cos v v v v l v v v : : v v v cos v v cos Movimento Plano Geral

(1)

1

 Movimento Plano Geral

Um movimento plano geral pode ser considerado como a soma de uma translação e de uma rotação:

Movimento geral = Translação + Rotação Movimento de um corpo decomposto em uma translação e uma rotação:

 Velocidade absoluta e relativa: / B A B A

v



v



v

:

B

v

velocidade absoluta do ponto B.

:

A

v

translação da placa com A. /

:

B A

v

velocidade relativa associada à rotação da placa ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em A e de orientações fixas. Denotando por :

/

:

B A

r

vetor de posição de B em relação a A: /

B A

r

 

B

A

ˆk





: velocidade angular em relação aos eixos de orientações fixas. /

ˆ

/ B A B A

v

  



k r

/

ˆ

B A B A

v



v

  



k r

Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A.

Observe que: / / B A B A B A

v

v tg

v

l





 



   

/ /

cos

A A B A B A

v









cos

A

v

l









Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura), teremos:

Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B.

/ A B A B

v



v



v

Observe que: / / / / A B B A A B B A

v

 

v



v



v

 

l



O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que a velocidade angular  da barra em sua rotação ao redor de B é a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos é medida pela derivada temporal do ângulo :

d

dt



(2)

2

Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade

angular  de um corpo rígido animado de movimento plano é independente do ponto de referência.

A maior parte dos mecanismos mecânicos constam não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo, esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade relativa das partes em contato.

 Análise do movimento Q

r



OQ

 

Q O

P

r



OP

 

P O

Q P

r



QP

 

P Q

OQ QP OP





Q Q P P P Q Q P

r



r



r



r

 

r

Aplicando a derivada em relação ao tempo: Q P Q P

dr

dt



dt



dt

P Q Q P

v



v



v

Suponha que o corpo rígido gira em torno de um eixo que passa perpendicularmente ao ponto Q. Então:

QP Q P

v

 



r

Logo: P Q QP

v

  

v



r

 Vetor aceleração:

O vetor aceleração pode ser obtido como a derivada temporal do vetor aceleração:

a

v

a

dv

dt

  





P Q QP

dv

d

a

v

r

dt





 

 

Q QP

dv

d

a

r

dt









Q QP QP

dv

d

dr

a

r

dt



_







 

Identificando os termos: Q P P Q

dv

a

dt









ˆ



ˆ

d

e

d

de

e

dt







_









Se

ˆe

for um vetor constante:

de

ˆ

0 dt



. Assim:

d

dt

 



QP P Q QP

dr

a

r

dt







 

Ou









P Q

d

a

P Q

dt







 



 



Aplicando o Teorema de Poisson:









d

P Q

dt



 













P Q

a



a

 



P Q



 

 



_



P Q





_

 Resumo: Movimento no plano:

1. Todos os pontos do sólido pertencem ao plano do

movimento.

2. O eixo de rotação, quando existir, será sempre ortogonal

ao plano de movimento.

3. todos os pontos apresentam a mesma velocidade

angular, e esta, tem a direção do eixo de rotação:

ˆ

d

e

dt







   

 

4. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração

angular; e esta tem a direção do eixo de rotação:

ˆ

d

e

dt







   

 

5. O vetor velocidade instantânea do ponto P do sólido, em

função da velocidade do ponto Q, também do sólido, é dada por:





P Q QP P Q

v



v

 



r



v



v

 



P Q



6. O vetor aceleração instantânea do ponto P do sólido, em

função da aceleração do ponto Q, também do sólido, é dada por: P Q QP QP QP P Q

a



a

 



r

 

 

_





r



_



r

  

P Q

r









P Q

a



a

 



P Q



 

 



_



P Q





_

x

z

y



P

Q

O

(3)

3

Centro Instantâneo de Rotação (CIR ou IC) Para calcular a velocidade dos pontos de um sólido, pode-se utilizar de um método gráfico que pode-se bapode-seia no conceito de Centro instantâneo de rotação (CIR ou IC).

Considera-se a existência de um eixo de rotação num dado instante, e a interseção deste, com o plano de movimento é o ponto denominado CIR – Centro instantâneo de rotação. Todos os pontos do sólido, no instante considerado, descrevem trajetórias circulares com centro no CIR.

A propriedade fundamental do CIR é de possuir velocidade nula:

0

IC

v



O CIR é um ponto geométrico imaginário que pode ser associado ao sólido sem alterar ou interferir no movimento do mesmo.

Utilizando a relação de velocidades:

P Q QP QP

v

  

v



r



r

 

P Q

Se utilizarmos o ponto Q pelo CIR, teremos:





0 P CIR

v



v

 



P CIR







P

v

 



P CIR



 Norma:

A norma da velocidade em P será dada por: P

v

 



P CIR sen







P CIR





d

: é a distância entre o ponto P o CIR.

:



é ângulo entre o plano do movimento e o eixo de rotação. Se  = 90° → sen90°=1. Logo:

v

_P

 



d

 Direção:

Ortogonal ao plano que contem os vetores do produto vetorial:

v

_P







v

_P



(reta que une e

P

CIR

)

Para localizar o IC de um corpo, utilizamos o fato que a velocidade de um ponto no corpo é sempre perpendicular ao vetor posição relativa, dirigido de IC ao ponto. Possibilidades:

 A velocidade angular



e a velocidade do ponto A

v

são conhecidas

Nesse caso, o IC do corpo está localizado através de uma linha perpendicular a

v

_Aem A, onde a distância de A para o IC é dada por: A A IC

v

r





Note que o IC está a direita de A e vA causa uma

rotação com velocidade angular  horária em torno de IC.  As direções de

v

_A

e

v

_Bsão conhecidas.

Constroem-se duas linhas a partir de A e B, perpendiculares às direções de

v

_A

e

v

_B, respectivamente. O cruzamento dessas linhas fornece o IC.

 A magnitude e a direção das velocidades de dois pontos

v

_A

e

v

_Bsão conhecidas:

Nesse caso, determina-se por semelhan;Ca de triângulos. Se d é a distância entre os pontos A e B, então:

A A IC

v

r





: distância de A ao IC. B B IC

v

r





: distância de B ao IC. Podem ocorrer dois casos:

r

_{A IC}



r

_{B IC}



d



r

_{B IC}



r

_{A IC}

(4)

4

0.8 m z x y B A B

v

300 0.8 m z x y A 300 B A

v

1200 600 300 600  Exemplos resolvidos:  Livro Unip

1. (3.01– pag. 64) A barra AB, ilustrada abaixo, tem

comprimento 0.8 m, e desloca-se com as extremidades apoiadas em duas superfícies, conforme ilustrado. O extremo A da barra, desloca-se para a direita, com velocidade constante vA = 3.5 m/s. No instante ilustrado, quando o ângulo

entre a barra e o plano é de 300_{, pedem-se:}

(a) a velocidade do ponto B. (b) a aceleração do ponto B.

 Método 1 – Uso do conceito do Centro Instantâneo

de rotação: CIR ou IC.

3.5 4.375 0.8 A A A CIR A CIR v rad v r r s



       

3.5

B B CIR B

m

v

r

v

s



 





 Método 2 – Relacionando 2 pontos do corpo rígido:





P Q _QP P Q

v



v

 



r



v



v

 



P Q







B A AB B A

v



v

 



r



v



v

 



B



A

Achando as coordenadas dos pontos:



_A

,

_A



e



_B

,

_B



A



x

y

B



x

y

0

0.8 cos30

0.692

A A

x

  



x

 

m

;

y

_A



0 m

0

B

x



m

;

y

_B



0.8 

sen

30

0



y

_B



0.4 m



0.692;0 e





0;0.4



A

 

B



ˆ

0.7

0.4

AB

r

  

B

A

 

i



j

ˆk

 

 

B A AB

v

  

v



r





ˆ

3.5

0.7

0.4

B

v



   

i



k

 

i



j

ˆ _ˆ

ˆ

3.5

0.7

0.4

B j _i

v

i



k i



k

j





 

   

  



_{3.5 0.4}



ˆ

_0.7

ˆ

B

v









 

i

 



j

Decompondo a velocidade

v

_B : 0

ˆ

0

ˆ

cos 60

60

B B B

v



v



  

i

v

sen



j

Comparando as relações: 0 0 0

cos 60

3.5 0.4

0.7

60

0.7

B B B

v

sen

v

sen



 







_

_





_

_

_



0 0

0.7 cos 60

3.5 0.4

60 sen



_













0.404  



3.5 0.4



 



0.404 0.4



 



3.5

4.375

0.8 rad

s





 



0 0

0.7 0.7 4.375

3.54

60

B B B

m

v

sen

s















 Cálculo da aceleração em B:









P Q

a



a

 



P Q



 

 



_



P Q





_









B A

a



a

 



B



A

 

 



_



B



A



_

Como a velocidade é constante:

0

A A A

dv

a

dt







ˆ

d

e

dt







 





ˆ

d

k

dt







   

 









ˆ

_0.7

ˆ

_0.4

ˆ

_4.38

ˆ

_4.38

ˆ

_0.7

ˆ

_0.4

ˆ

B

a

  



k

 

i

 

j

 

k



_

 

k

 

i



j



_

ˆ _ˆ ˆ _ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0.7 0.4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4.38 4.38 0.7 4.38 0.4 B j _i j _i a k i k j k k i k j



                          

ˆ

0.7

0.4 ˆ

ˆ

4.38

3.066

1.752

B

a

j

i

k

j

i





  

  





 

_

 



_

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0.4 0.7 4.38 3.066 4.38 1.752 B j i a



i



j k j k i                 ˆ ˆ ˆ ˆ 0.4 0.7 13.43 7.67 B a     



i   



j  i j



_{13.43 0.4}



ˆ



_{7.67 0.7}



ˆ B a    



  i  



j

Porém, sabemos que:

600

(5)

5

A B B

v

0.56m B B

v

P

v

0.24m d e2 0

ˆ

0

ˆ

cos 60

60

B B B

a



a



 

i

a



sen



j

ˆ ˆ 0.5 0.866 B B B a    a i   a j Comparando, teremos:

0.5 13.43 0.4

0.866 7.67 0.7

B B

a





 









_

_{ }

_

_



Resolvendo o sistema:

0.5 0.7



a

_B



0.866  

a

_B

0.4  

13.43 0.7 7.67 0.4







0.35 

a

_B



0.3464



a

_B

 

9.401 3.068



2 12.469 0.6964 12.469 17.9 0.6964 B B B m a a a s         

13.43 0.5

0.5 13.43 0.4

0.4

B B

a







 



  





8.95 2 13.43 0.5 17.69 4.48 11.2 0.4 0.4 rad s



     



   



2. (3.02 –pag. 70) As engrenagens ilustradas, e1 e e2,

tem respectivamente raios R1 = 0.32 m e R2 = 0.24 m. A

engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário, com velocidade angular constante 1= 16 rad/s. A haste AB gira no

sentido horário com velocidade angular constante AB = 13

rad/s. Pedem-se:

(a) a velocidade angular da engrenagem e2;

(b) a aceleração do ponto de contato entre as engrenagens do ponto que pertence à engrenagem e2.

 Aqui CIR=A, pois este ponto permanece fixo. A velocidade do ponto B:

1. Possui direção ortogonal à reta que liga os pontos A e B. 2. Possui sentido para baixo, pois a rotação da barra AB é horária.

3. Possui intensidade dada por:

v

_B





_AB



AB

1 2

0.32 0.24

AB



R



R



AB





0.56 AB



m

13 0.56

7.28

B B

m

v

s

 





 Engrenagem e1:

CIRe1=A, pois este ponto pertencem ao eixo fixo de

rotação.

 Velocidade do ponto P:

1. tem direção ortogonal à reta que liga os pontos A e P. 2. tem sentido para baixo, pois a rotação de e1 é horária.

3. tem intensidade dada por:

1 1

16 0.32

5.12

P e P P

m

v

R

v

s





 

 





 Engrenagem e2:

Com o engrenamento dos dentes: não há escorregamento. As velocidades dos pontos de contato das duas engrenagens são iguais.

Velocidades dos pontos da engrenagem e2:

 Seu centro:

v

_B

7.28 m

s



.  Do ponto de engrenamento:

v

_P

5.12 m

s



 CIR de e2:

A determinação do CIRe2 de e2 pode ser feita com oas

velocidades dos ponto B e P , entretanto, é mais trabalhoso que o usual, pois as linhas ortogonais à essas velocidades são coincidentes e não definem o CIRe2.

A velocidade do ponto P pode ser expressa por:

2 2

P e e

v







PCIR

A velocidade do ponto B pode ser dada por:

2 2 B e e

v







BCIR

2 2

5.12

P e e

v

d





 







2

7.28

0.24

B e

v









d





1.2288

5.12

7.28

0.24 d

7.28 d

5.12 0.24 5.12

d









 







2.16

1.2288

0.569 7.28 5.12

d



 

d

m



2

9

e

rad

s





2

ˆ

9

e

k



  

 Aceleração do ponto P: A B x y z CIR x y z CIRe2

(6)

6

A aceleração do ponto P será expressa em função da aceleração de outro ponto da engrenagem e2: o ponto B

(pertence à barra AB). Utilizando:









P Q

a



a

 



P Q



 

 



_



P Q





_









B A AB AB AB

a



a







B



A









_





B



A



_

Como o ponto A é fixo:

a 

_A

0

Vetor velocidade angular da barra AB: Horário e constante:



AB

  

13 k

ˆ

Vetor aceleração angular da barra AB:

0

AB AB AB

d

dt













Vetor B-A:

Módulo: 0.56mDireção: eixo x:

ˆi

Sentido: de A para B:

B

 

A

0.56 

i

ˆ





ˆ

0 0

13

0.56

B

a

  

B



A

      

k



_

k



i



_

ˆ

ˆ ˆ

13 13 0.56

B j

a

     

k





 

k i

















2 ˆ

ˆ ˆ

ˆ

13

7.28

94.64

B B i

m

a

k

j

a

i

s



 

   

  

 

_{  }

 

Fazendo o cálculo da aceleração do ponto P da engrenagem e2:









2 2 2 P B e e e

a



a







P B











_





P B





_

2

ˆ

94.64

B

m

a

i

s

 

 

_{  }

 

2 2 2 2

ˆ

9

e

0

e e e

d

k

dt



   











O vetor P-B:

possui módulo igual à distância de P e B: 0.24m; direção do eixo x:

ˆi

sentido é de B para P:

P B

  

0.24 

i

ˆ





2 0

ˆ

94.64

9

0.24

P e

a

 

 

i





P B



     

k

_



k



i



_





ˆ 2.16

ˆ

94.64

9

0.24

P j

a

i

k

k i









 

      

 









ˆ

94.64 9 2.16

P i

a

i

k

j



 

  

 

2

ˆ

94.64

19.44

75.2

P P

m

a

i

a

i

s

 

 

 

 

 

_{  }

 

3. (pag.76) – A barra AB, gira com freqüência

constante f = 954.96 rpm no sentido horário. O cursos C está vinculado a uma haste horizontal fixa. Para o instante considerado, pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra CB; (b) a velocidade do cursos C;

(c) a aceleração do cursor C.

 Barra AB:

O vetor velocidade angular da barra AB:

 Tem intensidade: 954 60

2

100

AB AB

rad

f

s



  









 Direção: Ortogonal ao plano de movimento: com

sentido dado pela regra da mão direita (horário: negativo).

ˆ

100

AB

rad

k

s



 

_{ }





_





 O ponto A é o CIR:  A velocidade do ponto B é:

ˆ

100 0.09

9

B AB B B

m

v

r

v

j

s



 



 







_{   }

 

 A aceleração do ponto B é:









B A AB AB AB

a



a







B



A









_





B



A



_





0 CIR

A

a 

y z x B A 0.56m

v

B B P e2 x y z 150 mm A 300 mm 90 mm A 90 mm B B y x z B

v

CIR

C

(7)

7 



0 CIR

AB AB AB

d

dt













ˆ

0.09 B

  

A



i

0 0

ˆ

0.09

100

0.09

B A AB

a



a







 

i

  

k



_

 

k



i



_





ˆ

ˆ ˆ

100

0.09

B j

a

 

  

k





 

 

k i













2

ˆ ˆ

ˆ

900

B B

m

a

k

j

a

i

s

 

 

  



_{  }

 

 Barra BC: 2 ₂ ₂ 0.15 0.3 0.09 0.0225 0.26 BCIR   BCIR  BCIR m

9

34.64

0.26

B BC BC BC

rad

v

BCIR

s















34.64 0.15

5.2

C BC C C

m

v

CCIR

v

s

















ˆ

5.2

C

m

v

i

s

 



_{  }

 

 Aceleração no ponto C:









C B BC BC BC

a



a







C B











_





C B





_

 Vetor aceleração angular:

ˆ

BC BC

k









 Vetor:

C

 

B



0.26; 0.15

  



0; 0

ˆ

0.26

0.15 C B

 

 

i



j

 Vetor



BC

 

34.64 

k

ˆ









ˆ

900

0.26

0.15 ˆ

ˆ

34.64

0.26

0.15

C BC

a

i

k

i

j

k

i

j





 

 

 









  

_

 

 



_

ˆ _ˆ ˆ _ˆ

ˆ

900

0.26

0.15 ˆ

ˆ

34.64 34.64 0.26

34.64 0.15

C BC BC j _i j _i

a

i

k i

k

j

k

k i

k

j



 



 



  



 







  





  



 











ˆ

900

0.26

0.15 ˆ

ˆ

34.64

9

5.196

C BC BC

a

i

j

i

k

j

i





 



 









    

_



_

 

ˆ ˆ

ˆ

900

0.26

0.15 ˆ

ˆ

34.64

9 34.64 5.196

C BC BC j i

a

i

j

i

k

j

k i







 



 





    



 

ˆ

900

0.26

0.15 ˆ

ˆ

311.76

180

C BC BC

a

i

j

i

j





 



 





 





_{900 311.76 0.15}



ˆ



_{180 0.26}



ˆ

C BC BC

a









  

i









j



_{588.24 0.15}



ˆ



_{180 0.26}



ˆ

C BC BC

a









  

i









j

ˆ

C C

a



a



i

2 588.24 0.15 180 692.31 180 0.26 0 0.26 C BC BC BC BC a rad s         _ _ _ _      

588.24 0.15

C BC

a









2 103.84 588.24 0.15 692.31 484.15 C C m a a s     

4. (pag.76) – Um carro apresenta rodas traseiras

com diâmetro 0.75 m, e tem movimento acelerado com aceleração a = 6.5 m/s2_{. No instante ilustrado, a velocidade do}

auto é v = 140 km/h. Sabendo que não ocorre escorregamento entre as rodas e o piso, pedem-se:

(a) a velocidade do ponto A; (b) a velocidade do ponto B; (c) a aceleração do ponto A; 150 mm A 300 mm 90 mm B C y x z C

v

B

v

CIR Ponto A Ponto B

x

y

z

y

A

(8)

8

CIR: a origem do sistema de coordenadas como o ponto C de contato da roda.

0

O CIR C

v

OCIR

R





 

  

140 3.6

_ˆ

103.7

103.7 0.75 2

rad

k

s





 



  





A C

v



v

 



OA

ˆ

38.89

0.375

A

v



   

i



k



j

ˆ

38.89

0.375

A i

v

i



k

j





  

 



_38.89

_0.375



ˆ

A

v



 





i

ˆ

77.78

A

m

v

i

s

 



_{  }

 

B C

v



v

 



CB





ˆ

38.89

103.7

0.375

B

v



 

i

 

k



i

ˆ

38.89 103.7 0.375

B j

v



 

i



 

k i

ˆ

38.89

B

v



 

i



j

ˆ

38.89

B

m

v

i

j

s

 



 

_{  }

 





2 2

38.89

55

198

B B B

m

km

v

s

h



 









ˆ

6.5

C AC AC

a



 

i



 





k

ˆ

0.375 A C

 



j









C C AC AC AC

a



a







A C











_





A C





_

ˆ

6.5

0.375 ˆ

ˆ

103.7

0.375

A AC

a

i

k

j

k

j





 

 









  

_

 



_

ˆ ˆ

ˆ

6.5

0.375 ˆ

ˆ ˆ

103.7 103.7 0.375

A AC i i

a

i

k

j

k

j



 



 



 







  





 











ˆ

6.5

0.375 ˆ

ˆ

103.7 38.8875

A AC

a

i

k

i





 









 

_



_





ˆ

6.5 0.375

ˆ ˆ

103.7 38.8875

A AC j

a

i

k i













 



_{6.5 0.375}



ˆ

_4032.63

ˆ

N T A AC a a

a









  

i



j

Buscando outro ponto para completar a aceleração do ponto A: (CIR).

Observe que no instante que o ponto da borda toca o solo, pára instantaneamente e torna-se o CIR. Nessa posição a trajetória é onde ocorre a inversão da velocidade do ponto da borda, ou seja, é onde o ponto da borda inverta o seu movimento e desta forma pode-se garantir que possua apenas aceleração vertical; no instante que o ponto toca o solo, transforma-se no CIR, e apresenta aceleração vertical:

ˆ

CIR CIR

a



a



j

Assim:









CIR C

a



a

 



CIR C



 

 



_



CIR C





_

ˆ

103.7 k



 



ˆ

6.5

C

a



    

i



k

ˆ

0.375 CCIR CIR C



  



j

ˆ

6.5

0.375 ˆ

ˆ

103.7

0.375

CIR

a

i

k

j

k

j





    









  

_

  



_

ˆ ˆ

ˆ

6.5

0.375 ˆ

ˆ ˆ

103.7 103.7 0.375

CIR i i

a

i

k

j

k

j



 



  

 







 





 











ˆ

6.5

0.375 103.7 38.8875

CIR j

a



 

i

  



i



 

k i



_{6.5 0.375}



ˆ

_4032.6

ˆ

CIR

a









 

i



j

CIR C

v

A

v

x

 

0, 0

B

v

CIR

a

y

x

z

(9)

9

2

6.5 6.5 0.375

0

17.33

0.375 rad

s





   

 



_{6.5 0.325 17.33}



ˆ

_4032.63

ˆ

A

a







 

i



j

2

ˆ

13 4033

A

m

a

i

j

s

 

  

_{  }

 

5. O eixo manivela AB, do motor ilustrado, gira

com velocidade angular constante  = 75 rad/s, no sentido horário. Pela articulação A passa eixo fixo. Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade do pistão; (b) a aceleração do pistão. B A

v



v

 



AB

ˆ

0 75

0.025

B

v

 

 

k



j

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

0 75 0.025

1.875

B B i

v

k

j

v

i



 



  













B A AB AB AB

a



a







B



A









_





B



A



_

0 é cte

AB AB



 



ˆ

0 0 0.025

75

0.025

B

a

  

 

j

    

k



_

k



j



_

1.875 ˆ

ˆ

ˆ ˆ

75 75 0.025

B i

a

k

j

 _





     



 











ˆ ˆ

75 1.875

B

a

  

 

k i

ˆ

140.625

B

a

 



j

C B BC

v



v







BC



0.08;0

 

0;0.025



BC

  

C

B



ˆ

0.08

0.025 BC



 

i



j





ˆ

1.875

0.08

0.025

C BC

v



 

i



 

k

 

i



j

ˆ

1.875

0.08

0.025

C BC BC

v



 

i





  

k i





 

k

j

ˆ

1.875

0.08

0.025

C BC BC

v



 

i





 

j







i



_{1.875 0.025}



ˆ

_0.08

ˆ

C BC BC

v









 

i





j

ˆ

₀

ˆ

C C

v



v

  

i

j

ˆ

1.875 0.025

1.875

0.08

0

C BC C BC BC

v



v

i











_









_

_

















C B BC BC BC

a



a







C



B









_





C



B



_









ˆ

140.625

0.08

0.025

0

C BC

a

 

 

j



 

k

 

i

   

j

_



C



B



_

ˆ _ˆ

ˆ

140.625

0.08

0.025

C BC BC j _i

a

j



k i



k

j



 

 



  



 

ˆ

140.625

0.08

0.025

C BC BC

a

 

 

j





 

j







i





ˆ

0.025

0.08

140.625

C BC BC

a







 

i









j

ˆ

₀

ˆ

C C

a



a i

  

j

0.025

0.08 140.625 0

C BC BC

a











_

_

_



2 2

ˆ

0.025 1757.81

43.945

140.625 1757.81

0.08

C C BC BC

m

a

i

s

rad

s



 

















_

_

_



6. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si

conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade angular AB = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra BC; (b) a velocidade angular da barra CD.

 Barra AB: Colocando o eixo 0 em A: B A C 25 mm 80 mm

ˆ

75

AB

k



  

B A 25 mm z x y z x y B

v

B C 80 mm

ˆ

BC BC

k









B

v

C

v

A B C D z x y 0.18 m 0.20 m 0.12 m 0.12 m z x y

(10)

10

B A AB

v



v







AB



0; 0.18

  

0, 0

AB

  

B

A



ˆ

0.18 AB

 



j

ˆ

0 5

0.18

0.9

B B

v

    

k

 

j

v

 



i

^  Barra BC: C B BC

v



v







BC



0.24; 0.18

 

0; 0.18



BC

  

C

B



ˆ

0.24 BC





i

ˆ

BC BC

k









ˆ

0.9

0.24

C BC

v

 

 

i



 

k



i

ˆ

0.9

0.24

C BC j

v

 

 

i





 

k i

ˆ

0.9

0.24

C BC

v

 

 

i







j

 Barra DC: C D CD

v



v







CD



0.12; 0.38

 

0.24; 0.18



CD

  

D C



ˆ

0.12

0.20 CD

 

 

i



j





ˆ

0

0.12

0.20

C CD

v

 



  

k

 

i



j

ˆ _ˆ

ˆ

0.12

0.2

C CD CD j _i

v



k i



k

j



 



  



 

ˆ

0.2

0.12

C CD CD

v







 

i





j

Logo:

0.2

0.9

0.12

0.24

CD CD BC





 



 











0.9 0.2 0.12 0.12 4.5 0.24 0.24 CD BC CD BC



  _    _{ } _ _{ } _  ˆ 4.5 ˆ 2.25 CD BC rad k s rad k s



 _{ } _             _ _{ }   _ _ 

7. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si

conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade angular AB = 8 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra BC; (b) a velocidade angular da barra CD.

 Barra AB: B A AB

v



v







AB

ˆ

0.35 AB

  

B A

AB





j

ˆ

0

0.35 0.35 8

2.8

B AB B B

v

 



 

k

 

j

v



  

i

v





i

 Barra BC: C B BC

v



v







BC



0.12;0.25

 

0;0.35



BC

  

C

B



ˆ ˆ 0.12 0.1 BC  i j





ˆ

2.8

0.12

0.1

C BC

v



 

i



 

k

 

i



j

ˆ _ˆ

ˆ

2.8

0.12

0.1

C BC BC j _i

v

i



k i



k

j





 



  



 



_{2.8 0.1}



ˆ

_0.12

ˆ

C BC BC

v









 

i







j

 Barra CD: C D CD

v



v







CD

A B 0.18 m

ˆ

AB AB

k



 





B

v

A B C D z x y 0.18 m 0.20 m 0.12 m 0.12 m A B C D z x y 0.10m 0.25 m 0.12 m 0.25 m