Programa de Inicia¸c˜ao a Docˆencia em Matem´atica (UEM 2010)- Outubro 9:1–5.
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PIBID-MAT www.dma.uem.br/pibid
Equa¸c˜ao do segundo grau
Vanessa Gisele Beleti e Camila Figueredo Marques
Resumo:
Neste trabalho apresentamos uma breve introdu¸c˜ao hist´orica sobre equa¸c˜oes do segundo grau, deduzimos a f´ormula geral de resolu¸c˜ao e propomos alguns exerc´ıcios.
Sum´ario
1 Um pouco da hist´oria da equa¸c˜ao do segundo grau 1
2 O que ´e uma equa¸c˜ao de segundo grau? 2
3 Dedu¸c˜ao da f´ormula 2
4 Quais s˜ao os tipos de equa¸c˜ao? 3
5 Atividades Propostas 4
1. Um pouco da hist´oria da equa¸c˜ao do segundo grau
As equa¸c˜oes do segundo grau, de acordo com textos de hist´oria da matem´atica, est˜ao presentes desde muito antes de Cristo, `a ´epoca dos eg´ıpcios, babilˆonios, gregos, hind´us e chineses. O primeiro registro das equa¸c˜oes polinomiais do 2o grau foi feita pelos babilˆonios. Eles tinham uma ´algebra bem desenvolvida e resolviam equa¸c˜oes de segundo grau por m´etodos semelhantes aos atuais ou pelo m´etodo de completar quadrados. Como as resolu¸c˜oes dos problemas eram interpretadas geometricamente n˜ao fazia sentido falar em ra´ızes negativas. O estudo de ra´ızes negativas foi feito a partir do s´eculo XVIII.
Na Gr´ecia, a matem´atica tinha um cunho filos´ofico e pouco pr´atico. Euclides, nos Elementos resolve equa¸c˜oes polinomiais do 2ograu atrav´es de m´etodos geom´etricos. Diophanto contribuiu para mais um avan¸co na busca da resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do 2o grau ao apresentar outra representa¸c˜ao da equa¸c˜ao introduzindo alguns s´ımbolos, pois at´e ent˜ao a equa¸c˜ao e sua solu¸c˜ao eram representados em forma discursiva.
Na ´India as equa¸c˜oes polinomiais do 2ograu eram resolvidas completando quadrados. Esta forma de resolu¸c˜ao foi apresentada geometricamente por Al-Khowˆarizmˆı, no s´eculo IX. Eles descartavam as ra´ızes negativas, por serem “inadequadas”e aceitavam as ra´ızes irracionais. Tinham tamb´em uma “receita”para a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de forma puramente alg´ebrica.
No s´eculo XVI, Fran¸cois Vi´ete utilizou-se de simbolismo para representar equa¸c˜oes dando um carater geral. No Brasil, costuma-se chamar de f´ormula de Bhaskara `a f´ormula que d´a as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao do segundo grau. Al´em de ser historicamente incorreta, esta nomenclatura n˜ao ´e usada em nenhum outro pa´ıs. O h´abito de dar nome de Bhaskara para a f´ormula de resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente s´o brasileiro (n˜ao se encontra o nome de Bhaskara para essa f´ormula na literatura internacional), n˜ao ´e adequado pois: Problemas que recaem numa equa¸c˜ao de 2o grau j´a apareciam, h´a quase 4.000 anos atr´as, em textos escritos pelos babilˆonicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de s´ımbolos) que ensinava como proceder para determinar as ra´ızes em exemplos concretos com coeficiˆentes num´ericos.
Bhaskara que nasceu na ´India em 1.114 e viveu at´e cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matem´aticos do s´eculo 12. As duas cole¸c˜oes de seus trabalhos mais conhecidas s˜ao Lilavati (“bela”) e Vijaganita (“extra¸c˜ao de ra´ızes”), que tratam de aritm´etica e ´algebra respectivamente, e contˆem numerosos problemas sobre equa¸c˜oes de lineares e quadr´aticas (resolvidas tamb´em com receiras em prosa ), prograss˜oes aritm´eticas e geom´etricas, radicais, tr´ıadas pitag´oricas e outros. At´e o fim do s´eculo XVI n˜ao se usava uma f´ormula para obter as ra´ızes de uma equa¸c˜ao do 2o grau, simplesmente porque n˜ao se representavam por letras os coeficientes de uma equa¸c˜ao.
2 O QUE ´E UMA EQUAC¸ ˜AO DE SEGUNDO GRAU? 2
Isso s´o come¸cou a ser feito a partir da Fran¸cois Vi´ete, matem´atico francˆes que viveu de 1540 a 1603; Logo, embora n˜ao se deva negar a importˆancia e a riqueza da obra de Bhaskara, n˜ao ´e correto atribuir a ele a conhecida f´ormula de resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de segundo grau.
2. O que ´e uma equa¸c˜ao de segundo grau?
Equa¸c˜ao do segundo grau (tamb´em conhecida como equa¸c˜ao quadr´atica) ´e um tipo de equa¸c˜ao polinomial. Uma equa¸c˜ao do segundo grau ´e uma equa¸c˜ao da seguinte forma geral:
ax2+ bx + c = 0, onde a, b e c s˜ao n´umeros reais e a 6= 0.
A mais simples e a maneira mais empregada de se resolver uma equa¸c˜ao quadr´atica ´e usando-se a f´ormula geral de resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do segundo grau dada por:
x= −b ± √
b2− 4ac
2a .
Para facilitar os estudos fazemos ∆ = b2− 4ac, aqui ∆ ´e a letra grega delta. Este termo ´e chamado de discriminante.
Assim, a f´ormula pode ser escrita, resumidamente, na forma: x=−b ±
√ ∆ 2a .
De acordo com o valor de ∆, ´e poss´ıvel tirar algumas conclus˜oes sobre a equa¸c˜ao.
• Se ∆ > 0 o valor de dentro de uma raiz ser´a positivo e a equa¸c˜ao ter´a duas ra´ızes reais distintas. • Se ∆ = 0 a equa¸c˜ao ter´a uma raiz rais e iguais.
• Se ∆ < 0 o valor de dentro de uma raiz ser´a negativo e a equa¸c˜ao ter´a duas ra´ızes complexas. 3. Dedu¸c˜ao da f´ormula
Apresentamos a seguir a dedu¸c˜ao da f´ormula de resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do segundo grau. Vamos tomar como ponto de partida a pr´opria equa¸c˜ao para obteremos a f´ormula.
Consideremos a equa¸c˜ao geral do segundo grau
ax2+ bx + c = 0, sendo a 6= 0.
Subtraindo c da igualdade, obtemos:
ax2+ bx = −c. Dividindo a igualdade por a 6= 0, tem-se:
ax2+ bx a = −c a . ax2 a + bx a = −c a x2+bx a = −c a .
Devemos fazer o lado esquerdo da igualdade transformar-se em um quadrado perfeito, do tipo (p + q)2 (p + q)2= p2+ 2pq + q2
4 QUAIS S ˜AO OS TIPOS DE EQUAC¸ ˜AO? 3
O primeiro termo (p) ´e x. O termo do meio do desenvolvimento do quadrado ´e portanto 2qx, e na f´ormula dispomos de bx
a. Ent˜ao: 2qx = bx
a, isolando q temos q = b
2a e no ´ultimo termo temos q2= b 2a
2 . Logo, a equa¸c˜ao fica:
x2+bx a + b 2a 2 =−c a + b 2a 2 . Agora podemos observar que o lado esquerdo da igualdade vale x + b
2a 2 : x+ b 2a 2 = −c a + b 2a 2 .
Desenvolvendo o lado direito da equa¸c˜ao, tirando o MMC e efetuando a soma, x+ b 2a 2 =b 2− 4ac 4a2 .
Como o nosso objetivo ´e isolar o x devemos tirar o quadrado, para isso, devemos extrair a raiz quadrada da igualdade: x+ b 2a = ± r b2− 4ac 4a2 x+ b 2a = ± √ b2− 4ac √ 4a2 x+ b 2a = ± √ b2− 4ac 2a x= −b ± √ b2− 4ac 2a .
Obtivemos assim a f´ormula geral de resolu¸c˜ao: x=−b ±
√ ∆ 2a . Exemplo 3.1
Considere a equa¸c˜ao do segundo grau dada por x2+ 5x − 6 = 0, temos a = 1, b = 5 e c = −6. Segue que ∆ = 25 − 24 = 1. Logo, substituindo em x=−b ± √ ∆ 2a temos x=−5 ± 1 2 .
Considerando a soma, obtemos x1= −2 e considerando a subtra¸c˜ao obtemos e x2= −3. 4. Quais s˜ao os tipos de equa¸c˜ao?
Como j´a vimos na defini¸c˜ao, o coeficiente a ´e sempre diferente de zero (a 6= 0). Mas os coeficientes b e c podem ser nulos. Desta forma, quando b e c s˜ao diferentes de zero a equa¸c˜ao ´e dita completa. Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0 a equa¸c˜ao ´e dita incompleta.
Exemplo 4.1
5 ATIVIDADES PROPOSTAS 4
Exemplo 4.2
Considere a equa¸c˜ao incompleta x2− 4x = 0. Aqui, a = 1, b = −4 e c = 0;.
As equa¸c˜oes do segundo grau incompletas tˆem em comum a facilidade de obter suas solu¸c˜oes. Exemplo 4.3
Como exemplo, as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao incompleta x2− 4x = 0 podem ser obtidas colocando x em evidˆencia: x.(x − 4) = 0.
Segue que x = 0 ou x − 4 = 0. Logo, o conjunto solu¸c˜ao ´e S = {−4, 0}. E o conjunto solu¸c˜ao ´e S = {0, 4}.
Exemplo 4.4
As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao incompleta x2− 4 = 0 podem ser obtidas facilmente escrevendo a equa¸c˜ao como x2= 4 e portanto, s˜ao x = 2 e x = −2.
Logo, o conjunto solu¸c˜ao ´e S = {−2, 2}.
5. Atividades Propostas
1. Determine o valor de medida do lado do quadrado de ´area igual a 196cm2.
Figura 1: Quadrado de ´area 196
Inicialmente, sabemos que o lado do quadrado ´e a soma de 3x e 5, logo, sua ´area ´e (3x + 5).(3x + 5) = (3x + 5)2= (3x)2+ 2.(3x).(5) + (5)2= 9x2+ 30x + 25. Mas sabemos que sua ´area ´e 196. Ent˜ao temos que
9x2+ 30x + 25 = 196. Ou ainda,
9x2+ 30x + 25 − 196 = 0. 9x2+ 30x − 171 = 0.
5 ATIVIDADES PROPOSTAS 5
Logo,os coeficientes s˜ao a = 9, b = 30 e c = −171. Substituindo em ∆ = b2− 4ac obtemos, ∆ = (30)2− 4(9)(−171) = 900 + 6156 = 7056.
Como ∆ > 0, nossa equa¸c˜ao ter´a duas ra´ızes reais distintas. Substituindo na f´ormula geral de resolu¸c˜ao
x=−b ± √ ∆ 2a obtemos x=−30 ± √ 7056 2 × 9 x= −30 ± 84 18 x1=−30 + 84 18 = 54 18 = 3 x2= −30 − 84 18 = −114 18 = − 19 3 Como o problema fala em ´area, a solu¸c˜ao vai ser somente 3cm.
2. As pessoas que assistiram a uma reuni˜ao apertaram-se as m˜aos. Uma delas notou que os cumprimentos foram 28. Quantas pessoas compareceram `a reuni˜ao?
Resposta: 8 pessoas.
Agradecimentos
Agradecimentos especiais `a profa. Alexandra Abdala e ao prof. Doherty Andrade pelas in´umeras sugest˜oes.
Referˆencias
1. Dante, L. R., Tudo ´e Matem´atica - Editora ´Atica, 2a
edi¸c˜ao, S˜ao Paulo, 2008.
2. Fernanda Carvalho, Jessica Barone, Maria ˆAngela Miorim, Mauro Munsignatti, Rodolfo Gotardi Begiato - Artigo Por que Baskhara? - Revista Hist´oria e Educa¸c˜ao Matem´atica.
