Exercícios TP/P. 1 Condições de optimalidade - Restrições de igualdade

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Campus de Gualtar Escola de Engenharia

4710-057 Braga - P Departamento de Produção e Sistemas

Exercícios TP/P

Mestrado e curso de especialização em Engenharia Industrial - MEI

Ramo Logística e Distribuição

Ano Lectivo 2004/2005

1 Condições de optimalidade - Restrições de igualdade

1.1 Considere o problema min x∈IR2x 2 1+ x 2 1x 2 3+ 2x1x2+ x42+ 8x2 s.a 2x1+ 5x2+ x3 = 3. Verifique se os pontos xa= (0, 0, 2), xb = (0, 0, 3), xc = (1, 0, 1): (a) são pontos estacionários da Lagrangeana;

(b) são minimizantes locais, maximizantes locais ou pontos de descanso.

1.2 Use as condições de optimalidade para determinar o rectângulo cujos lados são paralelos aos eixos e que tem o maior perímetro inscrito na elipse

x2₁ a2 +

x2₂ b2 = 1.

NOTA: Considere o vértice (x1, x2) do rectângulo no primeiro quadrante.

1.3 Use as condições de optimalidade para determinar um maximizante e um minimizante da função x1x2 que pertence à circunferência

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1.4 Considere o problema de optimização não linear com restrições de igualdade min 3x1− 4x2

s. a (x1+ 1)2+ x22− 1 = 0

(x1− 1)2+ x22− 1 = 0.

Calcule os pontos admissíveis. Verifique se são pontos regulares. Verifique ainda se os pontos encontrados satisfazem as condições KT.

1.5 Calcule um ponto estacionário da Lagrangeana associada ao problema não linear com restrições de igualdade

min x4₁x2₂+ x2₁x4₃+1

2x1x2+ x3 s. a x1+ x2+ x3 = 1.

Verifique se a condição suficiente de 2a _{ordem para um minimizante local forte é}

satis-feita.

1.6 Calcule os pontos estacionários da Lagrangeana associada ao problema não linear com restrições de igualdade

min x2₁− x2 2

s. a x2

1+ 2x22 = 4.

Destes, quais são os minimizantes e maximizantes locais fortes? 1.7 Considere o seguinte problema de optimização

min x∈IR4f (x) ≡ (x1− 2) 2 + (x2− 2) 2 + (x3− 3) 2 + (x4− 4) 2 sujeito a c1(x) ≡ x1− 2 = 0 c2(x) ≡ x23+ x24− 2 = 0.

Verifique as condições necessárias e suficientes de optimalidade.

1.8 Verifique se o ponto x∗ = (2.5, −1.5, −1)T _{satisfaz as condições de optimalidade do}

problema min x∈IR3x 2 1− 2x1+ x22− x 2 3+ 4x3 s.a x1− x2+ 2x3 = 2. 1.9 Considere o problema min x∈IR3x 2 1+ x 2 1x 2 3+ 2x1x2+ x42+ 8x2 s.a 2x1+ 5x2+ x3 = 3. Verifique se os pontos

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• (0, 0, 2)T • (0, 0, 3)T • (1, 0, 1)T

(a) são pontos estacionários da Lagrangeana.

(b) são minimizantes locais, maximizantes locais ou pontos de descanso. 1.10 Seja An×m uma matriz de característica igual a m (m ≤ n).

Determine os pontos do conjunto

ATx = b (x ∈ IRn, b ∈ IRm) que minimizam f (x) = 1₂xT_x.

1.11 Um ponto x∗ é regular se a matriz do Jacobiano das restrições, ∇c (x∗)T_n×m, tiver característica igual a m (m ≤ n), isto é, se tiver m linhas linearmente independentes. Para c1(x) = x12+ x22+ x32− 3 = 0 e c2(x) = 2x1− 4x2+ x32+ 1 = 0, verifique se o

ponto x∗ = (1, 1, 1)T _{é regular.}

1.12 Calcule um ponto estacionário da Lagrangeana associada ao problema

min x∈IR3x 4 1x22+ x21x43+ 1 2x 2 1+ x1x2+ x3 s.a x1+ x2+ x3 = 1. 1.13 Considere o problema min x∈IR22 x 2 1+ x 2 2 − 1 − x1 s.a x12+ x22− 1 = 0.

Mostre que x∗ = (1, 0)T _{é um minimizante e λ}∗ ₌ 3

2 é o vector dos multiplicadores associado a ele.

2 Método de programação quadrática sequencial

2.1 Usando o método da programação quadrática sequencial, resolva o seguinte problema: min x∈R34x 2 1+ 2x 2 2+ 2x 2 3− 33x1+ 16x2− 24x3 sujeito a 3x1− 2x22 = 7 4x1+ x23 = 11

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Use (x1, x2, x3) (1)

= (4, −3, 4) e λ(1) = (1, 1)T.

Implemente duas iterações usando a eliminação de Gauss com pivotagem parcial na resolução do sistema KT e introduza a função Mérito, com µ = 0.001.

2.2 Tendo como objectivo fabricar latas cilíndricas com um volume de 1000cm3 _e

tapá-las em ambas as extremidades, qual deverá ser o raio da base e a altura da lata de modo a minimizar a quantidade de placa metálica, em termos de área superficial? Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Con-sidere os seguintes valores iniciais (r, h)1 _{= (5, 10) e λ}1 _{= 1. Na condição de Armijo}

use µ = 0.001. Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.3 Pretende-se desenhar um tanque cilíndrico em que as extremidades são segmentos

esféricos, tal como mostra a figura. Despreza-se a espessura das paredes. A área da superfície e o volume de cada um dos segmentos esféricos (se) são dados por

Ase = π(h2+ r2) Vse=

1 6πh(3r

2_{+ h}2_).

A área e o volume da parte cilíndrica (c) são dados por

Ac = 2πrL Vc = πr2L.

Calcule os valores óptimos de h, r e L que maximizam o volume total do tanque, sabendo que a área total da superfície é 0.2m2_.

Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Como valores iniciais use (r, h, L)1 = (0.1, 0.05, 0.05)T e λ1 = 1. Na condição de Armijo use µ = 0.001. Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.4 Considere a porção de uma esfera com raio r, em que a altura do segmento esférico é

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é máximo, para uma área da superfície A fixa. Assim, o problema pode ser formulado como

max v(r, h) = πh2(r − h 3)

com 2πrh = A. Considerando A = 100, implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Como valores iniciais use (r, h)1 = (10, 2) e λ1 _{= 1.}

Na condição de Armijo use µ = 0.001. Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.5 No planeamento da produção de dois produtos, uma determinada companhia espera

obter lucros iguais a P :

P (x1, x2) = α1(1 − e−β1x1) + α2(1 − e−β2x2) + α3(1 − e−β3x1x2) − x1− x2

em que x1 é a quantia gasta para produzir e promover o produto 1, x2 é a quantia

gasta para produzir e promover o produto 2, e os α0_is e β_i0s são constantes definidas. P , x1 e x2 estão em unidades de 105euros. Sabendo que a quantia total a ser gasta

é de 2 × 105euros, determine o máximo de P e os valores óptimos de x1 e x2 sob as

seguintes condições:

α1 = 3, α2 = 4, α3 = 1, β1 = 1.2, β2 = 1.5 e β3 = 1.

Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Como valores iniciais use (x1, x2)1 = (1, 1) e λ1 = 1. Na condição de Armijo use µ =

0.001. Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.6 Qual o ponto da esfera x2

1 + x22 + x23 = 1 que está mais afastado do ponto (1, 2, 3)?

Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Como valores iniciais use (x1, x2, x3)1 = (−0.2, −0.3, −0.4) e λ1 = 1. Na condição de Armijo

use µ = 0.001. Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

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2.7 Numa empresa, a procura anual de um produto é de p = 200 unidades. Para satisfazer os seus clientes, a empresa faz pedidos de compra de q unidades de cada vez, p/q vezes por ano. Seja c1 = 60 cêntimos o custo de cada pedido de compra. A duração do

intervalo entre pedidos é q/p, e a quantidade deste produto em stock em cada intervalo, decresce uniformemente de q a 0, de tal forma que o stock em média é de q/2. O custo de armazenamento do produto é de 8 cêntimos, por unidade de produto e por unidade de tempo.

Suponha porém que a empresa tem alturas em que o stock se esgota. Se c3 = 5 cêntimos

é o custo resultante da falta de produtos para venda, por unidade de produto e por unidade de tempo, então, o custo total deste problema de controlo de inventário passa a ser f (q, s) = p qc1+ (q − s)2 2q c2 + s2c3 2q

em que s representa o número de produtos em falta. A relação entre q e s tem que ser em cada instante

|q| + |s| = 10.

Esta restrição não suave pode ser transformada nas quatro restrições seguintes: x1+ x2 = 1, −x1− x2 = 1, −x1 + x2 = 1, x1− x2 = 1

Pretende-se determinar as quantidades q e s, por forma a minimizar o custo total. Considere como valores iniciais (q, s)1 _{= (70, 41) e λ}1 _{= (1, 1, 1, 1). Implemente duas}

iterações do método da programação quadrática sequencial. Na condição de Armijo use µ = 0.001. Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.8 Considere o seguinte problema

min x∈IR3f (x) ≡ (x1− 1) 2 + (x1 − x2)2+ (x2− x3)4 s. a x1 1 + x22 + x 4 3 = 4 + 3 √ 2.

Implemente 2 iterações do método programação quadrática sequencial com função mérito, utilizando x1 = (1.5, 1.5, 1.5)T_{, λ}1 _{= 1, µ = 0.05.}

2.9 Resolva o seguinte problema, usando o método de programação quadrática sequencial: min x∈IR34x 2 1+ 2x 2 2+ 2x 2 3− 33x1+ 16x2− 24x3 sujeito a 3x1− 2x22 = 7 4x1+ x23 = 11.

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Implemente duas iterações deste método com função mérito, tendo como base o algo-ritmo das repetidas divisões de α por dois.

Use x1 _{= (4, −3, 4)}T_{, λ}1 _{= (1, 1)}T _{e µ = 0.005.}

2.10 Considere o seguinte problema de optimização

min x∈IR4f (x) =(x1− 2) 2_{+ (x} 2− 2)2+ (x3− 3)2+ (x4− 4)2 s.a c1(x) = x1 − 2 = 0 c2(x) = x23 + x 2 4− 2 = 0

(a) Verifique as condições de 1a ordem no problema.

(b) Sabendo que x1 _{= (1, 1, 1, 1)}T _{e λ}1 _{= (0, 0)}T_{, determine o minimizante da função}

f (fazendo 2 iterações) usando o método de programação quadrática sequencial. 2.11 Considere o seguinte problema

min x∈IR3f (x) =(x1− 1) 2_{+ (x} 1− x2)2+ (x2− x3)4 s.a x1(1 + x22) + x 4 3 = 4 + 3 √ 2 em que x1 _{= (1.5, 1.5, 1.5)}T_{, λ}1 _{= 1 e µ = 0.05.}

Implemente 2 iterações do método de programação quadrática sequencial. 2.12 Considere o seguinte problema

min x∈IR2f (x) =x 2 1+ 4x 2 2 s.a x1+ 2x2 = 1 com x1 _{= (1, 1)}T_{, λ}1 _{= 1 e µ = 0.08.}

Implemente 2 iterações do método de programação quadrática sequencial.

2.13 Use o método de programação quadrática sequencial para calcular a solução do pro-blema

min

x∈IR2e

3x1+4x2

s.a x2₁+ x2₂ − 1 = 0.

Tome como aproximação inicial a x∗, o ponto (−0.7, −0.7)T _{e λ}1 _{= −0.01. Sem}

intro-duzir a função Mérito, verifique que na quarta iteração atinge para k∇xLk um valor

da ordem de 10−6 e para kck um valor da ordem de 10−5 (x5 _{= (−0.59988, −0.80013)}T

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2.14 Considere o seguinte problema

min

x∈IR2f (x) =(1 − x1)

2

s.a 10 x2− x21 = 0

e como condições iniciais: x1 = (−1.2, 1)T e λ1 = 1.

Determine o minimizante da função, implementando 2 iterações do: (a) Método da programação quadrática sequencial.

(b) Método da programação quadrática sequencial com função Mérito (µ = 0.08).

3 Método de penalidade sequencial

3.1 Dada a função f : IR3 _{→ IR definida por}

f (x1, x2, x3) = 0.01 (x1− 1)2+ x2− x21

2 e a restrição

x1+ x23 = −1,

construa a função de penalidade baseada na função de penalidade l2.

Relativamente à técnica de penalidade para o cálculo do mínimo do problema proposto e para ρ1 _{= 1, (x}

1, x2, x3)1 = (2, 2, 2), γ = 10 e ε3 = 0.1, implemente duas iterações.

Na resolução do subproblema sem restrições pelo método de segurança de Newton, apresente os cálculos relativos a uma iteração. Tome η = 10−8.

Na procura unidimensional, baseada na técnica de Armijo, use µ = 0.00001. 3.2 Considere o seguinte problema de optimização (hs032.mod)

min x∈IR3(x1+ 3x2+ x3) 2 + 4 (x1− x2) 2 s.a 6x2+ 4x3− x31 ≥ 3 x1+ x2+ x3 = 1

Implemente em MATLAB um método de penalidade sequencial (com a função de penalidade l1), que faça um pré-determinado número de iterações.

Use ρ1 _{= 1 (valor inicial para o parâmetro de penalidade), γ = 10 (factor de}

actuali-zação do parâmetro de penalidade) e x10 = (0.1, 0.7, 0.2)T (aproximação inicial). Proceda a alguns testes modificando o valor inicial e o factor do parâmetro de penali-dade.

Experimente o mesmo problema com a função de penalidade l2.

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3.3 Três estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais econó-mica possível. Os custos individuais de operação de cada uma das estações são dados por

f1 = 0.1 + 0.25x

f2 = 0.08 + 0.12y + 0.00125y2

f3 = 0.05 + 0.09z + 0.001z2+ 0.0001z3

em que x, y e z são as energias fornecidas pelas três estações (em M W att). Determine os valores de x, y e z que minimizam o custo total se a energia total a ser fornecida for de 100M W att, implementando duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l2. Como parâmetros de entrada do algoritmo,

consi-dere ρ1 = 1, γ = 10 e (x, y, z)1 _{= (30, 20, 50). Identifique, em cada iteração, os valores}

das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = 0.000001, ε = 0.05, µ1 = 0.001 e µ2 = 0.9).

3.4 Tendo como objectivo fabricar latas cilíndricas com um volume de 1000cm3 e tapá-las em ambas as extremidades, qual deverá ser o raio da base e a altura da lata de modo a minimizar a quantidade de placa metálica, em termos de área superficial? Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ1 = 1, γ = 10 e

(r, h)1 _{= (5, 10). Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o}

critério de paragem.

NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = 0.000001, ε = 0.05, µ1 = 0.001 e µ2 = 0.9.)

3.5 A soma dos comprimentos das doze arestas de uma caixa rectangular é 20m e a soma das áreas das seis faces da caixa é 16m2. Calcule o comprimento das arestas x1, x2 e

x3 (x1 ≥ x2 ≥ x3) de forma a maximizar a diferença do volume da caixa em relação ao

volume de um cubo cujas arestas são iguais à menor das arestas da caixa. Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l2.

Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ1 _{= 1, γ = 10 e (x}

1, x2, x3)1 =

(1, 1, 0.5). Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = 0.000001, ε = 0.05, µ1 = 0.001 e µ2 = 0.9).)

3.6 Considere a porção de uma esfera com raio r, em que a altura do segmento esférico é h. Determine os valores de r e h de tal forma que o volume, v, desse segmento esférico é máximo, para uma área da superfície A fixa. Assim, o problema pode ser formulado como

max v(r, h) = πh2(r − h 3)

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com 2πrh = A. Considerando A = 100, implemente duas iterações do método de pe-nalidade sequencial baseado na função de pepe-nalidade l2. Como parâmetros de entrada

do algoritmo, considere ρ1 _{= 1, γ = 10, (r, h)}1 _{= (10, 2) e λ}

1 = 1. Na condição de

Armijo use µ = 0.001. Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

3.7 Pretende-se desenhar um tanque cilíndrico em que as extremidades são segmentos esféricos, tal como mostra a figura. Despreza-se a espessura das paredes. A área da superfície e o volume de cada um dos segmentos esféricos (se) são dados por

Ase = π(h2+ r2) Vse=

1 6πh(3r

2_{+ h}2_).

A área e o volume da parte cilíndrica (c) são dados por Ac = 2πrL Vc = πr2L.

Calcule os valores óptimos de h, r e L que maximizam o volume total do tanque, sabendo que a área total da superfície é 0.2m2_.

Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere

rho1 _{= 1, γ}

1 = 10 e (r, h, L)1 = (0.1, 0.05, 0.05). Na condição de Armijo use µ =

0.001. Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

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N OT A : Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = 0.000001, ε = 0.05, µ1 = 0.001 e µ2 = 0.9).

3.8 Qual o ponto da esfera x2

1 + x22 + x23 = 1 que está mais afastado do ponto (1, 2, 3)?

Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ1 = 1 , γ = 10 e

(x1, x2, x3)1 = (−0.2, −0.3, −0.4). Na condição de Armijo use µ = 0.001. Identifique,

em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = 0.000001, ε = 0.05, µ1 = 0.001 e µ2 = 0.9).)

3.9 No planeamento da produção de dois produtos, uma determinada companhia espera obter lucros iguais a P :

P (x1, x2) = α1(1 − e−β1x1) + α2(1 − e−β2x2) + α3(1 − e−β3x1x2) − x1− x2

em que x1 é a quantia gasta para produzir e promover o produto 1, x2 é a quantia

gasta para produzir e promover o produto 2, e os α0_is e β_i0s são constantes definidas. P , x1 e x2 estão em unidades de 105euros. Sabendo que a quantia total a ser gasta

é de 2 × 105 _{euros, determine o máximo de P e os valores óptimos de x}

1 e x2 sob as

seguintes condições:

α1 = 3, α2 = 4, α3 = 1, β1 = 1.2, β2 = 1.5 e β3 = 1.

Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ1 = 1, γ = 10 e

(x1, x2)1 = (1, 1). Na condição de Armijo use µ = 0.001. Identifique, em cada iteração,

os valores das condições que definem o critério de paragem.

4 Condições de optimalidade - Restrições de

desigual-dade

4.1 Considere o seguinte problema de optimização (hs032.mod) min x∈R3(x1+ 3x2+ x3) 2 + 4 (x1− x2)2 s.a 6x2+ 4x3− x31 ≥ 3 x1+ x2+ x3 = 1

Verifique as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem para o ponto x1 _{= (1, 2, −2). Verifique que a solução}1 _{do problema x}2 _{= (0, 0, 1) não satisfaz as}

condições de optimalidade de primeira ordem.

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Resolvendo a segunda restrição (igualdade) em ordem a x1 e substituindo na função

objectivo obtém-se um problema de dimensão dois (n = 2) sem restrições (considerando que a restrição de desigualdade não está activa). Use as condições de optimalidade para problemas sem restrições (gradiente da função objectivo tem de ser nulo) para determinar que o ponto x3 = (−1

2, − 1 2, 2)

T _{é solução do problema. Verifique que x}3 _é

mínimo local fraco (e é restrição degenerada).

4.2 (Nash&Sofer) Use as condições de optimalidade para encontrar todos os óptimos locais do problema min x∈R2x1+ x2 s.a (x1− 1)2+ x22 ≤ 2 (x1+ 1)2 + x22 ≥ 2. Atenção as desigualdades!!!

4.3 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR3x 2 1+ x 2 2+ x 2 3 sujeito a x1+ x2+ x3 ≥ 0 2x1+ 2x3 ≥ 2.

4.4 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min

x∈IR2x1− 2x2

sujeito a

1 + x1− x22 ≥ 0

x2 ≥ 0.

4.5 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR2x 2 1+ x 2 2 sujeito a x1− 1 ≥ 0 x2 + 1 ≥ 0.

x∈IR2x1

sujeito a

(x1 + 1)2+ x22 ≥ 1

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4.7 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR2x1+ x2 sujeito a (x1− 1) 2 + x2₂ ≤ 2 (x1+ 1)2+ x22 ≥ 2.

4.8 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema

min x∈IR3−x 2 1− x22− x23+ 4x1+ 6x2 sujeito a x1+ x2 ≤ 2 2x1+ 3x2 ≤ 12.

4.9 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR2x 2 1+ x 2 2 sujeito a x1− 1 ≥ 0 x2 + 1 ≥ 0.

min x∈IR3x 2 1+ x22+ x23 sujeito a x1+ x2+ x3 ≥ 0 2x1+ 2x3 ≥ 2.

min

x∈IR2x1− 2x2

sujeito a

1 + x1− x22 ≥ 0

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4.12 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR2x1+ x2 sujeito a (x1− 1)2+ x22 ≤ 2 (x1+ 1)2+ x22 ≥ 2.

4.13 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR2x1 sujeito a (x1 + 1) 2 + x2₂ ≥ 1 x2₁+ x2₂ ≤ 2.

x∈IR2x1+ x2

sujeito a

(x1− 1)2+ x22 ≤ 2

(x1+ 1)2+ x22 ≥ 2.

4.15 Use as condições de optimalidade para determinar todas locais do problema min x∈IR2x 2 1+ x22 sujeito a x1− 1 ≥ 0 x2 + 1 ≥ 0.

4.16 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR3−x 2 1− x 2 2− x 2 3+ 4x1+ 6x2 sujeito a x1+ x2 ≤ 2 2x1+ 3x2 ≤ 12.

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4.17 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR3x 2 1+ x 2 2+ x 2 3 sujeito a x1+ x2+ x3 ≥ 0 2x1+ 2x3 ≥ 2.

4.18 Use as condições de optimalidade para determinar soluções locais do problema min x∈IR2x1 sujeito a (x1 + 1) 2 + x2₂ ≥ 1 x2₁+ x2₂ ≤ 2.

5 Método primal-dual de pontos interiores

5.1 Dada a função f : IR3 _{→ IR definida por}

f (x1, x2, x3) = x21 + x 2 2+ x 2 3 e as restrições x2₁+ x2₂− 1 ≥ 0 x1 ≥ 1

construa a função barreira logarítmica.

Relativamente à técnica de pontos interiores para o cálculo do problema proposto e para ρ1 = 1, (x1, x2, x3)1 = (1, 1, 1), λ1 = (1, 1) e β = 2, implemente duas iterações.

Na procura unidimensional, baseada na técnica de Armijo, use µ = 0.00001. 5.2 Considere o problema min x∈IR2x1− 2x2 sujeito a 1 + x1− x22 ≥ 0 x2 ≥ 0.

Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x1 _{= (2, 2)}T_.

Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem.

NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes.

(16)

5.3 Considere o problema min x∈IR3x 2 1+ x 2 2+ x 2 3 sujeito a x1+ x2+ x3 ≥ 0 2x1+ 2x3 ≥ 2.

Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x1 ₌

(2, −1, 1)T_{. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que}

definem o critério de paragem.

5.4 Considere o problema min x∈IR2x1 sujeito a (x1 + 1)2+ x22 ≥ 1 x2₁+ x2₂ ≤ 2.

5.5 Considere o problema min x∈IR2x1+ x2 sujeito a (x1− 1) 2 + x2₂ ≤ 2 (x1+ 1) 2 + x2₂ ≥ 2.

Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x1 = (0, 0)T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem.

(17)

5.6 Considere o problema min x∈IR3−x 2 1− x 2 2− x 2 3+ 4x1+ 6x2 sujeito a x1+ x2 ≤ 2 2x1+ 3x2 ≤ 12.

Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x1 = (−5, 9, 1)T_{. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que}

5.7 Considere o problema min x∈IR2x 2 1+ x 2 2 sujeito a x1− 1 ≥ 0 x2 + 1 ≥ 0.

5.8 Considere o problema min x∈IR2x1− 2x2 sujeito a 1 + x1− x22 ≥ 0 x2 ≥ 0.

(18)

5.9 Considere o problema min x∈IR2x1 sujeito a (x1 + 1)2+ x22 ≥ 1 x2₁+ x2₂ ≤ 2.

5.10 Considere o problema min x∈IR2x1+ x2 sujeito a (x1− 1)2+ x22 ≤ 2 (x1+ 1)2+ x22 ≥ 2.

Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x1 = (0, 0)T_.

5.11 Considere o problema min x∈IR2x 2 1+ x22 sujeito a x1− 1 ≥ 0 x2 + 1 ≥ 0.

(19)

(2, −1, 1)T_{. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que}

Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x1 = (2, −1, 1)T_{. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que}

(−5, 9, 1)T_{. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que}

(20)

5.15 Considere o problema min x∈IR2x1+ x2 sujeito a (x1− 1) 2 + x2₂ ≤ 2 (x1+ 1) 2 + x2₂ ≥ 2.

Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x1 = (−5, 9, 1)T_{. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que}

5.17 Considere o problema min x∈IR2x1− 2x2 sujeito a 1 + x1− x22 ≥ 0 x2 ≥ 0.

(21)

6 MATLAB

6.1 Resolva o seguinte problema utilizando uma das funções do MATLAB.

Consider the network in the figure below. This represents a set of road intersections, and the arrows indicate the direction of traffic. If few cars are on the roads, the travel times between intersections can be considered as constants, but if the traffic is heavy the travel times can increase dramatically.

Let us focus on the travel time between a pair of intersections i and j. Let ti,j be the

(constant) travel time when the traffic is light, let xi,j be the number of cars on the

road, let ci,j be the capacity of the road, and let αi, j be a constant that measures how

rapidly the travel time increases as the traffic get heavier.

Then the travel time between intersections i and j could be modeled by

Ti,j(xi,j) = ti,j+ αi,j

ci,jxi,j

ci,j− xi,j

.

If there is no traffic on the road (i → j, xi,j = 0) then the travel time is ti,j. If xi,j

approaches the capacity of the road, ci,j, then the travel time tends to +∞. Ti,j is a

nonlinear function of xi,j.

Suppose we wish to minimize the total travel time through the network for a volume of cars X. Then our model is

minimize f (x) =Xxi,jTi,j(xi,j)

subject to the constraints

x1,2+ x1,3 = X

x2,3+ x2,4− x1,2 = 0

x3,4− x1,3− x2,3 = 0

x2,4+ x3,4 = X

xi,j ≥ 0

The equations ensure that all the cars entering an intersection also leave an intersec-tion. The objective sums up the travel times for all the cars.

(22)

Índice da variável Par de intersecção i e j 1 1,2 2 1,3 3 2,3 4 2,4 5 3,4 os valores i ti ci αi 1 20 200 3 2 30 50 4 3 25 200 3 4 40 50 5 5 30 200 4 e X = 200.

Considere o problema relaxado, isto é, o problema em que os valores das variáveis x1,

. . . , x5 podem aparecer não inteiros e o seguinte vector inicial:

x1 = (x1, x2, x3, x4, x5)1 = (50, 100, 50, 100, 50).

Determine x∗ e f (x∗).

6.2 Consider the feasible region illustrated in Figure 1 and described by |x1| + |x2| ≤ 1

Figura 1: A feasible region with nonsmooth boundary

This feasible region with nonsmooth boundary can be described by smooth constraints: x1+ x2 ≤ 1 −x1− x2 ≤ 1

(23)

Figura 2: Problem (1) countor and feasible region

Including an objective function, the problem becomes (Figure 2):

min x∈IR2f (x) ≡ x 2 1+ x 2 2 − (1 − x1x2)2 subject to x1+ x2 ≤ 1 − x1− x2 ≤ 1 − x1+ x2 ≤ 1 x1− x2 ≤ 1. (1)

Use como aproximação inicial x1 _{= (1, 1) nas seguintes alíneas.}

(a) Determine x∗ e f (x∗) para o problema (1).

(b) Adicionando ao problema (1) a restrição (x1− 1)2+ x22 = 1, obtém-se o problema

(2), Figura 3: min x∈IR2f (x) ≡ x 2 1+ x 2 2− (1 − x1x2)2 s. a x1+ x2 ≤ 1 − x1− x2 ≤ 1 − x1+ x2 ≤ 1 x1− x2 ≤ 1 (x1− 1)2+ x22 = 1. (2)

(24)

(c) O problema min x∈IR2f (x) ≡ x 2 1+ x 2 2− (1 − x1x2) 2 s. a x1+ x2 ≤ 1 − x1− x2 ≤ 1 − x1+ x2 ≤ 1 x1− x2 ≤ 1 (x1− 1)2+ x22 = 1 x2₁+ x2₂ = 0.5, (3)

representado na Figura 4, foi obtido do problema (2), adicionando a restrição x2

1+ x22 = 0.5.

(25)

6.3 Resolva o seguinte problema de optimização não linear com restrições, utilizando o pacote de software MATLAB e considerando x1 = (−2, 2, 2, −1, −1)T_.

min x∈IR5f (x) ≡ e x1x2x3x4x5 _{− 0.5 x}3 1+ x 3 2+ 1 2 sujeito a x2 1+ x22+ x23+ x24+ x25− 10 = 0 x2x3− 5x4x5 = 0 x3 1+ x32+ 1 = 0 −2.3 ≤ xi ≤ 2.3, i = 1, 2 −3.2 ≤ xi ≤ 3.2, i = 3, 4, 5

(a) Sem fornecer derivadas.

(b) Fornecendo as primeiras derivadas, quer da função objectivo, quer das restrições. 6.4 Minimize a função f (x) de 10 variáveis, dada pela expressão

f (x) ≡ 10 X j=1 xj cj+ ln xj x1+ · · · + x10 e sujeita às restrições x1+ 2x2+ 2x3+ x6+ x10− 2 = 0 x4+ 2x5+ x6+ x7− 1 = 0 x3+ x7+ x8+ 2x9+ x10= 0 10−6 ≤ xi, i = 1, . . . , 10

utilizando a toolbox de optimização do MATLAB sem fornecer derivadas.

NOTA: Considere o vector (0.1, . . . , 0.1) como valor inicial e cj dado pela tabela

se-guinte

j 1 2 3 4 5

cj −6.089 −17.164 −34.054 −5.914 −24.721

j 6 7 8 9 10

cj −14.986 −24.100 −10.708 −26.662 −22.179

6.5 Utilizando o pacote de software MATLAB, resolva o problema de optimização min x∈IR3f (x) ≡ (x1+ 3x2+ x3) 2 + 4 (x1− x2) 2 s.a 6x2+ 4x3− x31− 3 ≥ 0 1 − x1− x2− x3 = 0 0 ≤ xi, i = 1, 2, 3

(26)

(a) Sem fornecer derivadas.

(b) Fornecendo primeiras derivadas da função e das restrições.

6.6 Resolva o seguinte problema de optimização com restrições min x∈IR4f (x) ≡x1x2 s.a (x1x3+ x2x4) 2 (x2 1+ x22) − x2 3− x 2 4+ 1 = 0 x1 ≥ x3+ 1 x2 ≥ x4+ 1 x3 ≥ x4 x4 ≥ 1,

utilizando uma das funções do MATLAB e tomando para aproximação inicial x1 ₌

(x1, x2, x3, x4)1 = (1, 0, 0, 1), tolx = 10−12 e tolf un = 10−12.

(a) Sem fornecer derivadas, determine x∗, f∗, número de iterações e o número de cálculos da função objectivo.

(b) Fornecendo derivadas, determine x∗, f∗, número de iterações e o número de cál-culos da função objectivo.

6.7 Considere a região admissível ilustrada na Figura 5 e descrita por: −5 ≤ x1 ≤ 5

−5 ≤ x2 ≤ 5.

(4)

Figura 5: Região admissível de (4)

(27)

min

x∈IR2f (x) ≡ sin(x1x2) + x1+ x2

s. a − 5 ≤ x1 ≤ 5

− 5 ≤ x2 ≤ 5.

(5)

em que na Figura 6 se apresentam as curvas de nível.

Figura 6: Curvas de nível do problema (5)

(a) Usando o MATLAB, resolva o problema (5), sem fornecer derivadas, com x1 = (3, 1)T_.

(b) Adicionando ao problema a restrição x1+x2−1 ≥ 0, obtém-se o seguinte problema,

representado na Figura 7: min x∈IR2f (x) ≡ sin(x1x2) + x1+ x2 s. a − 5 ≤ x1 ≤ 5 − 5 ≤ x2 ≤ 5 x1+ x2− 1 ≥ 0. (6)

Resolva o problema (6), sem fornecer derivadas e com x1 _{= (3, 1)}T_{. Calcule x}∗ _e

f∗.

(c) Obtém-se o problema (7) (cujas curvas de nível são representadas na figura 8) adicionando a restrição x2 1+ x22− 1 ≥ 0 min x∈IR2f (x) ≡ sin(x1x2) + x1+ x2 s. a − 5 ≤ x1 ≤ 5 − 5 ≤ x2 ≤ 5 x1+ x2− 1 ≥ 0 x2₁+ x2₂− 1 ≥ 0. (7)

(28)

Resolva o problema (7), sem fornecer derivadas e com x1 = (3, 1)T. Calcule x∗ e f∗.

(d) Obtém-se o problema (8), cujas curvas de nível estão representadas na figura 9, adicionando a restrição x2 1+ 9x22− 9 ≤ 0. min x∈IR2f (x) ≡ sin(x1x2) + x1+ x2 s. a − 5 ≤ x1 ≤ 5 − 5 ≤ x2 ≤ 5 x1+ x2− 1 ≥ 0 x2₁+ x2₂− 1 ≥ 0 x2₁+ 9x2₂− 9 ≤ 0. (8)

Resolva o problema (8), sem fornecer derivadas e com x1 _{= (3, 1)}T_{. Calcule x}∗ _e

(29)

(e) Resolva o problema (8), fornecendo as primeiras derivadas de f e das restri-ções não lineares, com x1 = (3, 1)T_{. Calcule x}∗

e f∗.

7 AMPL

7.1 O seguinte problema surge na definição de trajectórias de robots.

min x∈IR7_,y∈IR7f (x, y) = 7 X i=1 (x(i) − y(i))2 s.a 6 X i=1 cos(x(i)) + 0.5cos(x(7)) − xp = 0 6 X i=1 sen(x(i)) + 0.5sen(x(7)) − yp = 0

y(i) = zp(i), para i = 1, ..., 7 d ≤ x(i) ≤ h, para i = 1, ..., 7 y(i) = 0, para i = 1, ..., 7

em que xp = 4, yp = 4, d = −2.356194, h = 2.356194 e zp(i) = 0.0 para i = 1, ..., 7. Codifique este problema em AMPL e resolva-o usando o LOQO. Calcule o óptimo da função objectivo do problema primal, óptimo da função objectivo do problema dual, o valor óptimo da variável x, o valor óptimo da variável y e o número de iterações.

(30)

7.2 Considere o problema de optimização linear com restrições

min

x∈IRN_,y∈IRN_,z∈IRBf (x, y, z) ≡

N X i=1 xiyi+ 0.5 B X j=1 z_j2 s.a N X i=1 (xi+ yi) + B X j=1 zj ≥ B + 1 xi+ yi+ B X j=1 zj− B = 0, para i = 1, . . . , N − 1 ≤ xi ≤ 1, para i = 1, . . . , N − 1 ≤ yi ≤ 1, parai = 1, . . . , N 0 ≤ zj ≤ 2, paraj = 1, . . . , B

para N = 100 e B = 5. Considere a seguinte aproximação inicial xi = 0.5 para i = 1, . . . , N

yi = 0.5 para i = 1, . . . , N

zj = 0.5 para j = 1, . . . , B.

(a) Quantas restrições de desigualdade existem no problema? (b) Quantas restrições de igualdade existem no problema?

(c) Quantas restrições de limites simples? (d) Quantas variáveis tem o problema?

(e) Codifique o problema em AMPL.

(f) Use o LOQO para determinar a solução do problema.

7.3 O ficheiro prob4P2.mod contém a codificação de um problema de optimização na lin-guagem de programação AMPL

(31)

(a) Apresente a formulação matemática completa (equações) do problema para N = 10. Qual é a aproximação inicial.

(b) Ai,j representa o elemento da linha i e coluna j de uma matriz quadrada A de

ordem N = 10.

Suponha, agora, que a matriz A é

A =                 4 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 4 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 4 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 4                 ,

e o vector b é dado por

bi =

1

i, i = 1, . . . , N.

Codifique este novo problema em AMPL e resolva-o utilizando o LOQO. Apre-sente x∗, f∗ e o número de iterações necessárias até convergir.

7.4 Considere o problema hs025.mod na directoria modelos\hs.

(a) Resolva-o utilizando o LOQO e apresente os seguintes resultados: i. Valor óptimo da função objectivo do problema primal.

ii. Valor óptimo da função objectivo do problema dual. iii. Valor óptimo da variável x.

iv. Número de iterações.

(b) Resolva o mesmo problema alterando o ponto inicial para x = (10, 1.25, 0.3). i. Valor óptimo da função objectivo do problema primal.

iv. Número de iterações.

(c) Resolva o mesmo problema alterando a restrição constr3 para : 0 <= x[3] <= 7; i. Valor óptimo da função objectivo do problema primal.

(32)

7.5 Considere o problema polygon.mod na directoria modelos\polygon. Descodifique-o da linguagem AMPL para a sua formulação matemática.

7.6 Codifique em AMPL o seguinte problema e resolva-o utilizando o solver LOQO: min x∈IR5e x1x2x3x4x5 _{− 0.5(x}3 1+ x 3 2+ 1) 2 s.a li ≤ xi ≤ ui, i = 1, . . . , 5 5 X i=1 x2_i = 10 x2x3− 5x4x5 = 0 x3₁+ x3₂ = −1

sendo l = (2.3, 2.3, 3.2, 3.2, 3.2)T e u = (2.3, 2.3, 3.2, 3.2, 3.2)T. Considere para ponto inicial x = (−2, 2, 2, −1, −1)T.