Econometria I - Graduação
Período 2008.1
Exercícios de Econometria da ANPEC 1993-2008
Ilton G. Soares 24 de fevereiro de 2008
Sumário
1 Econometria 5 1.1 ANPEC 2008 . . . 5 1.1.1 QUESTÃO 06 . . . 5 1.1.2 QUESTÃO 07 . . . 6 1.2 ANPEC 2007 . . . 7 1.2.1 QUESTÃO 04 . . . 7 1.2.2 QUESTÃO 05 . . . 8 1.2.3 QUESTÃO 08 . . . 9 1.2.4 QUESTÃO 15 . . . 10 1.3 ANPEC 2006 . . . 11 1.3.1 QUESTÃO 06 . . . 11 1.3.2 QUESTÃO 08 . . . 12 1.3.3 QUESTÃO 09 . . . 13 1.4 ANPEC 2005 . . . 14 1.4.1 QUESTÃO 10 . . . 14 1.4.2 QUESTÃO 11 . . . 15 1.4.3 QUESTÃO 12 . . . 16 1.4.4 QUESTÃO 14 . . . 17 1.5 ANPEC 2004 . . . 18 1.5.1 QUESTÃO 11 . . . 18 1.5.2 QUESTÃO 14 . . . 19 1.6 ANPEC 2003 . . . 20 1.6.1 QUESTÃO 06 . . . 20 1.6.2 QUESTÃO 07 . . . 21 1.7 ANPEC 2002 . . . 22 1.7.1 QUESTÃO 09 . . . 22 1.7.2 QUESTÃO 10 . . . 23 1.8 ANPEC 2001 . . . 24 1.8.1 QUESTÃO 09 . . . 24 11.9 ANPEC 2000 . . . 27 1.9.1 QUESTÃO 06 . . . 27 1.9.2 QUESTÃO 10 . . . 28 1.9.3 QUESTÃO 11 . . . 29 1.10 ANPEC 1999 . . . 30 1.10.1 QUESTÃO 02 . . . 30 1.10.2 QUESTÃO 04 . . . 31 1.10.3 QUESTÃO 05 . . . 32 1.11 ANPEC 1998 . . . 33 1.11.1 QUESTÃO 13 . . . 33 1.12 ANPEC 1997 . . . 34 1.12.1 QUESTÃO 14 . . . 34 1.12.2 QUESTÃO 15 . . . 35 1.13 ANPEC 1996 . . . 36 1.13.1 QUESTÃO 15 . . . 36 1.14 ANPEC 1995 . . . 37 1.14.1 QUESTÃO 05 . . . 37 1.14.2 QUESTÃO 15 . . . 38 1.15 ANPEC 1994 . . . 39 1.15.1 QUESTÃO 04 . . . 39 1.15.2 QUESTÃO 15 . . . 40 1.16 ANPEC 1993 . . . 41 1.16.1 QUESTÃO 03 . . . 41 1.16.2 QUESTÃO 07 . . . 42 1.16.3 QUESTÃO 15 . . . 43
2 Modelos de Equações Simultâneas 44 2.1 ANPEC 2008 . . . 44 2.1.1 QUESTÃO 09 . . . 44 2.2 ANPEC 2007 . . . 46 2.2.1 QUESTÃO 12 . . . 46 2.3 ANPEC 2006 . . . 47 2.3.1 QUESTÃO 07 . . . 47 2.4 ANPEC 2005 . . . 48 2.4.1 QUESTÃO 08 . . . 48 2.5 ANPEC 2004 . . . 49 2.5.1 QUESTÃO 07 . . . 49 2
2.6.1 QUESTÃO 08 . . . 50 2.7 ANPEC 2002 . . . 51 2.7.1 QUESTÃO 11 . . . 51 2.8 ANPEC 2001 . . . 52 2.8.1 QUESTÃO 08 . . . 52 2.9 ANPEC 1998 . . . 53 2.9.1 QUESTÃO 14 . . . 53 3 Séries Temporais 54 3.1 ANPEC 2008 . . . 54 3.1.1 QUESTÃO 10 . . . 54 3.1.2 QUESTÃO 11 . . . 55 3.1.3 QUESTÃO 15 . . . 56 3.2 ANPEC 2007 . . . 57 3.2.1 QUESTÃO 03 . . . 57 3.2.2 QUESTÃO 07 . . . 58 3.2.3 QUESTÃO 09 . . . 59 3.3 ANPEC 2006 . . . 60 3.3.1 QUESTÃO 11 . . . 60 3.3.2 QUESTÃO 15 . . . 61 3.4 ANPEC 2005 . . . 62 3.4.1 QUESTÃO 07 . . . 62 3.4.2 QUESTÃO 09 . . . 63 3.5 ANPEC 2004 . . . 64 3.5.1 QUESTÃO 09 . . . 64 3.5.2 QUESTÃO 10 . . . 65 3.6 ANPEC 2003 . . . 66 3.6.1 QUESTÃO 10 . . . 66 3.6.2 QUESTÃO 15 . . . 67 3.7 ANPEC 2002 . . . 68 3.7.1 QUESTÃO 12 . . . 68 3.8 ANPEC 2001 . . . 69 3.8.1 QUESTÃO 10 . . . 69 3.9 ANPEC 2000 . . . 70 3.9.1 QUESTÃO 15 . . . 70 3.10 ANPEC 1999 . . . 71 3.10.1 QUESTÃO 01 . . . 71 3.11 ANPEC 1998 . . . 72 3
A Gabaritos 73 B Programa da prova de Estatística - ANPEC 77
C Tabela Distribuição Normal Padrão 78
Econometria
1.1
ANPEC 2008
1.1.1 QUESTÃO 06
Um econometrista estimou o seguinte modelo de regressão para explicar a renda de 526 indivíduos: log (renda) = 0; 510 (0;099) 0; 310 (0;036) genero + 0; 080 (0;03) educ + 0; 030 (0;005) exper 0; 001 (0;00010) exper2+ u R2 = 0; 441; n = 526;
em que genero é uma variável dicotômica (=1 se mulher, =0, caso contrário), educ é o número de anos gastos com educação, exper é a experiência pro…ssional do indivíduo, medida em anos. Os desvios padrões dos coe…cientes estão entre parênteses. Com base nesses resultados, julgue as a…rmativas: (0) O efeito de um ano a mais de experiência pro…ssional na renda média de um indivíduo do sexo masculino é 0,030 unidades monetárias.
(1) As mulheres recebem salários 31% mais baixos que os dos homens, em média.
(2) De acordo com o modelo estimado, a hipótese de que o efeito médio de um ano a mais de educação na renda dos indivíduos seja diferente de 10% é rejeitada ao nível de signi…cância de 5%.
(3) Se V (ujgenero; educ; exper) = a2 + b2educ, então os estimadores de mínimo quadrados são ten-denciosos. Nota: V (ujX) é a variância de u condicionada a X, a e b são parâmetros.
(4) Em uma regressão do resíduo u em função de educação e gênero, o R2 será alto.
Solução
Considere a regressão múltipla:
y = 0+ 1x1+ 2x2+ 3x3+ u
cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários. Julgue as a…rmativas:
(0) Se E (ujx1; x2; x3) = 0 e o modelo não é perfeitamente colinear, então os estimadores não são
viesados.
(1) Se o R2 = 1, então o y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.
(2) O R2 ajustado aumenta ao se incluir uma variável adicional, caso tal variável seja signi…cativa ao nível de 5%.
(3) Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então b1 é o estimador linear não viesado de 1 com menor variância possível.
(4) Se omitirmos x3 da regressão, os estimadores de 0, 1 e 2 podem ser viesados.
Solução
1.2.1 QUESTÃO 04
Considere o modelo de regressão múltipla: Mt= + 1Yt + 2Rt + ut, em que Mt é a demanda real
por moeda, Yt é a renda real esperada, Rt é a taxa de juros esperada e ut é o erro aleatório com
média zero e variância constante. Nem Yt , nem Rt são observáveis, ms podem ser construídas da seguinte forma:
Yt = 1Yt 1+ (1 1) Yt 1; 0 < 1< 1
Rt = 1Rt 1+ (1 2) Rt 1; 0 < 2< 1
Seja L o operador defasagem tal que LXt = Xt 1. Yt e Rt são a renda real e a taxa de juros
observadas no instante t. É correto a…rmar que:
(0) O modelo, em sua versão observável, é: Mt= + 11(1 1)
1L Yt 1+
2(1 2)
1 2L Rt 1+ ut.
(1) É necessária uma técnica de estimação não linear para o modelo observável.
(2) O modelo é linear nos parâmetros. Portanto, a técnica de mínimos quadrados ordinários deve ser utilizada para a estimação.
(3) O modelo observável apresenta erros autocorrelacionados. (4) O modelo observável apresenta heteroscedasticidade.
Solução
Considere os seguintes modelos para taxa de juros de determinado país Modelo I: it= 0+ 1it 1+ 2 t+ 3 t 1+ 4ht+ 5ht 1+ ut
ut= ut 1+ et
Modelo II: it= 0+ 1 t+ 2ht+ ut
ut= ut 1+ et
em que it é a taxa de juros, t é a taxa de in‡ação, ht é o “hiato do produto” e eté um ruído branco
com média zero e variância constante. Todas as variáveis são estacionárias de segunda ordem. Julgue as a…rmações:
(0) Mesmo que 6= 0, os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos parâmetros i, i = 1; :::; 5;
no modelo I, continuarão consistentes.
(1) Mesmo que 6= 0, os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos parâmetros i, i = 1; 2;
no modelo II, continuarão consistentes.
(2) Suponha que 6= 0 nos dois modelos. A estatística t usual não será válida no Modelo I, mas poderá ser utilizada no Modelo II sem problema algum.
(3) Suponha que 6= 0 nos dois modelos. As estatísticas t e F usuais só serão válidas se os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos parâmetros foram consistentes.
(4) No Modelo II, os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos parâmetros i, i = 1; 2; não
serão e…cientes caso 6= 0.
Solução
Julgue as a…rmativas:
(0) Heteroscedasticidade ocorre quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com uma das variáveis explicativas.
(1) Quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com alguma variável explica-tiva, os estimadores de mínimos quadrados não são consistentes.
(2) Na presença de heteroscedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são ine…cientes. (3) Os testes t e F usuais não são válidos na presença de heteroscedasticidade.
(4) Na presença de heteroscedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são não viesa-dos, mas são inconsistentes.
Solução
A regressão abaixo foi estimada com o objetivo de explicar a diferença de salários entre homens e mulheres. As seguintes variáveis foram utilizadas:
sal = salário médio por hora, em Reais; homecas = 1 se homem e casado; =0 caso contrário mulhcas = 1 se mulher e casada; =0 caso contrário mulhsol = 1 se mulher e solteira; =0 caso contrário edu = número de anos de educação formal; exper = número de anos de experiência pro…ssional; empre = número de anos com o atual empregador.
Entre parênteses encontram-se os erros-padrão calculados por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).
\
log (sal) = 0; 300 + 0; 200homecas 0; 200mulhcas 0; 100mulhsol + 0; 0800edu (0; 100) (0; 055) (0; 050) (0; 050) (0; 006)
+0; 0200exper + 0; 0300empre (0; 005) (0; 006)
Suponha que um indivíduo do sexo masculino, com 15 anos de experiência pro…ssional, se case. Ceteris Paribus, qual a variação percentual esperada no seu salário dois anos após seu casamento em relação ao seu salário de solteiro? Suponha que o número de anos de educação formal do indivíduo não se tenha alterado e que ele não tenha trocado de emprego.
Solução
1.3.1 QUESTÃO 06
Julgue as a…rmativas. A respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla:
(0) Se a variância do erro não for constante, as estimativas dos parâmetros serão não-viesadas. (1) Se E(") 6= 0, os estimadores de todos os parâmetros, com exceção do intercepto, serão viesados. (2) Se o erro não seguir a distribuição Normal as estimativas por MQO são consistentes.
(3) Sob as hipóteses do modelo de regressão clássica, com erros na forma de ruído branco com dis-tribuição Normal, os estimadores de MQO serão os mais e…cientes possíveis.
(4) A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores viesados..
Solução
Em um modelo de regressão múltipla, com erros que seguem uma distribuição Normal, identi…que se os itens são corretos:
(0) Os testes de heterocedasticidade de Breush-Pagan e de White podem ser calculados mediante regressões auxiliares com os quadrados dos resíduos.
(1) Caso a forma funcional da heterocedasticidade seja conhecida, mínimos quadrados ponderados, estimados de modo interativo, serão menos e…cientes que o estimador de Máxima Verossimilhança. (2) Empiricamente não há como distinguir um modelo de expectativas adaptativas de primeira ordem de um modelo de ajustamento parcial de primeira ordem.
(3) Se houver uma variável dependente defasada entre as variáveis explicativas, o teste apropriado para a autocorrelação de primeira ordem dos resíduos é o h de Durbin, e não o teste de Breush-Godfrey. (4) Os métodos de estimação do coe…ciente de autocorrelação Cochrane-Orcutt e Durbin são diferentes em pequenas amostras.
Solução
O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos de uma amostra aleatória:
ln(renda) = 0; 362 + 0; 094educ + 0; 014exper 0; 178sexo 0; 010exper sexo + u (0; 128) (0; 008) (0; 002) (0; 058) (0; 002)
R2 = 0; 368 n = 526
em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade (0 < educ < 17), exper são anos de experiência pro…ssional (0 < exper < 40) e u é a estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas, robustos à heterocedasticidade. Com base nos resultados acima, é correto a…rmar:
(0) Ao nível de signi…cância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência pro…ssional para indivíduos do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres.
(1) Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda de aproximadamente 9%.
(2) O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência pro…ssional para as mulheres é 1% menor do que para os homens.
(3) Pela inspeção dos resultados da estimação …ca claro que os erros do modelo são heterocedásticos. (4) Se a um nível de signi…cância de 5%, o valor crítico do teste F para a regressão for 2; 37, os coe…cientes angulares serão conjuntamente diferentes de zero.
Solução
1.4.1 QUESTÃO 10
A respeito do modelo de regressão múltipla:
Yi= 0+ 1X1i+ 2X2i+ ei
em que ei tem média zero e variância 2, são corretas as a…rmativas:
(0) No caso de uma forte colinearidade entre X1i e X2i, tende-se a aceitar a hipótese nula de que 2 = 0, pois a estatística t é subestimada.
(1) Se os erros são autocorrelacionados, ainda assim os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 1 e 2 são lineares e não tendenciosos.
(2) Se os erros são heterocedásticos, ainda assim os testes usuais t e F podem, sem prejuízo algum, ser empregados para se testar a signi…cância dos parâmetros do modelo, caso estes sejam estimados por Mínimos Quadrados Ordinários.
(3) Erros de medida da variável dependente reduzem as variâncias dos estimadores de Mínimos Quadra-dos Ordinários de b1 e b2.
(4) A omissão da variável explicativa relevante, X2, para explicar a variável dependente, Yi, torna a
estimativa dos coe…cientes 0 e 1 tendenciosa e inconsistente, se somente se, a variável omitida X2,
for correlacionada com a variável incluída, X1.
Solução
É dada a seguinte função de produção para determinada indústria: ln (Yi) = 0+ 1ln (Li) + 2ln (Ki) + ui ,
em que Y é o valor adicionado por …rma (em reais), L é o trabalho empregado, K é o valor do capital (em reais) e u é o termo aleatório. Uma amostra aleatória de 27 observações leva às seguintes estimativas: ln (Yi) = 0+ 1ln (Li) + 2ln (Ki) + ui SQR = 27 X i=1 b u2i = 0; 84 R2 = 0; 76
São corretas as a…rmativas:
(0) Se Y passasse a ser medido em mil reais, somente o valor estimado do intercepto da regressão seria alterado.
(1) Ao nível de 5%, os coe…cientes associados ao trabalho e ao capital são conjuntamente iguais a zero. (2) Se o desvio padrão do estimador de 2 for 0,0854, o intervalo de con…ança a 95% para o efeito sobre Y de um aumento de 1% no estoque de capital será 0;95 0;38560;0854 .
(3) Os valores estimados permitem concluir que, para aquela indústria, a produtividade marginal do trabalho é menor que a produtividade média do mesmo fator.
(4) Qualquer outra forma funcional que leve a um R2 maior que 0,76 será preferível à utilizada.
Solução
Um pesquisador estima o seguinte modelo de regressão simples: Yi= 0+ 1Xi+ei. Outro pesquisador
estima o mesmo modelo, mas com escalas diferentes para Yi e Xi. O segundo modelo é: Yi = 0+ 1Xi + ei, em que: Yi = w1Yi, Xi = w2Xi e w1 e w2 são constantes maiores que zero.
(0) Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 0 e 1 são iguais aos de 0 e 1. (1) Se b 2 é a variância estimada de ei e b2 é a variância estimada de ei, entãob 2 = w21b
2.
(2) As variâncias dos estimadores dos parâmetros do primeiro modelo são maiores do que as variâncias dos estimadores do segundo modelo.
(3) Os coe…cientes de determinação são iguais nos dois modelos.
(4) A transformação de escala de (Yi; Xi) para (Yi ; Xi) não afeta as propriedades dos estimadores de
Mínimos Quadrados Ordinários dos parâmetros.
Solução
Considere o seguinte modelo para a população: Y = 2 + 4X 5Z + u, em que u é o termo aleatório e E (ujX; Z) = E (u) = 0. A partir de uma amostra de n indivíduos, estimaram-se os parâmetros deste modelo, tendo, todavia, sido omitida a variável Z. Ou seja, o modelo estimado foi: bYi = b0+ b1Xi.
Suponha ainda que, para amostra em questão, tenham sido obtidos os seguintes resultados:
n P i=1( Zi Z)(Xi X) n P i=1( Xi X) 2 = 0; 7, em que X = 1 n n P i=1 Xi e Z = 1n n P i=1 Zi.
Calcule E b1jX . Multiplique o resultado por 10.
Solução
1.5.1 QUESTÃO 11
Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais:
yi= 0+ 1x1i+ 2x2i+ ::: + kxki+ ui , i = 1; :::; n.
É correto a…rmar que:
(0) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam lineares não-tendeciosos de menor variância (BLUE) é necessário que os erros sejam homocedásticos.
(1) A hipótese que V ar (uijx1i; x2i; :::; xki) =
2, é necessária para que os estimadores de mínimos
quadrados sejam não-tendenciosos.
(2) As estatísticas t e F continuam válidas assintoticamente mesmo que os erros da regressão sejam heterocedásticos.
(3) Se Cov (x1i; x3i) 6= 0, os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão yi = 0 + 1x1i+ 2x2i+ ::: + kxki+ ui , i = 1; :::; n, serão consistentes.
(4) Se Cov (x1i; x3i) = 0 os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão yi = 0 + 1x1i+ 2x2i+ ::: + kxki+ ui , i = 1; :::; n, serão consistentes.
Solução
Um pesquisador estimou uma regressão múltipla com 5 variáveis independentes e n = 56, mas na pressa, não imprimiu os resultados e anotou apenas o valor do R2 = 0; 90, o coe…ciente de determi-nação. Este pesquisador precisa veri…car se a regressão é signi…cante. Ajude-o, calculando o valor da estatística do teste a ser empregado.
Solução
1.6.1 QUESTÃO 06
Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais
yi = 0+ 1x1i+ 2x2i+ ::: + kxki+ ui , i = 1; :::; n.
É correto a…rmar que:
(0) para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendeciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;
(1) a hipótese que V ar (uijx1i; x2i; :::; xki) =
2, i = 1; :::; n, não é necessária para que os estimadores
de mínimos quadrados sejam consistentes;
(2) a inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coe…ciente de determinação R2; (3) para que as estatísticas t e F sejam válidas assintoticamente é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;
(4) se Cov (x1i; x3i) 6= 0, i = 1; :::; n os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão
yi = 0+ 1x1i+ 2x2i+ ::: + kxki+ ui, i = 1; :::; n serão tendenciosos.
Solução
O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos:
log (renda) = 0; 417 0; 297sexo + 0; 080educ + 0; 029exper 0; 00058exper2+ u (0,099) (0,036) (0,007) (0,005) (0,00010)
R2 = 0; 441 n = 526
em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade, exper é experiência pro…ssional, também medida em anos. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas (Sbi i = 0; 1; :::; 4). Com base nos resultados acima, é
correto a…rmar:
(0) a regressão não é estatisticamente signi…cante pois o coe…ciente de determinação é menor do que 0; 5;
(1) a diferença de renda entre homens e mulheres não é estatisticamente signi…cante;
(2) um ano a mais de escolaridade, mantidos constantes todos os demais fatores, aumenta em 0; 08% a renda de um indivíduo do sexo feminino;
(3) a signi…cância conjunta das variáveis educ e exper não pode ser medida por meio da estatística t. Para isto, o teste F deve ser utilizado;
(4) o modelo é incapaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres.
Solução
1.7.1 QUESTÃO 09
Pode-se a…rmar sobre o modelo de regressão linear clássico yt= 1+ 2xt+ ut
(0) A reta de regressão passa pelas médias amostrais de y e x, mesmo que o modelo não tenha intercepto.
(1) Na presença de heterocedasticidade, o estimador de MQO é viesado e não se pode con…ar nos procedimentos de testes usuais (F e t), já que o estimador além de viesado, é ine…ciente.
(2) Na presença de autocorrelação dos resíduos, os estimadores de MQO são não viesados e consistentes. (3) Quanto maior for a variação da variável explicativa, maior será a precisão com que o coe…ciente angular pode ser estimado.
(4) Se R2 (coe…ciente de determinação) for zero, então a melhor previsão para um valor de y é sua média amostral.
Solução
É correto a…rmar a respeito do modelo de regressão linear clássico multivariado: Y = X + ", com n observações e k > 2 variáveis explicativas, incluindo-se o intercepto.
(0) Os coe…cientes de inclinação não se alteram quando se modi…cam as unidades de medida de Y e X multiplicando-os por uma constante, por exemplo, transformando-se seus valores de reais para dólares.
(1) Se o modelo for estimado com apenas k 1 variáveis explicativas (mas mantendo o intercepto), os coe…cientes estimados poderão ser viesados e inconsistentes.
(2) Quando os coe…cientes 0s estimados forem altamente signi…cativos, individualmente, mas a
es-tatística F e o R2 indicarem que o modelo como um todo tem um baixo poder explicativo, pode-se descon…ar da presença de multicolinearidade.
(3) Para testar a hipótese conjunta de que 2 = 3 = ::: = k = 0, pode-se utilizar o teste F ;(k 1);(n k) = R
2(k 1)
[(1 R2)(n k)], em que R2 é o coe…ciente de determinação do modelo.
(4) Sempre que o modelo tiver pelo menos duas variáveis explicativas além do intercepto, o R2 será
maior ou igual ao R2 ajustado.
Solução
1.8.1 QUESTÃO 09
A partir de uma amostra de n elementos, foi estimada uma regressão linear simples, pelo método de mínimos quadrados, obtendo-se os resultados:
b
Yt=b + b1Xt b 6= 0
R21 = K1
A seguir, a mesma regressão foi estimada sabendo-se que a reta de regressão da população passa pela origem das coordenadas (termo constante = 0), obtendo-se os resultados:
b
Yt= b2Xt
R22 = K2
Pode-se a…rmar que: (0) b1= b2
(1) Sb
2 desvio padrão de b2 < Sb1 desvio padrão de b1
(2) A reta b2X passa pelo ponto médio da amostra (X; Y ) (3) (K2=K1) > 1
(4) A soma dos resíduos de mínimos quadrados de ambas equações estimadas é zero.
Solução
Um econometrista estimou uma função consumo usando 25 observações anuais da renda pessoal disponível e consumo, a partir do modelo:
Ct= 1+ 2Yt+ ut, em que:
Ct= consumo em t; Yt= renda pessoal disponível em t; ut= erro aleatório.
Os resultados indicaram parâmetros signi…cativos a 5%, coe…ciente de determinação de 0; 94 e d de Durbin-Watson 0; 5421. Com base nesses números, o econometrista fez o teste de Dickey-Fuller aumentado (ADF) para as séries de renda e de consumo, obtendo estimativas de menores que os valores críticos de tabelados, a 1%, 5% e 10%.
Conseqüentemente, o econometrista:
(0) Aceitou a hipótese nula do teste ADF, concluindo que as séries de renda e consumo são não-estacionárias;
(1) Concluiu que os testes t e F não são válidos. (2) Concluiu que o teste t não é válido.
(3) Concluiu que a regressão estimada é espúria.
(4) Necessita fazer mais outros testes para veri…car se a regressão estimada é espúria.
Solução
No modelo clássico de regressão linear: Yi= 1+ 2Xi+ ui
(0) A hipótese de que o erro é normalmente distribuído é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários também sejam normalmente distribuídos.
(1) Se a hipótese cov (ui; uj j Xi; Xj) = 0, i 6= j for violada, os estimadores de mínimos quadrados
ordinários serão viesados e não e…cientes.
(2) As hipóteses de que o erro é normalmente distribuído e de que cov (ui; uj j Xi; Xj) = 0, i 6= j
asseguram que ui e uj se distribuem independentemente.
(3) A hipótese V ar (ui j Xi) = 2 é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados
or-dinários sejam não tendenciosos.
(4) Os estimadores de mínimos quadrados de 1 e 2 podem ser escritos como combinações lineares das observações Yi.
Solução
1.9.1 QUESTÃO 06
Seja o modelo de regressão linear clássico com duas variáveis explicativas X2 e X3: Y i = 1+ 2X2i+ 3X3i+ ui. É correto a…rmar que:
(0) Se a correlação entre X2 e X3 é zero, então o estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO)
de 2 é P i( X2i X2)(Yi Y) P i( X2i X2) 2 .
(1) Mesmo que a correlação entre X2 e X3 seja igual à unidade, pode-se estimar 2+ c 3 , em que c
é uma constante conhecida.
(2) A e…ciência relativa dos estimadores de MQO, dentro da classe dos estimadores lineares não viesados, garantida pelo Teorema de Gauss Markov, necessita da hipótese de normalidade do erro (ui).
(3) Se o erro (ui) é heterocedástico, os estimadores de MQO serão viesados.
(4) Se as variáveis explicativas são estocásticas, porém não correlacionadas com o erro (ui), então, os
estimadores dos parâmetros do modelo são não-viesados.
Solução
O seguinte modelo de regressão foi estimado utilizando-se dados trimestrais entre 1979 e 1998, inclusive: b
Yi = 2:20 + 0:104X2i
A soma total explicada foi 100; 5. Quando esta equação foi re-estimada, adicionando-se três “dummies” sazonais, a soma total explicada aumentou para 114; 5 e a soma do quadrado dos resíduos foi igual a 20; 00. Suponha que deseja-se testar se a sazonalidade é signi…cativa. Calcule a estatística de teste adequada.
Solução
Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade deman-dada (Q) e preço do produto (P ). Admita que as duas variáveis sejam medidas em Reais, e que a estimação será efetuada por MQO (ln é logaritmo natural)
ln Qi = 1+ 2ln Pi+ ui i = 1; 2; :::; 100:
É correto a…rmar que:
(0) Variando-se o preço em 1%, a quantidade demandada variará 10 2%, ceteris paribus.
(1) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado limite, será possível obter quantidades demandadas negativas.
(2) Se mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa de 2 na nova equação será igual a sua estimativa obtida na equação em Reais.
(3) Se a variável ln Y (Y =renda) for acrescentada ao modelo o coe…ciente R2 desta nova regressão será maior ou igual ao coe…ciente R2 da regressão original.
(4) Se o coe…ciente R2 ajustado da regressão com a variável ln Y for maior do que o coe…ciente
R2 ajustado da regressão original, então necessariamente, o coe…ciente de ln Y é estatisticamente signi…cante, ao nível de signi…cância de 5%, em um teste bilateral.
Solução
1.10.1 QUESTÃO 02
Uma série temporal mensal de três anos, de janeiro de 1995 a dezembro de 1997, para o preço do produto agrícola Y , apresentou a seguinte tendência linear Y = 3 + 0; 25X. Estime o preço do produto Y para o mês de janeiro de 1998, sabendo que as variações sazonais calculadas com base num modelo aditivo para os três anos considerados foram:
Mês Jan Fev Mar Abr Maio Jun Variação sazonal -1,25 -0,52 0,84 1,50 3,00 3,85
Solução
Seja o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial: Y = X + "
onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y => (n 1); X => (n k); => (k 1); " => (n 1).
Então, podemos fazer as seguintes a…rmações:
(0) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com valores …xados em amostras repetidas.
(1) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente cor-relacionada com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação linear de outras variáveis independentes.
(2) As equações normais de mínimos quadrados para o modelo dado podem ser apresentadas em notação matricial como (X0Y ) = (X0X) b e a solução para b será b = (X0X) 1(X0Y ).
(3) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os coe…cientes da regressão (admitindo que 1 6= 0, ou seja, a regressão não passa pela origem):
Hipótese nula => H0: 2= 3 = ::: = k = 0
Hipótese alternativa => H1: Todos os i 6= 0, para i = 2; 3; :::; k.
(4) Os intervalos de con…ança dos coe…cientes da regressão podem ser calculados da seguinte maneira: bi tn k:sb
i; bi+ tn k:sbi
onde bi = estimativa do coe…ciente i; tn k = abcissa de uma distribuição \t" com (n k) graus de
liberdade, …xado o grau de con…ança de intervalo; e sb
i = erro padrão estimado de bi.
Solução
Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regressão linear com duas variáveis explicativas para uma amostra de tamanho 10.
Variáveis preditoras Coe…ciente Desvio padrão Estatística \t" p-valor Constante 223,3 254,8 0,88 0,410
X1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172
X2 -1,03 3,213 -0,32 0,752
R2 = 81; 2%; R2 ajustado = 76; 1%; Valor calculado da estatística F = 15; 1. Podemos a…rmar que:
(0) A equação de regressão estimada é bY = 223; 3 1; 26X1 1; 03X2.
(1) A um nível de signi…cância de 5% podemos a…rmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos os testes de hipóteses para os coe…cientes individuais, aceitamos a hipótese (a um nível de signi…cância de 1%) de que o coe…ciente para a variável X2 é zero.
(2) O coe…ciente de determinação indica que 81; 2% da variação amostral de Y podem ser atribuídos as variações de X1 e X2.
(3) O valor estimado para Y quando X1 = 15 e X2 = 80 é 220.
(4) Os valores teóricos das estatísticas \t" utilizadas para testar os coe…cientes das variáveis explicativas devem ser calculados para 7 graus de liberdade.
Solução
1.11.1 QUESTÃO 13
Considere o seguinte modelo de Regressão Linear Multiplo:
Yt= + 1X1t+ 2X2t+ t; t = 1; 2; 3; :::; n
onde E( t) = 0, V ar( t) = 2 e X1t, X2t são séries de valores …xos.
(0) Se, X1t = X2t, ainda assim é possível obter os estimadores de Mínimos Quadrados de , 1 e 2.
(1) Se s e t são independentes para todo t 6= s, então dentro da classe dos estimadores lineares não tendenciosos, os estimadores de Mínimos Quadrados de , 1 e 2 são os melhores.
(2) Caso X2t = Yt 1 na equação acima, e os erros t sejam autocorrelacionados, o estimador de
Mínimos Quadrados de , 1 e 2 mantém a propriedade de não-tendenciosidade.
(3) Quando a variância dos resíduos, V ar( t), varia para cada t, então os estimadores de Mínimos Quadrados de , 1 e 2 ainda são não tendenciosos mas ine…cientes.
(4) No caso da existência de autocorrelação e heterocedasticidade dos resíduos, as variâncias amostrais dos estimadores de Mínimos Quadrados de , 1 e 2 são tendenciosas, fazendo com que os testes de hipóteses destes parâmetros …quem comprometidos.
Solução
1.12.1 QUESTÃO 14
Considere o seguinte modelo de regressão, em forma matricial, com T observações amostrais e k regressores (X):
y
(T 1)
= X
(T k)(k 1)+(T"1)
(0) com regressores não-estocásticos, o estimador de mínimos quadrados ordinários de é uma função linear das observações amostrais.
(1) o estimador de máxima verossimilhança de requer o pressuposto de média zero e de variância …nita na estrutura de erros, dispensando a especi…cação de uma distribuição paramétrica da mesma. (2) o estimador de máxima verossimilhança de é enviesado mas consistente.
(3) os estimadores de mínimos quadrados ordinários de e de máxima verossimilhança de coincidem quando os erros são independentes e identicamente distribuídos com distribuição Normal.
(4) caso tenha distribuição multivariada Normal, com média zero, e matriz de covariância dada por
2 I
T, o estimador de máxima verossimilhança de 2 é viesado para amostras …nitas.
Solução
Uma implementação empírica do modelo de capital humano é feita com a seguinte especi…cação: ln Yi = 0+ 1 XP Ri+ 2 (XP Ri)2+ 3 Si+ "i;
onde Yirepresenta a renda do trabalho do i-ésimo indivíduo, o número total de anos de sua escolaridade,
Ai sua idade medida em anos, e, XP Ri = Ai Si, sua experiência de trabalho, medida pela diferença
entre sua idade e o total de anos de escolaridade. Finalmente, "i é um distúrbio aleatório do modelo
de regressão associado ao i-ésimo indivíduo de uma amostra de N indivíduos. Pode-se a…rmar que: (0) se os erros são independentes e identicamente distribuídos, a razão entre os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos ’s e seus respectivos desvios-padrão têm distribuição assintótica Normal. (1) o sinal do coe…ciente 2 indica a presença de retornos decrescentes ou crescentes à experiência de trabalho.
(2) mesmo em presença de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mínimos quadra-dos ordinários é consistente.
(3) mesmo em presença de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mínimos quadra-dos ordinários é relativamente e…ciente.
Solução
1.13.1 QUESTÃO 15
Suponha que, num modelo de regressão linear simples, o regressor (variável independente) seja cor-relacionado com o termo erro. Sobre o estimador de M QO, podemos a…rmar:
(0) É, em geral, viesado.
(1) Não é possível de ser obtido.
(2) É não viesado, porém não é e…ciente. (3) É consistente.
Solução
1.14.1 QUESTÃO 05
Seja yi = + xi+ "i uma equação de regressão e sejam a e b estimadores de mínimos quadrados
ordinários (M QO) de e , respectivamente. Pode-se a…rmar que:
(0) A hipótese de média zero do termo aleatório é imprescindível para que b seja um estimador não-viesado de .
(1) A hipótese de não-autocorrelação dos resíduos digni…ca que x e " são independentes.
(2) A hipótese de que x é não-estocástica é necessária para que a e b sejam estimadores não-viesados. (3) Se a hipótese de homoelasticidade for válida, então a e b serão estimadores e…cientes dentro da classe dos estimadores lineares não-viesados.
(4) A hipótese de normalidade do termo aleatório é necessária para garantir a e…ciência dos estimadores de M QO dentro da classe dos estimadores lineares não viesados.
Solução
Em um modelo clássico de regressão linear múltipla:
(0) Uma das hipóteses estabelece que as variáveis explicativas são linearmente independentes. (1) Os testes t e F não são equivalentes.
(2) A comparação do poder explicativo de modelos envolvendo número diferente de variáveis explica-tivas deve ser feita com base no R2 ajustado.
(3) Cada uma das variáveis explicativas tem distribuição normal.
(4) A variância da variável dependente é igual à variância do termo aleatório.
Solução
1.15.1 QUESTÃO 04
Quanto ao modelo de regressão linear simples da forma Yi = a + bXi+ ui
em que Y representa a produção de parafusos; X a quantidade de trabalho, medida em homens/hora de trabalho; e u a perturbação aleatória; podemos a…rmar que:
(0) O valor da variável Y nunca pode ser previsto exatamente devido à presença da perturbação ocasionada pela variável independente X.
(1) Para cada valor de Xi, temos como pressuposto básicos que o correspondente ui tem distribuição
normal com média zero.
(2) O pressuposto de homocesticidade signi…ca que cada perturbação tem a mesma variância cujo valor é desconhecido.
(3) Pelos seus pressupostos básicos, as perturbações ui são não correlacionadas e estatisticamente
dependentes.
Solução
Em relação ao modelo de regressão múltipla
Yi = 0+ 1X1i+ 2X2i+ : : : + + kXki+ ei , i = 1; 2;
Pode-se a…rmar que:
(0) O método, dos mínimos quadrados ordinários (M QO), usado para estimar os coe…cientes j, j = 0; 1; : : : ; k exige que o erro tenha distribuição normal.
(1) Se adicionarmos um novo regressor Xk+1 à equação acima então o coe…ciente de determinação, R2
pode ou não aumentar.
(2) Os estimadores de M QO dos coe…cientes j, j = 0; 1; : : : ; k são não viciados (ou não viesados). (3) Os coe…cientes j, j = 0; 1; : : : ; k podem ser interpretados como as elasticidades entre os regressores Xj e a variável Y .
Solução
1.16.1 QUESTÃO 03
Suponha que se tenha usado dados de 12 plantações para estimar a função de produção:
Y = 2; 10
(0;3)
+ 0; 32
(0;08)
X
em que Y é medido em toneladas de café por hectare de X em centenas de quilo de fertilizante por hectare. O erro-padrão das estimativas e são dados entre parênteses. Pode-se a…rmar que:
(0) Ao nível de 5% ambas estimativas são signi…cantes.
(1) Se o desvio-padrão da variável X (sX) é 1 e o desvio-padrão da variável Y (sY) é 1 então o coe…ciente
de correlação entre X e Y , r, é 0; 32.
(2) Para fazer a análise de variância dessa regressão precisa-se conhecer apenas a variação explicada pela regressão um vez que os graus de liberdade já são conhecidos.
(3) Se o café custar $15 por tonelada e o fertilizante $3 por 100 quilos, não vale a pena ao fazendeiro usar mais fertilizante para aumentar a produção, pois o custo marginal excede a receita marginal. (4) Um aumento de 100 quilos de fertilizante provoca um aumento de 2; 42 toneladas na produção de café.
Solução
Considerando o modelo de regressão múltipla
Yj = 0+ 1X1j+ 2X2j + : : : + kX1k+ "j
pode-se a…rmar que:
(0) A análise de variância da regressão testa se todos os coe…cientes estimados da regressão ^j são signi…cantes simultaneamente.
(1) O vetor de soluções para os parâmetros j é expresso por ^ = (X0X) 1X0Y .
(2) Para estimar os parâmetros j da regressão é necessário que as variáveis explicativas sejam inde-pendentes entre si.
(3) O coe…ciente de determinação múltipla corrigido para graus de liberdade R2 pode ser negativo.
Solução
A variável aleatória Z guarda com a variável aleatória X a relação Z = 5 + 5X + U onde U é uma variável aleatória, independente de X. Pode-se a…rmar que:
(0) Z tem correlação 1 com X.
(1) Qualquer que seja o valor do termo constante na relação acima, a correlação de Z com X não se altera.
(2) A covariância de Z com X é de 25 vezes a variância de X.
(3) Se os desvios padrão de X e de U forem idênticos e iguais a 2, a variância de Z valerá 104. (4) A correlação de U com Z é independente dos coe…cientes da relação acima.
Solução
Modelos de Equações Simultâneas
2.1
ANPEC 2008
2.1.1 QUESTÃO 09
Considere o modelo macroeconômico:
it = i + a ( t ) + "1t t = byt+ t 1+ "2t
yt = c (it 1 t 1) + "3t
em que: té a in‡ação no períod t, yté o hiato do produto, ité a taxa de juros nominal, i é a taxa de
juros de equilíbrio e é a meta de in‡ação. Suponha que 0 < b < 1, 1 < c < 0 e a 0. Finalmente, considere que et = ("1t; "2t; "3t)0 seja um vetor de variáveis aleatórias independentes e normalmente
distribuídas tal que 0 B @ "1t "2t "3t 1 C A N ID 2 6 4 0 B @ 0 0 0 1 C A ; 0 B @ 2 1 0 0 0 23 0 0 0 23 1 C A 3 7 5 , para t = 1; 2; 3; :::; T: Julgue as a…rmativas:
(0) Se a = 1 a função de autocorrelação da in‡ação decai exponencialmente. Se a = 2, V ( t) ! 1
quando t ! 1. (1) Se a = 2, então bb = T P t=1 tyt T P t=1 y2 t é um estimador consistente de b.
(2) O coe…ciente c só pode ser estimado de modo consistente pelo método de variáveis instrumentais. (3) Sejabrt= yt b t 1, em que b = T P t=1 yt t 1 T P t=1 2 t 1 . Se a = 2, então bb = T P t=1 trbt T P t=1b r2 t é um estimador consistente de b. 44
Solução
2.2.1 QUESTÃO 12 Considere o modelo: QD t = 1+ 1Pt+ uDt (equação de demanda) QOt = 2+ 2Pt+ uOt (equação de oferta) QDt QOt Qt em que: QD
t e QOt são as quantidades demandada e ofertada, respectivamente, de laranja na Flórida
no ano t, Pt é o preço da laranja no ano t e uDt e uOt são termos aleatórios de média nula em que
Cov uDt ; uOt = 0. É correto a…rmar que:
(0) O estimador de mínimos quadrados de 1 será tendencioso caso 2 6= 0. (1) Seja b1 o estimador de mínimos quadrados de 1. Logo, E b1 = 1+ 2
2
(2) Se V ar uDt = 2D e V ar uOt = 2O, então a matriz de variância-covariância do vetor aleatório Xt= (Qt; Pt) é dada por: = 1 ( 2 1)2 2 2 2D+ 2 1 2O 2 2D + 1 2O 2 2D+ 1 2O 2D + 2O ! :
(3) Seja Ztuma nova variável representando o número de dias na Flórida com temperaturas abaixo de
zero. Se E uD
t jZt = 0 e E uOt jZt 6= 0, então a equação de demanda pode ser estimada por mínimos
quadrados em dois estágios, sendo Zt uma variável instrumental.
(4) Seja Zt de…nida como no item anterior, então se E uDt jZt 6= 0 e E uOtjZt = 0, as equações de
oferta e demanda podem ser estimadas por mínimos quadrados em dois estágios com Zt sendo uma
variável instrumental.
Solução
2.3.1 QUESTÃO 07
Considere o modelo:
Yt= Zt+ Yt 1+ e1t (equação I)
Zt= Zt 1+ e2t (equação II)
em que , e são parâmetros e
et= e1t e2t ! ~ N ormal " 0 0 ! ; 2 11 212 2 12 222 !# E (etet) = e1t e2t ! , para todo k 6= t. Suponha também que j j < 1 e j j < 1. São corretas as a…rmativas: (0) A condição j j < 1 garante a estacionariedade de segunda ordem de Zt.
(1) O estimador de mínimos quadrados ordinários de , na equação II, não é consistente.
(2) Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de e na equação I, só serão consistentes se
12= 1.
(3) Sem nenhuma restrição adicional sobre os parâmetros do modelo, a equação I não satisfaz a condição de ordem para identi…cação.
(4) Para testar se há endogeneidade na equação I, pode-se usar o teste de Hausman.
Solução
2.4.1 QUESTÃO 08
Considere o modelo de equações simultâneas: Qdt = 0+ 1Pt+ 2Xt+ e1t (demanda)
Qst = 0+ 1Pt+ e2t (oferta)
Qd
t = Qst (condição de equilíbrio)
Qdt e Qstsão, respectivamente, as quantidades demandadas e ofertadas do bem, Xt é uma variável
exógena e e1t e e2t são os termos aleatórios, com médias zero e variâncias constantes. São corretas as
a…rmativas:
(0) As equações de demanda e oferta são exatamente identi…cadas.
(1) Os parâmetros estruturais do modelo são consistentemente estimados por Mínimos Quadrados Ordinários.
(2) As equações na forma reduzida são: Pt= 0+ 1Xt+ vt e Qt= 2+ 3Xt+ wt, em que 0= 01 0 1; 1= 2 1 1; vt= e1t e2t 1 1; 2 = 1 0 0 1 1 1 ; 3 = 2 1 1 1 e 2= 1e2t1 1e1t 1 .
(3) As estimativas dos parâmetros da forma reduzida descritos no quesito anterior, por Mínimos Quadrados Ordinários, são consistentes.
(4) Os parâmetros das equações estruturais, obtidos dos parâmetros da forma reduzida, são estimados por Mínimos Quadrados Ordinários.
Solução
2.5.1 QUESTÃO 07
São corretas as a…rmativas. Em modelos de equações simultâneas: (0) o problema da identi…cação precede o da estimação.
(1) se a condição de ordem for satisfeita, a condição de posto também será satisfeita.
(2) os estimadores de mínimos quadrados indiretos e os de mínimos quadrados de dois estágios são não-tendenciosas e consistentes.
(3) se uma equação é exatamente identi…cada, os métodos de mínimos quadrados indiretos e de dois estágios produzem resultados idênticos.
(4) o método de mínimos quadrados indiretos pode ser aplicado tanto a equações exatamente identi-…cados quanto a equações superidenti…cadas.
Solução
2.6.1 QUESTÃO 08
Considere o modelo de equações simultâneas: QDi = 1+ 1Pi+ u1i (demanda)
QSi = 2+ 2Pi+ u2i (oferta)
QD
i = QSi
em que: QD
i é a quantidade demandada, QSi é a quantidade ofertada, Pi é o preço, e u1i e u2i são
termos aleatórios. É correto a…rmar que:
(0) o estimador de mínimos quadrados ordinários aplicado a cada uma das equações é consistente e não-tendencioso;
(1) no modelo acima a equação de demanda é identi…cada mas a equação de oferta não é; (2) se a equação de demanda for de…nida por QD
i = 1+ 1Pi+ 1Yi+ u1i, em que Yi é a renda, a
equação de oferta será identi…cada;
(3) a equação de demanda será identi…cada se for de…nida por QDi = 1+ 1Pi+ 1Yi+ u1i;
(4) a variável renda, empregada nos dois itens anteriores, é uma “variável instrumental”.
Solução
2.7.1 QUESTÃO 11
Considere as seguintes equações do modelo estrutural:
Equação de Demanda: Qt= 0+ 1Pt+ 2Rt+ u1t
Equação de oferta: Qt= 0+ 1Pt+ 2Pt 1+ u2t
em que no período t, Qté a quantidade de produto; Pt, o preço (endógeno) do produto; Rt, a renda do
consumidor; u1t, o distúrbio aleatório da equação de demanda e u2t, o distúrbio aleatório da equação
de oferta. A partir destas equações são obtidas as equações na forma reduzida:
Pt= 0+ 1Rt+ 2Pt 1+ v1t e Qt= 3+ 4Rt+ 5Pt 1+ wt: (0) Assim sendo, 0 = 01 0 1, 1= 2 1 1 e 2= 2 1 1.
(1) A condição de posto indica que a primeira e a segunda equações são identi…cadas.
(2) Se multiplicarmos a equação de demanda por (0 < < 1) e a equação de oferta por (1 ) e somá-las, desde que o resultado dessa soma seja diferente da equação de oferta e da equação de demanda, as duas serão identi…cadas.
(3) O método de mínimos quadrados ordinários produz estimadores consistentes e e…cientes dos parâmetros da forma estrutural.
(4) Para veri…car se qualquer equação do sistema é identi…cável, basta aplicar a condição de ordem.
Solução
2.8.1 QUESTÃO 08
No modelo de equações simultâneas:
QD = 1+ 1P + 1Y + u1 (demanda)
QS = 2+ 2P + u2 (oferta)
QD = QS
em que: QD é a quantidade demandada; QS, a quantidade ofertada; P , o preço; Y , a renda; u
1 e
u2 são os componentes aleatórios. Neste modelo:
(0) A aplicação do método de mínimos quadrados ordinários (MQO) a cada uma das equações do sistema, desconsiderando-se a outra, fornecerá estimativas não tendenciosas.
(1) A equação de demanda é subidenti…cada. (2) A equação de oferta é exatamente identi…cada.
(3) Na equação de oferta, o estimador de MQO é consistente.
(4) Caso seja subidenti…cada, a equação de demanda não pode ser estimada.
Solução
2.9.1 QUESTÃO 14
Considere o seguinte conjunto de equações simultâneas:
Q = 1+ 1P + 1Y + 1 : função de demanda
Q = 2+ 2P + 2 : função de oferta
onde Q (quantidade) e P (preços) são as variáveis endógenas, Y (renda) é a variável exógena e 1, 2, representam os resíduos. Os valores 1, 2, 1, 1 e 2 são os parâmetros do modelo.
Então, pode-se a…rmar que:
(0) As equações na forma reduzida são de…nidas como : Q = 1+ 2Y + v1 Q = 3+ 4Y + v2 onde, 1 = 1 2 2 1 1 2 , 2 = 1 2 1 2 , 3 = 2 1 1 2 , 4 = 1 1 2 , v1 = 1 2 2 1 1 2 e v2 = 1 2 1 2 .
(1) As funções de demanda e oferta são identi…cadas.
(2) A estimação dos parâmetros das equações na forma reduzida por Mínimos Quadrados Ordinários, produz estimadores consistentes.
(3) Os resíduos v1 e v2 são independentes.
Solução
Séries Temporais
3.1
ANPEC 2008
3.1.1 QUESTÃO 10
Julgue as a…rmativas:
(0) Na presença de heteroscedasticidade dos erros de um modelo de regressão linear, os estimadores de mínimos quadrados ordinários são ine…cientes.
(1) Para testar a presença de autocorrelação de primeira ordem em um modelo yt = + yt 1+ "t
usa-se o teste de Brausch-Godfrey.
(2) Quando os erros da regressão são autocorrelacionados, os estimadores de mínimos quadrados são e…cientes.
(3) A omissão de uma variável relevante em um modelo de regressão linear pode gerar autocorrelação nos erros.
(4) A regressão entre duas variáveis integradas de primeira ordem, isto é I(1), é sempre espúria.
Solução
Julgue as a…rmativas:
(0) Toda série temporal estacionária com variância …nita pode ser escrita como um modelo de média móvel com termo de erro serialmente não correlacionado.
(1) Um modelo de séries temporais não estacionário tem pelo menos uma raiz unitária. (2) O teste de Dickey-Fuller é monocaudal.
(3) Um modelo AR (2) dado por Yt= a + 1Yt 1+ 2Yt 2+ "t, t = 1; 2; 3; :::, em que "t é um ruído
branco com média zero e variância 2, será estacionário se 1 < 1 e 2 < 2. (4) Um passeio aleatório é um processo estacionário.
Solução
Suponha que yt= + yt 1+ut, em que futg é independente e igualmente distribuído, com distribuição
normal de média zero e variância 2. Sabe-se que = 35, = 3=5 e 2 = 2. Você é informado que y2 = 50. Determine a melhor previsão para y4.
Solução
3.2.1 QUESTÃO 03
Considere o modelo autorregressivo de primeira ordem, AR(1), de…nido por
Yt= a + bYt 1+ ut
em que a e b são parâmetros e futg é uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e igualmente
distribuídas, com média nula e variância 2 Suponha que jbj < 1. A previsão n passos-à-frente para a variável Y convergirá para
(0) a. (1) a média de ut. (2) 1 ba . (3) E (Yt). (4) 1.
Solução
57Sejam Yt e Xt duas séries temporais. Considere os resultados dos seguintes modelos de regressão
estimados por mínimos quadrados ordinários (MQO): b
Yt= 4; 8788 0; 1512Yt 1 e Xbt= 0; 1094 0; 1807Xt 1
(1; 70) ( 1; 97) (1; 26) ( 2; 21) Considere também os resultados da regressão de Yt em Xt
Yt= 23; 3924 + 14; 4006Xt+bet
(1; 70) ( 1; 97) em que bet é o resíduo. Finalmente, considere a regressão:
bet= 0; 0730 0; 4157bet 1
(0; 06) ( 3; 43)
Os números entre parênteses são os valores do teste t de signi…cância individual dos parâmetros. Dado que o valor crítico a 5% da estatística de Dickey-Fuller é 2; 938, é correto a…rmar que:
(0) Yt e Xt são séries temporais integradas de ordem 1.
(1) A regressão de Ytem Xt é espúria.
(2) A hipótese de cointegração entre Yt e Xté rejeitada pois os resíduos da regressão de Ytem Xtsão
não-estacionários.
(3) Para que duas variáveis sejam cointegradas é necessário que ambas tenham a mesma ordem de integração.
(4) A rejeição da hipótese nula do teste Dickey-Fuller implica que a variável em questão é não-estacionária.
Solução
Julgue as proposições:
(0) A soma de dois processos estocásticos independentes e estacionários de segunda ordem será esta-cionária de segunda ordem.
(1) A soma de dois processos estocásticos não-estacionários será não-estacionária.
(2) Seja L o operador de defasagem tal que LYt= Yt 1. Se Yt segue um processo AR(1) estacionário
de segunda ordem, então (1 L)2Yté um processo ARMA(2,2).
(3) O processo ARMA(2,2) de…nido na forma 1 L 0; 25L2 Yt = 1 0; 5L 0; 06L2 ut é não
estacionário, em que ut é o erro aleatório com média nula e variância constante.
(4) Todo processo MA é estacionário de segunda ordem.
Solução
3.3.1 QUESTÃO 11
Dois economistas usam os modelos abaixo para analisar a relação entre demanda de moeda (m) e renda nacional (y). As variáveis estão todas em logaritmos e a periodicidade é mensal.
Economista A: Economista B:
mt= 1:099yt+but (Equação 1) mt= 1:14 yt+bet (Equação 2)
(0:0086) (0:145)
Os valores entre parênteses são os erros-padrão.
Testes Dickey-Fuller Aumentado (ADF), com número apropriado de defasagens maior que zero em todos os casos, para as variáveis e para os resíduos dos dois modelos geram os seguintes resultados:
Variável mt yt but mt yt bet
Estatística - ADF 2; 191 1; 952 2; 993 5; 578 6; 312 8; 456 O valor crítico da tabela Dickey-Fuller a 5% é igual a -2,886. São corretas as a…rmativas:
(0) Tanto a série de demanda de moeda quanto a de renda nacional são integradas de primeira ordem. (1) As séries de demanda de moeda e de renda nacional não são cointegradas ao nível de signi…cância de 5%.
(2) Se a série de demanda de moeda for estacionária na diferença (di¤ erence stationarity) ela não pode ser estacionária na tendência (trend stationary).
(3) Se as séries de demanda de moeda e de renda nacional forem cointegradas, o Economista B deve incluir o erro defasado ^ut 1 em seu modelo.
(4) A série de renda nacional é um passeio aleatório puro.
Solução
Uma série temporal Yt, t = 1; :::; T , foi gerada por um processo da classe ARIMA(p; d; q) e apresenta
os seguintes formatos para a Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial (FACP):
Supondo que a média da série seja 100 e que YT 3 = 35, YT 2 = 28, YT 1= 38 e YT30, calcule a
previsão para YT +1 feita no instante T , isto é E(YT +1jYT; YT 1; YT 2; YT 3; :::).
Solução
3.4.1 QUESTÃO 07
Com respeito à teoria das séries temporais, são corretas as a…rmativas:
(0) Considere uma série temporal Yt auto-regressiva de ordem 1 com parâmetro . No modelo: Yt
Yt 1= Yt 1+ ut , em que ut é um ruído branco e = 1, se for de fato igual a zero, a série Yt
será não estacionária.
(1) Numa regressão linear simples de duas séries temporais não estacionárias de ordem 1, o teste usual t de Student ainda é válido.
(2) Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas cointegráveis, não se corre o risco de os resultados serem espúrios.
(3) Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas cointegráveis, os resíduos da regressão são estacionários.
(4) Se uma série temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária, a série original é integrada de ordem n -1.
Solução
São corretas as a…rmativas:
(0) No processo AR(1): yt= 0+ 1yt 1+ et, em que j j < 1 e et é um ruído branco de média zero e
variância 2, a variância de y tserá
2
1 2.
(1) Seja a função de autocovariância do processo AR(1) de…nido no quesito anterior j = E [(yt j ) (yt j )],
em que = E [yt] é a média do processo yt. É correto a…rmar que j =
( 0+ 1)j
1 2 1
.
(2) O processo AR(2), yt= 0+ 1yt 1+ t 2yt 2+ et, em que et é um ruído branco de média nula
e variância 2, será estacionário de segunda ordem se, e somente se, 1 < 1 e 2 < 1.
(3) A média do processo MA(1), yt= et+ et 1, em que et é um ruído branco, é igual a zero.
(4) No modelo ARMA(1,1), yt= 0+ 1yt 1+ et+ et 1, em que eté um ruído branco de média nula
e variância constante, a média de yt é dada por 1 0
1.
Solução
3.5.1 QUESTÃO 09
Considere a seguinte regressão entre yt e zt:
yt= zt+ ut
em que ut é o erro. São corretas as a…rmativas:
(0) Se yt for I(1) e ztfor I(0), então yt e ztsão co-integradas.
(1) Se yt for I(0) e ztfor I(1), então yt e ztsão co-integradas.
(2) Se yt for I(1) e ztfor I(1), então yt e ztsão co-integradas.
(3) Se yt for I(1), zt for I(1) e ut for I(0), então yt e zt são co-integradas.
(4) Se utfor I(0) as séries yte zt são necessariamente co-integradas.
Solução
Em relação aos modelos de séries temporais, são corretas as a…rmativas:
(0) No processo AR(1), Zt= Zt 1+ at+ 0, j j < 1, e até um ruído branco, a média de Ztserá 1 0 .
(1) O processo MA(1), Zt= at at 1, em que at é um ruído branco, não é estacionário.
(2) O processo AR(1), Zt= 0; 8Zt 1+ at, em que at é um ruído branco, é estacionário.
(3) No processo AR(1), Zt= Zt 1+ at, em que at é um ruído branco com V ar(at) = 2a, a variância
de Zt é
2 a
1 2.
(4) No modelo ARMA(1,1), Zt = Zt 1+ at+ at 1, em que at é um ruído branco, a média de Zt é
diferente de zero.
Solução
3.6.1 QUESTÃO 10
Considere o modelo de regressão linear
Ct= 0+ 1Yt+ ut, t = 1; :::; T ,
em que: Ct é o consumo pessoal em t, Yt é a renda pessoal em t e ut é o termo aleatório. É correto
a…rmar que:
(0) se Ct e Yt são I(1), então ut será obrigatoriamente estacionário;
(1) se o Cte Ytsão integradas, mas com ordens de integração diferentes, então a regressão será inválida;
(2) se Ct e Yt são I(1), então o teste ADF aplicado aos resíduos da regressão poderá identi…car a
presença de co-integração entre as variáveis;
(3) se Ct e Yt são I(1), mas os resíduos são I(0), então há co-integração entre as variáveis;
(4) se Ct e Yt são I(1) e os resíduos também são I(1), então a regressão de Ctem Yt é inválida.
Solução
Considere o modelo ARM A(1; 1) de…nido por:
yt = 0; 5yt 1 0; 2"t 1 + "t, t = 1; :::; T;
em que a variância de "t é igual a 1. Encontre a variância de yt.
(Multiplique o resultado …nal por 10. Marque somente a parte inteira na folha de resposta).
Solução
3.7.1 QUESTÃO 12
Em relação aos modelos de Séries de Tempo pode-se a…rmar:
(0) No modelo Autoregressivo de ordem 1, Zt= Zt 1+ ut+ 0, j j < 1, em que uté um ruído branco,
o parâmetro 0 é a média do processo.
(1) O modelo misto Autoregressivo-Médias Móveis, ARMA(1,1), pode ser representado pela expressão Zt= Zt+ ut ut 1 em que e são parâmetros e ut é um ruído branco.
(2) Se um processo estocástico possui uma tendência determinística, yt= 1+ 2t + ut, então este é
dito não-estacionário e sua não-estacionariedade pode ser detectada por um teste para raiz unitária. (3) Em uma regressão com duas séries temporais, se estas são I(1), ou seja, não estacionárias, mas são cointegradas, pode-se empregar a estatística t de Student para testar a signi…cância dos coe…cientes da regressão.
(4) O teste de Engle-Granger para co-integração entre três variáveis consiste em utilizar a estatística e a tabela de valores críticos Dickey-Fuller nos resíduos de uma regressão entre estas variáveis.
Solução
3.8.1 QUESTÃO 10
Seja o processo auto-regressivo: yt= 1yt 1+ "t. Pode-se a…rmar que:
(0) O processo é estacionário para < 1.
(1) Se = 1, o processo é dito um caminho aleatório (random walk ).
(2) O estimador de mínimos quadrados ordinários do parâmetro 1 é não tendencioso. (3) A estatística t-Student pode ser usada para testar a presença de raiz unitária.
(4) O processo pode ser escrito em uma forma alternativa como yt= yt 1+ "t em que = 1 1
e yt= yt yt 1.
Solução
3.9.1 QUESTÃO 15
Considere um processo AR(1)
Yt= Yt 1+ "t; "t~NID(0; 2); t = 1; 2; :::T;
em que, por hipótese, j j < 1, a não ser que seja dito o contrário. Considere Yo …xo e que t seja muito
distante da origem.
(0) A condição j j < 1 é necessária para que o processo apresente média e variância incondicionais independentes do tempo.
(1) A média incondicional do processo é zero.
(2) A função de autocorrelação deste processo é diferente de zero para o “lag” 1, e é igual a zero para todos os outros “lags”.
(3) A previsão dois-passos à frente é dada por: E(Yt+2jYt) = ( +1)+ 2Yt, em que Yt= fY1; Y2; :::; Ytg.
(4) Se = 1, o processo será não estacionário.
Solução
3.10.1 QUESTÃO 01
Com relação aos modelos Auto - Regressivo, Média - Móvel e Misto, pode-se a…rmar que:
(0) No modelo AR(1), Zt = Zt 1+ at , onde E(at) = 0, E(a2t) = 2a e Cov(at; as) = 0 se t 6= s, a
variância de Zté …nita qualquer que seja o valor de .
(1) No modelo MA(1) , Zt = + at at 1, onde E(at) = 0 para todo t e E(a2t) = 2a , então
E(Zt) = e V ar(Zt) = (1 + 2) 2a.
(2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Média-Móvel) pode ser escrito na forma (L) Zt =
(L) at, onde (L) = 1 1L 2L2 ::: pLp e (L) = 1 1L 2L2 ::: qLq são,
respectivamente, os operadores auto-regressivo e de média-móvel de ordem p e q onde, LnZt= Zt n.
(3) Se o processo gerador de dados pode ser escrito como (1 L)Zt = + at, então a raiz de sua
equação característica será diferente de um.
Solução
3.11.1 QUESTÃO 15
Com relação aos modelos Auto - Regressivo, Média - Móvel e Misto, pode - se a…rmar que :
(0) No modelo Zt= Zt 1+ at+ at 1+ 0, onde 0 é uma constante e at um ruído branco, a média
do processo será igual a zero se 0 = 0.
(1) No modelo Auto-Regressivo de ordem p,
Zt= 1Zt 1+ 2Zt 2+ ::: + pZt p+ at ,
se 1 1 2 ::: p = 0, o modelo não será estacionário.
(2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Média-Móvel) será estacionário e invertível, se todas as raízes dos operadores Auto - Regressivo e de Média Móvel caírem dentro do círculo unitário.
(3) Se no modelo Auto-Regressivo de ordem 1, Zt= Zt 1+at, onde até um ruído branco, o verdadeiro
valor de é igual a um, então Zt= at + at 1+ at 2 + ::: + a1, desde que Z0= 0.
Solução
Gabaritos
ANPEC 2008 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 V F F V V F V F F V V 25 48 15 74 1 F V F V F F V V F V F 2 V V V F F F F F F F V 3 F F A V F F V V V V F 4 F V V F V V V V F F F ANPEC 2007 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F V F V F F V F V V F V 03 50 30 1 V F F V V V A V F F V F 2 V V V F F F A V F F F V 3 F F V V F V V V V F V A 4 F V F F V F F F A V F F ANPEC 2006 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F V F V F V V V V V V 37 33 A 58 1 F V V F V F F V V F F 2 V F V F V F F F V F V 3 V F V F F V F F F V V 4 V F F V F F V V F F F 730 V F V V V F V F A V F F 50 05 09 1 F F F F F V F F F V F V 2 F V V V V V V F F F F F 3 F V F F V F V V V F V V 4 V F V F F F F F V V F V ANPEC 2004 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F V V V F V V F F V V 98 20 90 14 1 V F V V V V F V F F F 2 F F F F V F F F F V F 3 F V F V F F V F V V F 4 F F F F F V F F F F V ANPEC 2003 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F F F F A F F F F F 75 40 4 25 11 1 F V F V V V F F F V 2 F V V F F F F V V V 3 V F F F V F V F F V 4 V F F V F F V V V F ANPEC 2002 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F F F V V V F V F V F F 20 6 50 1 F V V V F F V F F V V V 2 V F F F V V F F V F V F 3 V V V F F F V V V F F V 4 F F F F F V V F V V F F ANPEC 2001 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 V V V V F F V F F F V V 99 2 25 1 V F V V F F F V V V F F 2 F F F F V F V V F V V V 3 V V F F V V V F F F F F 4 V V F F F F V F F V V V 74
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F 20 F V F V V V 32 17 F F V 13 V 1 V F F V V F F F F F V 2 F V V F F F V V V F F 3 F V F F F V V V F 4 V V V F F F V ANPEC 1999 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F 11 V F V V F X F F V F F F F 1 V V V V V V F F V F V V F 2 V V V V F V V V F V V F V 3 F F F F X F V V F V F V V 4 V V V F F V V ANPEC 1998 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 V X F V V X X F F V V 25 F V V 1 V F V F F X V V V F F V F V 2 F X V V V X F V V F V F F F 3 F V V V F X F V F F V V F V 4 F V V V ANPEC 1997 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F V 25 V 58 V V F V V F F 48 V V 1 V V V F F V F F V V F V 2 F V F F V V V V F F F V 3 V V V F F F V F F V V F 4 F V V V F V V ANPEC 1996 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 V 97 V 22 V F 41 V F V F F F 0 V 1 V V V F F F V V V V F 2 F F F V F V F F F V F 3 F V V F F F F V V F F 4 F V V F F 5 F F V V 6 V 7 F 75
0 23 V F V F F F F V 30 F F V V V 1 V F V F F F F V V V F F V 2 F V F F F V F V F V F F V 3 F V F V V V F F V F V V F 4 F V F F F V V V V F V ANPEC 1994 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 X V 20 F 8 F V F 3 F X 55 X F F 1 X F F V F V V F F 2 V V V V V V F V V 3 F F F F V F F F F 4 F V F V V F 5 V ANPEC 1993 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 0 F F V F F 3 F F F F F F V F F 1 V V V F V V F F V F F F V V 2 V F F V F F V F F V F F V F 3 F F F V V V F V F F F F V V 4 V V V F F F F F 76
Programa da prova de Estatística
-ANPEC
1. Números-índices - Índices de Laspeyres e de Paasche. Propriedades ideais de um número índice. Mudança de base e de‡acionamento de dados.
2. Probabilidade - De…nição e propriedades. Variáveis aleatórias discretas e tínuas. Função de probabilidade e densidade de probabilidade. Distribuição con-junta, distribuição marginais, independência estatística. Esperança matemática e variância de uma variável aleatória. Covariância e coe…ciente de correlação.
3. Principais distribuições - Bernoulli, Binomial, Poisson, Geométrica, Hiperge-ométrica, Uniforme, Normal, Lognormal, Qui-quadrado, t e F.
4. Principais teoremas de probabilidade - Teorema de Tchebyche¤. Lei dos grandes números. Teorema Central do Limite.
5. Inferência estatística - Estimação por ponto e por intervalo. Propriedades dese-jáveis dos estimadores em pequenas e grandes amostras. Intervalo de con…ança e teste de hipóteses. Tipos de erro. Nível de signi…cância.
6. Análise de Regressão- O modelo clássico de regressão linear e suas hipóteses bási-cas. Estimadores de mínimos quadrados ordinários e suas propriedades. Intervalos de con…ança e teste de hipóteses. Violação das hipóteses básicas do modelo clássico de regressão linear: testes de diagnóstico e procedimentos de correção. Regressão com variáveis ”dummy”. Modelos auto-regressivos e de defasagens distribuídas. Modelos de equações simultâneas.
7. Introdução a séries de tempo - modelos auto-regressivos, de média, móveis e mistos. Tendência, passeio aleatório e raízes unitárias.
