Programa Delta DEEC/FEUP Combinatória e Algoritmos 1

Programa Delta – DEEC/FEUP

Combinat´

oria e Algoritmos

Suponha que tem uma caixa branca com 60 bolas brancas e uma caixa preta com 60 bolas pretas. Considere o seguinte procedimento:

1. Retiram-se 20 bolas da caixa branca, que se colocam na caixa preta. 2. Misturam-se bem as bolas da caixa preta.

3. Retiram-se 20 bolas da caixa preta (provavelmente algumas destas ser˜ao brancas e outras pretas) e colocam-se na caixa branca.

Sem fazer esta experiˆencia, responda `a seguinte quest˜ao:

No final do procedimento, h´a mais bolas brancas na caixa preta ou mais bolas pretas na caixa branca?

Conjetura:

Prova da conjetura:

1_{O texto que se segue foi traduzido e adaptado do livro A Decade of the Berkeley Math Circle: The}

American Experience (Msri Mathematical Circles Library) (v. 1), de Zvezdelina Stankova e Tom Rike (Editores).

Fa¸ca a experiˆencia indicada na p´agina anterior e teste a conjetura. A conjetura verificou-se? Repita a experiˆencia e, se necess´ario, reformule a conjetura.

Conjetura∗:

Prove a Conjetura∗. Para tal, n˜ao basta dizer que o resultado das experiˆencias ´e sempre o mesmo! Ter´a de se questionar: O que ´e que se est´a a passar? Porque raz˜ao o resultado do procedimento ´e sempre este? Uma prova ´e uma resposta a esta quest˜ao. N˜ao s´o servir´a para convencer amigos e familiares incr´edulos que n˜ao realizaram a experiˆencia, como – o que ´e mais importante ainda – permitir´a um conhecimento mais profundo do problema. Esse tipo de entendimento mais profundo ajudar´a a resolver outros problemas mais dif´ıceis no futuro.

“Uma boa prova ´e uma prova que nos faz mais s´abios.” Yuri Manin Tente explicar porque raz˜ao o resultado tem necessariamente de ser como a experiˆencia faz induzir. Escreva todos os argumentos que conceber, mesmo que n˜ao os considere satisfat´orios. Pegue em l´apis e papel e escreva! Vai perceber que ´e dif´ıcil explicar as ideias cruciais. ´E frequente que determinada justifica¸c˜ao pare¸ca muito mais convincente na sua cabe¸ca do que no papel. Um dos desafios de uma prova ´e tornar precisos os palpites vagos e as intui¸c˜oes. Mas uma prova tem a grande vantagem de permitir comunicar as ideias a outros e, o que ´e mais importante ainda, perceber melhor as ideias pr´oprias.

..

Provas ou N˜

ao-Provas?

Nesta altura decerto j´a chegou `a conclus˜ao experimental: “O n´umero de bolas brancas na caixa preta ´e sempre igual ao n´umero de bolas pretas na caixa branca.”

N˜

ao-Provas camufladas de provas

Vejamos algumas provas inv´alidas deste resultado. Compare-as com a(s) sua(s) pr´opria(s) prova(s) e veja se os coment´arios ajudam a melhorar os seus argumentos.

“Prova” 1. Os dois n´umeros s˜ao iguais porque o n´umero de bolas pretas que colocarmos na caixa branca ´e igual ao n´umero de bolas brancas que tˆem de ficar na caixa preta. ?

!! Este argumento pode parecer uma explica¸c˜ao, mas se o ler com cuidado ver´a que est´a simplesmente a afirmar de outra forma aquilo que se queira provar! Te-nha muito cuidado com “provas” que reformulam a conclus˜ao usando termos que parecem mais convincentes, mas que n˜ao d˜ao nenhum argumento.

“Prova” 2. Quando movemos inicialmente as 20 bolas brancas para a caixa preta, a propor¸c˜ao de bolas brancas na caixa preta ´e 20/80 = 1/4. Logo das 20 bolas que movemos da caixa preta para a caixa branca, um quarto (isto ´e, 5 bolas) ser˜ao brancas e trˆes quartos (isto ´e, 15 bolas) ser˜ao pretas. Portanto, no final a caixa branca ter´a 15 bolas pretas e a caixa preta ter´a 15 bolas brancas (porque primeiro acrescent´amos-lhe 20 bolas brancas e

depois retir´amos 5). ?

!! Esta “prova” introduz um elemento irrelevante: probabilidade. N˜ao ´e por um quarto das bolas da caixa preta serem brancas que temos a garantia de que das 20 bolas que deslocaremos para a caixa branca, 5 ser˜ao brancas. ´E verdade que 5 ´e o n´umero mais prov´avel de bolas brancas, mas qualquer n´umero entre 0 e 20

“Prova” 3. Se no final ficarem menos de 20 bolas pretas na caixa branca, ent˜ao algumas das bolas que foram colocadas nessa caixa eram brancas. Assim, a caixa preta ter´a menos de 20 bolas brancas, j´a que algumas regressaram `a caixa branca. Estes n´umeros tˆem de ser iguais, porque das duas vezes foram deslocadas 20 bolas, logo, no final do processo, o n´umero de bolas da cor errada em cada caixa ser´a o mesmo.

!! Este argumento j´a est´a no caminho certo, mas ´e demasiado vago para ser uma prova. Porque raz˜ao o facto de ambas as caixas terem menos de 20 bolas da cor errada implica que tenham o mesmo n´umero de bolas da cor errada? N˜ao ´e dada uma explica¸c˜ao para a afirma¸c˜ao “Estes n´umeros tˆem de ser iguais”; nem ´e claro o significado dessa afirma¸c˜ao.

“Prova” 4. Os dois n´umeros s˜ao iguais porque, qualquer que seja o n´umero de bolas pretas que colocarmos na caixa branca, ´e esse o n´umero de bolas brancas que tˆem de ficar na caixa preta. Por exemplo, se movermos 13 bolas pretas e 7 bolas brancas da caixa preta para a caixa branca, ent˜ao na caixa preta restar˜ao 13 bolas brancas (porque inicialmente desloc´amos 20 bolas brancas para a caixa preta, das quais 7 regressam a essa caixa). Desta forma, os n´umeros acabam sempre por ser iguais.

!! Provavelmente ter´a a sensa¸c˜ao de que esta explica¸c˜ao revela bastante bem o processo referido no problema. O problema ´e que assenta num exemplo espec´ıfico. Embora um exemplo possa ser ´otimo para desenvolver a intui¸c˜ao e sugerir ideias, n˜ao convencer´a o seu amigo mais c´etico: “Eu entendo que os n´umeros ser˜ao iguais nesse exemplo”, dir´a ele, “Mas como sabemos que eles ser˜ao iguais sempre, em todos os casos conceb´ıveis? N˜ao ´e dada nenhuma explica¸c˜ao para isso.” Pode parecer uma picuinhice, mas o amigo c´etico tem raz˜ao: o exemplo d´a a sensa¸c˜ao de ser representativo; mas o facto de termos de depender desta sensa¸c˜ao mostra que ainda n˜ao cheg´amos ao fundo da quest˜ao.

Mas estamos muito pr´oximos!!

Finalmente uma prova! Melhor ainda, duas.

Prova 1. Suponhamos que o conjunto de bolas que foram colocadas na caixa branca era constitu´ıdo por k bolas pretas e 20 − k bolas brancas. Ent˜ao a caixa branca ter´a k bolas pretas, enquanto que a caixa preta ter´a 20 − (20 − k) = k bolas brancas, j´a que inicialmente lhe pusemos 20 bolas brancas e depois destas retir´amos 20 − k, que regressaram `a caixa branca. Logo cada caixa ficou com o mesmo n´umero de bolas da cor errada.

Repare que esta prova ´e bastante curta! Tal ´e frequente: assim que entendemos a essˆencia do problema, podemos dar uma justifica¸c˜ao que vai diretamente ao ponto, sem invocar quest˜oes acess´orias. Note-se ainda que a prova ´e muito semelhante ao exemplo da “Prova 4”. A diferen¸ca reside em substituir os n´umeros espec´ıficos do exemplo (13 bolas pretas e 7 bolas brancas) por uma vari´avel representativa do caso geral (k bolas pretas e 20 − k bolas brancas). Um exemplo n˜ao ´e uma prova, mas em determinadas situa¸c˜oes ´e muito f´acil adapt´a-lo para obter uma prova.

Heur´ıstica para resolu¸c˜ao de problemas Na presen¸ca de uma quantidade desco-nhecida (como o n´umero de bolas pretas na caixa branca), dˆe-lhe um nome! Um nome ´e como uma pega que podemos agarrar e usar da forma que nos for mais conveniente. Assim que dermos um nome a uma das quantidades desconhecidas do problema (por exemplo, k bolas pretas), poder´a ser poss´ıvel determinar outra quantidade desconhecida (por exemplo, 20 − (20 − k) = k bolas brancas). ´E poss´ıvel repetir a prova acima sem atribuir um nome `a quantidade desconhecida, mas seria mais dif´ıcil explicar precisamente o argumento.

Prova 2. H´a um total de 120 bolas: 60 brancas e 60 pretas. No final, haver´a 60 destas bolas na caixa branca e 60 na caixa preta. Se no final a caixa branca contiver k bolas pretas e 60 − k bolas brancas, ent˜ao as restantes 60 − k bolas pretas e as restantes k bolas brancas tˆem de estar na caixa preta. Logo o n´umero de bolas da cor errada em cada uma das caixas ´e k.

uma caixa para a outra e seja qual for o n´umero de vezes que efetuamos a transferˆencia de bolas entre as duas caixas, o resultado ser´a sempre que o n´umero de bolas da “cor errada” em cada caixa ´e igual, desde que nos certifiquemos que no final cada caixa tem o mesmo n´umero total de bolas (e que n˜ao foram perdidas bolas!).

Este raciocino permite resolver imediatamente a seguinte varia¸c˜ao do problema anterior:

Leite e caf´e

Suponhamos que temos uma ch´avena branca com leite e uma ch´avena preta com a mesma quantidade (volume) de caf´e. Tiramos trˆes colheres de leite da ch´avena branca para a ch´avena preta contendo caf´e, mexemos o conte´udo da ch´avena preta e de seguida transferimos trˆes colheres de l´ıquido dessa ch´avena para a chava branca. Qual das percentagens ´e maior: caf´e no leite da ch´avena branca ou leite no caf´e da ch´avena preta? Como ´e que a resposta a esta pergunta varia se repetirmos o processo?