Assumindo que a um sistema estável e linear é aplicada uma entrada, por exemplo, então a saída que se obteria seria y ( t)

11.1.

Introdução

Assumindo que a um sistema estável e linear é aplicada uma entrada, por exemplo )

sin( )

(t A wt

u = , então a saída que se obteria seria y(t)=Bsin(wt+Φ) (ver Ogata).

Portanto um sistema linear estável e invariante no tempo sujeito a uma entrada sinusoidal, terá, em regime estacionário, uma saída sinusoidal com a mesma frequência da entrada. A amplitude e a fase da saída serão, em geral, diferentes das da entrada.

Existe uma relação entre a entrada e a saída que pode ser expressa pelo módulo e pela fase da função de transferência: = = = A B s U s Y s G ) ( ) ( ) ( função de w e parâmetros de G(s) = Φ = ) (s G função de w e parâmetros de G(s)

Esta ideia pode ser generalizada para qualquer entrada periódica. Ao estudo da resposta de um sistema a entradas deste tipo designa-se por resposta em frequência.

11.2.

Função de transferência em frequência

A partir da F.T. em s ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( pn s p s zm s z s k s GH + + + + = L L

e porque se sabe que s=±jwé a localização dos pólos em s (no eixo imaginário) correspondente a um sistema oscilatório de frequência de oscilação w, então faz sentido pensar numa F.T. em frequência obtida pela substituição de s por jw.

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( pn jw p jw zm jw z jw k jw GH + + + + = L L

Ganho de Bode

A F.T. anterior pode ser reescrita na forma:

∏

∏

= = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n i m i pn jw p jw pi zm jw z jw zi k jw GH 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( L L , em que Kb pi zi n i m i =

∏

∏

= = 1 1 ganho de Bode Portanto: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = pn jw p jw zm jw z jw Kb k jw GH 1 1 1 1 1 1 ) ( L L

11.3.

Gráficos logarítmicos ou de Bode

Os gráficos logarítmicos ou de Bode são um método de representar a resposta em frequência de um sistema. Para isso são feitos gráficos logarítmicos do módulo e da fase da F.T. em frequência em função da frequência do sinal de entrada. Como vantagem, se se quer calcular GH( jw) e

) ( jw

GH a aplicação de logaritmos “transforma” a operação de multiplicação em adição e a divisão em subtracção.

11.3.1.

Gráfico do Módulo

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = pn jw p jw zm jw z jw Kb k jw GH 1 1 1 1 1 1 log ) ( log L L ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + − + + + + = pn jw p jw zm jw Kb k log1 1 1 log 1 log log log _{L L} Decibel

Usa-se como unidade de representação do módulo o decibel definido como 1db=20 log a. Portanto: pn jw p jw zm jw k jw GH = + + + − + − −20log1+ 1 1 log 20 1 log 20 log 20 ) ( log 20 _{L L}

= + − − + − + + + + + + = pn jw p jw zm jw z jw Kb k jw GH 1 1 1 1 1 1 ) ( _{L L}

( )

( )

(

arctg z + +arctg zm

)

−

(

arctg

( )

p + +arctg

( )

pn

)

= 1 _L 1 _L

11.4.

Factores básicos de GH(jw)

Existem numa F.T. vários tipos de factores básicos. Os mais importantes são os seguintes: • Ganho constante, K

• Pólo na origem: jw

1

• Zero situado na origem: jw

• Pólo na origem de multiplicidade n:

( )

n

jw 1

• Zero situado na origem de multiplicidade n:

( )

n

jw • Pólo não situado na origem:

p jw + 1

1

• Zero não situado na origem: z jw + 1 • Pólos complexos: 2 2 2

2

_{n n} n

s

s

ζω

ω

ω

+

+

11.4.1.

Ganho constante: K

Módulo db k log 20 Fase º 0 = k

11.4.2.

Pólo situado na origem:

jw 1 Módulo db jw -20log w 1 log 20 = Fase º 90 1 − = jw

11.4.3.

Zero situado na origem: jw

Módulo db jw 20log w log 20 = Fase º 90 + = jw

11.4.4.

Pólo situado na origem multiplicidade n:

( )

n jw 1 Módulo

( )

jw n -20 n log wdb 1 log 20 = × Fase

( )

jw1 n =−

(

90×n

)º

11.4.5.

Zero situado na origem multiplicidade n:

( )

jw n Módulo

( )

jw n 20 n log wdb log 20 = × Fase

( )

jw n =+

(

90×n

)

º

11.4.6.

Pólo não situado na origem:

p jw + 1 1 Módulo db p jw p w 1 log 20 1 1 log 20 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = + para <<1≈−20log1=0db p w para db p w log 20 1≈− >> p w para w= p⇒−20log 2=-3db Fase p w arctg p jw =− + 1 1 para <<1≈0º p w para >>1≈−90º p w para w= p⇒-45º

11.4.7.

Zero não situado na origem:

z jw + 1 Módulo db z jw z w 1 log 20 1 log 20 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + para <<1≈20log1=0db z w para db z w log 20 1≈ >> z w para w= p⇒20log 2=3db Fase z w arctg z jw = + 1 para <<1≈0º z w para >>1≈90º z w para w= z⇒45º

11.4.8.

Pólos complexos:

2 2 2

2

_{n n} n

s

s

ζω

ω

ω

+

+

( )

n n n n n n n n

w

w

j

w

w

jw

jw

s

s

ζ

ω

ζω

ω

ω

ζω

ω

2

1

1

2

2

2 2 2 2 2 2 2

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

+

+

=

+

+

Módulo = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − n n w w j w w _ζ 2 1 1 log 20 ₂ − = para <<1≈20log1=0db n w w para db w w log -40 w w log 20 1 n 2 n = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≈ >> n w w para dbw=wn ⇒−20log2ζ Fase 2 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = n n w w w arctg ζ L para <<1≈−arctg0=0º w w n para >>1≈−arctg(-0)=−180º w w n para 0ºw=w_n ⇒−arctg∞=−9 ⎤

11.5.

Exemplo prático de traçado de Diagramas de= Bode nº1

) 4 1 )( 2 1 ( ) 8 1 ( 30 ) ( ) 4 )( 2 ( ) 8 ( 30 ) ( jw jw jw jw jw GH s s s s s GH + + + = ⇒ + + + =

Pode definir-se a margem de ganho (MG) como sendo a relação entre o ganho que torna o sistema criticamente estável e o ganho actual. É uma especificação muito simples, facilmente calculável, mas que fornece informação ténue acerca da estabilidade relativa. Em termos práticos a margem de ganho pode ser definida como a alteração necessária no ganho do sistema para que este se torne instável. Sistemas com maiores MGs podem suportar maiores alterações nos parâmetros do sistema antes de se tornarem instáveis em malha fechada. Os valores normalmente admissíveis são MG>20dB. Através dos diagramas de Bode, a MG é a diferença entre a magnitude da curva e 0dB no ponto correspondente à frequência que nos dá uma fase de -180º.

Pode definir-se a Margem de Fase como sendo a diferença entre a fase GH(s) quando o seu ganho é unitário (0dB) e -180º. É uma especificação que dá alguma informação sobre a estabilidade relativa. Em termos práticos pode definir-se a Margem de Fase como o desfasamento necessário para que o sistema se torne instável. O seu cálculo é directo. Os valores normalmente admissíveis estão compreendidos entre 25º< mΦ <40º. Através dos diagramas de Bode, a MF é a diferença em fase entre a curva de fase e -180º no ponto correspondente à frequência que dá um ganho de 0db.

Ambos MF e MG podem ser facilmente obtidos no MATLAB através do comando “margin”. Por exemplo margin(50,[1 9 30 40]) resulta em:

11.7.

Compensação de sistemas

A escolha e o método de análise e compensação são determinados fundamentalmente pelo tipo de especificações a satisfazer. Os métodos baseados no diagrama de Bode permitem colocar facilmente o ganho a um valor adequado para as especificações de precisão em regime final e também ajustamentos de comportamento transitório pela manipulação das curvas de ganho e de fase para obter curvas de ganho e de fase para obter MGs e MFs aceitáveis.

Hoje em dia a compensação é feita sobretudo computacionalmente. Os processos e métodos desenvolvidos nas últimas décadas para a compensação a “papel e lápis” mantêm apesar disso, uma grande utilidade, colocando ao utilizador do computador um conjunto de indicações úteis. No caso de sistemas eléctricos e electrónicos conhece-se uma grande variedade de filtros compensadores, com uma grande variedade de características. Os tipos mais comuns são os de “Avanço”, de “Atraso” e de “Atraso-Avanço”.

O compensador de avanço introduz fase positiva em qualquer ponto do plano s (em particular em todas as frequências reais) e atenuação a baixas frequências. O objectivo da compensação de avanço é aumentar a estabilidade do sistema e a rapidez da resposta transitória, e portanto aumentar a largura de banda.

O compensador de atraso introduz fase negativa e atenuação a altas frequências.

O compensador combinado funciona como o de atraso a baixas frequências e como de avanço a frequências elevadas

Dado que normalmente existe um valor máximo admissível para o erro em regime final, é importante verificar-se como é alterada a constante de erro do sistema após a introdução do compensador.

Em qualquer ponto do plano complexo, o zero introduz uma contribuição de fase positiva, e por isso o lugar de raízes é “puxado para a esquerda” no plano complexo. Se se introduz um pólo e um zero, com o zero mais próximo da origem, a contribuição angular do par é ainda positiva e o lugar de raízes é do mesmo modo puxado para a esquerda. Com um número conveniente de pares pólo-zero, pode obter-se uma qualquer contribuição de fase positiva. De cada combinação resulta um ganho particular. Diz-se assim em sentido genérico, que a região do plano s à esquerda do lugar de raízes original é uma zona de compensação de avanço. Repetindo o raciocínio quanto à introdução de um pólo, um par pólo-zero (pólo mais próximo da origem), ou vários pares pólo-zero, concluir-se-á que, em sentido genérico, a região à direita do LR original é uma zona de compensação em atraso.

Em termos práticos, podemos considerar o compensador como um elemento adicional D(s) que se introduz na malha do sistema, actuando sobre o sinal do erro, que se caracteriza por acrescentar pólos e zeros (1 pólo e 1 zero) nos casos em estudo, da seguinte forma:

p s z s s D + + = )

( , por forma que se classifica a compensação da seguinte forma

⎩ ⎨ ⎧ > < p z Atraso p z Avanço o Compensaçã

11.8.

Compensação em avanço

A função do compensador em avanço é proporcionar um avanço no ângulo de fase de modo a compensar um excessivo atraso de fase devido aos componentes do sistema fixo.

1 ; 1 1 1 1 ) ( < + + × = + + × = α α α α com T s T s p s z s s D

Esquema eléctrico típico α α φ + − = 1 1 sin _m α ω T m 1 =

Algoritmo de obtenção da função de transferência de um compensador em Avanço • Obter k por forma a cumprir a especificação do regime permanente ess≤especificado

• Com o valor de k obtido, determina-se a MF através dos Diagramas de Bode do sistema não compensado.

• Obter φm=MFsistema compensado- MFsistema não compensado+Msegurança (5-12)

• Obter α tal que

α α φ + − = 1 1 sin _m

• Já com o valor de α , ver no Diagrama de Bode onde

α ω ) 20log 1 ( =− db m j G • Sabendo que α ω T m 1 = , calcular T z= 1 , e T p α 1 =

11.8.1.

Compensação em avanço – Exemplo prático

Pretende-se que o sistema

) 2 )( 1 ( ) ( + + = s s k s

G possua um erro em regime permanente para uma entrada em degrau que não ultrapasse os 2,5% da amplitude do degrau. Além disso a Margem de Fase do sistema não deve ser inferior a 45º.

Mostre a necessidade de compensar o sistema. Dimensione um compensador em avanço, usando os Diagramas de Bode.

Resolução:

• Obter k por forma a cumprir a especificação do regime permanente 0,025 1 1 ≤ + = kp ess

{

78 025 , 0 2 1 1 2 ) ( 025 , 0 1 1

lim

0 ≥ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = ≤ + = → k k k s G kp kp ess s

Para k=80 obtém-se com o comando “margin” no Matlab

Frequency (rad/sec) P has e ( deg) ; M agni tude ( d B ) Bode Diagrams 0 10 20 30

Gm = Inf, Pm=19.278 deg. (at 8.8042 rad/sec)

100 -150

-100 -50

Confirma-se que a Margem de Ganho (se existisse) seria negativa, pelo que se justifica a necessidade de compensar o sistema.

• Obter a MF através dos Diagramas de Bode do sistema não compensado.

Conforme se obteve também com o comando “margin” no ponto anterior, se confirmou que MF=19,28º, ocorrendo para ω =8,804rad/s. Em todo o caso, não dispondo de um computador, poderia ter-se construído os diagramas de Bode:

(

)(

_{) (}

₎

_⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + = + + = 1 2 1 40 2 1 80 ) ( w j jw jw jw jw G 1 2 log 20 1 log 20 40 log 20 ) (jw = − jw+ − jw+ G

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 ) (jw arctg w arctg w G

m

φ =45º-19,28º+10º=35,72º • Obter α tal que

α α φ + − = 1 1 sin m 2630 , 0 5823 , 1 4162 , 0 1 ) 1 ( 5823 , 0 1 1 72 , 35 sin ⇔ + = − ⇔ = = + − = α α α α α

• Já com o valor de α , ver onde

α ω ) 20log 1 (j _{m db} =− G Frequency (rad/sec) P h a s e (deg); M a gni tu de (dB ) Bode Diagrams -10 0 10 20 30 10-1 100 101 -150 -100 -50 0

Da análise gráfica do Diagrama de Bode (melhor observável no Diagrama de bode traçado em papel semi-logaritmico), resulta ( ) =−20log 1 =−5,8

α ω_{m db} j G em wm=12,3º. • Sabendo que α ω T m 1 = , calcular T z= 1 , e T p α 1 = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≈ × = ≈ = ⇒ = = = 99 , 23 1585 , 0 2630 , 0 1 31 , 6 1585 , 0 1 1585 . 0 2630 , 0 3 . 12 1 1 p z T m α ω

O compensador a introduzir teria a FT

99 , 23 31 , 6 8 , 3 1 ) ( + + × = + + × = s s p s z s s D α

• Conclusão

Resposta a degrau do sistema em malha fechada – Sem compensador

Time (sec.) Am p lit u d e Step Response 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5

Diagrama de Bode do compensador em Avanço

Frequency (rad/sec) P h as e (d eg); M a g n it ud e (d B ) Bode Diagrams 0 5 10 100 101 102 10 20 30

Resposta a degrau do sistema em malha fechada – Com compensador Time (sec.) Am p lit u d e Step Response 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Diagrama de Bode de Sistema + Compensador

Frequency (rad/sec) P h as e (d eg); M a g n it ud e (d B ) Bode Diagrams -20 0 20

Gm = Inf, Pm=49.443 deg. (at 12.421 rad/sec)

100 101

-150 -100 -50

Exemplo do código Matlab que permitiu obter estes gráficos clear numCont=[3.8 23.98] denCont=[1 23.99] SysCont=TF(numCont,denCont) bode(SysCont) pause num=[80] den=[1 3 2] SysMA=TF(num,den) bode(SysMA) Total=series(SysCont,SysMA) MF=feedback(Total,1) t=0:0.01:4; step(MF,t) pause

% Recordando que para o comando "margin se deve usar a FT em Malha aberta

11.9.

Compensação em atraso

A compensação em atraso aplica-se essencialmente em sistemas com características da resposta transitória satisfatórias, mas características da resposta estacionária não satisfatórias. O compensador em atraso aumenta o ganho em malha aberta. A função primária do compensador em atraso é atenuar as altas-frequências de modo a que o sistema tenha uma MF suficiente.

1 ; 1 1 1 1 ) ( > + + × = + + × = β β β β com T s T s p s z s s D

Esquema eléctrico típico

Algoritmo de obtenção da função de transferência de um compensador em Atraso • Obter k por forma a cumprir a especificação do regime permanente ess≤especificado • Obter a MF através dos Diagramas de Bode do sistema não compensado.

• Obter φm= -180º +MFsistema compensado +Msegurança (5-12)

• “Puxar” os zeros do sistema mais para a esquerda, usando sempre uma década, fazendo

m

T z= 1 =0,1φ

• Anular os dbs em φm. Ou seja o compensador tem que ter em φm um módulo igual e de

valor inverso ao da FT sem compensador. O seja obter β através de: ) ( 1 log 20 G jφm β =

• Como já se tem o zero do compensador, resta obter o pólo através de

T p

β 1 =