) O aluno deduziu que a medida da corda é o resultado da subtração entre 20 e 16, que são as dimensões do terreno. C ) O aluno apenas aplicou o teorema de Pitágoras e não multiplicou o resultado por 2.

D ) Gabarito. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo cujos catetos medem 8 e 6, temos

x2_{= + → =}_{8 6}2 2 x2 ₁₀₀_{→ = . O comprimento da corda é o dobro da medida da hipotenusa calculada.}x ₁₀

(9)

A ) O aluno calculou as dimensões do retângulo, apresentando como solução a medida do segmento AB e o perímetro.

B ) O aluno apresentou a solução na ordem contrária. C ) O aluno calculou apenas as dimensões do retângulo.

D ) Ao calcular o perímetro, o aluno fez P= +

  = 15 13 13 13 28 13 13 .

E ) Gabarito. Como os pontos A e B estão sobre a reta r, suas coordenadas são (3, 5) e (0, 3). A distância entre esses

dois pontos é d₁₌ ₍_{0 3}_{− + −}_{) (}2 _{3 5}₎2 ₌ _{9 4}_{+ =} ₁₃_{, que representa a medida de dois lados do retângulo. A}

medida dos dois outros lados é encontrada calculando-se a distância entre os pontos A ou B e a reta s, ou seja,

d2 ₂ ₂ 2 0 3 3 6 2 3 15 13 13 = ⋅ − ⋅ − + − = | | ( ) A área é A= ⋅ ₌ 15 13 13 13 15 e o perímetro é P= +    = 2 15 13 13 13 56 13 13 .

argu-mentação.

A ) Gabarito. Calculando a abscissa do vértice, temos x b

a 1 ₂ 5 4 = − = e x2 1 4 =

A distância horizontal entre as partículas é dada por x x1 2

5 4 1 4 4 4 1 − = − = = . B ) O aluno calculou apenas a abscissa do vértice da parábola maior.

C ) O aluno calculou apenas a abscissa do vértice da parábola menor.

D ) O aluno calculou x x1 2 5 4 1 4 6 4 15 + = + = = , . E ) O aluno calculou x x1 2 5 4 1 4 6 8 3 4 + = + = = .

(10)

A ) O aluno deduziu que, como o fenômeno é representado por retas em ambos os casos, as taxas de absorção tanto no claro quanto no escuro são iguais.

B ) Gabarito. No claro, a função é y = 4x, ou seja, k₁ = 4. No escuro, a função é y = 2x, isto é, k₂ = 2; assim, k₁ = 2k₂.

C ) O aluno confundiu a taxa de absorção no claro com a taxa de absorção no escuro.

D ) Observando o gráfico, o aluno dividiu 16 por 4, deduzindo que essa seria a relação entre as taxas de absorção no claro e no escuro.

E ) Observando o gráfico, o aluno dividiu 4 por 16, deduzindo que essa seria a relação entre as taxas de absorção do claro e no escuro.

argumentação. Questão 18 Matemática Gabarito: C Comentários: A ) O aluno calculou y ax b= + →500000 300000= x→ =x 300000= 500000 3 5.

B ) O aluno entende que retas perpendiculares são retas que apenas se cruzam no plano.

C ) Gabarito. y ax b= + →280000 200000 100000= x+ → =x 180000=

200000 0 9, , logo y=0 9 100000, x+ .

D ) O aluno calculou y ax b= + →280000 200000 100000= x+ → =x 380000=

200000 19, , logo y=19 100000, x+ .

E ) O aluno calculou o ponto de intersecção como sendo determinado por

0 9 100000 5 3 100000 5 3 9 10 100000 4 7 175000 , x+ = x→ = x− x→ = − x x . − → =

(11)

A ) O aluno apresentou as soluções da equação x2_{− − = .}₆x _{7 0}

B ) O aluno obteve o vértice da parábola representada por x2_{− − = .}₆x _{7 0}

C ) O aluno apresentou a solução da equação x2_{− − = de maneira invertida.}₆x _{7 0}

D ) Gabarito. O ponto em que os dois maratonistas irão se encontrar novamente é a intersecção da reta 4y− = 3x 7

com a circunferência cuja equação geral é (x−3) (2+ −y 4)2=25

Assim, (x ) x x x x x x − + + −_ _ = − + + − +   = − 3 7 3 4 4 25 6 9 9 54 81 16 25 16 2 2 2 2 2 _{996 144 9} ₅₄ _{81 400} 25 150 175 0 6 7 0 2 2 2 x x x x x x x + + − + = − − = − − = .

A equação x2_{− − = tem como raízes –1 e 7. Os dois atletas partiram do ponto x = –1 e se encontrarão no-}₆x _{7 0}

vamente no ponto P₂ (7,7).

E ) O aluno obteve o vértice da parábola e inverteu os valores de ordenada e abscissa.

A ) O aluno apenas interpretou de maneira equivocada o ponto (40, 50) no plano cartesiano. B ) O aluno dividiu 40 por 50 no cálculo do coeficiente angular.

C ) O aluno obteve os valores numéricos certos, mas confundiu coeficiente linear com angular. D ) O aluno apenas interpretou o ponto (40, 50) do plano cartesiano.

E ) Gabarito. A expressão algébrica geral de uma reta é y = ax + b. Fazendo x = 0, temos 0 = 0 + b; daí se conclui que b = 0 (coeficiente linear). Para encontrar o valor de a, basta substituir o ponto (40, 50) na expressão geral, ou seja,

50 = 40a; o valor de a é 50

40 5 4

= (coeficiente angular).

(12)

A ) Gabarito. O desconto é igual a

B ) 282 282 265 282 17 17

282 0 06 6

− ⋅d = → ⋅d = → =d ≅ , = %.

C ) O aluno dividiu 282 por 1200 e converteu o resultado para porcentagem.

D ) O aluno deduziu que o desconto sobre o valor total equivale a 20%, já que esse foi o desconto dado sobre o preço do brigadeiro.

E ) O aluno subtraiu 265 de 282.

F ) O aluno dividiu 165 por 1200 e converteu o resultado em porcentagem.

A ) O aluno dividiu 320 por 500 e 278 por 1200, obtendo 0,64 e 0,23, respectivamente.

B ) Gabarito. As informações do enunciado conduzem ao seguinte sistema: 1200 500 320

1200 0 8 500 278 b c b c + = ⋅ + =    ( , )

Nesse caso, b é o valor unitário do brigadeiro e c é o valor unitário do cajuzinho. As soluções do sistema são b = 0,175 e c = 0,22.

C ) Para obter o valor de c, o aluno calculou 1200 0 175 500 320 500 320 210 530

500 106

⋅ , + c= → c= + → =c = , .

D ) Para obter o valor de c, o aluno calculou 1200 0 175 500 320 500 320 210 530

500 106

⋅ , + c= → c= + → =c = , ; além

disso, inverteu a ordem de apresentação das soluções.

E ) Para obter o valor de c, o aluno calculou 1200 0 175 500 320 500 320 210 530

500 0 94

⋅ , + c= → c= + → =c = ,

A ) O aluno calculou 145% de 36,75 e subtraiu os resultados.

(13)

C ) Gabarito. R$ 36,75 representam 245%. Logo, 100% é igual a R$ 15,00. D ) O aluno deduziu que o preço da carne subiu 45%.

E ) O aluno deduziu que, como são 10 meses, o preço da carne subiu R$ 14,50 por mês, resultado da divisão de 145 por 10.

Questão 24 Matemática Gabarito: D Comentários: A ) O aluno calculou 120 120 0 9 120 0 30 4 , , , , , . − = = B ) O aluno calculou 120 0 9 120 0 30 120 0 25 , , , , , , . − ₌ ₌ C ) O aluno calculou 1 120 0 9 120 1 0 30 120 1 0 25 0 75 75 − , − , = − = − = = , , , , , %.

D ) Gabarito. Antes do meio-dia: 72

60= , reais/kg. Após o meio-dia: 120

90 72 80 60

18

20 0 9

−

− = = , real/kg. Logo, a redução

percentual é igual a 120 09 120 0 30 120 0 25 25 , , , , , , %. − ₌ ₌ ₌

E ) O aluno fez o seguinte cálculo para o valor após o meio-dia: 80 60

90 72 20

18 11

−

− = = , real/kg. Logo, obteve este valor

como redução percentual: 120 11

120 0 1 120 0 083 8 3 , , , , , , , %. − = = =

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

Habilidade ENEM: 4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre

afir-mações quantitativas.

A ) Gabarito. O preço do quilograma é 72

60= , reais/kg. A arrecadação com esse valor é de 80 . 1,20 = 96 reais. 120

Como o valor arrecadado foi de R$ 90,00, o percentual de desconto é igual a 96 90

96 6

96 0 0625 6 25

− = = , = , % .

B ) Como o preço do quilograma é 72

60= , reais/kg e a arrecadação com esse valor seria de 80 . 1,20 = 96 reais, o 120

(14)

C ) O aluno subtraiu 72 de 90. D ) O aluno calculou 80 60 90 72 20 18 111 − − = ≅ , .

E ) O aluno fez o seguinte cálculo: 96

96 90 96

6 16

− = = %.

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

Habilidade ENEM: 4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre

afir-mações quantitativas.

A ) O aluno considerou que a taxa de variação é dada por 5590 75

5590 75 5039 5590 75 55175 10 1 , , , , , %. − = = B ) O aluno calculou 5590 75 5039 5039 55175 5039 0 109 10 9 , − ₌ , ₌ _, ₌ _{, %.} C ) O aluno calculou 5590 75 5039 110 , ₌ _{, .} D ) O aluno calculou 5039 5590 75, =0 9, .

E ) Gabarito. A taxa de variação é dada por 5590 75 5039

5590 75 55175 5590 75 0 0986 9 86 , , , , , , %. − ₌ ₌ ₌

A ) O aluno somou as porcentagens correspondentes aos acréscimos.

B ) Gabarito. Sendo o custo total do aparelho representado por x, os componentes importados têm um aumento

expresso por 120 20

100

, ⋅ ⋅C e os componentes nacionais têm um aumento expresso por 110 80

100 , ⋅ ⋅C . Assim, o custo total é equivalente a 120 20 100 110 80 100 0 24 0 88 112

, ⋅ ⋅ +C , ⋅ ⋅ =C , C+ , C= , C , ou seja, o aumento no custo total foi de 12%.

(15)

D ) O aluno calculou 120 20

100 110

80

100 0 24 0 88 112

, ⋅ ⋅ +C , ⋅ ⋅ =C , C+ , C= , %.

E ) O aluno considerou apenas o acréscimo no preço dos componentes nacionais: 110 80

100 0 88 88

, ⋅ = , = %.

A ) O aluno calculou 0 9, x=12 6, → =x 12 6 0 9 1170, − , = , .

B ) O aluno calculou 40% de R$ 9,00 e somou o resultado a R$ 9,00.

C ) Gabarito. O preço de venda é expresso por 0,9x, e o lucro, por 0,4 . 9 . Logo, 0 9 12 6 12 6

0 9 14

, , ,

,

x= → =x = .

D ) O aluno calculou 10% de R$ 9,00 e subtraiu o resultado de R$ 9,00.

E ) O aluno deduziu que, para obter um lucro de 40% mesmo após conceder um desconto de 10%, a empresa deveria vender a mercadoria por 50% a mais que o custo de fabricação; 150% de R$ 9,00 equivalem a R$ 13,50.

A ) O aluno calculou 8,5% de 4. B ) O aluno calculou 5,9% de 4.

C ) O aluno calculou 8,5% de 4 e subtraiu o resultado de 16,27.

D ) Gabarito. 8 5 5 9 16 27 96

8 5 113

, , ,

, , .

x= ⋅ → ≅x ≅

E ) O aluno calculou 5,9% de 16,27, obtendo 0,95.

Competência ENEM: 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução

de problemas do cotidiano.

Habilidade ENEM: 16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente

(16)

Questão 30 Matemática Gabarito: E Comentários: A ) O aluno calculou M C C i t= + ⋅ ⋅ → =2C C(1+ ⋅ → = +i t) 2 1 0 2, ⋅ → =t 1 0 2, ⋅ → =t t 5. B ) O aluno calculou M C= (1+ → =i)t 2C C(1+ → = +i)t 2 1 0 2( , )t→ ⋅ = =2 12, t 2 4, . C ) O aluno calculou M C= ( + → =i)t C C( + → = +i)t ( , )t→ = =t , , . 1 2 1 2 1 0 2 2 12 16 D ) O aluno calculou M C C i t= + ⋅ ⋅ → =2C C(1+ ⋅ → = +i t) 2 1 0 2, ⋅ → =t 3 0 2, ⋅ → = −t t 3 0 2 2 8, = , . E ) Gabarito. M C= + → =it C C + → = +i t t→ =t    ( ) ( ) ( , ) log log log , 1 2 1 2 1 0 2 2 2 12 10 12 == → ⋅ + − = ≅ t 0 3 2 0 3 0 47 1 0 3 0 07 4 2 , , , , , , .

A ) Gabarito. Pela fórmula de De Moivre, temos z i sen z i sen

z = _ + ⋅ _→ = _ + ⋅ _ = 2 12 12 2 8 12 8 12 25 8 8 8 cosπ π cos π π 66 2 3 2 3 cos π+ ⋅ π .   i sen 

B ) O aluno não multiplicou o argumento pelo expoente do número complexo.

C ) O aluno confundiu seno e cosseno na expressão que representa a forma trigonométrica. D ) O aluno não elevou o módulo à oitava potência.

E ) O aluno calculou 28_{= 16, obtendo z}8 ₁₆ 2 _{i sen}

3

2 3

= _cos π+ ⋅ π_.

(17)

A ) O aluno apresentou a solução fora da ordem solicitada.

B ) Gabarito. O número complexo z é igual a z= _ + ⋅i sen _ = − + ⋅ i

   5 2 3 2 3 5 1 2 3 2

cos π π . Como zw = 1, temos

(a bi+ ⋅ − + ⋅)  i a   = → = − 5 1 2 3 2 1 1 10 e b= − 3

10 . Logo o número complexo w é igual a w

i = − −1 10 3 10 . O mó-dulo de w é _− _ + −    = = 1 10 3 10 4 100 1 5 2 2 . O argumento é cos / / / θ =1 10=

1 5 1 2 . Como o número complexo

w está no terceiro quadrante, o argumento é igual a 240˚ ou 4 3

π

C ) O aluno calculou as partes real e imaginária do número complexo w, deixando o módulo (parte real) positivo.

D ) O aluno multiplicou 5 por 2

3

π_{, deduzindo que esse valor é o argumento e que 1 é o módulo de w, pois. zw = 1}

E ) O aluno calculou o módulo de w como sendo _− _ + −

   = = = 1 10 3 10 4 5 2 5 2 5 5 2 2 e o argumento como sendo cosθ= ⋅1 = ⋅ ⋅ = → =θ π. 10 2 5 5 1 10 2 25 5 1 2

argu-mentação.

A ) O aluno somou os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo. B ) O aluno eliminou o denominador após realizar a soma das razões.

C ) Gabarito. tgx senx

x senx x

= 2→ = 2→ = 2

cos cos

Substituindo esse resultado na primeira expressão, temos

cosx⋅ 2cosx= 2 →cos x= →cosx= →secx=

3 1 3 3 3 3 2 _{; cossecx}₌ 6 2 ; cotgx= 2 2 . Portanto, a soma

(18)

D ) O aluno calculou 6= 3+ 3. Assim, 1 2 2 3 2 6 1 2 4 3 2 + +

(

)

=

(

+

)

.

E ) O aluno calculou 2 3= 6. Assim, 1

2 2 3 2 6

1

2 2 6 2

+ +

(

)

=

(

+

)

.

argu-mentação.

A ) O aluno calculou a tangente do ângulo α no triângulo POB e obteve tgα=PB→ =PB tgα

1 , deduzindo pela

ima-gem que a medida CP é o dobro de PB e concluindo que a medida do segmento BC é igual a 3 tg α.

B ) No triângulo POB, o aluno calculou cosα=PB→ =PB cosα

1 e, por semelhança de triângulos, obteve

1 1

cosα = → =secα

CP

CP , concluindo que BC é igual a cos α + sec α.

C ) No triângulo POB, o aluno calculou senα=PB→ =PB senα

1 1

cosα = → =cossecα

CP

CP , concluindo que BC é igual a sen α + cossec α.

D ) Gabarito. No triângulo POB, tgα=PB→ =PB tgα

1 ; por semelhança de triângulos,

1 1 tg

CP _CP _g

α= → = cot α;

logo, BC é igual a tg α + cotg α.

E ) No triângulo POB, o aluno calculou tgα=PB→ =PB tgα

1 1

tgα=CP→CP tg= α. , concluindo que BC é igual a 2 tg α.

argu-mentação.

A ) O aluno utilizou a fórmula de juros simples: M C C i t C= + ⋅ ⋅ = (1 0 08 3+ , ⋅ →) 8820=C( , )124 → =C 6451.

(19)

C ) O aluno calculou M C₌ ₍₁_{+ =}i₎t C₍_{1 0 08}₊ _{, )}3_→₈₈₂₀₌C_{( , )}_{3 24} _{→ =}C _{2722 22}_{, .}

D ) O aluno calculou 0 08 8820 3 2116 80, ⋅ ⋅ = , → =C 8820 2116 80 6703 20− , = , .

E ) Gabarito. M C₌ ₍₁_{+ =}i₎t C₍_{1 0 08}₊ _{, )}3_→₈₈₂₀₌C_{( , )}₁₂₆ _{→ =}C ₇₀₀₀_.

A ) O aluno calculou M C=

( )

1+i t=12000 1 0 08

(

+ _,

)

2=12000 108⋅_, 2=12000 2 16 25920⋅ _, =

B ) O aluno utilizou 7,5% como taxa de juros e fez o seguinte cálculo:

M C=

( )

1+i t=12000 1 0 075

(

+ _,

)

2=12000 1075 12000 2 15 25800⋅ _, 2= ⋅ _, = _.

C ) O aluno utilizou a fórmula dos juros simples:

J C i t= ⋅ ⋅ =12000 0 08 2 1920⋅ , ⋅ = → = + → =M J C M 12000 1920 13920+ = .

D ) O aluno utilizou 7,5% como taxa de juros e fez o seguinte cálculo:

M C=

( )

1+i t=12000 1 0 075

(

+ _,

)

2=12000 1075 12000 1155 13860⋅ _, 2= ⋅_, = _.

E ) Gabarito.

M C=

( )

1+i t=12000 1 0 08

(

+ _,

)

2=12000 108⋅ _, 2=12000 11664 13996 8⋅ _, = _{, .}

A ) Gabarito. Chamando de v o valor inicial depositado e de i a taxa de juros: no primeiro mês, o montante é igual a v;

no segundo mês, é igual a (v iv v+ + = + +) (1 i v v) ; no terceiro mês, é igual a (1₊_{i v})2 _{+ + +}(1 _{i v v , e assim sucessi-})

vamente. Para n meses, o montante é dado por v_{+ + + +}₍₁ i v₎ ₍₁ i v₎2 _{+ +}₍₁ i v₎3 _{+ + +}_{... (}₁ i v₎n _{, que representa a soma}

dos termos de uma PG, ou seja, S a q

q v i i v i i n n n n = + − = − +− + = + − 11 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

. Como 30 anos equivalem a 360 meses,

temos S₃₆₀ 275 1 0 007360 1

0 007 444 321 42

= (( + , ) − ≅)

, . , .

B ) O aluno multiplicou R$ 2 500,00 por 30.

C ) O aluno calculou S360 360 275 1 0 007 1 0 007 522892 85 = (( + , ) + ≅) , , .

(20)

D ) O aluno calculou S360 275 12 31 0 007 483 607 14 = ( , )≅ , . , . E ) O aluno calculou S₃₆₀ 275 1 0 007360 1 0 007 275 362 52 1 0 007 142 811 4 = (( + , ) + =) + ≅ , ( , )

, . , 22. Além disso, não deslocou a vírgula

de maneira adequada após utilizar o algoritmo da multiplicação.

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. Habilidade ENEM: 2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

A ) O aluno calculou a taxa mensal de juros e a multiplicou por 12. B ) Gabarito.

M C₌ ₍₁_{+ →}i₎t _{1040 60 1000 1}_, ₌ _{⋅ + →}₍ i₎ 1040 60, _{= + →}₍ i₎ _, _{= + →}i

1000 1 104 1

2 2 _{1102 1}_, _{= + → =}_i _i _{0 02}_,

0,02 = 2% ao mês. Logo, a taxa anual x é x= +(1 0 02, )12− =1 0 2682 26 82, = , %.

C ) O aluno utilizou a fórmula de juros simples:

J C i t= ⋅ ⋅ →40 60 1000 2= ⋅ ⋅ →i 40 60= =i

2000 2 03

, , , % ao mês; multiplicando esse valor por 12, chegou à taxa anual

equivalente a 24,36%.

D ) O aluno calculou a taxa mensal utilizando a fórmula de juros simples.

E ) O aluno dividiu 1040,60 por 1000, multiplicou o resultado por 100 e deduziu que o excedente de 100% correspon-de à taxa correspon-de juros x.

A ) O aluno utilizou a taxa do crédito pessoal: 1670 25 1 5 675

100 1670 25 105675 1580 55 , , , , , . = ⋅ +C _ _→ =C = B ) O aluno subtraiu 136,3 de 1670,25. C ) Gabarito. 1670 25 1 1135 100 1670 25 11135 1500 , , , , . = ⋅ +C _ _→ =C =

D ) O aluno fez o seguinte raciocínio: R$ 1670,25 equivalem a 136,3%, portanto R$ 1225,45 equivalem a 100%, que foi o valor inicial utilizado.

(21)

A ) O aluno somou 3% com 5%. B ) O aluno dividiu 5 por 3. C ) O aluno dividiu 3 por 5.

D ) Gabarito. A redução percentual é dada por 941 892

941 0 052 5 2

− ₌ _, ₌ _{, %.}

E ) O aluno subtraiu 3 de 5.

Questão 41 Matemática Gabarito: A Comentários: A ) Gabarito. 26900 3 100 26900 26093 − ⋅ = . B ) O aluno subtraiu R$ 941 de R$ 26900. C ) O aluno subtraiu R$ 892 de R$ 26900.

D ) O aluno fez o seguinte cálculo: 26900 10

100 26900 24210

− ⋅ = .

E ) O aluno adicionou R$ 941 a R$ 892 e subtraiu esse resultado de 26 900, obtendo R$ 25 067,00.

A ) O aluno dividiu 3,52% por 12.

B ) Gabarito. 3 52

11 0 32

, ,

= .

C ) O aluno considerou 0,38% como o valor que representa a taxa fixada em junho de 2012. D ) O aluno deduziu que a inflação acumulada nos últimos 12 meses é equivalente a 6,40%. E ) Ao comparar 0,38 com 0,32, o aluno deduziu que a diferença é de 0,6%.

(22)

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os

números naturais, inteiros, racionais e reais.

Habilidade ENEM: 4 – Avaliar a razoabilidade de um

resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

A ) O aluno dividiu 382,71 por 380,97. B ) O aluno dividiu 380,97 por 382,71. C ) Gabarito. 382 71 380 97 380 97 174 380 97 0 45 , , , , , , %. − ₌ ₌

D ) O aluno dividiu 17 por 31, obtendo 17

31= , e de-0 54

duzindo que esse número está em porcentagem. E ) O aluno fez o seguinte cálculo:

382 71 380 97 380 97 763 68 380 97 2 00 , , , , , , %. + ₌ ₌

Habilidade ENEM: 3 – Resolver situação-problema

en-volvendo conhecimentos numéricos.

A ) O aluno dividiu 0,74 por 0,24.

B ) O aluno interpretou que 0,24% é equivalente a 24

100.

C ) O aluno interpretou que 0,74% é equivalente a 74

100.

D ) Gabarito. A variação percentual acumulada é igual a

10024 10074 1 0 0098 0 98, ⋅, − = , = , %.

E ) O aluno dividiu 0,74 por 0,24.

Habilidade ENEM: 1 – Reconhecer, no contexto social,

diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.

A ) O aluno adicionou os três valores do gráfico e dividiu a soma por 3 (calculou a média aritmética).

B ) O aluno calculou a inflação acumulada dos três pri-meiros meses do gráfico (fevereiro, março e abril). C ) O aluno fez o seguinte cálculo:

10064 10036 10008 101, ⋅, ⋅, = , .

D ) O aluno calculou a inflação acumulada no segundo trimestre.

E ) Gabarito. A inflação acumulada no primeiro trimes-tre corresponde ao aumento percentual com base nos meses de janeiro, fevereiro e março. Pelo texto, em janeiro de 2012 a taxa ficou em 0,56%; pelo grá-fico, as taxas em fevereiro e março equivalem a 0,45 e 0,21, respectivamente. Logo, o aumento é dado

por 10056 10045 10021 10122, ⋅, ⋅ , = , , que equivale a

0,0122 = 1,22%.

Competência ENEM: 1 – Construir significados para

os números naturais, inteiros, racionais e reais.

Habilidade ENEM: 3 – Resolver situação-problema

(23)

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Nome da Escola: _______________________________________________________________ Aluno(a): _____________________________________________________________________ Série: ______________________ Turma: ___________________________________ Data: ______________________ Assinatura: ________________________________ 1 A E C B D 24 A E C B D 13 A E C B D 36 A E C B D 2 A E C B D 25 A E C B D 14 A E C B D 37 A E C B D 3 A E C B D 26 A E C B D 15 A E C B D 38 A E C B D 4 A E C B D 27 A E C B D 16 A E C B D 39 A E C B D 5 A E C B D 28 A E C B D 17 A E C B D 40 A E C B D 6 A E C B D 29 A E C B D 18 A E C B D 41 A E C B D 7 A E C B D 30 A E C B D 19 A E C B D 42 A E C B D 9 A E C B D 32 A E C B D 21 A E C B D 44 A E C B D 23 A E C B D 45 A E C B D 11 A E C B D 34 A E C B D 8 A E C B D 31 A E C B D 20 A E C B D 43 A E C B D 22 A E C B D 10 A E C B D 33 A E C B D 12 A E C B D 35 A E C B D GABARITO

(24)