Análise numérica da Equação de Orr-Sommerfeld via algoritmos espectrais

0 2 j j n j n x n i u u d u d x n x





Análise numérica da Equação de Orr-Sommerfeld via algoritmos espectrais

Diogo Camello Barros

Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Praça Marechal Eduardo Gomes,50 – Vila das Acácias. CEP 12.228-900 – São José dos Campos – SP - Brasil

Bolsista PIBIC-CNPq diogocmbarros@gmail.com

Marcos Aurélio Ortega

Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Praça Marechal Eduardo Gomes,50 – Vila das Acácias. CEP 12.228-900 – São José dos Campos – SP - Brasil

ortega@ita.br

Resumo

.

Palavras chave: dinâmica dos fluidos computacional (CFD), equações diferenciais, métodos espectrais, escoamento laminar.

1. Introdução

No estudo de resoluções de equações diferenciais por métodos numéricos, torna-se necessário particionar o intervalo de domínio das variáveis dependentes, ou seja, criar uma malha de pontos em relação aos quais deseja-se computar as informações da função estudada. Na criação dessa malha, um fator decisivo na precisão do algoritmo será a distância entre os pontos dela, conhecida como passo. À medida que se diminui o passo obtém-se mais pontos na malha e vice-versa. Isso significa maior quantidade de informações na função que faz parte da equação diferencial.

Entre os inúmeros métodos de resolução numérica pode-se diferenciar dois tipos gerais: os métodos locais e os métodos globais. Os primeiros utilizam em seus algoritmos somente pontos da malha vizinhos aos pontos onde se quer realizar a obtenção de informação. Muitos desses métodos locais adotam polinômios interpoladores para computar as fórmulas requeridas. No caso dos métodos globais, chamados também de métodos espectrais, todos os pontos da malha são utilizados para adquirir informação em um dado valor da variável independente.

2. Avaliação do problema

O projeto de pesquisa tem por base o estudo de um método espectral aplicado em equações diferenciais como a Equação de Orr-Sommerfeld, característica nos problemas de escoamentos laminares e transições. Para isso, deve-se ressaltar dois pontos importantes para a compreensão do trabalho: princípios do método e a equação propriamente dita.

2.1. Princípios do método espectral

Os métodos de diferenças finitas são caracterizados por apresentarem determinada ordem, a qual representa o erro cometido nas aproximações das derivadas por razões discretas que envolvem os pontos de uma malha previamente elaborada. Existem as clássicas diferenças de segunda e quarta ordem, dentre outras. Caso a ordem das discretizações seja levada ao infinito, obtém-se uma formulação para a derivada que tem como característica apresentar todos os pontos da malha no seu cálculo. Tal método, denominado diferenças finitas de ordem infinita é justamente o método espectral estudado.

Considerando, por exemplo, uma função no intervalo [0,2π], pode-se escrever que sua derivada para um ponto xj

da malha é da forma:

1 ( ) ( 1) s in 1 , 2 0 , j i ji j i N D i j i j      _{  }    _{  }  _      _    _  0 j N x ji i i

d u

D u

d x





.

A X



C

( ,

x y t

, )

( )

y e



_



(

U

c

)(

)

U

i

(

2

)

R



 





 

 









 





, em que Δx representa o passo da malha elaborada. Assim, deve-se determinar o valor dos coeficientes α da série. É possível demonstrar com auxílio de exponenciais complexas, como mostrado (Gottlieb et al., 2007) que a discretização para a derivada é dada pela equação:

(2)

, onde Dij são os termos da matriz obtida para cada j variando de 0 a N (tamanho da malha) dados por:

(3)

Com isso, é possível escrever o somatório para os valores de j da malha, obtendo-se, pois, um sistema linear cujas incógnitas são exatamente os resultados de uj valores da função estudada nos pontos da malha.

Dependendo da ordem e dos termos da equação diferencial a ser estudada, pode-se realizar substituição de variáveis a fim de diminuir a ordem da equação e resolvê-la pelo método proposto. Os outros termos da equação terão papel no sistema linear de forma a constituírem valores para a matriz C indicada na equação abaixo.

(4) A equação matricial é o sistema linear, com a matriz X tendo como componentes os valores uj. Deste modo, encontra-se a inversa da matriz A e a multiplica no outro membro da Eq.(4), obtendo X. No caso do método proposto, A será uma soma de matrizes incluindo a matriz D cujos termos são obtidos pela Eq. (3).

2.2. Equação de Orr-Sommerfeld

A equação de Orr-Sommerfeld representa um modelo para distúrbios em um escoamento laminar caracterizado por uma oscilação cuja função de corrente é descrita a seguir:

(5)

, em que α é uma grandeza real associada ao comprimento de onda da perturbação e β é um complexo que indica a freqüência circular e o fator de amplificação como ilustrado por (Schlichting, 1970). Sendo U(y) a velocidade do escoamento sem a perturbação, a partir das equações do movimento de Navier-Stokes pode-se encontrar a relação abaixo.

(6)

Esta é a equação diferencial fundamental que caracteriza a teoria de estabilidade de escoamentos laminares, chamada de Equação de Orr-Sommerfeld. Nela, R é o número de Reynolds do escoamento e c é um complexo que vale a razão entre β e α. Percebe-se a complexidade da equação por se tratar de uma equação ordinária complexa de quarta ordem.

0

0

0

y

y











  



Caracterizada por ser uma equação complexa de quarta ordem, torna-se necessário realizar uma substituição de variáveis para aplicação do método espectral. Em (Schlichting, 1970) é proposta também uma simplificação da Eq. (6) para uma equação de segunda ordem denominada Equação de Rayleigh’s, suprimindo o termo complexo do lado direito da equação.

Além das simplificações, torna-se necessário conhecer as condições de contorno para a função a ser obtida. Um exemplo de condições pode ser dado pelo conjunto:

(7)

, já no caso da equação simplificada.

Para a resolução numérica da equação de segunda ordem deve-se substituir a segunda derivada por uma derivada simples de outra função (substituição) e aplicar o método espectral nessa nova variável. Deste modo, pode-se descobrir os valores da nova variável na malha elaborada. A seguir, aplica-se novamente o método para a substituição das variáveis de modo a obter, finalmente, a função da equação de Orr-Sommerfeld. Portanto, serão necessárias duas aplicações do método o que significa a resolução de dois sistemas N x N para a malha criada no intervalo da solução.

3.2. Aplicações do método em exemplos de equações

Foram implementados dois códigos-fonte para a resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem a fim de se avaliar a eficiência do método espectral estudado.

A primeira equação tratada é observada a seguir:

(8)

Sua solução analítica é o inverso da exponencial.

Código fonte para resolução (MATLAB 6.5®) for J=1:N for I=1:N A(J,I)=(((-1)^(J+I))/2)*((sin((J-I)*pi/(N+1)))^(-1)); end end for J=1:N C(J,1)=(-1)*(((-1)^(J+0))/2)*((sin((J-0)*pi/(N+1)))^(-1)); end for J=1:N A(J,J)=1 end I=inv(A) I*C fim '

0

(0 )

1

u

u

u







N = 1 2 - M é to d o e s p e c tr a l -0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1 ,2 0 1 2 3 4 5 6 7 x y A n alític o N u m éric o N = 2 4 - M é to d o e s p e c tr a l -0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1 ,2 0 1 2 3 4 5 6 7 x y A n alític o N u m éric o N = 5 0 - M é to d o e s p e c tr a l - 0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1 ,2 0 2 4 6 8 x y A n a lític o Nu mé r ic o

Variando-se o valor do tamanho da malha N para os seguintes valores, pôde-se obter os seguintes gráficos comparativos das soluções númericas e analíticas.

Figura.1 Solução numérica para N=12.

N= 7 4 - M é t o d o e s p e c t r a l - 0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1 ,2 0 2 4 6 8 x y A n a lític o Nu mé r ic o N = 1 0 0 - M é to d o e s p e c tr a l -0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1 ,2 0 1 2 3 4 5 6 7 x u A n alític o N u m éric o

Figura.4 Solução numérica para N=74.

Figura.5 Solução numérica para N=100.

De acordo com a análise dos gráficos das Fig.1 a 5, é possível perceber que, mesmo para malhas com um

pequeno número de pontos, a solução numérica apresenta comportamento muito análogo ao da solução analítica, chegando quase a uma superposição completa para os casos de N=74 e N=100.

Outra equação diferencial solucionada para duas malhas é dada a seguir.

(9)

Sua solução analítica é a função cosseno, periódica de período 2π. A solução numérica para os casos N=50 e N=100 são visualizadas nas figuras adiante.

'

0

(0 )

1

u

se n x

u







N = 5 0 - M é t o d o e s p e c t r a l -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x u A n alític o N u m éric o N = 1 0 0 - M é to d o e s p e c tr a l - 1 ,5 - 1 - 0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5 0 2 4 6 8 x u A n a lític o Nu mé r ic o

Figura.6 Solução numérica para N=50.

Figura.7 Solução numérica para N=100.

O código-fonte utilizado é ligeiramente diferente do anterior.

Código fonte para resolução (MATLAB 6.5®) for J=1:N for I=1:N A(J,I)=(((-1)^(J+I))/2)*((sin((J-I)*pi/(N+1)))^(-1)); end end for J=1:N C(J,1)=(-1)*(((-1)^(J+0))/4)*((sin((J-0)*pi/(N+1)))^(-1))-sin(J*2*pi/N+1); end for J=1:N A(J,J)=0 end I=inv(A) I*C

A resolução da função cosseno apresentou resultados satisfatórios para o método espectral estudado para ambas

as malhas.

4. Conclusões

Tendo em vista as soluções numéricas apresentadas e o príncipio do método espectral utilizado no projeto de pesquisa, nota-se a extrema importância de uma implementação cuja malha em sua totalidade faz parte da resolução numérica de equações diferenciais ordinárias e, em geral, parciais. Os resultados apresentaram-se com erros ínfimos para as malhas maiores com N=100 pontos e, para malhas com menor número de nós, o resultado, apesar de impreciso em alguns pontos, caracteriza de sobremaneira o comportamento da solução analítica. Além disso, após posteriores análises nas referências citadas no decorrer do texto, foi possível comparar o método espectral com diferenças finitas de ordens inferiores constatando melhor eficiência para o primeiro caso, ou seja, com menor esforço computacional obtiveram-se resultados com mesma exatidão para ambos os casos.

Quanto à proposta de solução da Equação de Orr-Sommerfeld infere-se a relevância da mesma no contexto da teoria de aerodinâmica constituindo papel fundamental no contexto de escoamentos laminares e perturbações. Apesar da não-resolução numérica da mesma, fora apresentado de modo simples e claro um modo de resolvê-la numericamente com o algoritmo espectral possibilitando um aprendizado substancial no ramo da cálculo numérico em mecânica dos fluidos.

Finalmente, como enfoque geral do projeto de pesquisa, ressalta-se o estudo de diferentes pontos do método científico levando-se em consideração tanto a visão teórica dos métodos e equações bem como aspectos computacionais de suma importância que envolvem técnicas de implementação e linguagens de programação de variadas características. A conjunção dessas duas visões aliada aos processos experimentais no computador possibilitaram um bom fechamento do projeto de pesquisa proposto.

5. Agradecimentos

Desde já faz-se agradecimentos aos diversos colaboradores para o progresso deste projeto de pesquisa em todas as suas etapas. Inicialmente a A.Rosalen e a J.Ferraro colegas de universidade que contribuíram com informações necessárias para os métodos de programação utilizados. Ao orientador M.A.Ortega cujos conselhos e paciência possibilitaram a completude desse projeto além da ajuda no planejamento de cada etapa do mesmo. Aos familiares que contribuíram com a injeção de força de vontade na realização deste trabalho. Finalmente ao CNPQ pela oportunidade da participação no Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica o que representa fazer parte da comunidade científica nacional e possibilitar o desenvolvimento do estudo científico no país.

6. Referências

Hesthaven, S.J., Gottlieb,S. and Gottlieb, D., 2007, “Spectral Methods for Time-Dependent Problems”, Cambridge University Press, UK, pp. 5-16.

Anderson, A. D.; Tannechill, C. J. and Pletcher, H. R., 1984 “Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer”, Hemisphere Publishing Corporation, EUA .

Ellis, M. and Ellis, T.M.R, 1990. ”FORTRAN 77 programming: with an introduction to FORTRAN 90 Standard”, Addison-Wesley Longman Publishing, EUA .

Schilichting, H. and Gersten, K., 1970, “Boundary Layer Theory”, McGRAW- HILL BOOK COMPANY, 7th Edition, pp. 449-469.